Convergence absolue - Absolute convergence

En mathématiques , une série infinie de nombres est dite converger absolument (ou être absolument convergente ) si la somme des valeurs absolues des sommes est finie. Plus précisément, un réel ou complexe série est dit converger absolument si pour un certain nombre réel De même, une intégrale impropre d'une fonction , on dit Converge absolument si l'intégrale de la valeur absolue de la integrand est est-ce fini, si

La convergence absolue est importante pour l'étude des séries infinies car sa définition est suffisamment forte pour avoir des propriétés de sommes finies que toutes les séries convergentes ne possèdent pas, mais est suffisamment large pour se produire couramment. (Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est appelée conditionnellement convergente .) Les séries absolument convergentes se comportent "bien". Par exemple, les réarrangements ne modifient pas la valeur de la somme. Ce n'est pas vrai pour les séries condi- tionnellement convergentes : la série harmonique alternée converge vers tandis que son réarrangement (dans lequel le motif répétitif des signes est constitué de deux termes positifs suivis d'un terme négatif) converge vers

Fond

On peut étudier la convergence de séries dont les termes sont des éléments d'un groupe topologique abélien arbitraire . La notion de convergence absolue nécessite plus de structure, à savoir une norme , qui est une fonction à valeur réelle positive sur un groupe abélien (écrit additivement , avec l'élément d'identité 0) tel que :

  1. La norme de l'élément d'identité de est zéro :
  2. Car tout implique
  3. Pour chaque
  4. Pour chaque

Dans ce cas, la fonction induit la structure d'un espace métrique (un type de topologie ) sur On peut donc considérer des séries -valuées et définir une telle série comme absolument convergente si

En particulier, ces énoncés s'appliquent en utilisant la norme ( valeur absolue ) dans l'espace des nombres réels ou des nombres complexes.

Dans les espaces vectoriels topologiques

Si est un espace vectoriel topologique (TVS) et est une famille (éventuellement indénombrable ) alors cette famille est absolument sommable si

  1. est sommable dans (c'est-à-dire, si la limite du réseau converge dans où est l' ensemble dirigé de tous les sous-ensembles finis de dirigé par inclusion et ), et
  2. pour chaque semi-norme continue sur la famille est sommable dans

Si est un espace normable et si est une famille absolument sommable dans alors nécessairement tous sauf une collection dénombrable de 's sont 0.

Les familles absolument sommables jouent un rôle important dans la théorie des espaces nucléaires .

Relation avec la convergence

Si est complet par rapport à la métrique alors toute série absolument convergente est convergente. La preuve est la même que pour les séries à valeurs complexes : utilisez la complétude pour dériver le critère de Cauchy pour la convergence - une série est convergente si et seulement si ses queues peuvent être rendues arbitrairement petites en norme - et appliquez l'inégalité triangulaire.

En particulier, pour les séries avec des valeurs dans n'importe quel espace de Banach , la convergence absolue implique la convergence. L'inverse est également vrai : si la convergence absolue implique la convergence dans un espace normé, alors l'espace est un espace de Banach.

Si une série est convergente mais pas absolument convergente, elle est dite conditionnellement convergente . Un exemple d'une série conditionnellement convergente est la série harmonique alternée . De nombreux tests standard de divergence et de convergence, notamment le test de rapport et le test de racine , démontrent une convergence absolue. En effet, une série entière est absolument convergente à l'intérieur de son disque de convergence.

Preuve que toute série de nombres complexes absolument convergente est convergente

Supposons que soit convergente. Alors de manière équivalente, est convergent, ce qui implique que et convergent par comparaison terminologique de termes non négatifs. Il suffit de montrer que la convergence de ces séries implique la convergence de et pour alors, la convergence de suivrait, par la définition de la convergence des séries complexes.

La discussion précédente montre qu'il suffit de prouver que la convergence de implique la convergence de

Soit convergent. Puisque nous avons

Puisque est convergent, est une suite monotone bornée de sommes partielles, et doit également converger. Notant que c'est la différence des séries convergentes, nous concluons qu'il s'agit également d'une série convergente, comme souhaité.

Preuve alternative utilisant le critère de Cauchy et l'inégalité triangulaire

En appliquant le critère de Cauchy pour la convergence d'une série complexe, nous pouvons également prouver ce fait comme une simple implication de l' inégalité triangulaire . Par le critère de Cauchy , converge si et seulement si pour tout il existe tel que pour tout Mais l' inégalité triangulaire implique que pour que pour tout ce qui est exactement le critère de Cauchy pour

Preuve que toute série absolument convergente dans un espace de Banach est convergente

Le résultat ci-dessus peut être facilement généralisé à tout espace de Banach Soit une série absolument convergente dans As est une

suite de Cauchy de nombres réels, pour tout nombre naturel suffisamment grand qu'elle contient :

Par l'inégalité triangulaire pour la norme ǁ⋅ǁ , on obtient immédiatement :

ce qui signifie que c'est une suite de Cauchy dans donc la série est convergente dans

Réarrangements et convergence inconditionnelle

Dans le contexte général d'une série -valuée, une distinction est faite entre convergence absolue et inconditionnelle, et l'affirmation qu'une série réelle ou complexe qui n'est pas absolument convergente est nécessairement conditionnellement convergente (c'est-à-dire non inconditionnellement convergente) est alors un théorème, non une définition. Ce point est discuté plus en détail ci-dessous.

Étant donné une série à valeurs dans un groupe abélien normé et une

permutation des nombres naturels, on construit une nouvelle série dite réarrangement de la série originale. Une série est dite convergente inconditionnellement si tous les réarrangements de la série convergent vers la même valeur.

Quand est complète, la convergence absolue implique la convergence inconditionnelle :

Théorème  —  Soit un groupe abélien normé complet. Supposer

Si est une permutation, alors

La question de l'inverse est intéressante. Pour les séries réelles, il résulte du théorème de réarrangement de Riemann que la convergence inconditionnelle implique la convergence absolue. Puisqu'une série avec des valeurs dans un espace normé de dimension finie est absolument convergente si chacune de ses projections unidimensionnelles est absolument convergente, il s'ensuit que les convergences absolue et inconditionnelle coïncident pour les séries -valuées.

Mais il existe des séries inconditionnellement et non absolument convergentes à valeurs dans l' espace de Banach , par exemple :

où est une base orthonormée. Un théorème de

A. Dvoretzky et C. A. Rogers affirme que tout espace de Banach de dimension infinie admet une série inconditionnellement convergente qui n'est pas absolument convergente.

Preuve du théorème

Pour tout, nous pouvons en choisir quelques-uns tels que:

Laisser

Enfin pour tout entier laissez

Puis

Cela montre que

C'est:

CQFD

Produits de série

Le produit de

Cauchy de deux séries converge vers le produit des sommes si au moins une des séries converge absolument. C'est-à-dire, supposons que

Le produit de Cauchy est défini comme la somme de termes où :

Si soit la ou somme converge absolument alors

Convergence absolue sur les ensembles

Une généralisation de la convergence absolue d'une série, est la convergence absolue d'une somme d'une fonction sur un ensemble. On peut d' abord considérer un ensemble dénombrable et une fonction Nous donnerons une définition ci - dessous de la somme de plus écrit

Notez tout d'abord que parce qu'aucune énumération (ou "indexation") particulière n'a encore été spécifiée, la série ne peut pas être comprise par la définition plus basique d'une série. En fait, pour certains exemples de et la somme de sur peut ne pas être définie du tout, car une certaine indexation peut produire une série conditionnellement convergente.

On ne définit donc que dans le cas où il existe une bijection telle qu'elle soit absolument convergente. Notez qu'ici, "absolument convergent" utilise la définition la plus basique, appliquée à une série indexée. Dans ce cas, la valeur de la

somme de over est définie par

Notez que parce que la série est absolument convergente, alors chaque réarrangement est identique à un choix différent de bijection Puisque toutes ces sommes ont la même valeur, alors la somme de over est bien définie.

Plus généralement encore, nous pouvons définir la somme de plus quand est indénombrable. Mais d'abord, nous définissons ce que cela signifie pour la somme d'être convergente.

Soit n'importe quel ensemble, dénombrable ou indénombrable, et une fonction. On dit que

la somme de over converge absolument si

Il existe un théorème qui stipule que, si la somme de over est absolument convergente, alors prend des valeurs non nulles sur un ensemble qui est au plus dénombrable. Par conséquent, ce qui suit est une définition cohérente de la somme de plus lorsque la somme est absolument convergente.

Notez que la série finale utilise la définition d'une série sur un ensemble dénombrable.

Certains auteurs définissent une somme itérée comme absolument convergente si la série itérée est en fait équivalente à la convergence absolue de C'est-à-dire que si la somme de over converge absolument, comme défini ci-dessus, alors la somme itérée converge absolument, et vice versa versa.

Convergence absolue des intégrales

L' intégrale d'une fonction réelle ou à valeurs complexes est dite

converger absolument si On dit aussi qu'elle est absolument intégrable . La question de l'intégrabilité absolue est complexe et dépend si l' intégrale de Riemann , Lebesgue ou Kurzweil-Henstock (jauge) est considérée ; pour l'intégrale de Riemann, cela dépend aussi de si l'on considère seulement l'intégrabilité dans son sens propre ( et les deux bornés ), ou si l'on admet le cas plus général des intégrales impropres.

En tant que propriété standard de l'intégrale de Riemann, quand est un

intervalle borné , toute fonction continue est bornée et (Riemann) intégrable, et puisque continue implique continue, toute fonction continue est absolument intégrable. En fait, puisque Riemann est intégrable sur si est (correctement) intégrable et est continu, il s'ensuit que est proprement intégrable de Riemann si est. Cependant, cette implication ne tient pas dans le cas des intégrales impropres. Par exemple, la fonction est improprement intégrable de Riemann sur son domaine non borné, mais elle n'est pas absolument intégrable :
En effet, plus généralement, étant donné une série quelconque on peut considérer la
fonction échelon associée définie par Alors converge absolument, converge conditionnellement ou diverge selon le comportement correspondant de

La situation est différente pour l'intégrale de Lebesgue, qui ne traite pas séparément les domaines d'intégration bornés et non bornés ( voir ci-dessous ). Le fait que l'intégrale de soit non bornée dans les exemples ci-dessus implique qu'elle n'est pas non plus intégrable au sens de Lebesgue. En fait, dans la théorie de Lebesgue de l'intégration, étant donné que est

mesurable , est (Lebesgue) intégrable si et seulement si est (Lebesgue) intégrable. Cependant, l'hypothèse mesurable est cruciale ; il n'est généralement pas vrai que les fonctions absolument intégrables sur soient intégrables (simplement parce qu'elles peuvent ne pas être mesurables) : soit un sous - ensemble non mesurable et considérons où est la fonction caractéristique de Then n'est pas de Lebesgue mesurable et donc non intégrable, mais est une constante fonction et clairement intégrable.

En revanche, une fonction peut être intégrable de Kurzweil-Henstock (jauge intégrable) alors qu'elle ne l'est pas. Cela inclut le cas des fonctions intégrables incorrectement de Riemann.

Dans un sens général, sur n'importe quel espace de mesure, l'intégrale de Lebesgue d'une fonction à valeur réelle est définie en termes de ses parties positive et négative, donc les faits :

  1. intégrable implique intégrable
  2. mesurable, intégrable implique intégrable

sont essentiellement intégrées dans la définition de l'intégrale de Lebesgue. En particulier, en appliquant la théorie à la mesure de comptage sur un ensemble, on retrouve la notion de sommation non ordonnée de séries développée par Moore-Smith en utilisant (ce qu'on appelle maintenant) des réseaux. Quand est l'ensemble des nombres naturels, l'intégrabilité de Lebesgue, la sommabilité non ordonnée et la convergence absolue coïncident toutes.

Enfin, tout ce qui précède est valable pour les intégrales avec des valeurs dans un espace de Banach. La définition d'une intégrale de Riemann à valeurs de Banach est une modification évidente de la définition habituelle. Pour l'intégrale de Lebesgue, il faut contourner la décomposition en parties positives et négatives avec l' approche analytique plus

fonctionnelle de Daniell , en obtenant l' intégrale de Bochner .

Voir également

Remarques

Les références

Ouvrages cités

Références générales