Conjecture de Baum – Connes - Baum–Connes conjecture

En mathématiques , en particulier dans la théorie K de l'opérateur , la conjecture de Baum-Connes suggère un lien entre la théorie K de l' algèbre C * réduite d'un groupe et l' homologie K de l' espace de classification des actions propres de ce groupe. La conjecture établit une correspondance entre différents domaines des mathématiques, l'homologie K de l'espace de classification étant liée à la géométrie, à la théorie des opérateurs différentiels et à la théorie de l'homotopie , tandis que la théorie K de l'algèbre C * réduite du groupe est purement objet analytique.

La conjecture, si elle est vraie, aurait des conséquences plus anciennes et célèbres. Par exemple, la partie surjectivité implique la conjecture de Kadison – Kaplansky pour des groupes discrets sans torsion , et l'injectivité est étroitement liée à la conjecture de Novikov .

La conjecture est aussi étroitement liée à la théorie des indices , comme la carte de montage est une sorte d'index, et il joue un rôle majeur dans Alain Connes de la géométrie non commutative programme.

Les origines de la conjecture remontent à la théorie de Fredholm , au théorème d'indice Atiyah-Singer et à l'interaction de la géométrie avec l'opérateur K-théorie tel qu'exprimé dans les travaux de Brown, Douglas et Fillmore, parmi de nombreux autres sujets motivants.

Formulation

Soit Γ un deuxième groupe localement compact dénombrable (par exemple un groupe discret dénombrable ). On peut définir un morphisme

appelée la carte d'assemblage , de l'homologie K équivariante avec des supports compacts de l'espace de classification des actions propres à la K-théorie de l' algèbre C * réduite de Γ. L'indice d'indice * peut être 0 ou 1.

Paul Baum et Alain Connes ont introduit la conjecture suivante (1982) à propos de ce morphisme:

Conjecture de Baum-Connes. La carte d'assemblage est un isomorphisme .

Comme le côté gauche a tendance à être plus facilement accessible que le côté droit, parce qu'il n'y a pratiquement pas de théorèmes de structure générale de l' algèbre, on considère généralement la conjecture comme une "explication" du côté droit.

La formulation originale de la conjecture était quelque peu différente, car la notion d'homologie K équivariante n'était pas encore courante en 1982.

Dans le cas où il est discret et sans torsion, le côté gauche se réduit à l'homologie K non équivariante avec des supports compacts de l'espace de classification ordinaire de .

Il existe également une forme plus générale de la conjecture, connue sous le nom de conjecture de Baum-Connes avec coefficients, où les deux côtés ont des coefficients sous la forme d'une -algèbre sur laquelle agit par -automorphismes. Il dit en langage KK que la carte d'assemblage

est un isomorphisme, contenant le cas sans coefficients comme le cas

Cependant, des contre-exemples à la conjecture à coefficients ont été trouvés en 2002 par Nigel Higson , Vincent Lafforgue et Georges Skandalis . Cependant, la conjecture avec coefficients reste un domaine de recherche actif, car elle est, à la différence de la conjecture classique, souvent considérée comme un énoncé concernant des groupes particuliers ou une classe de groupes.

Exemples

Soit les nombres entiers . Ensuite , le côté gauche est le K-homologie de ce qui est le cercle. L' algèbre des entiers est par la transformée commutative de Gelfand – Naimark, qui se réduit à la transformée de Fourier dans ce cas, isomorphe à l'algèbre des fonctions continues sur le cercle. Donc le côté droit est la K-théorie topologique du cercle. On peut alors montrer que la carte d'assemblage est la dualité de Poincaré théorique KK telle que définie par Gennadi Kasparov , qui est un isomorphisme.

Résultats

La conjecture sans coefficients est toujours ouverte, bien que le domaine ait reçu une grande attention depuis 1982.

La conjecture est prouvée pour les classes de groupes suivantes:

  • Sous-groupes discrets de et .
  • Groupes avec la propriété Haagerup , parfois appelés groupes aT-menables . Ce sont des groupes qui admettent une action isométrique sur un espace affine de Hilbert qui est propre dans le sens où pour tous et toutes les séquences d'éléments de groupe avec . Des exemples de groupes à mENABLE sont des groupes qui se prêtent , groupes de Coxeter , des groupes qui agissent correctement sur les arbres , et les groupes qui agissent correctement sur simplement connectés complexes cubiques.
  • Groupes qui admettent une présentation finie avec une seule relation.
  • Sous-groupes discrets cocompacts de groupes de Lie réels de rang réel 1.
  • Treillis cocompacts dans ou . C'était un problème de longue date depuis les premiers jours de la conjecture d'exposer un seul groupe T de propriété infinie qui le satisfait. Cependant, un tel groupe a été donné par V. Lafforgue en 1998 car il a montré que les réseaux cocompacts ont la propriété de se désintégrer rapidement et satisfont ainsi la conjecture.
  • Groupes hyperboliques de Gromov et leurs sous-groupes.
  • Parmi les groupes non discrets, la conjecture a été montrée en 2003 par J. Chabert, S. Echterhoff et R. Nest pour la vaste classe de tous les groupes presque connectés (c'est-à-dire les groupes ayant une composante connexe cocompacte), et tous les groupes de -rational points d'un groupe algébrique linéaire sur un champ local de caractéristique zéro (par exemple ). Pour l'importante sous-classe des groupes réductifs réels, la conjecture avait déjà été montrée en 1987 par Antony Wassermann .

L'injectivité est connue pour une classe de groupes beaucoup plus large grâce à la méthode Dirac-dual-Dirac. Cela remonte aux idées de Michael Atiyah et a été développé en grande généralité par Gennadi Kasparov en 1987. L'injectivité est connue pour les classes suivantes:

  • Sous-groupes discrets de groupes de Lie connectés ou de groupes de Lie virtuellement connectés.
  • Sous-groupes discrets de groupes p-adiques .
  • Groupes boliques (une certaine généralisation des groupes hyperboliques).
  • Groupes qui admettent une action convenable sur un espace compact.

L'exemple le plus simple d'un groupe pour lequel on ne sait pas s'il satisfait la conjecture est .

Les références

  • Mislin, Guido & Valette, Alain (2003), Proper Group Actions and the Baum – Connes Conjecture , Bâle: Birkhäuser, ISBN 0-8176-0408-1.
  • Valette, Alain (2002), Introduction à la conjecture de Baum-Connes , Bâle: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-6706-0.

Liens externes