Identité additive - Additive identity
En mathématiques , l' identité additive d'un ensemble équipé de l' opération d' addition est un élément qui, lorsqu'il est ajouté à n'importe quel élément x de l'ensemble, donne x . L' un des plus identités additifs familiers est le nombre 0 de mathématiques élémentaires , mais les identités additifs se produisent dans d' autres structures mathématiques où l' addition est définie, par exemple dans des groupes et des anneaux .
Exemples élémentaires
- L'identité additive familière des mathématiques élémentaires est zéro, notée 0 . Par exemple,
- Dans les nombres naturels N (si 0 est inclus), les entiers Z , les nombres rationnels Q , les nombres réels R , et les nombres complexes C , l'identité additive est 0. Cela dit que pour un nombre n appartenant à l'un de ces ensembles,
Définition formelle
Soit N soit un groupe qui est fermé sous l' opération d' addition , notée + . Une identité additive pour N , notée e , est un élément de N tel que pour tout élément n de N ,
- e + n = n = n + e .
Autres exemples
- Dans un groupe , l'identité additive est l' élément d'identité du groupe, est souvent notée 0, et est unique (voir ci-dessous pour preuve).
- Un anneau ou un champ est un groupe sous l'opération d'addition et donc ceux-ci ont également une identité additive unique 0. Ceci est défini comme différent de l' identité multiplicative 1 si l'anneau (ou le champ) a plus d'un élément. Si l'identité additive et l'identité multiplicative sont les mêmes, alors l'anneau est trivial (prouvé ci-dessous).
- Dans l'anneau M m × n ( R ) de m par n matrices sur un anneau R , l'identité additive est la matrice zéro, notée O ou 0 , et est la matrice m par n dont les entrées consistent entièrement en l'élément d'identité 0 dans R . Par exemple, dans les matrices 2 × 2 sur les entiers M 2 ( Z ) l'identité additive est
- Dans les quaternions , 0 est l'identité additive.
- Dans l'anneau de fonctions de R à R , la fonction mappant chaque nombre à 0 est l'identité additive.
- Dans le groupe additif de vecteurs dans R n , l'origine ou vecteur zéro est l'identité additive.
Propriétés
L'identité additive est unique dans un groupe
Soit ( G , +) un groupe et que 0 et 0' dans G désignent tous deux des identités additives, donc pour tout g dans G ,
- 0 + g = g = g + 0 et 0' + g = g = g + 0'.
Il résulte alors de ce qui précède que
- 0' = 0' + 0 = 0' + 0 = 0 .
L'identité additive annihile les éléments de l'anneau
Dans un système avec une opération de multiplication qui distribue sur l'addition, l'identité additive est un élément absorbant multiplicatif , ce qui signifie que pour tout s dans S , s · 0 = 0 . Cela s'ensuit parce que :
Les identités additive et multiplicative sont différentes dans un anneau non trivial
Soit R un anneau et supposons que l'identité additive 0 et l'identité multiplicative 1 soient égales, c'est-à-dire 0 = 1. Soit r un élément quelconque de R . Puis
- r = r × 1 = r × 0 = 0
prouver que R est trivial, c'est-à-dire R = {0}. La contraposée , que si R est non triviale alors 0 n'est pas égal à 1, est donc montrée.
Voir également
Les références
- ^ Weisstein, Eric W. "Identité additive" . mathworld.wolfram.com . Récupéré le 2020-09-07 .
Bibliographie
- David S. Dummit, Richard M. Foote, Algèbre abstraite , Wiley (3e éd.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 .