Argument (analyse complexe) - Argument (complex analysis)

Figure 1. Ce diagramme d'Argand représente le nombre complexe se trouvant sur un plan . Pour chaque point du plan, arg est la fonction qui renvoie l'angle .

En mathématiques (en particulier en analyse complexe ), l' argument d'un nombre complexe z , noté arg( z ), est l' angle entre l' axe réel positif et la ligne joignant l'origine et z , représenté comme un point dans le plan complexe , montré comme dans la figure 1. Il s'agit d'une fonction multivaluée opérant sur les nombres complexes non nuls . Pour définir une fonction à valeur unique, la valeur principale de l'argument (parfois notée Arg z ) est utilisée. Il est souvent choisi pour être la valeur unique de l'argument qui se trouve dans l'intervalle (− π , π ] .

Définition

Figure 2. Deux choix pour l'argument

Un argument du nombre complexe z = x + iy , noté arg( z ) , est défini de deux manières équivalentes :

  1. Géométriquement, dans le plan complexe , comme l' angle polaire 2D de l'axe réel positif au vecteur représentant z . La valeur numérique est donnée par l'angle en radians et est positive si elle est mesurée dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
  2. Algébriquement, comme toute quantité réelle telle que
    pour un certain r réel positif (voir la formule d'Euler ). La quantité r est le module (ou valeur absolue) de z , noté | z |:

Les noms magnitude , pour le module, et phase , pour l'argument, sont parfois utilisés de manière équivalente.

Sous les deux définitions, on peut voir que l'argument de tout nombre complexe non nul a de nombreuses valeurs possibles : premièrement, en tant qu'angle géométrique, il est clair que les rotations du cercle entier ne changent pas le point, donc les angles différant par un multiple entier de radians (un cercle complet) sont les mêmes, comme le montre la figure 2 à droite. De même, à partir de la périodicité de sin et cos , la deuxième définition a également cette propriété. L'argument de zéro est généralement laissé indéfini.

Valeur principale

Figure 3. La valeur principale Arg du point bleu à 1 + i est π/4 . La ligne rouge ici est la branche coupée et correspond aux deux lignes rouges de la figure 4 vues verticalement l'une au-dessus de l'autre).

Parce qu'une rotation complète autour de l'origine laisse un nombre complexe inchangé, il existe de nombreux choix qui pourraient être faits en encerclant l'origine un certain nombre de fois. Ceci est montré dans la figure 2, une représentation de la fonction à valeurs multiples ( valeur définie) , où une ligne verticale (non montrée sur la figure) coupe la surface à des hauteurs représentant tous les choix possibles d'angle pour ce point.

Lorsqu'une fonction bien définie est requise, alors le choix habituel, appelé valeur principale , est la valeur dans l' intervalle ouvert-fermé (− π rad, π rad] , c'est-à-dire de π à π radians , excluant π rad lui-même (équivalent, de -180 à +180 degrés , à l'exclusion de -180° lui-même) Cela représente un angle allant jusqu'à un demi-cercle complet à partir de l'axe réel positif dans l'une ou l'autre direction.

Certains auteurs définissent la plage de la valeur principale comme étant dans l'intervalle fermé-ouvert [0, 2 π ) .

Notation

La valeur principale a parfois la lettre initiale en majuscule, comme dans Arg z , en particulier lorsqu'une version générale de l'argument est également considérée. Notez que la notation varie, donc arg et Arg peuvent être intervertis dans des textes différents.

L'ensemble de toutes les valeurs possibles de l'argument peut être écrit en termes d' Arg comme :

de même

Calcul à partir de la partie réelle et imaginaire

Si un nombre complexe est connu en termes de parties réelle et imaginaire, alors la fonction qui calcule la valeur principale Arg est appelée la fonction arctangente à deux arguments atan2 :

.

La fonction atan2 (également appelée arctan2 ou d'autres synonymes) est disponible dans les bibliothèques mathématiques de nombreux langages de programmation et renvoie généralement une valeur comprise entre (−π, π] .

De nombreux textes disent que la valeur est donnée par arctan( y / x ) , car y / x est la pente, et arctan convertit la pente en angle. Cela est vrai que lorsque x > 0 , donc le quotient est défini et l'angle est compris entre - π / 2 et π / 2 , mais étendre cette définition aux cas où x est pas positif est relativement impliqué. Concrètement, on peut définir séparément la valeur principale de l'argument sur les deux demi-plans x > 0 et x < 0 (séparés en deux quadrants si l'on souhaite une branche coupée sur l' axe x négatif), y > 0 , y < 0 , puis patcher ensemble.

Une expression compacte avec 4 demi-plans superposés est

Pour la variante où Arg est défini comme se trouvant dans l'intervalle [0, 2π) , la valeur peut être trouvée en ajoutant à la valeur ci-dessus lorsqu'elle est négative.

Alternativement, la valeur principale peut être calculée de manière uniforme en utilisant la formule du demi-angle tangent , la fonction étant définie sur le plan complexe mais excluant l'origine :

Ceci est basé sur une paramétrisation du cercle (à l'exception de l' axe x négatif) par des fonctions rationnelles. Cette version d' Arg n'est pas assez stable pour une utilisation en calcul en virgule flottante (car elle peut déborder près de la région x < 0, y = 0 ), mais peut être utilisée dans le calcul symbolique .

Une variante de la dernière formule qui évite les débordements est parfois utilisée dans les calculs de haute précision :

Identités

L'une des principales motivations pour définir la valeur principale Arg est de pouvoir écrire des nombres complexes sous forme de module-argument. Donc pour tout nombre complexe z ,

Ceci n'est vraiment valable que si z est différent de zéro, mais peut être considéré comme valable pour z = 0 si Arg(0) est considéré comme une forme indéterminée plutôt que comme étant indéfinie.

D'autres identités suivent. Si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes non nuls, alors

Si z ≠ 0 et n est un nombre entier, alors

Exemple

Utilisation du logarithme complexe

De , il s'ensuit facilement que . Ceci est utile lorsque l'on dispose du logarithme complexe .

Argument étendu

L'argument étendu d'un nombre z (noté ) est l'ensemble de tous les nombres réels congrus à modulo 2 .

Les références

Bibliographie

  • Ahlfors, Lars (1979). Analyse complexe : une introduction à la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe (3e éd.). New York ; Londres : McGraw-Hill. ISBN 0-07-000657-1.
  • Ponnuswamy, S. (2005). Fondements de l'analyse complexe (2e éd.). New Delhi ; Mumbai : Narosa. ISBN 978-81-7319-629-4.
  • Beardon, Alain (1979). Analyse complexe : le principe de l'argument dans l'analyse et la topologie . Chichester : Wiley. ISBN 0-471-99671-8.
  • Borowski, Éphraïm ; Borwein, Jonathan (2002) [1ère éd. 1989 comme Dictionnaire des Mathématiques ]. Mathématiques . Dictionnaire Collins (2e éd.). Glasgow : HarperCollins . ISBN 0-00-710295-X.

Liens externes