Atlas (topologie) - Atlas (topology)

En mathématiques , particulièrement en topologie , on décrit une variété à l' aide d'un atlas . Un atlas se compose de graphiques individuels qui, grosso modo, décrivent des régions individuelles de la variété. Si le collecteur est la surface de la Terre, alors un atlas a sa signification la plus courante. En général, la notion d'atlas sous-tend la définition formelle d'une variété et des structures associées telles que les fibrés vectoriels et autres fibrés .

Graphiques

La définition d'un atlas dépend de la notion de carte . Un diagramme d'un espace topologique M (également appelé de coordonnées graphique , de coordonnées pièce , coordonnée carte ou repère local ) est un homéomorphisme d'une partie ouverte en U de M à une partie ouverte d'un espace euclidien . Le graphique est traditionnellement enregistré comme la paire ordonnée .

Définition formelle de l'atlas

Un atlas pour un espace topologique est une famille indexée de cartes sur laquelle se couvre (c'est-à-dire ). Si le codomaine de chaque carte est l' espace euclidien à n dimensions , alors on dit qu'il s'agit d'une variété à n dimensions .

Le pluriel d'atlas est atlas , bien que certains auteurs utilisent atlantes .

Un atlas sur une variété de dimension est appelé un atlas adéquat si l' image de chaque carte est soit ou , est une couverture ouverte localement finie de , et , où est la boule ouverte de rayon 1 centrée à l'origine et est le demi-espace fermé . Chaque seconde variété dénombrable admet un atlas adéquat. De plus, si est une couverture ouverte de la deuxième variété dénombrable alors il existe un atlas adéquat sur tel qui est un raffinement de .

Cartes de transition

Deux cartes sur une variété, et leur carte de transition respective

Une carte de transition permet de comparer deux cartes d'un atlas. Pour faire cette comparaison, nous considérons la composition d'un graphique avec l' inverse de l'autre. Cette composition n'est pas bien définie à moins de restreindre les deux cartes à l' intersection de leurs domaines de définition. (Par exemple, si nous avons une carte de l'Europe et une carte de la Russie, alors nous pouvons comparer ces deux cartes sur leur chevauchement, à savoir la partie européenne de la Russie.)

Pour être plus précis, supposons que et sont deux tableaux pour un collecteur M tel que est non vide . La carte de transition est la carte définie par

Notez que puisque et sont tous deux des homéomorphismes, la carte de transition est également un homéomorphisme.

Plus de structure

On désire souvent plus de structure sur une variété que simplement la structure topologique. Par exemple, si l'on veut une notion non ambiguë de dérivation de fonctions sur une variété, alors il faut construire un atlas dont les fonctions de transition sont dérivables . Une telle variété est appelée différentiable . Etant donné une variété dérivable, on peut définir sans ambiguïté la notion de vecteurs tangents puis de dérivées directionnelles .

Si chaque fonction de transition est une application lisse , alors l'atlas est appelé un atlas lisse et la variété elle-même est appelée lisse . Alternativement, on pourrait exiger que les cartes de transition n'aient que k dérivées continues, auquel cas l'atlas est dit .

Très généralement, si chaque fonction de transition appartient à un pseudo-groupe d'homéomorphismes de l'espace euclidien, alors l'atlas est appelé un -atlas. Si les cartes de transition entre les cartes d'un atlas conservent une banalisation locale , alors l'atlas définit la structure d'un faisceau de fibres.

Voir également

Les références

  • Lee, John M. (2006). Introduction aux collecteurs lisses . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
  • Sepanski, Mark R. (2007). Groupes de mensonges compacts . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
  • Husemoller, D (1994), Faisceaux de fibres , Springer, Chapitre 5 "Description des coordonnées locales des faisceaux de fibres".

Liens externes