Additif inverse - Additive inverse

« numéro opposé » redirige ici. Pour d'autres utilisations, voir analogique et homologue .

En mathématiques, l' inverse additif d'un nombre a est le nombre qui, ajouté à a , donne zéro . Ce nombre est également connu sous le nom d' opposé (nombre), de changement de signe et de négation . Pour un nombre réel , il inverse son signe : l'inverse additif (nombre opposé) d'un nombre positif est négatif, et l'inverse additif d'un nombre négatif est positif. Zéro est l'inverse additif de lui-même.

L'inverse additif de a est noté moins unaire : − a (voir aussi § Relation à la soustraction ci-dessous). Par exemple, l'inverse additif de 7 est -7, car 7 + (-7) = 0 , et l'inverse additif de -0,3 est 0,3, car -0,3 + 0,3 = 0 .

De même, l'inverse additif de a − b est −( a − b ) qui peut être simplifié en b − a . L'inverse additif de 2 x − 3 est 3 − 2 x , car 2 x − 3 + 3 − 2 x = 0 .

L'inverse additif est défini comme son élément inverse sous l' opération binaire d'addition (voir aussi § Définition formelle ci-dessous), ce qui permet une large généralisation à des objets mathématiques autres que les nombres. Comme pour toute opération inverse, l'inverse double additif n'a pas d'effet net : −(− x ) = x .

Ces nombres complexes, deux des huit valeurs de 8 √ 1 , sont mutuellement opposées

Exemples courants

Pour un nombre (et plus généralement dans tout anneau ), l'inverse additif peut être calculé en multipliant par -1 ; c'est-à-dire − n = −1 ×  n . Des exemples de noyaux de nombres sont des nombres entiers , nombres rationnels , nombres réels et des nombres complexes .

Relation avec la soustraction

L'inverse additif est étroitement lié à la soustraction , qui peut être considérée comme une addition de l'opposé :

a − b  =  a + (− b ) .

Inversement, l'inverse additif peut être considéré comme une soustraction à partir de zéro :

− a  = 0 − a .

Par conséquent, la notation du signe moins unaire peut être considérée comme un raccourci pour la soustraction (avec le symbole "0" omis), bien que dans une typographie correcte , il ne devrait y avoir aucun espace après le "−" unaire.

Autres propriétés

En plus des identités énumérées ci-dessus, la négation a les propriétés algébriques suivantes :

  • −(− a ) = a , c'est une opération d'involution
  • −( a + b ) = (− a ) + (− b )
  • −( a - b ) = b − a
  • a − (− b ) = a + b
  • (− a ) ×  b = a  × (− b ) = −( a  ×  b )
  • (− a ) × (− b ) = a × b
    notamment, (− a ) 2 = a 2

Définition formelle

La notation + est généralement réservée aux opérations binaires commutatives (opérations où x + y = y + x pour tout x ,  y ). Si une telle opération admet un élément d'identité o (tel que x + o ( = o + x  ) = x pour tout x ), alors cet élément est unique ( o′ = o′ + o = o ). Pour un x donné , s'il existe x′ tel que x + x′ ( = x′ + x  ) = o , alors x′ est appelé un inverse additif de x .

Si + est associatif , c'est-à-dire ( x  +  y ) + z = x + ( y  +  z ) pour tout x ,  y ,  z , alors un inverse additif est unique. Pour voir cela, soit x′ et x″ chacun des inverses additifs de x ; alors

x′ = x′ + o = x′ + ( x + x″ ) = ( x′ + x ) + x″ = o + x″ = x″ .

Par exemple, puisque l'addition de nombres réels est associative, chaque nombre réel a un inverse additif unique.

Autres exemples

Tous les exemples suivants sont en fait des groupes abéliens :

  • Nombres complexes : −( a + bi ) = (− a ) + (− b ) i . Sur le plan complexe , cette opération fait pivoter un nombre complexe de 180 degrés autour de l' origine (voir l'image ci-dessus ).
  • Addition de fonctions réelles et complexes : ici, l'inverse additif d'une fonction f est la fonction − f définie par (− f  )( x ) = − f  ( x ) , pour tout x , tel que f + (− f  ) = o , la fonction zéro ( o ( x ) = 0 pour tout x ).
  • Plus généralement, ce qui précède s'applique à toutes les fonctions à valeurs dans un groupe abélien (« zéro » signifiant alors l'élément d'identité de ce groupe) :
  • Les séquences , les matrices et les réseaux sont également des types particuliers de fonctions.
  • Dans un espace vectoriel , l' inverse additif − v est souvent appelé le vecteur opposé de v ; il a la même amplitude que la direction originale et opposée. L'inversion additive correspond à la multiplication scalaire par -1. Pour l' espace euclidien , c'est la réflexion ponctuelle dans l'origine. Les vecteurs dans des directions exactement opposées (multipliées en nombres négatifs) sont parfois appelés antiparallèles .
  • En arithmétique modulaire , l' inverse additif modulaire de x est également défini : c'est le nombre a tel que a + x 0 (mod n ) . Cet inverse additif existe toujours. Par exemple, l'inverse de 3 modulo 11 est 8 car c'est la solution de 3 + x 0 (mod 11) .

Non-exemples

Nombres naturels , nombres cardinaux et nombres ordinaux ne sont pas additifs dans leurs inverses respectifs ensembles . Ainsi , on peut dire, par exemple, que les nombres naturels n'ont opposé, mais parce que ces additifs ne sont pas inverses eux - mêmes nombres naturels, l'ensemble des nombres naturels ne sont pas fermés en prenant additifs inverses.

Voir également

Notes et références