Distance angulaire - Angular distance

La distance angulaire (également connue sous le nom de séparation angulaire , distance apparente ou séparation apparente ) est l' angle entre les deux lignes de visée , ou entre deux objets ponctuels vus depuis un observateur. ${\displaystyle \theta }$

La distance angulaire apparaît dans les mathématiques (en particulier la géométrie et la trigonométrie ) et toutes les sciences naturelles (par exemple l' astronomie et la géophysique ). Dans la mécanique classique des objets en rotation, il apparaît aux côtés de la vitesse angulaire , de l'accélération angulaire , du moment cinétique , du moment d'inertie et du couple .

Utilisation

Le terme distance angulaire (ou séparation ) est techniquement synonyme d' angle lui-même, mais vise à suggérer la distance linéaire entre des objets (par exemple, un couple d' étoiles observées depuis la Terre ).

La mesure

Étant donné que la distance angulaire (ou la séparation) est conceptuellement identique à un angle, elle est mesurée dans les mêmes unités , telles que les degrés ou les radians , à l'aide d'instruments tels que des goniomètres ou des instruments optiques spécialement conçus pour pointer dans des directions bien définies et enregistrer les valeurs correspondantes. angles (comme les télescopes ).

Équation

Cas général

Séparation angulaire entre les points A et B${\displaystyle \theta }$

Pour dériver l'équation qui décrit la séparation angulaire de deux points situés à la surface d'une sphère vus du centre de la sphère, nous utilisons l'exemple de deux objets astronomiques et observés depuis la Terre. Les objets et sont définis par leurs coordonnées célestes , à savoir leurs ascensions droites (RA) , ; et déclinaisons (déc) , . Signalons l'observateur sur Terre, supposé situé au centre de la sphère céleste . Le produit scalaire des vecteurs et est égal à : ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage A}$${\style d'affichage B}$${\style d'affichage (\alpha _{A},\alpha _{B})\in [0,2\pi ]}$${\style d'affichage (\delta _{A},\delta _{B})\in [-\pi /2,\pi /2]}$${\style d'affichage O}$${\displaystyle \mathbf {OA} }$${\displaystyle \mathbf {OB} }$

${\displaystyle \mathbf {OA} \cdot \mathbf {OB} =R^{2}\cos \theta }$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} .\mathbf {n_{B}} =\cos \theta }$

Dans le cadre, les deux vecteurs unitaires se décomposent en : ${\style d'affichage (x,y,z)}$

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\\\cos \delta _{A}\sin \alpha _{ A}\\\sin \delta _{A}\end{pmatrix}}\mathrm {\qquad et\qquad } \mathbf {n_{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \delta _{B} \cos \alpha _{B}\\\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}\\\sin \delta _{B}\end{pmatrix}}}$.

Par conséquent,

${\displaystyle \mathbf {n_{A}} \mathbf {n_{B}} =\cos \delta _{A}\cos \alpha _{A}\cos \delta _{B}\cos \alpha _{ B}+\cos \delta _{A}\sin \alpha _{A}\cos \delta _{B}\sin \alpha _{B}+\sin \delta _{A}\sin \delta _{ B}\équiv \cos \theta }$

alors:

${\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left[\sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}\ cos(\alpha _{A}-\alpha _{B})\right]}$

Petite approximation de la distance angulaire

L'expression ci-dessus est valable pour toute position de A et B sur la sphère. En astronomie, il arrive souvent que les objets considérés soient vraiment proches dans le ciel : étoiles dans un champ de vision de télescope, étoiles binaires, les satellites des planètes géantes du système solaire, etc. Dans le cas où radian, impliquant et , nous pouvons développer l'expression ci-dessus et la simplifier. Dans l' approximation aux petits angles , au second ordre, l'expression ci-dessus devient : ${\displaystyle \theta \ll 1}$${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$

${\displaystyle \cos \theta \approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \sin \delta _{A}\sin \delta _{B}+\cos \delta _ {A}\cos \delta _{B}\left[1-{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\right]}$

sens

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx \cos(\delta _{A}-\delta _{B})-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

Par conséquent

${\displaystyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1-{\frac {(\delta _{A}-\delta _{B})^{2}}{2 }}-\cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$.

Étant donné que et , à un développement de second ordre, cela devient , de sorte que ${\displaystyle \delta _{A}-\delta _{B}\ll 1}$${\displaystyle \alpha _{A}-\alpha _{B}\ll 1}$${\displaystyle \cos \delta _{A}\cos \delta _{B}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}\approx \ cos ^{2}\delta _{A}{\frac {(\alpha _{A}-\alpha _{B})^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\left[(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}\right]^{2}+(\delta _{ A}-\delta _{B})^{2}}}}$

Petite distance angulaire : approximation planaire

Approximation planaire de la distance angulaire sur le ciel

Si nous considérons un détecteur imageant un petit champ de ciel (dimension bien inférieure à un radian) avec l' axe pointant vers le haut, parallèle au méridien d'ascension droite , et l' axe le long du parallèle de déclinaison , la séparation angulaire peut être écrite comme : ${\style d'affichage y}$${\style d'affichage \alpha }$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage \delta }$

${\displaystyle \theta \approx {\sqrt {\delta x^{2}+\delta y^{2}}}}$où et${\displaystyle \delta x=(\alpha _{A}-\alpha _{B})\cos \delta _{A}}$${\displaystyle \delta y=\delta _{A}-\delta _{B}}$

A noter que l' axe -est égal à la déclinaison, alors que l' axe -est l'ascension droite modulée par car la section d'une sphère de rayon à la déclinaison (latitude) est (voir Figure). ${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\displaystyle \cos \delta _{A}}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage \delta }$${\displaystyle R'=R\cos \delta _{A}}$

Voir également

• Milliradien
• Gradien
• Angle horaire
• Angle au centre
• Angle de rotation
• Diamètre angulaire
• Déplacement angulaire
• Distance orthodromique
• Similitude en cosinus#Distance angulaire et similarité

Les références

• CASTOR, auteur(s) inconnu(s). " La trigonométrie sphérique contre l'analyse vectorielle " .
• Weisstein, Eric W. "Distance angulaire" . MathWorld .