Paradoxe Banach-Tarski - Banach–Tarski paradox

« Une balle peut-elle être décomposée en un nombre fini d'ensembles de points et réassemblée en deux balles identiques à l'original ? »

Le paradoxe de Banach-Tarski est un théorème dans ensembliste la géométrie , qui stipule ce qui suit: Etant donné une solide balle dans l' espace en 3 dimensions, il existe une décomposition de la balle dans un nombre fini de disjoints des sous - ensembles , qui peuvent ensuite être remis ensemble d'une manière différente pour produire deux copies identiques de la balle d'origine. En effet, le processus de remontage consiste uniquement à déplacer les pièces et à les faire tourner sans changer leur forme. Cependant, les morceaux eux-mêmes ne sont pas des "solides" au sens habituel du terme, mais des dispersions infinies de points. La reconstruction peut fonctionner avec aussi peu que cinq pièces.

Une forme plus forte du théorème implique qu'étant donné deux objets solides "raisonnables" (comme une petite boule et une énorme boule), les morceaux coupés de l'un peuvent être réassemblés dans l'autre. Ceci est souvent déclaré de manière informelle comme "un pois peut être haché et réassemblé dans le soleil" et appelé le " paradoxe du pois et du soleil ".

La raison pour laquelle le théorème de Banach-Tarski est appelé un paradoxe est qu'il contredit l'intuition géométrique de base. "Doubler la balle" en la divisant en parties et en les déplaçant par rotations et translations , sans aucun étirement, flexion ou ajout de nouveaux points, semble impossible, puisque toutes ces opérations devraient , intuitivement parlant, préserver le volume . L'intuition que de telles opérations préservent les volumes n'est pas mathématiquement absurde et elle est même incluse dans la définition formelle des volumes. Cependant, ceci n'est pas applicable ici car dans ce cas il est impossible de définir les volumes des sous-ensembles considérés. Leur remontage reproduit un ensemble qui a un volume, qui se trouve être différent du volume de départ.

Contrairement à la plupart des théorèmes de géométrie, la preuve de ce résultat dépend du choix des axiomes pour la théorie des ensembles de manière critique. Elle peut être prouvée à l'aide de l' axiome du choix , qui permet de construire des ensembles non mesurables , c'est-à-dire des ensembles de points qui n'ont pas de volume au sens ordinaire, et dont la construction nécessite un nombre incalculable de choix.

Il a été montré en 2005 que les pièces de la décomposition peuvent être choisies de manière à pouvoir être mises en place en continu sans se heurter.

Comme l'ont prouvé indépendamment Leroy et Simpson, le paradoxe de Banach-Tarski ne viole pas les volumes si l'on travaille avec des lieux plutôt que des espaces topologiques. Dans ce cadre abstrait, il est possible d'avoir des sous-espaces sans point mais toujours non vides. Les parties de la décomposition paradoxale se croisent beaucoup dans le sens des lieux, à tel point que certaines de ces intersections devraient recevoir une masse positive. En tenant compte de cette masse cachée, la théorie des lieux permet de mesurer de manière satisfaisante tous les sous-ensembles (et même tous les sous-locaux) de l'espace euclidien.

Publication Banach et Tarski

Dans un article publié en 1924, Stefan Banach et Alfred Tarski ont donné une construction d'une telle décomposition paradoxale , basée sur des travaux antérieurs de Giuseppe Vitali concernant l' intervalle unitaire et sur les décompositions paradoxales de la sphère par Felix Hausdorff , et ont discuté un certain nombre de questions concernant les décompositions de sous-ensembles d'espaces euclidiens en différentes dimensions. Ils ont prouvé l'énoncé plus général suivant, la forme forte du paradoxe de Banach-Tarski :

Étant donné deux sous-ensembles bornés A et B d'un espace euclidien à au moins trois dimensions, qui ont tous deux un intérieur non vide , il existe des partitions de A et B en un nombre fini de sous-ensembles disjoints, , (pour un entier k ), tel que pour chaque (entier) i compris entre 1 et k , les ensembles A _i et B _i sont congrus .${\displaystyle A=A_{1}\cup \cdots \cup A_{k}}$${\displaystyle B=B_{1}\cup \cdots \cup B_{k}}$

Soit maintenant A la boule d'origine et B l'union de deux copies traduites de la boule d'origine. Ensuite, la proposition signifie que vous pouvez diviser la boule originale A en un certain nombre de morceaux, puis faire pivoter et traduire ces morceaux de telle sorte que le résultat soit l'ensemble B , qui contient deux copies de A .

La forme forte du paradoxe de Banach-Tarski est fausse dans les dimensions un et deux, mais Banach et Tarski ont montré qu'une déclaration analogue reste vraie si de nombreux sous-ensembles sont autorisés. La différence entre les dimensions 1 et 2 d'une part, et 3 et supérieures d'autre part, est due à la structure plus riche du groupe E ( n ) des mouvements euclidiens en 3 dimensions. Pour n = 1, 2 le groupe est résoluble , mais pour n 3 il contient un groupe libre avec deux générateurs. John von Neumann a étudié les propriétés du groupe d'équivalences qui rendent possible une décomposition paradoxale, et a introduit la notion de groupes amenables . Il a également trouvé une forme de paradoxe dans le plan qui utilise des transformations affines préservant la zone à la place des congruences habituelles.

Tarski a prouvé que les groupes favorables sont précisément ceux pour lesquels il n'existe pas de décompositions paradoxales. Étant donné que seuls des sous-groupes libres sont nécessaires dans le paradoxe de Banach-Tarski, cela a conduit à la conjecture de von Neumann de longue date , qui a été réfutée en 1980.

Traitement formel

Le paradoxe de Banach-Tarski stipule qu'une boule dans l'espace euclidien ordinaire peut être doublée en utilisant uniquement les opérations de partitionnement en sous-ensembles, de remplacement d'un ensemble par un ensemble congruent et de réassemblage. Sa structure mathématique est largement élucidée en insistant sur le rôle joué par le groupe des mouvements euclidiens et en introduisant les notions d' ensembles équidécomposables et d' ensemble paradoxal . Supposons que G soit un groupe agissant sur un ensemble X . Dans le cas particulier le plus important, X est un espace euclidien de dimension n (pour l'intégrale n ), et G est constitué de toutes les isométries de X , c'est-à-dire les transformations de X en lui-même qui préservent les distances, généralement notées E ( n ) . Deux figures géométriques qui peuvent être transformées l'une dans l'autre sont appelées congruentes , et cette terminologie sera étendue à l'action G générale. Deux sous-ensembles A et B de X sont appelés G -équidécomposables , ou équidécomposables par rapport à G , si A et B peuvent être partitionnés en un même nombre fini de morceaux respectivement G -congruents. Cela définit une relation d'équivalence entre tous les sous-ensembles de X . Formellement, s'il existe des ensembles non vides , tels que ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{k}}$

${\displaystyle A=\bigcup _{i=1}^{k}A_{i},\quad B=\bigcup _{i=1}^{k}B_{i},}$

${\displaystyle \quad A_{i}\cap A_{j}=B_{i}\cap B_{j}=\emptyset \quad {\text{for all }}1\leq i<j\leq k,}$

et il existe des éléments tels que ${\displaystyle g_{i}\in G}$

${\displaystyle g_{i}(A_{i})=B_{i}{\text{ pour tous }}1\leq i\leq k,}$

alors on peut dire que A et B sont G -équidécomposables en utilisant k morceaux. Si un ensemble E a deux sous-ensembles disjoints A et B tels que A et E , ainsi que B et E , sont G -équidécomposables, alors E est dit paradoxal .

En utilisant cette terminologie, le paradoxe Banach-Tarski peut être reformulé comme suit :

Une boule euclidienne tridimensionnelle est équidécomposable avec deux copies d'elle-même.

En fait, il y a un résultat net dans ce cas, dû à Raphael M. Robinson : doubler la balle peut être accompli avec cinq pièces, et moins de cinq pièces ne suffiront pas.

La version forte du paradoxe prétend :

Deux sous-ensembles bornés de l' espace euclidien à trois dimensions avec des intérieurs non vides sont équidécomposables.

Bien qu'apparemment plus générale, cette déclaration est dérivée d'une manière simple du doublement d'une balle en utilisant une généralisation du théorème de Bernstein-Schroeder due à Banach qui implique que si A est équidécomposable avec un sous-ensemble de B et B est équidécomposable avec un sous-ensemble de A , alors A et B sont équidécomposables.

Le paradoxe de Banach-Tarski peut être mis en contexte en soulignant que pour deux ensembles sous la forme forte du paradoxe, il y a toujours une fonction bijective qui peut mapper les points d'une forme dans l'autre d'une manière un-à-un. . Dans la langue de Georg Cantor de la théorie des ensembles , ces deux ensembles ont le même cardinalité . Ainsi, si on agrandit le groupe pour permettre des bijections arbitraires de X , alors tous les ensembles avec un intérieur non vide deviennent congrus. De même, une balle peut être transformée en une balle plus grande ou plus petite en étirant, ou en d'autres termes, en appliquant des transformations de similarité . Par conséquent, si le groupe G est suffisamment grand, on peut trouver des ensembles G -équidécomposables dont la "taille" varie. De plus, étant donné qu'un ensemble dénombrable peut être transformé en deux copies de lui-même, on pourrait s'attendre à ce que l'utilisation d'un nombre dénombrable de pièces puisse faire l'affaire.

D'autre part, dans le paradoxe de Banach-Tarski, le nombre de pièces est fini et les équivalences autorisées sont des congruences euclidiennes, qui préservent les volumes. Pourtant, d'une certaine manière, ils finissent par doubler le volume de la balle ! Bien que cela soit certainement surprenant, certaines des pièces utilisées dans la décomposition paradoxale sont des ensembles non mesurables , de sorte que la notion de volume (plus précisément, la mesure de Lebesgue ) n'est pas définie pour eux, et le partitionnement ne peut pas être accompli de manière pratique. En fait, le paradoxe de Banach-Tarski démontre qu'il est impossible de trouver une mesure finiment additive (ou une mesure de Banach ) définie sur tous les sous-ensembles d'un espace euclidien de trois dimensions (et plus) qui soit invariante par rapport aux mouvements euclidiens et prend la valeur un sur un cube unité. Dans ses travaux ultérieurs, Tarski montra qu'à l'inverse, l'inexistence de décompositions paradoxales de ce type implique l'existence d'une mesure invariante finiment additive.

Le cœur de la preuve de la forme "doubler la balle" du paradoxe présenté ci-dessous est le fait remarquable que par une isométrie euclidienne (et renommage des éléments), on peut diviser un certain ensemble (essentiellement, la surface d'une sphère unité) en quatre parties, puis faites pivoter l'une d'elles pour devenir elle-même plus deux des autres parties. Ceci découle assez facilement d'une décomposition F ₂ -paradoxale de F ₂ , le groupe libre à deux générateurs. La preuve de Banach et Tarski reposait sur un fait analogue découvert par Hausdorff quelques années plus tôt : la surface d'une sphère unité dans l'espace est une union disjointe de trois ensembles B , C , D et d'un ensemble dénombrable E tel que, d'une part, B , C , D sont deux à deux congrus, et d'autre part, B est congru à l'union de C et D . C'est ce qu'on appelle souvent le paradoxe de Hausdorff .

Lien avec les travaux antérieurs et rôle de l'axiome du choix

Banach et Tarski reconnaissent explicitement la construction par Giuseppe Vitali de l' ensemble portant son nom en 1905 , le paradoxe de Hausdorff (1914) et un article antérieur (1923) de Banach comme précurseurs de leur travail. Les constructions de Vitali et Hausdorff dépendent de l' axiome du choix de Zermelo (" AC "), qui est également crucial pour l'article de Banach-Tarski, à la fois pour prouver leur paradoxe et pour la preuve d'un autre résultat :

Deux polygones euclidiens , dont l'un contient strictement l'autre, ne sont pas équidécomposables .

Ils remarquent :

Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention

(Le rôle que cet axiome joue dans notre raisonnement nous semble mériter attention)

Ils soulignent que tandis que le deuxième résultat est entièrement d'accord avec l'intuition géométrique, sa preuve utilise AC d'une manière encore plus substantielle que la preuve du paradoxe. Ainsi Banach et Tarski impliquent que AC ne doit pas être rejeté uniquement parce qu'il produit une décomposition paradoxale, car un tel argument sape également les preuves d'énoncés géométriquement intuitifs.

Cependant, en 1949, AP Morse a montré que l'énoncé sur les polygones euclidiens peut être prouvé dans la théorie des ensembles ZF et ne nécessite donc pas l'axiome du choix. En 1964, Paul Cohen a prouvé que l'axiome du choix est indépendant de ZF , c'est-à-dire qu'il ne peut pas être prouvé à partir de ZF . Une version plus faible d'un axiome de choix est l' axiome de choix dépendant , DC , et il a été montré que DC n'est pas suffisant pour prouver le paradoxe de Banach-Tarski, c'est-à-dire

Le paradoxe de Banach-Tarski n'est pas un théorème de ZF , ni de ZF + DC .

De grandes quantités de mathématiques utilisent AC . Comme le souligne Stan Wagon à la fin de sa monographie, le paradoxe de Banach-Tarski a été plus significatif pour son rôle en mathématiques pures que pour les questions fondamentales : il a motivé une nouvelle direction fructueuse pour la recherche, l'amabilité des groupes, qui n'a rien à faire avec les questions fondamentales.

En 1991, en utilisant les résultats alors récents de Matthew Foreman et Friedrich Wehrung, Janusz Pawlikowski a prouvé que le paradoxe de Banach-Tarski découle de ZF plus le théorème de Hahn-Banach . Le théorème de Hahn-Banach ne repose pas sur l'axiome complet du choix, mais peut être prouvé en utilisant une version plus faible de AC appelée lemme de l' ultrafiltre . Ainsi Pawlikowski a prouvé que la théorie des ensembles nécessaire pour prouver le paradoxe de Banach-Tarski, bien que plus forte que ZF , est plus faible que la pleine ZFC .

Un croquis de la preuve

Ici, une preuve est esquissée qui est similaire mais non identique à celle donnée par Banach et Tarski. Essentiellement, la décomposition paradoxale de la balle s'effectue en quatre étapes :

1. Trouver une décomposition paradoxale du groupe libre en deux générateurs .
2. Trouver un groupe de rotations dans l'espace 3-d isomorphe au groupe libre en deux générateurs.
3. Utilisez la décomposition paradoxale de ce groupe et l'axiome du choix pour produire une décomposition paradoxale de la sphère unité creuse.
4. Étendre cette décomposition de la sphère à une décomposition de la boule unitaire solide.

Ces étapes sont décrites plus en détail ci-dessous.

Étape 1

Graphique de Cayley de F ₂ , montrant la décomposition en les ensembles S ( a ) et aS ( a ⁻¹ ). Traverser une arête horizontale du graphe vers la droite représente la multiplication à gauche d'un élément de F ₂ par a ; traverser une arête verticale du graphique dans le sens ascendant représente la multiplication à gauche d'un élément de F ₂ par b . Les éléments de l'ensemble S ( a ) sont des points verts ; les éléments de l'ensemble aS ( a ⁻¹ ) sont des points bleus ou des points rouges avec une bordure bleue. Les points rouges bordés de bleu sont des éléments de S ( a ⁻¹ ), qui est un sous-ensemble de aS ( a ⁻¹ ).

Le groupe libre à deux générateurs a et b est constitué de toutes les chaînes finies qui peuvent être formées à partir des quatre symboles a , a ^-1 , b et b ^{-1 de} telle sorte qu'aucun a n'apparaisse directement à côté de a a ^-1 et aucun b n'apparaisse directement à côté de a b ^-1 . Deux de ces chaînes peuvent être concaténées et converties en une chaîne de ce type en remplaçant à plusieurs reprises les sous-chaînes "interdites" par la chaîne vide. Par exemple : abab ⁻¹ a ⁻¹ concaténé avec abab ⁻¹ a donne abab ⁻¹ a ⁻¹ abab ⁻¹ a , qui contient la sous-chaîne a ⁻¹ a , et se réduit donc à abab ⁻¹ bab ⁻¹ a , qui contient la sous-chaîne b ⁻¹ b , qui se réduit à abaab ⁻¹ a . On peut vérifier que l'ensemble de ces chaînes avec cette opération forme un groupe avec l' élément d'identité la chaîne vide e . Ce groupe peut être appelé F ₂ .

Le groupe peut être "décomposé paradoxalement" comme suit : Soit S ( a ) l'ensemble de toutes les chaînes non interdites qui commencent par a et définissent S ( a ⁻¹ ), S ( b ) et S ( b ⁻¹ ) de la même manière . Clairement, ${\style d'affichage F_{2}}$

${\displaystyle F_{2}=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})}$

mais aussi

${\displaystyle F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a),}$

et

${\displaystyle F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b),}$

où la notation aS ( a ⁻¹ ) signifie prendre toutes les chaînes de S ( a ⁻¹ ) et les concaténer à gauche avec a .

Ceci est au cœur de la preuve. Par exemple, il peut y avoir une chaîne dans l'ensemble qui, à cause de la règle qui ne doit pas apparaître à côté de , se réduit à la chaîne . De même, contient toutes les chaînes qui commencent par (par exemple, la chaîne qui se réduit à ). De cette façon, contient toutes les chaînes qui commencent par , et . ${\style d'affichage aa^{-1}b}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\style d'affichage a}$${\displaystyle a^{-1}}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle aa^{-1}a^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$${\displaystyle aS(a^{-1})}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle b^{-1}}$${\displaystyle a^{-1}}$

Le groupe F ₂ a été découpé en quatre morceaux (plus le singleton { e }), puis deux d'entre eux "décalés" en multipliant avec a ou b , puis "réassemblés" en deux morceaux pour faire une copie et les deux autres pour faire une autre copie de . C'est exactement ce que l'on entend faire au ballon. ${\style d'affichage F_{2}}$${\style d'affichage F_{2}}$

Étape 2

Afin de trouver un groupe libre de rotations de l'espace 3D, c'est-à-dire qui se comporte exactement comme (ou "est isomorphe à") le groupe libre F ₂ , deux axes orthogonaux sont pris (par exemple les axes x et z ). Ensuite, A est considéré comme une rotation autour de l' axe x et B comme une rotation autour de l' axe z (il existe de nombreuses autres paires appropriées de multiples irrationnels de qui pourraient également être utilisées ici). ${\textstyle \theta =\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)}$${\displaystyle \theta }$

Le groupe de rotations engendré par A et B sera appelé H . Soit un élément de H qui commence par une rotation positive autour de l' axe z , c'est-à-dire un élément de la forme avec . Il peut être montré par induction qui mappe le point à , pour certains . En analysant et modulo 3, on peut montrer que . Le même argument répété (par symétrie du problème) est valable lorsqu'il démarre avec une rotation négative autour de l' axe z , ou une rotation autour de l' axe x . Cela montre que si est donné par un mot non trivial dans A et B , alors . Par conséquent, le groupe H est un groupe libre, isomorphe à F ₂ . ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega =\ldots B^{k_{3}}A^{k_{2}}B^{k_{1}}}$${\displaystyle k_{1}>0,\ k_{2},k_{3},\ldots ,k_{n}\neq 0,\ n\geq 1}$${\displaystyle \omega }$${\style d'affichage (1,0,0)}$${\textstyle \left({\frac {k}{3^{N}}},{\frac {l{\sqrt {2}}}{3^{N}}},{\frac {m}{ 3^{N}}}\droit)}$${\displaystyle k,l,m\in \mathbb {Z} ,N\in \mathbb {N} }$${\style d'affichage k,l}$${\style d'affichage m}$${\style d'affichage l\neq 0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega \neq e}$

Les deux rotations se comportent exactement comme les éléments a et b du groupe F ₂ : il y a maintenant une décomposition paradoxale de H .

Cette étape ne peut pas être réalisée en deux dimensions car elle implique des rotations en trois dimensions. Si deux rotations sont effectuées autour du même axe, le groupe résultant est le groupe du cercle abélien et n'a pas la propriété requise à l'étape 1.

Une autre preuve arithmétique de l'existence de groupes libres dans certains groupes orthogonaux spéciaux utilisant des quaternions entiers conduit à des décompositions paradoxales du groupe de rotation .

Étape 3

La sphère unité S ² est partitionnée en orbites par l' action de notre groupe H : deux points appartiennent à la même orbite si et seulement s'il y a une rotation dans H qui déplace le premier point dans le second. (Notez que l'orbite d'un point est un ensemble dense dans S ² .) L' axiome du choix peut être utilisé pour choisir exactement un point de chaque orbite ; rassembler ces points dans un ensemble M . L'action de H sur une orbite donnée est libre et transitive et donc chaque orbite peut être identifiée à H . En d'autres termes, chaque point de S ² peut être atteint exactement d'une manière en appliquant la rotation appropriée de H à l'élément approprié de M . De ce fait, la décomposition paradoxale de H donne une décomposition paradoxale de S ² en quatre morceaux A ₁ , A ₂ , A ₃ , A ₄ comme suit :

${\displaystyle A_{1}=S(a)M\cup M\cup B}$

${\displaystyle A_{2}=S(a^{-1})M\setmoins B}$

${\displaystyle \displaystyle A_{3}=S(b)M}$

${\displaystyle \displaystyle A_{4}=S(b^{-1})M}$

où nous définissons

${\displaystyle S(a)M=\{s(x)|s\in S(a),x\in M\}}$

et de même pour les autres ensembles, et où l'on définit

${\displaystyle B=a^{-1}M\cup a^{-2}M\cup \dots }$

(Les cinq parties "paradoxales" de F ₂ n'ont pas été utilisées directement, car elles laisseraient M comme pièce supplémentaire après avoir doublé, en raison de la présence du singleton { e } !)

La (majorité de la) sphère a maintenant été divisée en quatre ensembles (chacun dense sur la sphère), et lorsque deux d'entre eux sont tournés, le résultat est le double de ce qui était auparavant :

${\displaystyle aA_{2}=A_{2}\cup A_{3}\cup A_{4}}$

${\displaystyle bA_{4}=A_{1}\tasse A_{2}\tasse A_{4}}$

Étape 4

Enfin, connectez chaque point sur S ² avec un segment semi-ouvert à l'origine; la décomposition paradoxale de S ² donne alors une décomposition paradoxale de la boule unitaire solide moins le point au centre de la boule. (Ce point central a besoin d'un peu plus de soin ; voir ci-dessous.)

NB Ce croquis passe sous silence certains détails. Il faut faire attention à l'ensemble des points de la sphère qui se trouvent sur l'axe d'une rotation dans H . Cependant, il n'y a qu'un nombre dénombrable de tels points, et comme dans le cas du point au centre de la balle, il est possible de patcher la preuve pour les prendre en compte tous. (Voir ci-dessous.)

Quelques détails, étoffés

À l'étape 3, la sphère a été divisée en orbites de notre groupe H . Pour rationaliser la preuve, la discussion des points qui sont fixés par une certaine rotation a été omise ; étant donné que la décomposition paradoxale de F ₂ repose sur le déplacement de certains sous-ensembles, le fait que certains points soient fixes peut poser problème. Puisque toute rotation de S ² (autre que la rotation nulle) a exactement deux points fixes , et puisque H , qui est isomorphe à F ₂ , est dénombrable , il y a un nombre dénombrable de points de S ² qui sont fixés par une rotation dans H . Notons cet ensemble de points fixes par D . L'étape 3 montre que S ² − D admet une décomposition paradoxale.

Ce qui reste à démontrer est la revendication : S ² - D est equidecomposable avec S ² .

Preuve. Soit une droite passant par l'origine qui n'intersecte aucun point de D . C'est possible puisque D est dénombrable. Soit J l'ensemble des angles, , tels que pour un nombre naturel n , et un certain P dans D , r ( n α)P est aussi dans D , où r ( n α) est une rotation autour de λ de n α. Alors J est dénombrable. Il existe donc un angle θ non dans J . Soit ρ la rotation autour de λ par θ. Alors ρ agit sur S ² sans point fixe dans D , c'est-à-dire que ρ ⁿ ( D ) est disjoint de D , et pour m naturel < n , ρ ⁿ ( D ) est disjoint de ρ ^m ( D ). Soit E l' union disjointe de ρ ⁿ ( D ) sur n = 0, 1, 2, ... . Alors S ² = E ∪ ( S ² − E ) ~ ρ( E ) ∪ ( S ² − E ) = ( E − D ) ∪ ( S ² − E ) = S ² − D , où ~ dénote "est équidécomposable à ".

Pour l'étape 4, il a déjà été montré que la boule moins un point admet une décomposition paradoxale ; il reste à montrer que la balle moins un point est équidécomposable avec la balle. Considérons un cercle à l'intérieur de la balle, contenant le point au centre de la balle. En utilisant un argument comme celui utilisé pour prouver l'affirmation, on peut voir que le cercle complet est équidécomposable avec le cercle moins le point au centre de la balle. (Fondamentalement, un ensemble dénombrable de points sur le cercle peut être tourné pour se donner plus un point de plus.) Notez que cela implique la rotation autour d'un point autre que l'origine, donc le paradoxe de Banach-Tarski implique des isométries de l'espace 3 euclidien plutôt que juste SO(3) .

On utilise le fait que si A ~ B et B ~ C , alors A ~ C . La décomposition de A en C peut se faire en utilisant un nombre de pièces égal au produit des nombres nécessaires pour prendre A en B et pour prendre B en C .

La preuve esquissée ci-dessus nécessite 2 × 4 × 2 + 8 = 24 pièces - un facteur de 2 pour supprimer les points fixes, un facteur 4 à partir de l'étape 1, un facteur 2 pour recréer des points fixes et 8 pour le point central de la deuxième boule . Mais à l'étape 1 lorsque vous déplacez { e } et toutes les chaînes de la forme a ⁿ dans S ( a ⁻¹ ), faites-le sur toutes les orbites sauf une. Déplacez { e } de cette dernière orbite vers le point central de la deuxième boule. Cela ramène le total à 16 + 1 pièces. Avec plus d'algèbre, on peut aussi décomposer des orbites fixes en 4 ensembles comme à l'étape 1. Cela donne 5 morceaux et c'est le meilleur possible.

Obtenir une infinité de balles à partir d'un

En utilisant le paradoxe de Banach-Tarski, il est possible d'obtenir k copies d'une boule dans l'espace n euclidien à partir d'un, pour tout nombre entier n 3 et k ≥ 1, c'est-à-dire qu'une boule peut être coupée en k morceaux de sorte que chacun des eux est équidécomposable en une boule de la même taille que l'original. En utilisant le fait que le groupe libre F ₂ de rang 2 admet un sous-groupe libre de rang dénombrable infini , une preuve similaire donne que la sphère unité S ^{n −1} peut être divisée en un nombre dénombrable d'un nombre infini de morceaux, dont chacun est équidécomposable (avec deux morceaux) au S ^{n -1 en} utilisant des rotations. En utilisant les propriétés analytiques du groupe de rotation SO( n ) , qui est un groupe de Lie analytique connexe , on peut en outre prouver que la sphère S ^{n −1} peut être partitionnée en autant de morceaux qu'il y a de nombres réels (c'est-à-dire de morceaux) , de sorte que chaque morceau est équidécomposable avec deux morceaux à S ^{n -1} utilisant des rotations. Ces résultats s'étendent alors à la boule unitaire privée de l'origine. Un article de Valeriy Churkin en 2010 donne une nouvelle preuve de la version continue du paradoxe Banach-Tarski. ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$

Paradoxe de Von Neumann dans le plan euclidien

Dans le plan euclidien , deux figures équidécomposables par rapport au groupe des mouvements euclidiens sont nécessairement de même aire, et donc une décomposition paradoxale d'un carré ou d'un disque de type Banach-Tarski qui n'utilise que des congruences euclidiennes est impossible. Une explication conceptuelle de la distinction entre les cas planaire et de dimension supérieure a été donnée par John von Neumann : contrairement au groupe SO(3) des rotations en trois dimensions, le groupe E (2) des mouvements euclidiens du plan est résoluble , ce qui implique l'existence d'une mesure finiment additive sur E (2) et R ² qui est invariante par translations et rotations, et exclut les décompositions paradoxales d'ensembles non négligeables. Von Neumann a alors posé la question suivante : une telle décomposition paradoxale peut-elle être construite si l'on admet un plus grand groupe d'équivalences ?

Il est clair que si l'on permet des similitudes , deux carrés quelconques dans le plan deviennent équivalents même sans autre subdivision. Ceci motive à restreindre son attention au groupe SA ₂ des transformations affines préservant l'aire . L'aire étant préservée, toute décomposition paradoxale d'un carré par rapport à ce groupe serait contre-intuitive pour les mêmes raisons que la décomposition de Banach-Tarski d'une boule. En fait, le groupe SA ₂ contient comme sous-groupe le groupe linéaire spécial SL (2, R ) , qui à son tour contient le groupe libre F ₂ avec deux générateurs comme sous-groupe. Cela rend plausible que la preuve du paradoxe de Banach-Tarski puisse être imitée dans le plan. La principale difficulté réside ici dans le fait que le carré unitaire n'est pas invariant sous l'action du groupe linéaire SL (2, R ), on ne peut donc pas simplement transférer une décomposition paradoxale du groupe au carré, comme dans la troisième étape de la preuve ci-dessus du paradoxe Banach-Tarski. De plus, les points fixes du groupe présentent des difficultés (par exemple, l'origine est fixe sous toutes les transformations linéaires). C'est pourquoi von Neumann a utilisé le grand groupe SA ₂ incluant les traductions, et il a construit une décomposition paradoxale du carré unitaire par rapport au groupe élargi (en 1929). En appliquant la méthode de Banach-Tarski, le paradoxe du carré peut être renforcé comme suit :

Deux sous-ensembles bornés du plan euclidien avec des intérieurs non vides sont équidécomposables par rapport aux cartes affines préservant l'aire.

Comme le note von Neumann :

"Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives additives Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), das gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant wäre."

« Conformément à cela, déjà dans le plan, il n'y a pas de mesure additive non négative (pour laquelle le carré unitaire a une mesure de 1), qui est invariante par rapport à toutes les transformations appartenant à A ₂ [le groupe des transformations affines]."

Pour expliquer davantage, la question de savoir si une mesure finie additive (qui est conservée sous certaines transformations) existe ou non dépend des transformations autorisées. La mesure de Banach des ensembles dans le plan, qui est préservée par les translations et les rotations, n'est pas préservée par les transformations non isométriques même lorsqu'elles préservent l'aire des polygones. Les points du plan (autres que l'origine) peuvent être divisés en deux ensembles denses que l'on peut appeler A et B . Si les points A d'un polygone donné sont transformés par une certaine transformation préservant la zone et les points B par une autre, les deux ensembles peuvent devenir des sous-ensembles des points A dans deux nouveaux polygones. Les nouveaux polygones ont la même aire que l'ancien polygone, mais les deux ensembles transformés ne peuvent pas avoir la même mesure qu'avant (puisqu'ils ne contiennent qu'une partie des points A ), et donc il n'y a pas de mesure qui "fonctionne".

La classe de groupes isolée par von Neumann au cours de l'étude du phénomène de Banach-Tarski s'est avérée très importante pour de nombreux domaines des mathématiques : ce sont des groupes amenables , ou des groupes avec une moyenne invariante, et comprennent tous les groupes finis et tous les groupes résolubles. . D'une manière générale, les décompositions paradoxales surviennent lorsque le groupe utilisé pour les équivalences dans la définition de l'équidécomposabilité n'est pas favorable.

Progrès récents

• 2000 : L'article de Von Neumann laisse ouverte la possibilité d'une décomposition paradoxale de l'intérieur du carré unitaire par rapport au groupe linéaire SL (2, R ) (Wagon, Question 7.4). En 2000, Miklós Laczkovich a prouvé qu'une telle décomposition existe. Plus précisément, soit A la famille de tous les sous-ensembles bornés du plan avec un intérieur non vide et à une distance positive de l'origine, et B la famille de tous les ensembles planaires avec la propriété qu'une union d'un nombre fini se traduit sous certains éléments de SL (2, R ) contient un voisinage perforé de l'origine. Alors tous les ensembles de la famille A sont SL(2, R )-équidécomposables, et de même pour les ensembles de B . Il s'ensuit que les deux familles sont constituées d'ensembles paradoxaux.
• 2003 : On savait depuis longtemps que le plan plein était paradoxal par rapport à SA ₂ , et que le nombre minimal de pièces serait égal à quatre à condition qu'il existe un sous-groupe libre localement commutatif de SA ₂ . En 2003, Kenzi Satô a construit un tel sous-groupe, confirmant que quatre morceaux suffisent.
• 2011 : L'article de Laczkovich laisse ouverte la possibilité s'il existe un groupe libre F de transformations linéaires par morceaux agissant sur le disque perforé D \{0,0} sans points fixes. Grzegorz Tomkowicz construit un tel groupe, qui montre que le système de congruences A ≈ B ≈ C ≈ B U C peut être réalisé au moyen de F et D \ {0,0}.
• 2017 : On sait depuis longtemps qu'il existe dans le plan hyperbolique H ² un ensemble E qui est une troisième, une quatrième et ... et une -ième partie de H ² . L'exigence a été satisfaite par isométries préservant l'orientation de H ² . Des résultats analogues ont été obtenus par John Frank Adams et Jan Mycielski qui ont montré que la sphère unité S ² contient un ensemble E qui est une moitié, une troisième, une quatrième et ... et une -ème partie de S ² . Grzegorz Tomkowicz a montré que la construction d'Adams et Mycielski peut être généralisée pour obtenir un ensemble E de H ² avec les mêmes propriétés que dans S ² .${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• 2017 : Le paradoxe de Von Neumann concerne le plan euclidien, mais il existe aussi d'autres espaces classiques où les paradoxes sont possibles. Par exemple, on peut se demander s'il existe un paradoxe de Banach-Tarski dans le plan hyperbolique H ² . Cela a été montré par Jan Mycielski et Grzegorz Tomkowicz. Tomkowicz a également prouvé que la plupart des paradoxes classiques sont une conséquence facile d'un résultat théorique de graphe et du fait que les groupes en question sont suffisamment riches.
• 2018 : En 1984, Jan Mycielski et Stan Wagon construisent une décomposition paradoxale du plan hyperbolique H ² qui utilise des ensembles de Borel. Le paradoxe dépend de l'existence d'un sous-groupe proprement discontinu du groupe des isométries de H ² . Un paradoxe similaire est obtenu par Grzegorz Tomkowicz qui a construit un sous-groupe libre proprement discontinu G du groupe affine SA (3, Z ). L'existence d'un tel groupe implique l'existence d'un sous-ensemble E de Z ³ tel que pour tout fini F de Z ³ il existe un élément g de G tel que , où désigne la différence symétrique de E et F .${\style d'affichage g(E)=E\triangle F}$${\style d'affichage E\,\triangle \,F}$
• 2019 : Le paradoxe de Banach-Tarski utilise un nombre fini de pièces dans la duplication. Dans le cas d'un nombre dénombrable de pièces, deux ensembles quelconques avec des intérieurs non vides sont équidécomposables en utilisant des translations. Mais en n'autorisant que les pièces mesurables de Lebesgue, on obtient : Si A et B sont des sous-ensembles de R ⁿ avec des intérieurs non vides, alors ils ont des mesures de Lebesgue égales si et seulement si elles sont dénombrables équidécomposables en utilisant des pièces mesurables de Lebesgue. Jan Mycielski et Grzegorz Tomkowicz ont étendu ce résultat aux groupes de Lie de dimension finie et aux seconds groupes topologiques localement compacts dénombrables qui sont totalement déconnectés ou ont un nombre dénombrable de composants connectés.

Voir également

• Paradoxe de Hausdorff
• Ensemble Nikodym
• Le problème de la quadrature du cercle de Tarski
• Conjecture de Von Neumann
• Paradoxe de Von Neumann

Remarques

Les références

• Banach, Stéphane ; Tarski, Alfred (1924). Revue à JFM . "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 6 : 244-277. doi : 10.4064/fm-6-1-244-277 .
• Churkin, Virginie (2010). « Une version continue du paradoxe Hausdorff-Banach-Tarski ». Algèbre et logique . 49 (1) : 91-98. doi : 10.1007/s10469-010-9080-y . S2CID  122711859 .
• Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination , pp 205-7, Simon & Schuster .
• Stromberg, Karl (mars 1979). « Le paradoxe Banach-Tarski ». Le mensuel mathématique américain . Association mathématique d'Amérique. 86 (3) : 151-161. doi : 10.2307/2321514 . JSTOR  2321514 .
• Su, Francis E. "Le paradoxe Banach-Tarski" (PDF) .
• von Neumann, John (1929). "Zur allgemeinen Théorie des Masses" (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 13 : 73–116. doi : 10.4064/fm-13-1-73-116 .
• Chariot, Stan (1994). Le paradoxe Banach-Tarski . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 0-521-45704-1.
• Wapner, Léonard M. (2005). Le pois et le soleil : un paradoxe mathématique . Wellesley, Massachusetts : AK Peters. ISBN 1-56881-213-2.
• Tomkowicz, Grzegorz ; Chariot, Stan (2016). Le paradoxe de Banach-Tarski 2e édition . Cambridge : Cambridge University Press. ISBN 9781107042599.

Liens externes

• Paradoxe Banach-Tarski à ProofWiki
• Le paradoxe de Banach-Tarski par Stan Wagon ( Macalester College ), le Wolfram Demonstrations Project .
• Webcomic irrégulier ! #2339 de David Morgan-Mar fournit une explication non technique du paradoxe. Il comprend une démonstration étape par étape de la création de deux sphères à partir d'une seule.
• Vsauce. "Le paradoxe Banach-Tarski" - via YouTube donne un aperçu des bases fondamentales du paradoxe.
• Banach-Tarski et le paradoxe du clonage infini