Numéro Aleph - Aleph number

Aleph-nought, aleph-zero ou aleph-null, le plus petit nombre cardinal infini

En mathématiques , en particulier en théorie des ensembles , les nombres aleph sont une séquence de nombres utilisés pour représenter la cardinalité (ou la taille) d' ensembles infinis qui peuvent être bien ordonnés . Ils ont été introduits par le mathématicien Georg Cantor et sont nommés d'après le symbole qu'il a utilisé pour les désigner, la lettre hébraïque aleph ( ).

La cardinalité des nombres naturels est (lire aleph-zéro ou aleph-zéro , le terme aleph nul est également parfois utilisé), la prochaine plus grande cardinalité d'un bien-être commandées ensemble est aleph-one ensuite et ainsi de suite. En continuant de cette manière, il est possible de définir un nombre cardinal pour chaque nombre ordinal comme décrit ci-dessous.

Le concept et la notation sont dus à Georg Cantor , qui a défini la notion de cardinalité et s'est rendu compte que les ensembles infinis peuvent avoir des cardinalités différentes .

Les nombres aleph diffèrent de l' infini ( ) que l'on trouve couramment en algèbre et en calcul, en ce que les alephs mesurent la taille des ensembles, tandis que l'infini est communément défini soit comme une limite extrême de la droite numérique réelle (appliquée à une fonction ou à une séquence qui " diverge à l'infini" ou "augmente sans limite"), ou comme un point extrême de la ligne des nombres réels étendus .

Aleph-nought

(aleph-nought, aussi aleph-zero ou aleph-null) est le cardinal de l'ensemble de tous les nombres naturels, et est un cardinal infini . L'ensemble de tous les finis ordinaux , appelé ou (où est la minuscule lettre grecque Omega ), a cardinalité Un ensemble a cardinalité si et seulement si elle est dénombrable , qui est, il y a une bijection (un à une correspondance) entre lui et les nombres naturels. Des exemples de tels ensembles sont

Ces ordinaux infinis : et sont parmi les ensembles dénombrables infinis. Par exemple, la séquence (avec l' ordinalité ω·2) de tous les entiers impairs positifs suivis de tous les entiers pairs positifs

est un ordre de l'ensemble (de cardinalité ) d'entiers positifs.

Si l' axiome du choix dénombrable (une version plus faible de l' axiome du choix ) est vérifié, alors est plus petit que tout autre cardinal infini.

Aleph-one

est la cardinalité de l'ensemble de tous les nombres ordinaux dénombrables , appelé ou parfois C'est lui-même un nombre ordinal plus grand que tous les nombres dénombrables, c'est donc un ensemble indénombrable . Par conséquent, est distinct de La définition de implique (dans ZF, la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel sans l'axiome du choix) qu'aucun nombre cardinal n'est compris entre et Si l' axiome du choix est utilisé, il peut en outre être prouvé que la classe des nombres cardinaux est totalement ordonné et est donc le deuxième plus petit nombre cardinal infini. En utilisant l'axiome du choix, on peut montrer l'une des propriétés les plus utiles de l'ensemble tout sous-ensemble dénombrable de a une limite supérieure dans (Cela découle du fait que l'union d'un nombre dénombrable d'ensembles dénombrables est elle-même dénombrable - l'un des les applications les plus courantes de l'axiome du choix.) Ce fait est analogue à la situation dans chaque ensemble fini d'entiers naturels a un maximum qui est aussi un nombre naturel, et les unions finies d'ensembles finis sont finies.

est en fait un concept utile, quoique quelque peu exotique. Un exemple d'application est la « fermeture » ​​en ce qui concerne les opérations dénombrables ; par exemple, en essayant de décrire explicitement la -algèbre générée par une collection arbitraire de sous-ensembles (voir par exemple la hiérarchie de Borel ). C'est plus difficile que la plupart des descriptions explicites de la "génération" en algèbre ( espaces vectoriels , groupes , etc.) car dans ces cas, nous n'avons à fermer que par rapport aux opérations finies - sommes, produits, etc. Le processus consiste à définir, pour chaque ordinal dénombrable, par induction transfinie , un ensemble en « jetant » toutes les unions et compléments dénombrables possibles, et en prenant l'union de tout cela sur l'ensemble de

Hypothèse du continu

La cardinalité de l'ensemble des nombres réels ( cardinalité du continuum ) est Elle ne peut pas être déterminée à partir de ZFC ( théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel augmentée de l' axiome du choix ) où ce nombre s'inscrit exactement dans la hiérarchie des nombres aleph, mais il découle de ZFC que l'hypothèse du continu, CH , est équivalente à l'identité

Le CH déclare qu'il n'y a pas d'ensemble dont la cardinalité est strictement entre celle des nombres entiers et des nombres réels. CH est indépendant de ZFC : il ne peut être ni prouvé ni réfuté dans le contexte de ce système d'axiomes (à condition que ZFC soit cohérent ). Que CH est compatible avec ZFC a été démontré par Kurt Gödel en 1940, quand il a montré que sa négation n'est pas un théorème de ZFC . Qu'il soit indépendant de ZFC a été démontré par Paul Cohen en 1963, lorsqu'il a montré à l'inverse que le CH lui-même n'est pas un théorème de ZFC – par la méthode (alors nouvelle) de forçage .

Aleph-oméga

Aleph-omega est

où le plus petit ordinal est notée infinie ω . C'est-à-dire que le nombre cardinal est la plus petite borne supérieure de

est le premier nombre cardinal indénombrable qui peut être démontré dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel comme n'étant pas égal à la cardinalité de l'ensemble de tous les nombres réels ; pour tout entier positif n, nous pouvons systématiquement supposer que et de plus, il est possible de supposer qu'il est aussi grand que nous le souhaitons. Nous sommes seulement obligés d'éviter de le définir sur certains cardinaux spéciaux avec une cofinalité signifiant qu'il y a une fonction illimitée de vers lui (voir le théorème d'Easton ).

Aleph-α pour général α

Pour définir un nombre ordinal arbitraire, nous devons définir l' opération cardinale successeur , qui attribue à tout nombre cardinal le prochain cardinal bien ordonné plus grand (si l' axiome de choix est vérifié, il s'agit du prochain cardinal plus grand).

Nous pouvons alors définir les nombres aleph comme suit :

et pour λ , un ordinal limite infini ,

Le α-ième ordinal initial infini s'écrit . Sa cardinalité s'écrit En ZFC, la fonction aleph est une bijection des ordinaux aux cardinaux infinis.

Points fixes d'oméga

Pour tout ordinal α nous avons

Dans de nombreux cas est strictement supérieur à α . Par exemple, pour tout successeur ordinal cela est vrai. Il existe cependant des ordinaux limites qui sont des points fixes de la fonction oméga, à cause du lemme à virgule fixe pour les fonctions normales . Le premier est la limite de la suite

Tout cardinal faiblement inaccessible est aussi un point fixe de la fonction aleph. Ceci peut être affiché dans ZFC comme suit. Supposons qu'il s'agisse d' un cardinal faiblement inaccessible. S'il s'agissait d'un successeur ordinal , alors ce serait un successeur cardinal et donc pas faiblement inaccessible. Si un ordinal limite était inférieur à alors sa cofinalité (et donc la cofinalité de ) serait inférieure à et ne serait donc pas régulière et donc pas faiblement inaccessible. Ainsi et par conséquent ce qui en fait un point fixe.

Rôle de l'axiome de choix

La cardinalité de tout nombre ordinal infini est un nombre aleph. Chaque aleph est la cardinalité d'un ordinal. Le moindre d'entre eux est son ordinal initial . Tout ensemble dont la cardinalité est un aleph est équinumérique avec un ordinal et est donc bien ordonné .

Chaque ensemble fini est bien ordonné, mais n'a pas d'aleph comme cardinal.

L'hypothèse que la cardinalité de chaque ensemble infini est un nombre aleph est équivalente sur ZF à l'existence d'un bon ordre de chaque ensemble, qui à son tour est équivalent à l' axiome du choix . La théorie des ensembles ZFC, qui inclut l'axiome du choix, implique que chaque ensemble infini a un nombre aleph comme cardinal (c'est-à-dire qu'il est équinumérique avec son ordinal initial), et donc les ordinaux initiaux des nombres aleph servent de classe de représentants pour tous nombres cardinaux infinis possibles.

Lorsque la cardinalité est étudiée dans ZF sans l'axiome du choix, il n'est plus possible de prouver que chaque ensemble infini a pour cardinal un nombre aleph ; les ensembles dont la cardinalité est un nombre aleph sont exactement les ensembles infinis qui peuvent être bien ordonnés. La méthode de l'astuce de Scott est parfois utilisée comme moyen alternatif pour construire des représentants pour les nombres cardinaux dans le cadre de ZF. Par exemple, on peut définir card( S ) comme l'ensemble des ensembles de même cardinalité que S de rang minimum possible. Cela a la propriété que card( S ) = card( T ) si et seulement si S et T ont la même cardinalité. (L'ensemble card( S ) n'a pas la même cardinalité que S en général, mais tous ses éléments en ont.)

Voir également

Remarques

Citations

Liens externes