Valeur absolue - Absolute value

En mathématiques , la valeur absolue ou le module d' un nombre réel  x , noté | x | , est la valeur non négative de  x sans tenir compte de son signe . À savoir, | x | = x si x est positif , et | x | = − x si x est négatif (auquel cas − x est positif), et | 0 | = 0 . Par exemple, la valeur absolue de 3 est 3, et la valeur absolue de -3 est également 3. La valeur absolue d'un nombre peut être considérée comme sa distance par rapport à zéro.

Les généralisations de la valeur absolue pour les nombres réels se produisent dans une grande variété de paramètres mathématiques. Par exemple, une valeur absolue est également définie pour les nombres complexes , les quaternions , les anneaux ordonnés , les champs et les espaces vectoriels . La valeur absolue est étroitement liée aux notions de grandeur , de distance et de norme dans divers contextes mathématiques et physiques.

Terminologie et notation

En 1806, Jean-Robert Argand introduisit le terme module , signifiant unité de mesure en français, spécifiquement pour la valeur absolue complexe , et il fut emprunté en anglais en 1866 sous le nom d'équivalent latin module . Le terme valeur absolue a été utilisé dans ce sens depuis au moins 1806 en français et 1857 en anglais. La notation | x | , avec une barre verticale de chaque côté, a été introduit par Karl Weierstrass en 1841. D'autres noms pour la valeur absolue incluent la valeur numérique et la magnitude . Dans les langages de programmation et les progiciels de calcul, la valeur absolue de x est généralement représentée par , ou une expression similaire. abs(x)

La notation de barre verticale apparaît également dans un certain nombre d'autres contextes mathématiques : par exemple, lorsqu'elle est appliquée à un ensemble, elle dénote sa cardinalité ; appliqué à une matrice , il désigne son déterminant . Les barres verticales ne désignent la valeur absolue que pour les objets algébriques pour lesquels la notion de valeur absolue est définie, notamment un élément d'une algèbre de division normée , par exemple un nombre réel, un nombre complexe, ou un quaternion. Une notation étroitement liée mais distincte est l'utilisation de barres verticales pour la norme euclidienne ou la norme sup d'un vecteur dans , bien que les doubles barres verticales avec des indices ( et , respectivement) soient une notation plus courante et moins ambiguë. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\style d'affichage \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

Définition et propriétés

Nombres réels

Pour tout nombre réel  x , la valeur absolue ou le module de  x est noté | x | (une barre verticale de chaque côté de la quantité) et est défini comme

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0.\end{cases}} }$

La valeur absolue de  x est donc toujours soit positive soit nulle , mais jamais négative : lorsque x lui-même est négatif ( x < 0 ), alors sa valeur absolue est nécessairement positive ( | x | = − x > 0 ).

D'un point de vue géométrique analytique , la valeur absolue d'un nombre réel est la distance de ce nombre à zéro le long de la droite des nombres réels , et plus généralement la valeur absolue de la différence de deux nombres réels est la distance qui les sépare. La notion de fonction de distance abstraite en mathématiques peut être considérée comme une généralisation de la valeur absolue de la différence (voir "Distance" ci-dessous).

Étant donné que le symbole de la racine carrée représente la racine carrée positive unique (lorsqu'il est appliqué à un nombre positif), il s'ensuit que

${\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}}$

est équivalente à la définition ci-dessus et peut être utilisée comme définition alternative de la valeur absolue des nombres réels.

La valeur absolue a les quatre propriétés fondamentales suivantes ( a , b sont des nombres réels), qui sont utilisées pour la généralisation de cette notion à d'autres domaines :

${\style d'affichage |a|\geq 0}$	Non-négativité
${\style d'affichage |a|=0\iff a=0}$	Définition positive
${\displaystyle |ab|=\gauche|a\droit|\gauche|b\droit|}$	Multiplicativité
${\style d'affichage |a+b|\leq |a|+|b|}$	Subadditivité , en particulier l' inégalité triangulaire

La non-négativité, la définition positive et la multiplicativité ressortent clairement de la définition. Pour voir que la sous-additivité est vraie, notez d'abord que l'une des deux alternatives de prendre s comme -1 ou +1 garantit que Now, puisque et , il s'ensuit que, quelle que soit la valeur de s , on a pour tout réel . Par conséquent, comme souhaité. (Pour une généralisation de cet argument aux nombres complexes, voir "Preuve de l'inégalité triangulaire pour les nombres complexes" ci-dessous.) ${\displaystyle s\cdot (a+b)=|a+b|\geq 0.}$${\displaystyle -1\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle +1\cdot x\leq |x|}$${\displaystyle s\cdot x\leq |x|}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle |a+b|=s\cdot (a+b)=s\cdot a+s\cdot b\leq |a|+|b|}$

Certaines propriétés utiles supplémentaires sont données ci-dessous. Ce sont soit des conséquences immédiates de la définition, soit impliquées par les quatre propriétés fondamentales ci-dessus.

${\displaystyle {\bigl |}\gauche|a\droit|{\bigr |}=|a|}$	Idempotence (la valeur absolue de la valeur absolue est la valeur absolue)
${\displaystyle \left|-a\right|=|a|}$	Planéité ( symétrie de réflexion du graphe)
${\displaystyle |ab|=0\iff a=b}$	Identité des indiscernables (équivalent à une définition positive)
${\displaystyle |ab|\leq |ac|+|cb|}$	Inégalité triangulaire (équivalente à la sous-additivité)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$(si ) ${\style d'affichage b\neq 0}$	Préservation de la division (équivalent à la multiplicativité)
${\displaystyle |ab|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}}$	Inégalité triangulaire inversée (équivalente à la sous-additivité)

Deux autres propriétés utiles concernant les inégalités sont :

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$ ou ${\style d'affichage a\geq b}$

Ces relations peuvent être utilisées pour résoudre des inégalités impliquant des valeurs absolues. Par exemple:

${\style d'affichage |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

La valeur absolue, en tant que "distance de zéro", est utilisée pour définir la différence absolue entre des nombres réels arbitraires, la métrique standard sur les nombres réels.

Nombres complexes

Puisque les nombres complexes ne sont pas ordonnés , la définition donnée en haut pour la valeur absolue réelle ne peut pas être directement appliquée aux nombres complexes. Cependant, l'interprétation géométrique de la valeur absolue d'un nombre réel comme sa distance de 0 peut être généralisée. La valeur absolue d'un nombre complexe est définie par la distance euclidienne de son point correspondant dans le plan complexe à partir de l' origine . Ceci peut être calculé en utilisant le théorème de Pythagore : pour tout nombre complexe

${\style d'affichage z=x+iy,}$

où x et y sont des nombres réels, la valeur absolue ou le module de  z est noté | z | et est défini par

${\displaystyle |z|={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{ 2}+y^{2}}},}$

où Re( z ) = x et Im( z ) = y désignent respectivement les parties réelle et imaginaire de z . Lorsque la partie imaginaire y est nulle, cela coïncide avec la définition de la valeur absolue du nombre réel  x .

Lorsqu'un nombre complexe  z est exprimé sous sa forme polaire sous la forme

${\displaystyle z=re^{i\theta },}$

avec (et θ ∈ arg( z ) est l' argument (ou la phase) de z ), sa valeur absolue est ${\textstyle r={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}\geq 0}$

${\style d'affichage |z|=r.}$

Puisque le produit de tout nombre complexe  z et de son conjugué complexe  , de même valeur absolue, est toujours le nombre réel non négatif , la valeur absolue d'un nombre complexe z est la racine carrée dont on appelle donc le carré absolu ou carré module de z : ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)}$${\displaystyle z\cdot {\overline {z}},}$

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}.}$

Ceci généralise la définition alternative des réels : .${\textstyle |x|={\sqrt {x\cdot x}}}$

La valeur absolue complexe partage les quatre propriétés fondamentales données ci-dessus pour la valeur absolue réelle.

Dans le langage de la théorie des groupes , la propriété multiplicative peut être reformulée comme suit : la valeur absolue est un homomorphisme de groupe du groupe multiplicatif des nombres complexes sur le groupe sous multiplication des nombres réels positifs .

Il est important de noter que la propriété de sous - additivité (" inégalité triangulaire ") s'étend à toute collection finie de n nombres  complexes comme${\textstyle (z_{k})_{k=1}^{n}}$

${\displaystyle \left|\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|z_{k}\right|. }$

( ⁎ )

Cette inégalité s'applique également aux familles infinies , à condition que la série infinie soit absolument convergente . Si l' intégration de Lebesgue est considérée comme l'analogue continu de la sommation, alors cette inégalité est obéie de manière analogue par des fonctions mesurables à valeurs complexes lorsqu'elles sont intégrées sur un sous - ensemble mesurable :${\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }z_{k}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ ${\style d'affichage E}$

${\displaystyle \left|\int _{E}f\,dx\right|\leq \int _{E}\left|f\right|dx.}$

( ⁎⁎ )

(Cela inclut les fonctions intégrables de Riemann sur un intervalle borné comme cas particulier.) ${\style d'affichage [a,b]}$

Preuve de l'inégalité triangulaire complexe

L'inégalité triangulaire, telle qu'elle est donnée par ( ⁎ ), peut être démontrée en appliquant trois propriétés facilement vérifiables des nombres complexes : à savoir, pour chaque nombre complexe , ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

1. il existe tel que et ;${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\style d'affichage |c|=1}$${\displaystyle |z|=c\cdot z}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\leq |z|}$.

Aussi, pour une famille de nombres complexes , . En particulier, ${\style d'affichage (w_{k})_{k=1}^{n}}$ ${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})+i\sum _{k}\operatorname {Im} (w_{k}) }$

3. si , alors .${\textstyle \sum _{k}w_{k}\in \mathbb {R} }$${\textstyle \sum _{k}w_{k}=\sum _{k}\operatorname {Re} (w_{k})}$

Preuve de ( ⁎ ) : Choisisseztel queet(somme sur ). Le calcul suivant donne alors l'inégalité recherchée : ${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$${\style d'affichage |c|=1}$${\textstyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|=c\left(\sum _{k}z_{k}\right)}$${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle \left|\sum _{k}z_{k}\right|\;{\overset {(1)}{=}}\;c\left(\sum _{k}z_{k}\ right)=\sum _{k}cz_{k}\;{\overset {(3)}{=}}\;\sum _{k}\operatorname {Re} (cz_{k})\;{\ exagéré {(2)}{\leq }}\;\sum _{k}|cz_{k}|=\sum _{k}\left|c\right|\left|z_{k}\right|= \sum _{k}\left|z_{k}\right|.}$

Il est clair à partir de cette preuve que l'égalité est vérifiée dans ( ) exactement si tous les sont des nombres réels non négatifs, ce qui à son tour se produit exactement si tous les non nuls ont le même argument , c'est-à-dire pour une constante complexe et des constantes réelles pour .${\displaystyle cz_{k}}$${\style d'affichage z_{k}}$${\displaystyle z_{k}=a_{k}\zeta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle a_{k}\geq 0}$${\style d'affichage 1\leq k\leq n}$

Puisque mesurable implique que est aussi mesurable, la preuve de l'inégalité ( ⁎⁎ ) procède par la même technique, en remplaçant par et par .${\style d'affichage f}$${\style d'affichage |f|}$${\textstyle \sum _{k}(\cdot )}$${\textstyle \int _{E}(\cdot )\,dx}$${\style d'affichage z_{k}}$${\style d'affichage f(x)}$

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue réelle est continue partout. Elle est dérivable partout sauf pour x = 0 . Elle est monotone décroissante sur l'intervalle (−∞, 0] et monotone croissante sur l'intervalle [0, +∞) . Puisqu'un nombre réel et son contraire ont la même valeur absolue, c'est une fonction paire , et n'est donc pas inversible . La fonction de valeur absolue réelle est une fonction linéaire et convexe par morceaux .

Les fonctions réelles et complexes sont idempotentes .

Relation avec la fonction signe

La fonction valeur absolue d'un nombre réel renvoie sa valeur quel que soit son signe, tandis que la fonction signe (ou signum) renvoie le signe d'un nombre quelle que soit sa valeur. Les équations suivantes montrent la relation entre ces deux fonctions :

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn}(x),}$

ou

${\displaystyle |x|\operatorname {sgn}(x)=x,}$

et pour x 0 ,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}={\frac {x}{|x|}}.}$

Dérivé

La fonction valeur absolue réelle a une dérivée pour chaque x ≠ 0 , mais n'est pas dérivable en x = 0 . Sa dérivée pour x ≠ 0 est donnée par la fonction échelon :

${\displaystyle {\frac {d\left|x\right|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0. \end{cas}}}$

La fonction de valeur absolue réelle est un exemple de fonction continue qui atteint un minimum global là où la dérivée n'existe pas.

Le sous- différentiel de  | x | en  x = 0 est l' intervalle  [−1, 1] .

La fonction valeur absolue complexe est continue partout mais complexe dérivable nulle part car elle viole les équations de Cauchy-Riemann .

La dérivée seconde de  | x | par rapport à  x est nulle partout sauf zéro, où elle n'existe pas. En tant que fonction généralisée , la dérivée seconde peut être considérée comme deux fois la fonction delta de Dirac .

Primitive

La primitive (intégrale indéfinie) de la fonction valeur absolue réelle est

${\displaystyle \int \left|x\right|dx={\frac {x\left|x\right|}{2}}+C,}$

où C est une constante arbitraire d'intégration . Ce n'est pas une primitive complexe car les primitives complexes ne peuvent exister que pour des fonctions complexes-différentiables ( holomorphes ), ce que la fonction de valeur absolue complexe n'est pas.

Distance

La valeur absolue est étroitement liée à l'idée de distance. Comme indiqué ci-dessus, la valeur absolue d'un nombre réel ou complexe est la distance de ce nombre à l'origine, le long de la droite des nombres réels, pour les nombres réels, ou dans le plan complexe, pour les nombres complexes, et plus généralement, la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes est la distance entre eux.

La distance euclidienne standard entre deux points

${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

et

${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$

en euclidienne n -space est défini comme:

${\displaystyle {\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Cela peut être vu comme une généralisation, puisque pour et réel, c'est-à-dire dans un espace 1, selon la définition alternative de la valeur absolue, ${\style d'affichage a_{1}}$${\style d'affichage b_{1}}$

${\displaystyle |a_{1}-b_{1}|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1 }^{1}(a_{i}-b_{i})^{2}}},}$

et pour et les nombres complexes, c'est-à-dire dans un espace de 2, ${\displaystyle a=a_{1}+ia_{2}}$${\displaystyle b=b_{1}+ib_{2}}$

${\style d'affichage |ab|}$	${\displaystyle =|(a_{1}+ia_{2})-(b_{1}+ib_{2})|}$
	${\displaystyle =|(a_{1}-b_{1})+i(a_{2}-b_{2})|}$
	${\displaystyle ={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}}}={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{2}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

Ce qui précède montre que la distance "valeur absolue", pour les nombres réels et complexes, est en accord avec la distance euclidienne standard, dont ils héritent en les considérant comme des espaces euclidiens à une et deux dimensions, respectivement.

Les propriétés de la valeur absolue de la différence de deux nombres réels ou complexes : la non-négativité, l'identité des indiscernables, la symétrie et l'inégalité triangulaire donnée ci-dessus, peuvent être vues pour motiver la notion plus générale d'une fonction de distance comme suit :

Une fonction à valeur réelle d sur un ensemble X  ×  X est appelée une métrique (ou une fonction de distance ) sur  X , si elle satisfait les quatre axiomes suivants :

${\style d'affichage d(a,b)\geq 0}$	Non-négativité
${\style d'affichage d(a,b)=0\iff a=b}$	Identité des indiscernables
${\style d'affichage d(a,b)=d(b,a)}$	Symétrie
${\style d'affichage d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)}$	Inégalité triangulaire

Généralisations

Anneaux commandés

La définition de valeur absolue donnée pour les nombres réels ci-dessus peut être étendue à n'importe quel anneau ordonné . Autrement dit, si  a est un élément d'un anneau ordonné  R , alors la valeur absolue de  a , notée | un | , est défini comme :

${\displaystyle |a|=\left\{{\begin{array}{rl}a,&{\text{if }}a\geq 0\\-a,&{\text{if }}a<0 .\end{array}}\right.}$

où − a est l' inverse additif de  a , 0 est l' identité additive , et < et ont la signification habituelle par rapport à l'ordre dans l'anneau.

Des champs

Les quatre propriétés fondamentales de la valeur absolue pour les nombres réels peuvent être utilisées pour généraliser la notion de valeur absolue à un champ arbitraire, comme suit.

Une fonction à valeur réelle  v sur un champ  F est appelée une valeur absolue (également un module , une magnitude , une valeur ou une évaluation ) si elle satisfait les quatre axiomes suivants :

${\style d'affichage v(a)\geq 0}$	Non-négativité
${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$	Définition positive
${\style d'affichage v(ab)=v(a)v(b)}$	Multiplicativité
${\style d'affichage v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$	La sous-additivité ou l'inégalité triangulaire

Où 0 désigne l' identité additive de  F . Il résulte de la définition positive et de la multiplicativité que v ( 1 ) = 1 , où 1 dénote l' identité multiplicative de  F . Les valeurs absolues réelles et complexes définies ci-dessus sont des exemples de valeurs absolues pour un champ arbitraire.

Si v est une valeur absolue sur  F , alors la fonction  d sur F  ×  F , définie par d ( a ,  b ) = v ( a − b ) , est une métrique et les éléments suivants sont équivalents :

• d satisfait l' inégalité ultramétrique pour tout x , y , z dans  F .${\style d'affichage d(x,y)\leq \max(d(x,z),d(y,z))}$
• ${\textstyle \left\{v\left(\sum _{k=1}^{n}\mathbf {1} \right):n\in \mathbb {N} \right\}}$est borné dans  R .
• ${\displaystyle v\left({\textstyle \sum _{k=1}^{n}}\mathbf {1} \right)\leq 1\ }$pour chaque .${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle v(a)\leq 1\Rightarrow v(1+a)\leq 1\ }$ pour tous ${\displaystyle a\in F.}$
• ${\displaystyle v(a+b)\leq \max\{v(a),v(b)\}\ }$pour tous .${\displaystyle a,b\in F}$

Une valeur absolue qui satisfait à n'importe laquelle (donc à toutes) des conditions ci-dessus est dite non archimédienne , sinon elle est dite archimédienne .

Espaces vectoriels

Encore une fois, les propriétés fondamentales de la valeur absolue pour les nombres réels peuvent être utilisées, avec une légère modification, pour généraliser la notion à un espace vectoriel arbitraire.

Une fonction à valeur réelle sur un espace vectoriel  V sur un corps  F , représentée par || · || , est appelée valeur absolue , mais plus généralement norme , si elle satisfait les axiomes suivants :

Pour tout  a dans  F , et v , u dans  V ,

${\displaystyle \|\mathbf {v} \|\geq 0}$	Non-négativité
${\displaystyle \|\mathbf {v} \|=0\iff \mathbf {v} =0}$	Définition positive
${\displaystyle \|a\mathbf {v} \|=|a|\|\mathbf {v} \|}$	Homogénéité positive ou évolutivité positive
${\displaystyle \|\mathbf {v} +\mathbf {u} \|\leq \|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {u} \|}$	La sous-additivité ou l'inégalité triangulaire

La norme d'un vecteur est aussi appelée sa longueur ou sa magnitude .

Dans le cas de l' espace euclidien , la fonction définie par ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \|(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^ {2}}}}$

est une norme appelée norme euclidienne . Lorsque les nombres réels sont considérés comme l'espace vectoriel à une dimension , la valeur absolue est une norme , et est la p -norme (voir L ^p space ) pour tout  p . En fait la valeur absolue est la "seule" norme sur , en ce sens que, pour toute norme || · || sur , || x || = || 1 || | x | . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

La valeur absolue complexe est un cas particulier de la norme dans un espace produit interne , qui est identique à la norme euclidienne lorsque le plan complexe est identifié comme le plan euclidien  . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Algèbres de composition

Toute algèbre de composition A a une involution x → x * appelée sa conjugaison . Le produit dans A d'un élément x et de son conjugué x * s'écrit N ( x ) = xx * et est appelé norme de x .

Les nombres réels , les nombres complexes et les quaternions sont tous des algèbres de composition dont les normes sont données par des formes quadratiques définies . La valeur absolue de ces algèbres de division est donnée par la racine carrée de la norme de l'algèbre de composition. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$

En général, la norme d'une algèbre de composition peut être une forme quadratique qui n'est pas définie et a des vecteurs nuls . Cependant, comme dans le cas des algèbres de division, lorsqu'un élément x a une norme non nulle, alors x a un inverse multiplicatif donné par x */ N ( x ).

Remarques

Les références

• Bartle; Sherbert; Introduction à l'analyse réelle (4e éd.), John Wiley & Sons, 2011 ISBN  978-0-471-43331-6 .
• Nahin, Paul J.; Un conte imaginaire ; Presse de l'Université de Princeton; (couverture rigide, 1998). ISBN  0-691-02795-1 .
• Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra , American Mathematical Soc., 1999. ISBN  978-0-8218-1646-2 .
• Mendelson, Elliott, Schaum's Outline of Beginning Calculus , McGraw-Hill Professional, 2008. ISBN  978-0-07-148754-2 .
• O'Connor, JJ et Robertson, EF ; "Jean-Robert Argand" .
• Schechter, Éric; Manuel d'analyse et ses fondements , pp. 259-263, "Valeurs absolues" , Academic Press (1997) ISBN  0-12-622760-8 .

Liens externes

• "Valeur absolue" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• valeur absolue chez PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Valeur absolue" . MathWorld .