Différence absolue - Absolute difference
La différence absolue de deux nombres réels x , y est donnée par | x − y |, la valeur absolue de leur différence . Il décrit la distance sur la ligne réelle entre les points correspondant à x et y . C'est un cas particulier de la distance L p pour tout 1 ≤ p ≤ ∞ et c'est la métrique standard utilisée à la fois pour l'ensemble des nombres rationnels Q et leur complétion, l'ensemble des nombres réels R .
Comme pour toute métrique, les propriétés de la métrique sont les suivantes :
- | x − y | ≥ 0, puisque la valeur absolue est toujours non négative.
- | x − y | = 0 si et seulement si x = y .
- | x − y | = | y − x | ( symétrie ou commutativité ).
- | x − z | | x − y | + | y − z | ( inégalité triangulaire ) ; dans le cas de la différence absolue, l' égalité est vérifiée si et seulement si x de y ≤ z ou x ≥ y ≥ z .
En revanche, la soustraction simple n'est ni non négative ni commutative, mais elle obéit aux deuxième et quatrième propriétés ci-dessus, puisque x − y = 0 si et seulement si x = y , et x − z = ( x − y ) + ( y − z ).
La différence absolue est utilisée pour définir d' autres quantités , y compris la différence relative , la norme L 1 utilisée dans la géométrie des taxis , et les étiquetages gracieux dans la théorie des graphes .
Lorsqu'il est souhaitable d'éviter la fonction valeur absolue – par exemple parce qu'elle est coûteuse à calculer, ou parce que sa dérivée n'est pas continue – elle peut parfois être éliminée par l'identité
- | x − y | < | z − w | si et seulement si ( x − y ) 2 < ( z − w ) 2 .
Cela suit depuis | x − y | 2 = ( x − y ) 2 et la quadrature est monotone sur les réels non négatifs.