Fermeture algébrique - Algebraic closure
En mathématiques , en particulier en algèbre abstraite , une fermeture algébrique d'un champ K est une extension algébrique de K qui est algébriquement fermée . C'est l'une des nombreuses fermetures en mathématiques.
En utilisant le lemme de Zorn ou plus faible lemme ultrafiltre , il peut être démontré que chaque champ a une clôture algébrique , et que la fermeture algébrique d'un corps K est unique à un isomorphisme qui fixe tous les membres de K . En raison de cette singularité essentielle, on parle souvent de la clôture algébrique de K , plutôt que d' une fermeture algébrique de K .
La fermeture algébrique d'un champ K peut être considéré comme la plus grande extension algébrique de K . Pour voir cela, note que si L est une extension algébrique de K , puis la fermeture algébrique de L est une clôture algébrique de K , et ainsi de L est contenu dans la fermeture algébrique de K . La clôture algébrique de K est également le plus petit champ algébriquement fermé contenant K , parce que si M est tout algébriquement clos contenant K , alors les éléments de M qui sont algébrique sur K forment une clôture algébrique de K .
La fermeture algébrique d'un corps K a la même cardinalité que K si K est infini, et est dénombrable infinie si K est fini.
Exemples
- Le théorème fondamental de l'algèbre stipule que la fermeture algébrique du champ des nombres réels est le champ des nombres complexes .
- La fermeture algébrique du champ des nombres rationnels est le champ des nombres algébriques .
- Il existe de nombreux champs dénombrables algébriquement clos dans les nombres complexes, et contenant strictement le champ des nombres algébriques; ce sont les fermetures algébriques des extensions transcendantales des nombres rationnels, par exemple la fermeture algébrique de Q (π).
- Pour un corps fini d' ordre de puissance premier q , la fermeture algébrique est un champ dénombrable infini qui contient une copie du champ d'ordre q n pour chaque entier positif n (et est en fait l'union de ces copies).
Existence d'une clôture algébrique et de champs de fractionnement
Soit l'ensemble de tous les polynômes irréductibles moniques dans K [ x ]. Pour chacun , introduisez de nouvelles variables où . Soit R l'anneau polynomial sur K généré par pour tous et tous . Écrivez
avec . Soit I l'idéal dans R généré par le . Étant donné que j'est strictement inférieur à R , lemme de Zorn implique qu'il existe un idéal maximal M en R contenant I . Le champ K 1 = R / M a la propriété que tout polynôme avec des coefficients dans K se divise comme le produit de et a donc toutes les racines dans K 1 . De la même manière, une extension K 2 de K 1 peut être construite, etc. L'union de toutes ces extensions est la fermeture algébrique de K , car tout polynôme avec des coefficients dans ce nouveau champ a ses coefficients dans certains K n avec suffisamment grand n , et alors ses racines sont dans K n + 1 , et donc dans l'union elle-même.
On peut montrer dans le même sens que pour un sous - ensemble S de K [ x ], il existe un corps de décomposition de S sur K .
Fermeture séparable
Une fermeture algébrique K alg de K contient une extension séparable unique K sep de K contenant toutes les extensions séparables (algébriques) de K dans K alg . Cette sous - extension est appelée une fermeture séparable de K . Puisqu'une extension séparable d'une extension séparable est à nouveau séparable, il n'y a pas d'extensions séparables finies de K sep , de degré> 1. En d'autres termes, K est contenu dans un champ d'extension algébrique séparé de manière séparée . Il est unique ( jusqu'à l' isomorphisme).
La fermeture séparable est la fermeture algébrique complète si et seulement si K est un champ parfait . Par exemple, si K est un champ de caractéristique p et si X est transcendantal sur K , est une extension de champ algébrique non séparable.
En général, le groupe de Galois absolu de K est le groupe de Galois de K septembre sur K .
Voir également
Les références
- Kaplansky, Irving (1972). Champs et anneaux . Chicago conférences en mathématiques (deuxième éd.). Presses de l'Université de Chicago. ISBN 0-226-42451-0 . Zbl 1001.16500 .
- McCarthy, Paul J. (1991). Extensions algébriques des champs (réimpression corrigée de la 2e éd.). New York: Publications de Douvres. Zbl 0768.12001 .