Théorème de Banach–Alaoglu - Banach–Alaoglu theorem

Dans l'analyse fonctionnelle et les branches connexes des mathématiques , le théorème de Banach-Alaoglu (également connu sous le nom de théorème d'Alaoglu ) stipule que la boule unité fermée de l' espace dual d'un espace vectoriel normé est compacte dans la topologie faible* . Une preuve commune identifie la boule unité avec la topologie faible-* comme un sous-ensemble fermé d'un produit d'ensembles compacts avec la topologie produit . En conséquence du théorème de Tychonoff , ce produit, et donc la boule unité à l'intérieur, est compact.

Ce théorème trouve des applications en physique lorsqu'on décrit l'ensemble des états d'une algèbre d'observables, à savoir que tout état peut s'écrire comme une combinaison linéaire convexe d'états dits purs.

Histoire

Selon Lawrence Narici et Edward Beckenstein, le théorème d'Alaoglu est un "résultat très important - peut-être le fait le plus important concernant la topologie faible-* - [qui] résonne tout au long de l'analyse fonctionnelle". En 1912, Helly prouva que la boule unité de l'espace dual continu de est comptablement faible-* compacte. En 1932, Stefan Banach a prouvé que la boule unité fermée dans l'espace dual continu de tout espace normé séparable est séquentiellement faible-* compacte (Banach n'a considéré que la compacité séquentielle ). La preuve pour le cas général a été publiée en 1940 par le mathématicien Leonidas Alaoglu . Selon Pietsch [2007], il y a au moins 12 mathématiciens qui peuvent revendiquer ce théorème ou un prédécesseur important de celui-ci.

Le théorème de Bourbaki-Alaoglu est une généralisation du théorème original de Bourbaki aux topologies duales sur des espaces localement convexes . Ce théorème est aussi appelé théorème de Banach-Alaoglu ou théorème de compacité faible-* et il est communément appelé simplement théorème d'Alaoglu

Déclaration

Si est un espace vectoriel sur le corps alors on notera l' espace algébrique dual de et ces deux espaces sont désormais associés à l' application d'évaluation bilinéaire définie par

où le triple forme un système dual appelé système dual canonique .

Si est un

espace vectoriel topologique (TVS), alors son espace dual continu sera noté par where toujours. Désignons la topologie faiblesse de * sur par et représentent la topologie faiblesse * sur par la topologie faiblesse de * est également appelée la topologie de la convergence simple car étant donné une carte et un filet de cartes le net converge vers dans cette topologie si et seulement si pour tout point du domaine, le réseau des valeurs converge vers la valeur

Théorème Alaoglu  -  Pour tout espace vectoriel topologique (TVS) ( pas nécessairement Hausdorff ou localement convexe ) avec espace dual continu la polaire

de tout voisinage d'origine dans est compact dans la topologie faible-* sur De plus, est égal à la polaire de par rapport au système canonique et c'est aussi un sous-ensemble compact de

Preuve impliquant la théorie de la dualité

Preuve  —

On note par le champ sous - jacent par qui est soit les nombres réels ou des nombres complexes Cette preuve utilisera certaines des propriétés de base qui sont répertoriés dans les articles: ensemble polaire , double système et opérateur linéaire continu .

Pour commencer la preuve, quelques définitions et résultats facilement vérifiables sont rappelés. Quand est doté de la topologie faible-* alors cet espace vectoriel topologique localement convexe de Hausdorff est noté L'espace est toujours un TVS complet ; cependant, peut ne pas être un espace complet, ce qui est la raison pour laquelle cette preuve implique l'espace Plus précisément, cette preuve utilisera le fait qu'un sous-ensemble d'un espace de Hausdorff complet est compact si (et seulement si) il est fermé et totalement borné . Fait important, la topologie du sous - espace qui hérite de est égal à ce qui peut être vérifié facilement en montrant que , étant donné tout un filet en convergeant vers l'un de ces topologies si et seulement si elle aussi converge vers l'autre topologie (la conclusion suivante parce que deux topologies sont égaux si et seulement si ils ont exactement les mêmes réseaux convergents).

Le triple est un double appariement bien que contrairement à ce qu'il soit en général, il n'est pas garanti qu'il s'agisse d'un système double. Tout au long, sauf indication contraire, tous les ensembles polaires seront pris par rapport à l' appariement canonique

Soit un voisinage de l'origine dans et soit :

  • être la polaire de par rapport à l'appariement canonique ;
  • être le bipolaire de par rapport à ;
  • être le polaire de par rapport au système canonique dual

Un fait bien connu des polaires d'ensembles est que

  1. Montrer qu'il s'agit d'un sous-ensemble fermé de Let et supposer qu'il s'agit d'un réseau dans qui converge vers dans Pour conclure qu'il suffit (et nécessaire) de montrer que pour chaque Parce que dans le champ scalaire et chaque valeur appartient au fermé (dans ) sous-ensemble , la limite de ce réseau doit également appartenir à cet ensemble. Ainsi
  2. Montrez cela et concluez que c'est un sous-ensemble fermé des deux et L'inclusion est vraie parce que chaque fonctionnelle linéaire continue est (en particulier) une fonctionnelle linéaire. Pour l'inclusion inverse soit celle qui énonce exactement que la fonctionnelle linéaire est bornée au voisinage ; est donc une fonctionnelle linéaire continue (c'est-à-dire ) et ainsi de suite. L'utilisation de (1) et le fait que l'intersection est fermée dans la topologie du sous-espace sur la revendication d' être fermée suit.
  3. Montrer que est un sous - ensemble totalement borné de Par le théorème bipolaire , où parce que le voisinage est un sous - ensemble absorbant du même doit être vrai de l' ensemble ; il est possible de prouver que cela implique que est un sous - ensemble borné de Parce que distingue les points d' un sous - ensemble de est - borné si et seulement s'il est - totalement borné . Donc en particulier, est aussi -totalement borné.
  4. Conclure qu'il s'agit également d'un sous-ensemble -totalement borné de Rappelons que la topologie sur est identique à la topologie du sous-espace qui hérite de Ce fait, avec (3) et la définition de "totalement borné", implique qu'il s'agit d'un sous-ensemble -totalement borné de
  5. Enfin, déduire que est un sous - ensemble de -Compact Parce est un TVS complet et est fermé (en (2)) et totalement délimité (par (4)) de sous - ensemble , il en résulte que est compact. CQFD

Si est un

espace vectoriel normé , alors la polaire d'un voisinage est fermée et normée dans l'espace dual. En particulier, si est la boule unité ouverte (ou fermée) dans alors la polaire de est la boule unité fermée dans l'espace dual continu de (avec la norme double habituelle ). Par conséquent, ce théorème peut être spécialisé en :

Théorème de Banach–Alaoglu  —  Si est un espace normé alors la boule unité fermée dans l'espace dual continu (doté de sa norme d'opérateur habituelle ) est compacte par rapport à la topologie faible-* .

Lorsque l'espace dual continu de est un espace normé de dimension infinie, il est alors

impossible que la boule unitaire fermée soit un sous-ensemble compact lorsqu'elle a sa topologie de norme habituelle. En effet, la boule unité dans la topologie normale est compacte si et seulement si l'espace est de dimension finie (cf. théorème de F. Riesz ). Ce théorème est un exemple de l'utilité d'avoir des topologies différentes sur le même espace vectoriel.

Il convient de noter que malgré les apparences, le théorème de Banach-Alaoglu n'implique pas que la topologie faible-* est localement compacte . En effet, la boule unité fermée n'est qu'un voisinage de l'origine dans la topologie forte , mais n'est généralement pas un voisinage de l'origine dans la topologie faible-*, car elle a un intérieur vide dans la topologie faible*, à moins que l'espace ne soit de dimension finie. En fait, c'est un résultat de Weil que tous les espaces vectoriels topologiques de

Hausdorff localement compacts doivent être de dimension finie.

Preuve élémentaire

La preuve suivante n'implique que des concepts élémentaires de la théorie des ensembles, de la topologie et de l'analyse fonctionnelle. En particulier, la topologie a besoin d'une connaissance pratique des réseaux dans les espaces topologiques , de la topologie du produit et de leur relation avec la convergence ponctuelle (quelques détails de cette relation sont donnés dans la preuve). La connaissance du fait qu'une fonctionnelle linéaire est continue si et seulement si elle est bornée sur un voisinage de l'origine est également nécessaire (ceci est décrit dans l'article sur les fonctionnelles sublinéaires ).

Preuve  —

On note par le champ sous - jacent par lequel est soit les nombres réels ou des nombres complexes Pour tout réel let

désigne la boule fermée de rayon à l'origine dans laquelle se trouve un sous - ensemble compact et fermé de

Parce qu'un voisinage de l'origine est aussi un

sous - ensemble absorbant de donc pour tout il existe un nombre réel tel que Soit
dénoter la polaire de par rapport au système canonique dual Comme on le montre maintenant, cet ensemble polaire est le même que la polaire de par rapport à

Preuve que L'inclusion est vraie car toute fonctionnelle linéaire continue est (en particulier) une fonctionnelle linéaire. Pour l'inclusion inverse soit celle qui énonce exactement que la fonctionnelle linéaire est bornée au voisinage ; est donc une

fonctionnelle linéaire continue (c'est-à-dire ) et ainsi de suite. CQFD

La suite de cette preuve nécessite une bonne compréhension de la manière dont le produit cartésien est identifié comme l'espace de toutes les fonctions de la forme. Une explication est maintenant donnée aux lecteurs intéressés.

Première sur l'identification des fonctions avec des tuples

Le produit cartésien est généralement considéré comme l'ensemble de tous les tuples indexés mais, comme il est maintenant décrit, il peut également être identifié avec l'espace de toutes les fonctions ayant un prototype

  • Function Tuple : Une fonction appartenant à est identifiée par son ( -indexé) " tuple de valeurs "
  • Fonction Tuple : Un tuple in est identifié avec la fonction définie par ; le "tuple de valeurs" de cette fonction est le tuple d'origine

C'est la raison pour laquelle de nombreux auteurs écrivent, souvent sans commentaire, l'égalité

et pourquoi le produit cartésien est parfois pris comme définition de l'ensemble des cartes Cependant, le produit cartésien, étant le produit (catégorique) dans la catégorie des ensembles (qui est une sorte de limite inverse ), est également équipé de cartes associées qui sont connus comme ses projections (coordonnées) .

La projection canonique du produit cartésien à un moment donné est la fonction

où sous l'identification ci-dessus, envoie une fonction à
En termes simples, pour un point et une fonction, « se brancher sur » est la même chose que « se brancher sur ».
Topologie

L'ensemble est supposé doté de la

topologie du produit . Il est bien connu que la topologie du produit est identique à la topologie de la convergence ponctuelle . En effet, étant donné et un réseau où et tout est un élément de alors le réseau converge dans la topologie du produit si et seulement si
pour tout le réseau converge dans

où et

Ainsi converge vers dans la topologie du produit si et seulement si elle converge vers un point sur

On utilisera également dans cette preuve le fait que la topologie de la convergence ponctuelle est préservée lors du passage aux sous-espaces topologiques . Cela signifie, par exemple, que si pour chaque est un sous

-espace (topologique) de alors la topologie de la convergence ponctuelle (ou de manière équivalente, la topologie du produit) sur est égale à la topologie du sous - espace dont l'ensemble hérite de

Ayant établi que pour réduire l'encombrement des symboles, cet ensemble olaire sera noté par

à moins qu'on ne tente d'attirer l'attention sur la définition ou

La preuve du théorème sera complète une fois les affirmations suivantes vérifiées :

  1. est un sous-ensemble fermé de
    • Ici est doté de la topologie de convergence ponctuelle, qui est identique à la
topologie produit .
    • désigne la boule fermée de rayon centrée en For each a été définie au début de cette preuve comme
  • tout réel qui satisfait (donc en particulier, est un choix valide pour chaque ).

    Ces déclarations impliquent qu'il s'agit d'un sous-ensemble fermé de l' endroit où cet

    espace produit est compact par le théorème de Tychonoff (car chaque boule fermée est un espace compact). Parce qu'un sous-ensemble fermé d'un espace compact est compact, il s'ensuit qu'il est compact, ce qui est la principale conclusion du théorème de Banach-Alaoglu.

    Preuve de (1) :

    L'espace dual algébrique est toujours un sous-ensemble fermé de (ceci est prouvé dans le lemme ci-dessous pour les lecteurs qui ne sont pas familiers avec ce résultat). Pour prouver qu'il est clos, il suffit de montrer que l'ensemble défini par

    est un sous - ensemble fermé de car alors est une intersection de deux sous - ensembles fermés de Let et supposons que est un filet qui converge vers dans Conclure il suffit (et nécessaire) pour montrer que pour tout (ou équivalent, que ). Parce que dans le champ scalaire et chaque valeur appartient au sous-ensemble fermé (dans ), la limite de ce réseau doit également appartenir à cet ensemble fermé. Ce qui achève donc la preuve de (1). CQFD

    En remarque, cette preuve peut être généralisée pour prouver le résultat plus général suivant, à partir duquel la conclusion ci-dessus découle comme le cas particulier et

    Proposition : Si est un ensemble quelconque et si est un
    sous- ensemble fermé d'un espace topologique alors est un sous-ensemble fermé de par rapport à la topologie de convergence ponctuelle.

    Preuve de (2) :

    Pour tout laisser représentent la projection à la

    ième coordonnées (tel que défini ci - dessus). Pour prouver qu'il suffit (et nécessaire) de montrer que pour chaque So fix et let ; il reste à montrer que La condition de définition sur était celle qui implique que Parce que la fonctionnelle linéaire satisfait et donc implique

    Ainsi qui montre que comme souhaité. CQFD

    La preuve élémentaire ci-dessus montre en fait que si est un sous-ensemble qui satisfait (comme tout sous - ensemble absorbant de ), alors est un sous - ensemble compact faible-* de

    En passant, à l'aide de la preuve élémentaire ci-dessus, on peut montrer (voir cette note de bas de page) que

    où les nombres réels sont "minimaux" dans le sens suivant : chaque est défini par pour chaque avec (comme dans la preuve) et

    En réalité,

    où désigne l'intersection de tous les ensembles appartenant à

    Ceci implique (entre autres) que l'unique moindre élément de par rapport à ; cela peut être utilisé comme une définition alternative de cet ensemble (nécessairement convexe et équilibré ). La fonction est une semi - norme et elle est inchangée si elle est remplacée par l' enveloppe équilibrée convexe de (car ). De même, car est également inchangé si est remplacé par sa fermeture dans

    Lemme  —  L'espace algébrique dual de tout espace vectoriel sur un corps (où est ou ) est un sous-ensemble fermé de dans la topologie de la convergence ponctuelle. (L'espace vectoriel n'a pas besoin d'être doté d'une topologie).

    Preuve du lemme
    Notation pour les réseaux et composition de fonctions avec des réseaux

    Un filet dans est par définition une fonction d'un ensemble dirigé non vide. Chaque séquence dans laquelle par définition n'est qu'une fonction de la forme est aussi un filet. Comme pour les séquences, la valeur d'un filet à un indice est notée ; Cependant, pour cette preuve, cette valeur peut également être indiquée par des parenthèses fonction habituelle notation de même pour la composition de fonctions , si est une fonction puis le filet (ou séquence) qui résulte de « brancher dans » est juste la fonction bien que cela soit généralement désigné par (ou par si est une séquence). Dans cette preuve, ce réseau résultant peut être désigné par l'une des notations suivantes

    selon la notation la plus propre ou qui communique le plus clairement l'information voulue. En particulier, si est continue et dans alors la conclusion communément écrite comme peut à la place être écrite comme ou

    Début de la preuve :

    Laissez et supposons que est un filet dans les converge vers dans Si puis on désignera par l » net des valeurs à

    Pour conclure qu'il faut montrer qu'il s'agit d'une fonctionnelle linéaire donc soit un scalaire et soit La topologie sur est la topologie de la convergence point par point donc en considérant les points et la convergence de in implique que chacun des réseaux de scalaires suivants converge en


    Preuve que Soit être la « multiplication par » carte définie par Car est continue et en il en résulte que lorsque le côté droit est et le côté gauche est

    ce qui prouve que Car aussi et les limites en sont uniques, il s'ensuit que comme on le souhaite.


    Preuve que Définir un réseau en laissant pour chaque Parce que et il s'ensuit que dans Soit l'application d'addition définie par La continuité de implique que dans où se trouve le côté droit et le côté gauche est

    ce qui prouve que Car aussi il s'ensuit que comme souhaité. CQFD

    Corollaire du lemme  —  Lorsque l'espace algébrique dual d'un espace vectoriel est équipé de la topologie de convergence ponctuelle (également connue sous le nom de topologie faible-*), alors l' espace vectoriel topologique résultant (TVS) est un TVS de Hausdorff localement convexe complet .

    Preuve de corollaire  —

    Parce que le champ sous-jacent est un TVS de Hausdorff complet localement convexe, la même chose est vraie du produit cartésien. Un sous-ensemble fermé d'un espace complet est complet, donc par le lemme, l'espace est complet.

    Théorème de Banach–Alaoglu séquentiel

    Un cas particulier du théorème de Banach-Alaoglu est la version séquentielle du théorème, qui affirme que la boule unité fermée de l'espace dual d'un espace vectoriel normé séparable est séquentiellement compacte dans la topologie faible-*. En fait, la topologie faible* sur la boule unitaire fermée du dual d'un espace séparable est métrisable , et donc compacité et compacité séquentielle sont équivalentes.

    Concrètement, soit un espace normé séparable et la boule unité fermée dans Puisque est séparable, soit un sous-ensemble dense dénombrable. Ensuite, ce qui suit définit une métrique, où pour tout

    dans lequel dénote l'appariement de dualité de avec La compacité séquentielle de dans cette métrique peut être montrée par un argument de diagonalisation similaire à celui employé dans la preuve du théorème d' Arzelà–Ascoli .

    En raison de la nature constructive de sa preuve (contrairement au cas général, qui est basé sur l'axiome du choix), le théorème séquentiel de Banach-Alaoglu est souvent utilisé dans le domaine des équations aux

    dérivées partielles pour construire des solutions à PDE ou à des problèmes variationnels . Par exemple, si l'on veut minimiser une fonctionnelle sur le dual d'un espace vectoriel normé séparable, une stratégie courante consiste à construire d'abord une séquence de minimisation qui approche l'infimum d' utilisation du théorème séquentiel de Banach-Alaoglu pour extraire une sous-séquence qui converge dans le faible * topologie à une limite puis établir qu'il s'agit d'un minimiseur de La dernière étape nécessite souvent d'obéir à une propriété de semi-continuité inférieure (séquentielle) dans la topologie faible*.

    Quand est l'espace des mesures de Radon finies sur la droite réelle (donc l'espace des fonctions continues s'annulant à l'infini, par le

    théorème de représentation de Riesz ), le théorème séquentiel de Banach-Alaoglu est équivalent au théorème de sélection de Helly .
    Preuve  —

    Pour chaque location

    et

    Parce que chacun est un sous-ensemble compact du plan complexe, est également compact dans la topologie du produit par le théorème de Tychonoff .

    L'unité fermée ball in peut être identifiée comme un sous-ensemble de de manière naturelle :

    Cette carte est injective et continue, avec la topologie faible-* et la topologie produit. L'inverse de cette carte, défini sur son étendue, est également continu.

    Pour finir de prouver ce théorème, il va maintenant être montré que l'étendue de la carte ci-dessus est fermée. Étant donné un filet

    dans la fonctionnelle définie par
    réside dans

    Conséquences

    Conséquences pour les espaces normés

    Supposons qu'il s'agisse d' un

    espace normé et dotez son espace dual continu de la norme dualiste habituelle .
    • La boule d'unité fermée est faible-* compacte. Donc si est de dimension infinie alors sa boule unité fermée n'est
    pas nécessairement compacte dans la topologie de norme par le théorème de F. Riesz (bien qu'elle soit faible-* compacte).
  • Un espace de Banach est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est -compacte.
  • Si est un
  • espace de Banach réflexif , alors toute suite bornée dans a une sous-suite faiblement convergente. (Cela résulte en appliquant le théorème de Banach-Alaoglu à un sous - espace faiblement métrisable de , ou, plus succinctement, en appliquant le théorème Eberlein-Smulian .) Par exemple, supposons que est l'espace espace Lp Laisser une suite bornée de fonctions Ensuite il existe une sous-suite et une telle que
    pour tout où ). Le résultat correspondant pour n'est pas vrai, car il n'est pas réflexif.

    Conséquences pour les espaces de Hilbert

    • Dans un espace de Hilbert, chaque ensemble borné et fermé est faiblement relativement compact, donc chaque réseau borné a un sous-réseau faiblement convergent (les espaces de Hilbert sont réflexifs ).
    • En tant que normes fermées, les ensembles convexes sont faiblement fermés ( théorème de Hahn-Banach ), les normes-fermetures d'ensembles bornés convexes dans les espaces de Hilbert ou les espaces de Banach réflexifs sont faiblement compactes.
    • Fermés et ensembles délimités en sont précompressé par rapport à la
    topologie de l' opérateur faible (la topologie faible de l' opérateur est plus faible que la topologie ultrafaible qui est à son tour la topologie faiblesse de * par rapport à la prédual de la classe trace opérateurs). Par conséquent, les séquences bornées d'opérateurs ont un point d'accumulation faible. En conséquence, a la propriété de Heine-Borel , s'il est équipé soit de l'opérateur faible, soit de la topologie ultrafaible.

    Relation avec l'axiome du choix

    Puisque le théorème de Banach-Alaoglu est généralement prouvé via le théorème de Tychonoff , il repose sur le cadre axiomatique ZFC , et en particulier l' axiome du choix . La plupart des analyses fonctionnelles classiques reposent également sur ZFC. Cependant, le théorème ne repose pas sur l'axiome du choix dans le cas séparable (voir ci -

    dessus ) : dans ce cas on a en fait une preuve constructive. Dans le cas non séparable, l' ultrafiltre Lemme , qui est strictement plus faible que l'axiome de choix, suffit à la démonstration du théorème de Banach-Alaoglu, et lui est en fait équivalent.

    Voir également

    Espace vectoriel avec une notion de proximité

    Remarques

    Preuves

    Les références

    • Köthe, Gottfried (1969). Espaces vectoriels topologiques I . New York : Springer-Verlag. Voir §20.9.
    • Meise, Reinhold ; Vogt, Dietmar (1997). Introduction à l'analyse fonctionnelle . Oxford : Clarendon Press. ISBN 0-19-851485-9.Voir le théorème 23.5, p. 264.
    • Narici, Laurent ; Beckenstein, Edouard (2011). Espaces vectoriels topologiques . Mathématiques pures et appliquées (deuxième éd.). Boca Raton, Floride : CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
    • Rudin, Walter (1991). Analyse fonctionnelle . Série Internationale de Mathématiques Pures et Appliquées. 8 (Deuxième éd.). New York, NY : McGraw-Hill Science/Ingénierie/Maths . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 . Voir le théorème 3.15, p. 68.
    • Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espaces vectoriels topologiques . GTM . 8 (Deuxième éd.). New York, NY : Springer New York Mentions légales Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
    • Schechter, Éric (1997). Manuel d'analyse et ses fondements. San Diego : Presse académique.
    • Trèves, François (2006) [1967]. Espaces vectoriels topologiques, distributions et noyaux . Mineola, NY : Publications de Douvres. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .

    Lectures complémentaires