Moment angulaire - Angular momentum

Moment angulaire
Gyroskop.jpg
Ce gyroscope reste debout tout en tournant du fait de la conservation de son moment cinétique.
Symboles communs
L
En unités de base SI kg m 2 s −1
Conservé ? Oui
Dérivations d'
autres quantités
L = I ω = r × p
Dimension M L 2 T -1

En physique , le moment cinétique (rarement, moment de mouvement ou moment de rotation ) est l'équivalent rotationnel du moment linéaire . C'est une quantité importante en physique car c'est une quantité conservée — le moment cinétique total d'un système fermé reste constant.

En trois dimensions , le moment angulaire pour une particule ponctuelle est un pseudovecteur r × p , le produit croisé du vecteur position de la particule r (par rapport à une origine) et de son vecteur moment ; ce dernier est p = m v en mécanique newtonienne. Contrairement au moment, le moment angulaire dépend de l'endroit où l'origine est choisie, puisque la position de la particule est mesurée à partir de celui-ci.

Tout comme pour la vitesse angulaire , il existe deux types particuliers de moment angulaire d'un objet : le moment angulaire de spin est le moment angulaire autour du centre de masse de l'objet , tandis que le moment angulaire orbital est le moment angulaire autour d'un centre de rotation choisi. Le moment cinétique total est la somme des moments angulaires de spin et orbital. Le vecteur moment angulaire orbital d'une particule ponctuelle est toujours parallèle et directement proportionnel à son vecteur vitesse angulaire orbital ω , où la constante de proportionnalité dépend à la fois de la masse de la particule et de sa distance à l'origine. Le vecteur moment angulaire de spin d'un corps rigide est proportionnel mais pas toujours parallèle au vecteur vitesse angulaire de spin Ω , faisant de la constante de proportionnalité un tenseur de second rang plutôt qu'un scalaire.

Le moment angulaire est une quantité extensive ; c'est-à-dire que le moment cinétique total de tout système composite est la somme des moments cinétiques de ses parties constituantes. Pour un corps rigide continu ou un fluide, le moment cinétique total est l'intégrale volumique de la densité de moment cinétique (c'est-à-dire le moment cinétique par unité de volume dans la limite lorsque le volume diminue jusqu'à zéro) sur l'ensemble du corps.

Le couple peut être défini comme le taux de variation du moment angulaire, analogue à la force . Le couple externe net sur n'importe quel système est toujours égal au couple total sur le système ; en d'autres termes, la somme de tous les couples internes de tout système est toujours 0 (c'est l'analogue de rotation de la troisième loi de Newton ). Par conséquent, pour un système fermé (où il n'y a pas de couple externe net), le couple total sur le système doit être égal à 0, ce qui signifie que le moment cinétique total du système est constant. La conservation du moment angulaire permet d'expliquer de nombreux phénomènes observés, par exemple l'augmentation de la vitesse de rotation d'un patineur artistique en rotation lorsque les bras du patineur sont contractés, les taux de rotation élevés des étoiles à neutrons , l' effet Coriolis et la précession des gyroscopes . En général, la conservation limite le mouvement possible d'un système mais ne le détermine pas uniquement.

En mécanique quantique , le moment angulaire (comme d'autres quantités) est exprimé sous la forme d'un opérateur et ses projections unidimensionnelles ont des valeurs propres quantifiées . Le moment angulaire est soumis au principe d'incertitude de Heisenberg , ce qui implique qu'à tout moment, une seule projection (également appelée « composant ») peut être mesurée avec une précision définie ; les deux autres restent alors incertains. De ce fait, l'axe de rotation d'une particule quantique n'est pas défini. Les particules quantiques ne possèdent un type de moment angulaire non-orbitale appelée « spin », mais cette dynamique angulaire ne correspond pas à un mouvement de rotation.

Définition en mécanique classique

Moment angulaire orbital en deux dimensions

Vitesse de la particule m par rapport à l'origine O peut être résolue en composantes parallèles à ( v ) et perpendiculaire à ( v ) du vecteur de rayon r . Le moment cinétique de m est proportionnelle à la composante perpendiculaire v de la vitesse, ou de manière équivalente, à la distance perpendiculaire r de l'origine.

Le moment angulaire est une quantité vectorielle (plus précisément, un pseudovecteur ) qui représente le produit de l' inertie de rotation d'un corps et de la vitesse de rotation (en radians/sec) autour d'un axe particulier. Cependant, si la trajectoire de la particule se situe dans un seul plan , il suffit d'écarter la nature vectorielle du moment angulaire et de le traiter comme un scalaire (plus précisément, un pseudoscalaire ). Le moment angulaire peut être considéré comme un analogue rotationnel du moment linéaire . Ainsi, où la quantité de mouvement linéaire p est proportionnelle à la masse m et à la vitesse linéaire v ,

moment cinétique L est proportionnelle au moment d'inertie I et la vitesse angulaire ω mesurée en radians par seconde.

Contrairement à la masse, qui ne dépend que de la quantité de matière, le moment d'inertie dépend également de la position de l'axe de rotation et de la forme de la matière. Contrairement à la vitesse linéaire, qui ne dépend pas du choix de l'origine, la vitesse angulaire orbitale est toujours mesurée par rapport à une origine fixe. Par conséquent, à strictement parler, L devrait être appelé le moment cinétique par rapport à ce centre .

Parce que pour une seule particule et pour un mouvement circulaire, le moment angulaire peut être étendu et réduit à,

le produit du rayon de rotation r et de la quantité de mouvement linéaire de la particule , où dans ce cas est la vitesse linéaire (tangentielle) équivalente au rayon ( ).

Cette analyse simple peut également s'appliquer au mouvement non circulaire si seule la composante du mouvement qui est perpendiculaire au rayon vecteur est considérée. Dans ce cas,

où est la composante perpendiculaire du mouvement. L'expansion, le réarrangement et la réduction du moment angulaire peuvent également être exprimés,

où est la longueur du bras de levier , une ligne tombant perpendiculairement de l'origine sur la trajectoire de la particule. C'est à cette définition, (longueur du bras de moment) × (moment linéaire) à laquelle se réfère le terme moment de moment .

Scalaire—moment angulaire de la mécanique lagrangienne

Une autre approche consiste à définir le moment cinétique comme le moment conjugué (également appelé moment canonique ) de la coordonnée angulaire exprimée dans le lagrangien du système mécanique. Considérons un système mécanique avec une masse contrainte de se déplacer dans un cercle de rayon en l'absence de tout champ de force externe. L'énergie cinétique du système est

Et l'énergie potentielle est

Alors le lagrangien est

La quantité de mouvement généralisée "canoniquement conjuguée à" la coordonnée est définie par

Moment angulaire orbital en trois dimensions

Relation entre les vecteurs force ( F ), couple ( τ ), moment ( p ) et moment angulaire ( L ) dans un système en rotation. r est le vecteur de position .

Pour définir complètement le moment angulaire orbital en trois dimensions , il est nécessaire de connaître la vitesse à laquelle le vecteur de position balaie l'angle, la direction perpendiculaire au plan instantané de déplacement angulaire, et la masse impliquée, ainsi que la façon dont cette masse est distribuée dans l'espace. En conservant cette nature vectorielle du moment angulaire, la nature générale des équations est également conservée et peut décrire toute sorte de mouvement tridimensionnel autour du centre de rotation - circulaire , linéaire ou autre. En notation vectorielle , le moment angulaire orbital d'une particule ponctuelle en mouvement autour de l'origine peut être exprimé par :

Cela peut être étendu, réduit et, par les règles de l' algèbre vectorielle , réarrangé :

qui est le produit croisé du vecteur de position et de la quantité de mouvement linéaire de la particule. Par la définition du produit vectoriel , le vecteur est perpendiculaire aux deux et . Il est dirigé perpendiculairement au plan de déplacement angulaire, comme indiqué par la règle de droite - de sorte que la vitesse angulaire est considérée comme dans le sens inverse des aiguilles d' une montre à partir de la tête du vecteur. Inversement, le vecteur définit le plan dans lequel et se trouvent.

En définissant un vecteur unitaire perpendiculaire au plan de déplacement angulaire, il en résulte une vitesse angulaire scalaire , où

et
où est la composante perpendiculaire du mouvement, comme ci-dessus.

On peut ainsi donner le sens aux équations scalaires bidimensionnelles de la section précédente :

et pour le mouvement circulaire, où tout le mouvement est perpendiculaire au rayon .

Dans le système de coordonnées sphériques, le vecteur moment angulaire s'exprime par

Moment angulaire orbital dans quatre dimensions ou plus

Le moment angulaire dans les dimensions supérieures peut être défini par l'application du théorème de Noether aux groupes de rotation d'ordre supérieur. La généralisation au-delà des trois dimensions est mieux traitée en utilisant des formes différentielles .

Analogie à la quantité de mouvement linéaire

Le moment angulaire peut être décrit comme l'analogue rotationnel du moment linéaire . Comme la quantité de mouvement linéaire, il implique des éléments de masse et de déplacement . Contrairement à la quantité de mouvement linéaire, il implique également des éléments de position et de forme .

De nombreux problèmes de physique impliquent la matière en mouvement autour d'un certain point de l'espace, que ce soit en rotation réelle autour de lui, ou simplement en passant devant lui, où l'on souhaite savoir quel effet la matière en mouvement a sur le point - peut-elle exercer de l'énergie sur ou effectuer des travaux à ce sujet ? L'énergie , la capacité de faire un travail , peut être stockée dans la matière en la mettant en mouvement, une combinaison de son inertie et de son déplacement. L'inertie se mesure par sa masse , et le déplacement par sa vitesse . Leur produit,

est l' élan de la matière . Le renvoi de cette quantité de mouvement à un point central introduit une complication : la quantité de mouvement n'est pas appliquée directement au point. Par exemple, une particule de matière au bord extérieur d'une roue est, en effet, à l'extrémité d'un levier de même longueur que le rayon de la roue, son élan faisant tourner le levier autour du point central. Ce levier imaginaire est connu sous le nom de bras de levier . Il a pour effet de multiplier l'effort de l'élan proportionnellement à sa longueur, un effet connu sous le nom de moment . Par conséquent, la quantité de mouvement de la particule fait référence à un point particulier,

est le moment angulaire , parfois appelé, comme ici, le moment du moment de la particule par rapport à ce point central particulier. L'équation combine un moment (un bras de moment de rotation de masse ) avec une vitesse linéaire (équivalente en ligne droite) . La vitesse linéaire rapportée au point central est simplement le produit de la distance et de la vitesse angulaire par rapport au point : un autre moment. Par conséquent, le moment cinétique contient un double moment : en simplifiant légèrement, la quantité est le moment d'inertie de la particule , parfois appelé le deuxième moment de masse. C'est une mesure de l'inertie de rotation.

Le moment d'inertie (illustré ici), et donc le moment angulaire, est différent pour chaque configuration possible de masse et d' axe de rotation .

Parce que le moment d'inertie est une partie cruciale du moment cinétique de spin, ce dernier inclut nécessairement toutes les complications du premier, qui est calculé en multipliant les bits élémentaires de la masse par les carrés de leurs distances au centre de rotation. Par conséquent, le moment d'inertie total, et le moment cinétique, est une fonction complexe de la configuration de la matière autour du centre de rotation et de l'orientation de la rotation pour les différents bits.

Pour un corps rigide , par exemple une roue ou un astéroïde, l'orientation de rotation est simplement la position de l' axe de rotation par rapport à la matière du corps. Il peut ou non passer par le centre de masse , ou il peut se trouver complètement à l'extérieur du corps. Pour un même corps, le moment angulaire peut prendre une valeur différente pour chaque axe possible autour duquel la rotation peut avoir lieu. Elle atteint un minimum lorsque l'axe passe par le centre de masse.

Pour une collection d'objets tournant autour d'un centre, par exemple tous les corps du système solaire , les orientations peuvent être quelque peu organisées, comme c'est le cas pour le système solaire, la plupart des axes des corps étant proches de l'axe du système. Leurs orientations peuvent aussi être complètement aléatoires.

En bref, plus la masse est importante et plus elle est éloignée du centre de rotation (plus le bras de levier est long ), plus le moment d'inertie est grand, et donc plus le moment cinétique est grand pour une vitesse angulaire donnée . Dans de nombreux cas, le moment d'inertie , et donc le moment cinétique, peut être simplifié par,

où est le rayon de giration , la distance de l'axe à laquelle toute la masse peut être considérée comme concentrée.

De même, pour une masse ponctuelle, le moment d'inertie est défini comme,

où est le rayon de la masse ponctuelle à partir du centre de rotation,

et pour toute collection de particules comme somme,

La dépendance du moment angulaire vis-à-vis de la position et de la forme se reflète dans ses unités par rapport au moment linéaire : kg⋅m 2 /s, N⋅m⋅s ou J⋅s pour le moment angulaire contre kg⋅m/s ou N⋅s pour le moment linéaire. Lors du calcul du moment angulaire comme le produit du moment d'inertie par la vitesse angulaire, la vitesse angulaire doit être exprimée en radians par seconde, où le radian prend la valeur sans dimension de l'unité. (Lors de l'exécution d'une analyse dimensionnelle, il peut être productif d'utiliser une analyse d'orientation qui traite les radians comme une unité de base, mais cela sort du cadre du système international d'unités ). Les unités du moment angulaire peuvent être interprétées comme couple temps ou comme énergie⋅temps par angle. Un objet avec un moment cinétique de L N⋅m⋅s peut être réduit à une rotation nulle (toute l'énergie de rotation peut en être transférée) par une impulsion angulaire de L N⋅m⋅s ou de manière équivalente, par un couple ou un travail de L N⋅m pendant une seconde, ou énergie de L J pendant une seconde.

Le plan perpendiculaire à l'axe du moment cinétique et passant par le centre de masse est parfois appelé le plan invariable , car la direction de l'axe reste fixe si l'on ne considère que les interactions des corps au sein du système, libres d'influences extérieures. L'un de ces plans est le plan invariable du système solaire .

Moment angulaire et couple

La deuxième loi du mouvement de Newton peut être exprimée mathématiquement,

ou force = masse × accélération . L'équivalent rotationnel pour les particules ponctuelles peut être dérivé comme suit :

ce qui signifie que le couple (c'est-à-dire la dérivée temporelle du moment cinétique) est

Parce que le moment d'inertie est , il s'ensuit que , et qui, se réduit à

C'est l'analogue rotationnel de la deuxième loi de Newton. Notez que le couple n'est pas nécessairement proportionnel ou parallèle à l'accélération angulaire (comme on pourrait s'y attendre). La raison en est que le moment d'inertie d'une particule peut changer avec le temps, ce qui ne peut pas se produire pour une masse ordinaire.

Conservation du moment cinétique

Une patineuse artistique en vrille utilise la conservation du moment angulaire – diminuer son moment d'inertie en ramenant ses bras et ses jambes augmente sa vitesse de rotation .

Considérations générales

Un analogue de rotation de la troisième loi du mouvement de Newton pourrait être écrit : « Dans un système fermé , aucun couple ne peut être exercé sur une matière sans l'effort sur une autre matière d'un couple égal et opposé. » Par conséquent, le moment cinétique peut être échangé entre des objets dans un système fermé, mais le moment cinétique total avant et après un échange reste constant (est conservé).

Vu d'une autre manière, un analogue rotationnel de la première loi du mouvement de Newton pourrait s'écrire : "Un corps rigide continue dans un état de rotation uniforme à moins qu'il ne soit agi par une influence externe." Ainsi, sans influence extérieure pour agir sur lui, le moment angulaire d'origine du système reste constant .

La conservation du moment cinétique est utilisée dans l'analyse du mouvement de la force centrale . Si la force nette sur un corps est toujours dirigée vers un point, le centre , alors il n'y a pas de couple sur le corps par rapport au centre, car toute la force est dirigée le long du rayon vecteur , et aucun n'est perpendiculaire au rayon . Mathématiquement, couple car dans ce cas et sont des vecteurs parallèles. Par conséquent, le moment angulaire du corps autour du centre est constant. C'est le cas de l'attraction gravitationnelle dans les orbites des planètes et des satellites , où la force gravitationnelle est toujours dirigée vers le corps primaire et les corps en orbite conservent le moment angulaire en échangeant la distance et la vitesse lorsqu'ils se déplacent autour du primaire. Le mouvement de la force centrale est également utilisé dans l'analyse du modèle de Bohr de l' atome .

Pour une planète, le moment angulaire est réparti entre le spin de la planète et sa révolution sur son orbite, et ceux-ci sont souvent échangés par divers mécanismes. La conservation du moment angulaire dans le système Terre-Lune entraîne le transfert du moment angulaire de la Terre à la Lune, en raison du couple de marée que la Lune exerce sur la Terre. Cela entraîne à son tour un ralentissement du taux de rotation de la Terre, à environ 65,7 nanosecondes par jour, et une augmentation progressive du rayon de l'orbite de la Lune, à environ 3,82 centimètres par an.

Le couple causé par les deux forces opposées F g et − F g provoque un changement du moment cinétique L dans la direction de ce couple (puisque le couple est la dérivée temporelle du moment cinétique). Cela provoque le haut de précession .

La conservation du moment angulaire explique l'accélération angulaire d'une patineuse lorsqu'elle rapproche ses bras et ses jambes de l'axe vertical de rotation. En rapprochant une partie de la masse de son corps de l'axe, elle diminue le moment d'inertie de son corps. Parce que le moment cinétique est le produit du moment d'inertie et de la vitesse angulaire , si le moment cinétique reste constant (est conservé), alors la vitesse angulaire (vitesse de rotation) du patineur doit augmenter.

Le même phénomène se traduit par une rotation extrêmement rapide des étoiles compactes (comme les naines blanches , les étoiles à neutrons et les trous noirs ) lorsqu'elles sont formées d'étoiles en rotation beaucoup plus grandes et plus lentes. La diminution de la taille d'un objet n fois entraîne une augmentation de sa vitesse angulaire par le facteur n 2 .

La conservation n'est pas toujours une explication complète de la dynamique d'un système mais est une contrainte clé. Par exemple, une toupie est soumise à un couple gravitationnel la faisant se pencher et changer le moment angulaire autour de l' axe de nutation , mais en négligeant le frottement au point de contact de rotation, elle a un moment angulaire conservé autour de son axe de rotation, et un autre autour de son axe de précession . De plus, dans tout système planétaire , les planètes, les étoiles, les comètes et les astéroïdes peuvent tous se déplacer de nombreuses manières compliquées, mais uniquement pour que le moment angulaire du système soit conservé.

Le théorème de Noether stipule que chaque loi de conservation est associée à une symétrie (invariant) de la physique sous-jacente. La symétrie associée à la conservation du moment cinétique est l' invariance rotationnelle . Le fait que la physique d'un système ne change pas s'il est tourné d'un angle quelconque autour d'un axe implique que le moment cinétique est conservé.

Relation avec la deuxième loi du mouvement de Newton

Alors que la conservation totale du moment cinétique peut être comprise séparément des lois du mouvement de Newton comme découlant du théorème de Noether dans les systèmes symétriques sous rotations, elle peut aussi être comprise simplement comme une méthode efficace de calcul des résultats qui peuvent également être autrement obtenus directement à partir de la seconde de Newton. la loi, ainsi que les lois régissant les forces de la nature (telles que la troisième loi de Newton, les équations de Maxwell et la force de Lorentz ). En effet, étant donné les conditions initiales de position et de vitesse pour chaque point, et les forces à une telle condition, on peut utiliser la deuxième loi de Newton pour calculer la dérivée seconde de la position, et la résolution de cela donne des informations complètes sur le développement du système physique avec temps. Notez, cependant, que ce n'est plus vrai en mécanique quantique , en raison de l'existence du spin des particules , qui est un moment angulaire qui ne peut pas être décrit par l'effet cumulatif des mouvements ponctuels dans l'espace.

À titre d'exemple, considérons la diminution du moment d'inertie , par exemple lorsqu'un patineur artistique tire dans ses mains, accélérant le mouvement circulaire. En termes de conservation du moment cinétique, on a, pour le moment cinétique L , le moment d'inertie I et la vitesse angulaire ω :

En utilisant cela, nous voyons que le changement nécessite une énergie de:

de sorte qu'une diminution du moment d'inertie nécessite d'investir de l'énergie.

Cela peut être comparé au travail effectué tel que calculé en utilisant les lois de Newton. Chaque point du corps en rotation accélère, à chaque instant, avec une accélération radiale de :

Observons un point de masse m , dont le vecteur position par rapport au centre du mouvement est parallèle à l'axe z à un instant donné, et se trouve à une distance z . La force centripète sur ce point, gardant le mouvement circulaire, est :

Ainsi le travail nécessaire pour déplacer ce point à une distance dz plus éloignée du centre du mouvement est :

Pour un corps non ponctuel, il faut intégrer sur cela, avec m remplacé par la densité de masse par unité z . Cela donne:

qui est exactement l'énergie nécessaire pour conserver le moment cinétique.

Notez que le calcul ci-dessus peut également être effectué par masse, en utilisant uniquement la cinématique . Ainsi, le phénomène du patineur artistique accélérant la vitesse tangentielle tout en tirant ses mains vers l'intérieur peut être compris comme suit en langage profane : les paumes du patineur ne se déplacent pas en ligne droite, elles accélèrent donc constamment vers l'intérieur, mais ne gagnent pas de vitesse supplémentaire car l'accélération se fait toujours lorsque leur mouvement vers l'intérieur est nul. Cependant, c'est différent lorsque l'on rapproche les paumes du corps : L'accélération due à la rotation augmente maintenant la vitesse ; mais du fait de la rotation, l'augmentation de la vitesse ne se traduit pas par une vitesse importante vers l'intérieur, mais par une augmentation de la vitesse de rotation.

Dans le formalisme lagrangien

En mécanique lagrangienne , le moment cinétique de rotation autour d'un axe donné est le moment conjugué de la coordonnée généralisée de l'angle autour du même axe. Par exemple, , le moment cinétique autour de l'axe z est :

où est le Lagrangien et est l'angle autour de l'axe z.

Notez que , la dérivée temporelle de l'angle, est la vitesse angulaire . Ordinairement, le Lagrangien dépend de la vitesse angulaire à travers l'énergie cinétique : Cette dernière peut s'écrire en séparant la vitesse de sa partie radiale et tangentielle, la partie tangentielle au plan xy, autour de l'axe z, étant égale à :

où l'indice i représente la i-ième corps, et m , v T et ω z support pour la masse, la vitesse tangentielle autour de l'axe z et la vitesse angulaire autour de cet axe, respectivement.

Pour un corps non ponctuel, de densité ρ , on a à la place :

où l'intégration s'étend sur la surface du corps, et I z est le moment d'inertie autour de l'axe z.

Ainsi, en supposant que l'énergie potentielle ne dépend pas de ω z (cette hypothèse peut échouer pour les systèmes électromagnétiques), nous avons le moment angulaire de la i-ième objet:

Nous avons jusqu'à présent fait pivoter chaque objet d'un angle distinct ; nous pouvons également définir un angle global θ z par lequel nous faisons tourner l'ensemble du système, faisant ainsi également tourner chaque objet autour de l'axe z, et avons le moment angulaire global :

Des équations d'Euler-Lagrange, il résulte alors que :

Puisque le lagrangien ne dépend des angles de l'objet que par le potentiel, nous avons :

qui est le couple sur le i-ème objet.

Supposons que le système est invariant aux rotations, de sorte que le potentiel est indépendante de une rotation d' ensemble de l'angle θ z (donc il peut dépendre des angles d'objets que par leurs différences, sous la forme ). On obtient donc pour le moment cinétique total :

Et ainsi le moment cinétique autour de l'axe z est conservé.

Cette analyse peut être répétée séparément pour chaque axe, donnant une conversation du vecteur moment angulaire. Cependant, les angles autour des trois axes ne peuvent pas être traités simultanément comme des coordonnées généralisées, car ils ne sont pas indépendants ; en particulier, deux angles par point suffisent à déterminer sa position. S'il est vrai que dans le cas d'un corps rigide, sa description complète nécessite, en plus de trois degrés de liberté en translation , également la spécification de trois degrés de liberté en rotation ; cependant ceux-ci ne peuvent pas être définis comme des rotations autour des axes cartésiens (voir angles d'Euler ). Cette mise en garde se reflète en mécanique quantique dans les relations de commutation non triviales des différentes composantes de l' opérateur de moment cinétique .

Dans le formalisme hamiltonien

De manière équivalente, en mécanique hamiltonienne, l'hamiltonien peut être décrit en fonction du moment cinétique. Comme précédemment, la partie de l'énergie cinétique liée à la rotation autour de l'axe z pour le i-ème objet est :

ce qui est analogue à la dépendance énergétique de la quantité de mouvement le long de l'axe z, .

Les équations de Hamilton relient l'angle autour de l'axe z à son moment conjugué, le moment angulaire autour du même axe :

La première équation donne

Et donc on obtient les mêmes résultats que dans le formalisme lagrangien.

Notez que pour combiner tous les axes ensemble, nous écrivons l'énergie cinétique comme:

p r est la quantité de mouvement dans la direction radiale, et le moment d'inertie est une matrice tridimensionnelle ; les lettres en gras représentent des vecteurs tridimensionnels.

Pour les corps ponctuels, nous avons :

Cette forme de la partie énergie cinétique de l'hamiltonien est utile dans l'analyse des problèmes potentiels centraux et se transforme facilement en un cadre de travail de la mécanique quantique (par exemple dans le problème de l' atome d'hydrogène ).

Moment angulaire en mécanique orbitale

Alors qu'en mécanique classique le langage du moment angulaire peut être remplacé par les lois du mouvement de Newton, il est particulièrement utile pour le mouvement à potentiel central tel que le mouvement planétaire dans le système solaire. Ainsi, l'orbite d'une planète dans le système solaire est définie par son énergie, son moment angulaire et les angles du grand axe de l'orbite par rapport à un repère.

En astrodynamique et mécanique céleste , un moment cinétique sans masse (ou par unité de masse ) est défini

appelé moment cinétique spécifique . Notez que la masse est souvent sans importance dans les calculs de mécanique orbitale, car le mouvement est défini par la gravité . Le corps principal du système est souvent tellement plus grand que tous les corps en mouvement autour de lui que les corps plus petits ont un effet gravitationnel négligeable sur lui ; il est en effet stationnaire. Tous les corps sont apparemment attirés par sa gravité de la même manière, quelle que soit leur masse, et donc tous se déplacent approximativement de la même manière dans les mêmes conditions.

Corps solides

Le moment angulaire est également un concept extrêmement utile pour décrire des corps rigides en rotation tels qu'un gyroscope ou une planète rocheuse. Pour une distribution de masse continu avec une densité fonction ρ ( r ), un différentiel élément de volume dV de vecteur position r dans la masse présente un élément de masse dm = ρ ( r ) dV . Par conséquent, le moment cinétique infinitésimal de cet élément est :

et l' intégration de ce différentiel sur le volume de la masse entière donne son moment cinétique total :

Dans la dérivation qui suit, des intégrales similaires à celle-ci peuvent remplacer les sommes pour le cas d'une masse continue.

Collection de particules

Le moment cinétique des particules i est la somme des produits croisés R × M V + r i × m i v i .

Pour une collection de particules en mouvement autour d'une origine arbitraire, il est instructif de développer l'équation du moment angulaire en résolvant leur mouvement en composants autour de leur propre centre de masse et autour de l'origine. Étant donné,

est la masse de la particule ,
est le vecteur position de la particule par rapport à l'origine,
est la vitesse de la particule par rapport à l'origine,
est le vecteur position du centre de masse par rapport à l'origine,
est la vitesse du centre de masse par rapport à l'origine,
est le vecteur position de la particule par rapport au centre de masse,
est la vitesse de la particule en fonction du centre de masse,

La masse totale des particules est simplement leur somme,

Le vecteur position du centre de masse est défini par,

Par inspection,

et

Le moment cinétique total de la collection de particules est la somme du moment cinétique de chaque particule,

    ( 1 )

En expansion ,

En expansion ,

On peut montrer que (voir encadré),

Prouve-le

qui, par la définition du centre de masse, est et de même pour

et

donc les deuxième et troisième termes disparaissent,

Le premier terme peut être réarrangé,

et le moment cinétique total pour la collection de particules est finalement,

    ( 2 )

Le premier terme est le moment cinétique du centre de masse par rapport à l'origine. Semblable à Particule unique , ci-dessous, c'est le moment cinétique d'une particule de masse M au centre de masse se déplaçant à la vitesse V . Le deuxième terme est le moment angulaire des particules en mouvement par rapport au centre de masse, similaire à Centre de masse fixe , ci-dessous. Le résultat est général : le mouvement des particules n'est pas limité à une rotation ou une révolution autour de l'origine ou du centre de masse. Les particules n'ont pas besoin d'être des masses individuelles, mais peuvent être des éléments d'une distribution continue, comme un corps solide.

Réorganiser l'équation ( 2 ) par identités vectorielles, multiplier les deux termes par "un", et regrouper de manière appropriée,

donne le moment cinétique total du système de particules en termes de moment d'inertie et de vitesse angulaire ,

    ( 3 )

Cas à particule unique

Dans le cas d'une seule particule se déplaçant autour de l'origine arbitraire,

et les équations ( 2 ) et ( 3 ) pour le moment cinétique total se réduisent à,

Cas d'un centre de masse fixe

Pour le cas du centre de masse fixe dans l'espace par rapport à l'origine,

et les équations ( 2 ) et ( 3 ) pour le moment cinétique total se réduisent à,

Moment angulaire en relativité générale

Le moment angulaire 3-en tant que bivecteur (élément plan) et vecteur axial , d'une particule de masse m de position 3 instantanée x et de 3-moment p .

Dans la physique théorique moderne (XXe siècle), le moment angulaire (n'incluant aucun moment angulaire intrinsèque - voir ci - dessous ) est décrit en utilisant un formalisme différent, au lieu d'un pseudovecteur classique . Dans ce formalisme, le moment cinétique est la charge de Noether de forme 2 associée à l'invariance rotationnelle. En conséquence, le moment cinétique n'est pas conservé pour les espaces - temps courbés généraux , à moins qu'il ne soit asymptotiquement invariant en rotation.

En mécanique classique, le moment cinétique d'une particule peut être réinterprété comme un élément plan :

dans laquelle le produit extérieur ∧ remplace le produit croisé × (ces produits ont des caractéristiques similaires mais ne sont pas équivalents). Cela a l'avantage d'une interprétation géométrique plus claire en tant qu'élément plan, défini à partir des vecteurs x et p , et l'expression est vraie dans n'importe quel nombre de dimensions (deux ou plus). En coordonnées cartésiennes :

ou de manière plus compacte en notation d'index :

La vitesse angulaire peut également être définie comme un tenseur antisymétrique du second ordre, de composantes ω ij . La relation entre les deux tenseurs antisymétriques est donnée par le moment d'inertie qui doit maintenant être un tenseur du quatrième ordre :

Encore une fois, cette équation en L et ω comme tenseurs est vrai dans un nombre quelconque de dimensions. Cette équation apparaît également dans l' algèbre géométrique formalisme, dans lequel L et ω sont bivecteurs, et le moment d'inertie est une correspondance entre eux.

En mécanique relativiste , le moment cinétique relativiste d'une particule s'exprime comme un tenseur antisymétrique du second ordre :

dans le langage des quatre vecteurs , à savoir les quatre positions X et les quatre impulsions P , et absorbe le L ci-dessus avec le mouvement du centre de masse de la particule.

Dans chacun des cas ci-dessus, pour un système de particules, le moment cinétique total est juste la somme des moments angulaires des particules individuelles, et le centre de masse est pour le système.

Moment angulaire en mécanique quantique

Le moment angulaire en mécanique quantique diffère à bien des égards profonds du moment angulaire en mécanique classique . En mécanique quantique relativiste , il diffère encore plus, dans lequel la définition relativiste ci-dessus devient un opérateur tensoriel.

Spin, orbital et moment angulaire total

Moments angulaires d'un objet classique .

La définition classique du moment cinétique peut être transférée à la mécanique quantique, en réinterprétant r comme l' opérateur de position quantique et p comme l' opérateur de moment quantique . L est alors un opérateur , spécifiquement appelé opérateur de moment angulaire orbital . Les composantes de l'opérateur de moment cinétique satisfont les relations de commutation de l'algèbre de Lie so(3). En effet, ces opérateurs sont précisément l'action infinitésimale du groupe de rotation sur l'espace quantique de Hilbert. (Voir aussi la discussion ci-dessous sur les opérateurs de moment cinétique en tant que générateurs de rotations.)

Cependant, en physique quantique, il existe un autre type de moment cinétique, appelé moment angulaire de spin , représenté par l'opérateur de spin S . Presque toutes les particules élémentaires ont un spin non nul. Le spin est souvent décrit comme une particule tournant littéralement autour d'un axe, mais c'est une image trompeuse et inexacte : le spin est une propriété intrinsèque d'une particule, sans rapport avec aucune sorte de mouvement dans l'espace et fondamentalement différent du moment angulaire orbital. Toutes les particules élémentaires ont un spin caractéristique (éventuellement zéro), par exemple les électrons ont un "spin 1/2" (cela signifie en fait "spin ħ /2"), les photons ont un "spin 1" (cela signifie en fait "spin ħ"), et les mésons pi ont un spin 0.

Enfin, il y a le moment angulaire total J , qui combine à la fois le spin et le moment angulaire orbital de toutes les particules et de tous les champs. (Pour une particule, J = L + S .) La conservation du moment cinétique s'applique à J , mais pas à L ou S ; par exemple, l' interaction spin-orbite permet au moment angulaire de se transférer entre L et S , le total restant constant. Les électrons et les photons n'ont pas besoin d'avoir des valeurs entières pour le moment angulaire total, mais peuvent également avoir des valeurs demi-entières.

Dans les molécules, le moment angulaire total F est la somme du moment angulaire rovibronique (orbital) N , du moment angulaire de spin électronique S et du moment angulaire de spin nucléaire I . Pour les états singulets électroniques, le moment angulaire rovibronique est noté J plutôt que N . Comme expliqué par Van Vleck, les composantes du moment angulaire rovibronique moléculaire référées à des axes fixes de molécules ont des relations de commutation différentes de celles des composantes autour d'axes fixes.

Quantification

En mécanique quantique , le moment cinétique est quantifié , c'est-à-dire qu'il ne peut pas varier en continu, mais uniquement par « sauts quantiques » entre certaines valeurs autorisées. Pour tout système, les restrictions suivantes sur les résultats de mesure s'appliquent, où est la constante de Planck réduite et est tout vecteur euclidien tel que x, y ou z :

Si vous mesurez ... Le résultat peut être...
ou
, où
ou , où
Dans cette onde stationnaire sur une corde circulaire, le cercle est divisé en exactement 8 longueurs d'onde . Une onde stationnaire comme celle-ci peut avoir 0,1,2 ou n'importe quel nombre entier de longueurs d'onde autour du cercle, mais elle ne peut pas avoir un nombre non entier de longueurs d'onde comme 8,3. En mécanique quantique, le moment angulaire est quantifié pour une raison similaire.

(Il existe également des restrictions supplémentaires, voir l' opérateur de moment angulaire pour plus de détails.)

La constante de Planck réduite est minuscule par rapport aux normes de tous les jours, environ 10 -34 J s , et donc cette quantification n'affecte pas sensiblement le moment angulaire des objets macroscopiques. Cependant, il est très important dans le monde microscopique. Par exemple, la structure des couches et sous-couches électroniques en chimie est considérablement affectée par la quantification du moment angulaire.

La quantification du moment angulaire a été postulée pour la première fois par Niels Bohr dans son modèle de Bohr de l'atome et a ensuite été prédite par Erwin Schrödinger dans son équation de Schrödinger .

Incertitude

Dans la définition , six opérateurs sont impliqués : Les opérateurs de position , , , et les opérateurs de quantité de mouvement , , . Cependant, le principe d'incertitude de Heisenberg nous dit qu'il n'est pas possible que ces six quantités soient connues simultanément avec une précision arbitraire. Par conséquent, il y a des limites à ce qui peut être connu ou mesuré sur le moment angulaire d'une particule. Il s'avère que le mieux que l'on puisse faire est de mesurer simultanément à la fois la magnitude du vecteur de moment angulaire et sa composante le long d'un axe.

L'incertitude est étroitement liée au fait que les différentes composantes d'un opérateur de moment cinétique ne commutent pas , par exemple . (Pour les relations de commutation précises , voir opérateur de moment cinétique .)

Moment cinétique total comme générateur de rotations

Comme mentionné ci-dessus, le moment cinétique orbital L est défini comme en mécanique classique : , mais le moment cinétique total J est défini d'une manière différente, plus basique : J est défini comme le « générateur de rotations ». Plus précisément, J est défini de telle sorte que l'opérateur

est l' opérateur de rotation qui prend n'importe quel système et le fait pivoter d'un angle autour de l'axe . (L'"exp" dans la formule fait référence à l' opérateur exponentiel ) En d'autres termes, quel que soit notre espace quantique de Hilbert, nous nous attendons à ce que le groupe de rotation SO(3) agisse sur lui. Il y a alors une action associée de l'algèbre de Lie so(3) de SO(3) ; les opérateurs décrivant l'action de so(3) sur notre espace de Hilbert sont les opérateurs de moment cinétique (total).

La relation entre l'opérateur de moment angulaire et les opérateurs de rotation est la même que la relation entre les algèbres de Lie et les groupes de Lie en mathématiques. La relation étroite entre le moment cinétique et les rotations se reflète dans le théorème de Noether qui prouve que le moment cinétique est conservé chaque fois que les lois de la physique sont invariantes en rotation.

Moment angulaire en électrodynamique

Lors de la description du mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique , la quantité de mouvement canonique P (dérivé du lagrangien pour ce système) n'est pas invariant de jauge . En conséquence, le moment cinétique canonique L = r × P n'est pas non plus invariant de jauge. Au lieu de cela, l'élan qui est physique, le soi-disant élan cinétique (utilisé tout au long de cet article), est (en unités SI )

e est la charge électrique de la particule et A le potentiel vecteur magnétique du champ électromagnétique. Le moment cinétique invariant de jauge , c'est-à-dire le moment cinétique , est donné par

L'interaction avec la mécanique quantique est discutée plus loin dans l'article sur les relations de commutation canoniques .

Moment angulaire en optique

Dans l'électrodynamique classique de Maxwell, le vecteur de Poynting est une densité de quantité de mouvement linéaire du champ électromagnétique.

Le vecteur densité de moment cinétique est donné par un produit vectoriel comme en mécanique classique :

Les identités ci - dessus sont valables localement , c'est - à - dire en chaque point de l' espace à un instant donné .

Histoire

Newton , dans les Principia , a fait allusion au moment angulaire dans ses exemples de la première loi du mouvement ,

Une toupie, dont les parties par leur cohésion sont perpétuellement écartées des mouvements rectilignes, ne cesse sa rotation que parce qu'elle est retardée par l'air. Les plus grands corps des planètes et des comètes, rencontrant moins de résistance dans des espaces plus libres, conservent leurs mouvements à la fois progressifs et circulaires beaucoup plus longtemps.

Il n'a pas étudié davantage le moment angulaire directement dans les Principia ,

De ce genre de réflexions naissent aussi parfois les mouvements circulaires des corps autour de leurs propres centres. Mais ce sont des cas que je ne considère pas dans ce qui suit ; et il serait trop fastidieux de démontrer tout ce qui se rapporte à ce sujet.

Cependant, sa preuve géométrique de la loi des aires est un exemple remarquable du génie de Newton, et prouve indirectement la conservation du moment angulaire dans le cas d'une force centrale .

La loi des aires

Dérivation de Newton

Dérivation de Newton de la loi des aires à l'aide de moyennes géométriques.

Lorsqu'une planète tourne autour du Soleil , la ligne entre le Soleil et la planète balaie des zones égales à des intervalles de temps égaux. Cela était connu depuis que Kepler a exposé sa deuxième loi du mouvement planétaire . Newton a tiré une preuve géométrique unique et a ensuite montré que la force d'attraction de la gravité du Soleil était la cause de toutes les lois de Kepler.

Pendant le premier intervalle de temps, un objet est en mouvement du point A au point B . Sans être dérangé, il continuerait à pointer c pendant le deuxième intervalle. Lorsque l'objet arrive en B , il reçoit une impulsion dirigée vers le point S . L'impulsion lui donne une petite vitesse ajoutée vers S , de sorte que si c'était sa seule vitesse, il se déplacerait de B à V pendant le deuxième intervalle. Par les règles de composition en vitesse , ces deux vitesses s'additionnent, et le point C est trouvé par construction du parallélogramme BcCV . Ainsi, la trajectoire de l'objet est déviée par l'impulsion de sorte qu'il arrive au point C à la fin du deuxième intervalle. Parce que les triangles SBc et SBC ont la même base SB et la même hauteur Bc ou VC , ils ont la même aire. Par symétrie, le triangle SBc a également la même aire que le triangle SAB , donc l'objet a balayé des aires égales SAB et SBC en des temps égaux.

Au point C , l' objet reçoit une autre impulsion vers S , déviant à nouveau sa trajectoire pendant le troisième intervalle de d à D . Il continue ainsi vers E et au-delà, les triangles SAB , SBc , SBC , SCd , SCD , SDe , SDE ayant tous la même aire. Autorisant les intervalles de temps à devenir de plus en plus petits, le chemin ABCDE se rapproche indéfiniment d'une courbe continue.

Notez que parce que cette dérivation est géométrique et qu'aucune force spécifique n'est appliquée, elle prouve une loi plus générale que la deuxième loi de Kepler sur le mouvement planétaire. Il montre que la loi des aires s'applique à toute force centrale, attractive ou répulsive, continue ou non continue, ou nulle.

Conservation du moment cinétique dans la loi des aires

La proportionnalité du moment angulaire à la surface balayée par un objet en mouvement peut être comprise en se rendant compte que les bases des triangles, c'est-à-dire les lignes de S à l'objet, sont équivalentes au rayon r , et que les hauteurs des triangles sont proportionnelles à la composante perpendiculaire de la vitesse v . Par conséquent, si l'aire balayée par unité de temps est constante, alors par la formule de l'aire triangulaire 1/2(base) (hauteur) , le produit (base) (hauteur) et donc le produit vr sont constantes: si r et la longueur de base sont réduites, v et la hauteur doit augmenter proportionnellement. La masse est constante, donc le moment angulaire RMV est conservée par cet échange de la distance et de la vitesse.

Dans le cas du triangle SBC , l'aire est égale à1/2( SB )( VC ). Chaque fois que C est finalement situé en raison de l'impulsion appliquée à B , le produit ( SB ) ( VC ), et donc RMV restent constantes. De même pour chacun des triangles.

Après Newton

Leonhard Euler , Daniel Bernoulli et Patrick d'Arcy ont tous compris le moment angulaire en termes de conservation de la vitesse surfacique , résultat de leur analyse de la deuxième loi de Kepler sur le mouvement planétaire. Il est peu probable qu'ils aient réalisé les implications pour la matière rotative ordinaire.

En 1736, Euler, comme Newton, aborda certaines des équations du moment cinétique dans sa Mechanica sans les développer davantage.

Bernoulli a écrit dans une lettre de 1744 d'un "moment de mouvement de rotation", peut-être la première conception du moment angulaire tel que nous le comprenons maintenant.

En 1799, Pierre-Simon Laplace réalisa pour la première fois qu'un plan fixe était associé à la rotation, son plan invariable .

Louis Poinsot en 1803 a commencé à représenter les rotations comme un segment de droite perpendiculaire à la rotation, et a élaboré sur la "conservation des moments".

En 1852, Léon Foucault a utilisé un gyroscope dans une expérience pour afficher la rotation de la Terre.

Le manuel de mécanique appliquée de William JM Rankine de 1858 définissait pour la première fois le moment angulaire au sens moderne :

...une ligne dont la longueur est proportionnelle à la grandeur du moment cinétique, et dont la direction est perpendiculaire au plan de mouvement du corps et du point fixe, et telle, que lorsque le mouvement du corps est vu du extrémité de la ligne, le rayon-vecteur du corps semble avoir une rotation à droite.

Dans une édition de 1872 du même livre, Rankine a déclaré que "Le terme moment angulaire a été introduit par M. Hayward", se référant probablement à l'article de RB Hayward sur une méthode directe d'estimation des vitesses, des accélérations et de toutes les quantités similaires par rapport aux axes mobiles. de quelque manière que ce soit dans Space with Applications, qui a été introduit en 1856 et publié en 1864. Rankine s'est trompé, car de nombreuses publications présentent le terme à partir de la fin du 18e au début du 19e siècle. Cependant, l'article de Hayward était apparemment la première utilisation du terme et du concept vu par une grande partie du monde anglophone. Avant cela, le moment angulaire était généralement appelé "moment de rotation" en anglais.

Voir également

Notes de bas de page

Les références

Liens externes