Fermeture algébrique - Algebraic closure

En mathématiques , en particulier en algèbre abstraite , une fermeture algébrique d'un champ K est une extension algébrique de K qui est algébriquement fermée . C'est l'une des nombreuses fermetures en mathématiques.

En utilisant le lemme de Zorn ou plus faible lemme ultrafiltre , il peut être démontré que chaque champ a une clôture algébrique , et que la fermeture algébrique d'un corps K est unique à un isomorphisme qui fixe tous les membres de K . En raison de cette singularité essentielle, on parle souvent de la clôture algébrique de K , plutôt que d' une fermeture algébrique de K .

La fermeture algébrique d'un champ K peut être considéré comme la plus grande extension algébrique de K . Pour voir cela, note que si L est une extension algébrique de K , puis la fermeture algébrique de L est une clôture algébrique de K , et ainsi de L est contenu dans la fermeture algébrique de K . La clôture algébrique de K est également le plus petit champ algébriquement fermé contenant K , parce que si M est tout algébriquement clos contenant K , alors les éléments de M qui sont algébrique sur K forment une clôture algébrique de K .

La fermeture algébrique d'un corps K a la même cardinalité que K si K est infini, et est dénombrable infinie si K est fini.

Exemples

Existence d'une clôture algébrique et de champs de fractionnement

Soit l'ensemble de tous les polynômes irréductibles moniques dans K [ x ]. Pour chacun , introduisez de nouvelles variables où . Soit R l'anneau polynomial sur K généré par pour tous et tous . Écrivez

avec . Soit I l'idéal dans R généré par le . Étant donné que j'est strictement inférieur à R , lemme de Zorn implique qu'il existe un idéal maximal M en R contenant I . Le champ K 1 = R / M a la propriété que tout polynôme avec des coefficients dans K se divise comme le produit de et a donc toutes les racines dans K 1 . De la même manière, une extension K 2 de K 1 peut être construite, etc. L'union de toutes ces extensions est la fermeture algébrique de K , car tout polynôme avec des coefficients dans ce nouveau champ a ses coefficients dans certains K n avec suffisamment grand n , et alors ses racines sont dans K n + 1 , et donc dans l'union elle-même.

On peut montrer dans le même sens que pour un sous - ensemble S de K [ x ], il existe un corps de décomposition de S sur K .

Fermeture séparable

Une fermeture algébrique K alg de K contient une extension séparable unique K sep de K contenant toutes les extensions séparables (algébriques) de K dans K alg . Cette sous - extension est appelée une fermeture séparable de K . Puisqu'une extension séparable d'une extension séparable est à nouveau séparable, il n'y a pas d'extensions séparables finies de K sep , de degré> 1. En d'autres termes, K est contenu dans un champ d'extension algébrique séparé de manière séparée . Il est unique ( jusqu'à l' isomorphisme).

La fermeture séparable est la fermeture algébrique complète si et seulement si K est un champ parfait . Par exemple, si K est un champ de caractéristique p et si X est transcendantal sur K , est une extension de champ algébrique non séparable.

En général, le groupe de Galois absolu de K est le groupe de Galois de K septembre sur K .

Voir également

Les références