Nombre algébrique - Algebraic number

La racine carrée de 2 est un nombre algébrique égal à la longueur de l' hypoténuse d'un triangle rectangle avec des jambes de longueur 1.

Un nombre algébrique est tout nombre complexe (y compris les nombres réels ) qui est la racine d'un polynôme non nul (c'est-à-dire une valeur qui fait que le polynôme est égal à 0) dans une variable avec des coefficients rationnels (ou de manière équivalente, en effaçant les dénominateurs , avec des coefficients entiers ).

Tous les entiers et nombres rationnels sont algébriques, de même que toutes les racines d'entiers . Les nombres réels et complexes qui ne sont pas algébriques, tels que π et e , sont appelés nombres transcendants .

L' ensemble des nombres complexes est indénombrable , mais l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable et a la mesure zéro dans la mesure de Lebesgue comme sous -ensemble des nombres complexes. En ce sens, presque tous les nombres complexes sont transcendantaux .

Exemples

• Tous les nombres rationnels sont algébriques. Tout nombre rationnel, exprimé comme le quotient d'un entier a et d'un nombre naturel (non nul) b , satisfait la définition ci-dessus car x = une/best la racine d'un polynôme non nul, à savoir bx − a .
• Les nombres irrationnels quadratiques d'un polynôme quadratique ax ² + bx + c avec des coefficients entiers a , b et c ) sont des nombres algébriques. Si le polynôme quadratique est monique ( a = 1 ), les racines sont en outre qualifiées d' entiers quadratiques .
• Un nombre constructible peut être construit à partir d'une unité de longueur donnée à l'aide d'une règle et d'un compas. Il comprend toutes les racines irrationnelles quadratiques, tous les nombres rationnels et tous les nombres qui peuvent être formés à partir de ceux-ci en utilisant les opérations arithmétiques de base et l'extraction de racines carrées. (En désignant des directions cardinales pour 1, −1, i et − i , des nombres complexes tels que sont considérés comme constructibles.)${\displaystyle 3+i{\sqrt {2}}}$
• Toute expression formée à partir de nombres algébriques utilisant n'importe quelle combinaison des opérations arithmétiques de base et de l'extraction de racines n- ièmes donne un autre nombre algébrique.
• Racines polynomiales qui ne peuvent pas être exprimées en termes d'opérations arithmétiques de base et d'extraction de racines n- ièmes (telles que les racines de x ⁵ − x + 1 ). Cela se produit avec de nombreux polynômes de degré 5 ou plus, mais pas tous.
• Les entiers gaussiens , nombres complexes a + bi pour lesquels a et b sont des entiers, sont également des entiers quadratiques.
• Les valeurs des fonctions trigonométriques de rationnelles multiples de π (sauf si indéfini): ce qui est, les nombres trigonométriques tels que cos??/7, car3 π/7, car5 π/7satisfait 8 x ³ − 4 x ² − 4 x + 1 = 0 . Le polynôme est irréductible sur les rationnels et donc les trois cosinus sont des nombres algébriques conjugués . De même, le bronzage3 π/16, bronzé7 jours/16, bronzé11 heures/16, bronzé15 π/16satisfaire le polynôme irréductible x ⁴ − 4 x ³ − 6 x ² + 4 x + 1 = 0 , et sont donc les entiers algébriques conjugués .
• Certains nombres irrationnels, mais pas tous, sont algébriques :
  • Les nombres et sont algébriques puisqu'ils sont des racines de polynômes x ² − 2 et 8 x ³ − 3 , respectivement.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}}$
  • Le nombre d' or φ est algébrique puisque c'est une racine du polynôme x ² − x − 1 .
  • Les chiffres tc et e ne sont pas des nombres algébriques (voir le théorème Lindemann-Weierstrass ).

Propriétés

Nombres algébriques sur le plan complexe coloré par degré (rouge = 1, vert = 2, bleu = 3, jaune = 4)

• Étant donné un nombre algébrique, il existe un polynôme monique unique (avec des coefficients rationnels) de moindre degré qui a le nombre comme racine. Ce polynôme est appelé son polynôme minimal . Si son polynôme minimal est de degré n , alors le nombre algébrique est dit de degré n . Par exemple, tous les nombres rationnels ont le degré 1, et un nombre algébrique de degré 2 est un irrationnel quadratique .
• Les nombres algébriques réels sont denses dans les réels , linéairement ordonnés , et sans premier ou dernier élément (et donc d' ordre isomorphe à l'ensemble des nombres rationnels).
• L'ensemble des nombres algébriques est dénombrable (énumérable), et donc sa mesure de Lebesgue en tant que sous-ensemble des nombres complexes est 0 (essentiellement, les nombres algébriques ne prennent pas de place dans les nombres complexes). C'est-à-dire que "presque tous" les nombres réels et complexes sont transcendantaux.
• Tous les nombres algébriques sont calculables et donc définissables et arithmétiques .
• Pour les nombres réels a et b , le nombre complexe a + bi est algébrique si et seulement si a et b sont algébriques.

Champ

Nombres algébriques colorés par degré (bleu = 4, cyan = 3, rouge = 2, vert = 1). Le cercle unité est noir.

La somme, la différence, le produit et le quotient (si le dénominateur est différent de zéro) de deux nombres algébriques est à nouveau algébrique, comme on peut le démontrer en utilisant la résultante , et les nombres algébriques forment ainsi un champ (parfois désigné par , mais qui désigne généralement l' adele bague ). Chaque racine d'une équation polynomiale dont les coefficients sont des nombres algébriques est à nouveau algébrique. Cela peut être reformulé en disant que le corps des nombres algébriques est algébriquement clos . En fait, c'est le plus petit corps algébriquement clos contenant les rationnels et c'est pourquoi on l'appelle la clôture algébrique des rationnels. ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\style d'affichage \mathbb {A} }$

L'ensemble des nombres algébriques réels forme lui-même un corps.

Domaines connexes

Nombres définis par des radicaux

Tous les nombres qui peuvent être obtenus à partir des nombres entiers en utilisant un nombre fini d' additions , de soustractions , de multiplications , de divisions , et en prenant n ième racines où n est un entier positif ( expressions radicales ), sont algébriques. L'inverse, cependant, n'est pas vrai : il y a des nombres algébriques qui ne peuvent pas être obtenus de cette manière. Ces nombres sont des racines de polynômes de degré 5 ou plus, résultat de la théorie de Galois (voir les équations de Quintic et le théorème d'Abel-Ruffini ). Par exemple, l'équation :

${\style d'affichage x^{5}-x-1=0}$

a une racine réelle unique qui est donnée par :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{matrix}-{\frac {1}{20}},{\frac {3 }{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}}\\{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}} ,{\frac {3}{4}}\end{matrice}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)+{\frac {1}{4}}\cdot {}_{ 4}F_{3}\gauche(\gauche.{\begin{matrix}{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}} ,{\frac {4}{5}}\\{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}}\end{matrice} }\right|{\frac {3125}{256}}\right)-{\frac {5}{32}}\cdot {}_{4}F_{3}\left(\left.{\begin{ matrice}{\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}}\\{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}}\end{matrice}}\right|{\frac {3125}{256}}\right )+{\frac {5}{32}}\cdot {}_{4}F_{3}\gauche(\gauche.{\begin{matrice}{\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}}\\{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2 }},{\frac {7}{4}}\end{matrice}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)\\[8pt]&=1.167303978261418684\ldots \end{aligned} }}$

où

${\displaystyle {}_{p}F_{q}\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\ldots ,a_{p}\\b_{1},\ldots ,b_{q }\end{matrice}}\right|z\right)}$

est la fonction hypergéométrique généralisée .

Numéro de forme fermée

Les nombres algébriques sont tous les nombres qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, à partir des nombres rationnels. On peut généraliser cela aux « nombres de forme fermée », qui peuvent être définis de diverses manières. Plus largement, tous les nombres qui peuvent être définis explicitement ou implicitement en termes de polynômes, d'exponentiels et de logarithmes sont appelés « nombres élémentaires », et ceux-ci incluent les nombres algébriques, plus quelques nombres transcendants. Plus précisément, on peut considérer des nombres explicitement définis en termes de polynômes, d'exponentiels et de logarithmes - cela n'inclut pas tous les nombres algébriques, mais inclut quelques nombres transcendants simples tels que e ou ln 2 .

Entiers algébriques

Nombres algébriques colorés par le coefficient dominant (le rouge signifie 1 pour un entier algébrique)

Un entier algébrique est un nombre algébrique qui est une racine d'un polynôme avec des coefficients entiers avec le premier coefficient 1 (un polynôme monique ). Des exemples d'entiers algébriques sont et Par conséquent, les entiers algébriques constituent une bonne surensemble des nombres entiers , comme ceux - ci sont les racines de polynômes unitaires x - k pour tout k ∈ . En ce sens, les entiers algébriques sont aux nombres algébriques ce que les entiers sont aux nombres rationnels . ${\displaystyle 5+13{\sqrt {2}},}$ ${\style d'affichage 2-6i,}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La somme, la différence et le produit des entiers algébriques sont à nouveau des entiers algébriques, ce qui signifie que les entiers algébriques forment un anneau . Le nom entier algébrique vient du fait que les seuls nombres rationnels qui sont des entiers algébriques sont les entiers, et parce que les entiers algébriques dans n'importe quel champ numérique sont à bien des égards analogues aux entiers. Si K est un corps de nombres, son anneau d'entiers est le sous-anneau d'entiers algébriques de K , et est fréquemment noté O _K . Ce sont les exemples prototypiques de domaines Dedekind .

Cours spéciaux

• Solution algébrique
• Entier gaussien
• Entier d'Eisenstein
• Nombre irrationnel quadratique
• Unité fondamentale
• Racine de l'unité
• Période gaussienne
• Numéro Pisot–Vijayaraghavan
• Numéro de Salem

Remarques

Les références

• Artin, Michael (1991), Algèbre , Prentice Hall , ISBN 0-13-004763-5, MR  1129886
• Hardy, GH et Wright, EM 1978, 2000 (avec index général) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN  0-19-853171-0
• Irlande, Kenneth ; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, 84 (deuxième éd.), Berlin, New York : Springer-Verlag, doi : 10.1007/978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X, MR  1070716
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (troisième édition révisée), New York : Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Niven, Ivan 1956. Nombres irrationnels , Carus Mathematical Monographie no. 11, Association mathématique d'Amérique .
• Minerai, Øystein 1948, 1988, Théorie des nombres et son histoire , Dover Publications, Inc. New York, ISBN  0-486-65620-9 (pbk.)