Théorème de Bell - Bell's theorem

Le théorème de Bell prouve que la physique quantique est incompatible avec les théories locales des variables cachées . Il a été introduit par le physicien John Stewart Bell a dans un article de 1964 intitulé « Le Rosen Einstein Podolsky Paradox », se référant à une 1935 expérience de pensée que Albert Einstein , Boris Podolsky et Nathan Rosen utilisés pour faire valoir que la physique quantique est un « incomplet » théorie. En 1935, il était déjà reconnu que les prédictions de la physique quantique sont probabilistes . Einstein, Podolsky et Rosen ont présenté un scénario qui, à leur avis, indiquait que les particules quantiques, comme les électrons et les photons , doivent porter des propriétés physiques ou des attributs non inclus dans la théorie quantique, et les incertitudes dans les prédictions de la théorie quantique étaient dues à l'ignorance de ces propriétés. , appelées plus tard « variables cachées ». Leur scénario implique une paire d'objets physiques largement séparés, préparés de telle manière que l' état quantique de la paire soit intriqué .

Bell a poussé l'analyse de l'intrication quantique beaucoup plus loin. Il en a déduit que si les mesures sont effectuées indépendamment sur les deux moitiés séparées d'une paire, alors l'hypothèse selon laquelle les résultats dépendent de variables cachées au sein de chaque moitié implique une contrainte sur la façon dont les résultats sur les deux moitiés sont corrélés. Cette contrainte sera plus tard nommée l'inégalité de Bell. Bell a ensuite montré que la physique quantique prédit des corrélations qui violent cette inégalité. Par conséquent, la seule façon pour les variables cachées d'expliquer les prédictions de la physique quantique est qu'elles soient « non locales », d'une manière ou d'une autre associées aux deux moitiés de la paire et capables de transmettre instantanément des influences entre elles, quelle que soit la distance à laquelle les deux moitiés sont séparées. Comme Bell l'a écrit plus tard, "Si [une théorie des variables cachées] est locale, elle ne sera pas d'accord avec la mécanique quantique, et si elle est d'accord avec la mécanique quantique, elle ne sera pas locale."

De multiples variations sur le théorème de Bell ont été prouvées au cours des années suivantes, introduisant d'autres conditions étroitement liées généralement connues sous le nom d'inégalités de Bell (ou « de type Bell »). Ceux-ci ont été testés expérimentalement dans des laboratoires de physique à plusieurs reprises depuis 1972. Souvent, ces expériences ont eu pour objectif d'améliorer les problèmes de conception ou de configuration expérimentale qui pourraient en principe affecter la validité des résultats des tests Bell antérieurs. C'est ce qu'on appelle « la fermeture des échappatoires dans les expériences de test de Bell ». À ce jour, les tests de Bell ont montré que l'hypothèse des variables cachées locales est incompatible avec la façon dont les systèmes physiques se comportent, en fait.

La nature exacte des hypothèses requises pour prouver une contrainte de type Bell sur les corrélations a été débattue par les physiciens et par les philosophes . Alors que la signification du théorème de Bell ne fait aucun doute, ses implications complètes pour l' interprétation de la mécanique quantique restent en suspens.

Contexte historique

Au début des années 1930, les implications philosophiques des interprétations actuelles de la théorie quantique ont troublé de nombreux physiciens éminents de l'époque, dont Albert Einstein . Dans un article bien connu de 1935, Boris Podolsky et ses co-auteurs Einstein et Nathan Rosen (collectivement « EPR ») ont cherché à démontrer par le paradoxe de l' EPR que la mécanique quantique était incomplète. Cela a permis d'espérer qu'une théorie plus complète (et moins troublante) pourrait un jour être découverte. Mais cette conclusion reposait sur des hypothèses apparemment raisonnables de localité et de réalisme (appelées ensemble « réalisme local » ou « variables cachées locales », souvent de manière interchangeable). Dans la langue vernaculaire d'Einstein : localité signifiait pas d'action instantanée (« fantasmagorique ») à distance ; le réalisme signifiait que la lune était là même lorsqu'elle n'était pas observée. Ces hypothèses ont été vivement débattues dans la communauté des physiciens, notamment entre Einstein et Niels Bohr .

Dans son article révolutionnaire de 1964, "Sur le paradoxe d'Einstein Podolsky Rosen", le physicien John Stewart Bell a présenté un développement ultérieur, basé sur des mesures de spin sur des paires d'électrons intriqués, du paradoxe hypothétique de l'EPR. En utilisant leur raisonnement, a-t-il déclaré, le choix d'un paramètre de mesure à proximité ne devrait pas affecter le résultat d'une mesure à distance (et vice versa). Après avoir fourni une formulation mathématique de la localité et du réalisme sur cette base, il a montré des cas spécifiques où cela serait incompatible avec les prédictions de la mécanique quantique.

Dans des tests expérimentaux suivant l'exemple de Bell, utilisant maintenant l'intrication quantique de photons au lieu d'électrons, John Clauser et Stuart Freedman (1972) et Alain Aspect et al . (1981) ont démontré que les prédictions de la mécanique quantique sont correctes à cet égard, bien qu'en s'appuyant sur des hypothèses supplémentaires invérifiables qui ouvrent des failles pour le réalisme local. Des expériences ultérieures ont permis de combler ces lacunes.

Aperçu

Le théorème est généralement prouvé en considérant un système quantique de deux qubits intriqués avec les tests originaux comme indiqué ci-dessus effectués sur des photons. Les exemples les plus courants concernent des systèmes de particules intriquées en spin ou en polarisation . La mécanique quantique permet de prédire les corrélations qui seraient observées si ces deux particules avaient leur spin ou leur polarisation mesurés dans des directions différentes. Bell a montré que si une théorie des variables cachées locales est valable, alors ces corrélations devraient satisfaire certaines contraintes, appelées inégalités de Bell.

Avec des particules à deux états et des observables A, B et C (comme sur l'image), on obtient la violation de l'inégalité de type Bell. Selon la mécanique quantique, la somme des probabilités d'obtenir des résultats égaux mesurant différentes observables est de 3/4. Mais en supposant des résultats prédéterminés (égaux pour les mêmes observables), cette somme doit être d'au moins 1 puisque dans chaque paire au moins deux observables sur trois sont alors prédéterminés égaux.

Suivant l'argument de l'article sur le paradoxe Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) (mais en utilisant l'exemple du spin, comme dans la version de David Bohm de l'argument EPR), Bell a considéré une expérience de pensée dans laquelle il y a « une paire de spin des demi-particules se sont formées d'une manière ou d'une autre dans l' état de spin singulet et se déplaçant librement dans des directions opposées." Les deux particules s'éloignent l'une de l'autre vers deux emplacements distants, auxquels des mesures de spin sont effectuées, le long d'axes choisis indépendamment. Chaque mesure donne un résultat de spin-up (+) ou de spin-down (-); cela signifie, tourner dans le sens positif ou négatif de l'axe choisi.

La probabilité d'obtenir le même résultat aux deux emplacements dépend des angles relatifs auxquels les deux mesures de spin sont effectuées, et est strictement comprise entre zéro et un pour tous les angles relatifs autres que les alignements parfaitement parallèles ou antiparallèles (0° ou 180° ). Puisque le moment cinétique total est conservé, et que le spin total est nul à l'état singulet, la probabilité du même résultat avec un alignement parallèle ou antiparallèle est, respectivement, 0 ou 1. Cette dernière prédiction est vraie aussi bien classiquement que quantiquement.

Le théorème de Bell concerne les corrélations définies en termes de moyennes prises sur de très nombreux essais de l'expérience. La corrélation de deux variables binaires est généralement définie en physique quantique comme la moyenne des produits des paires de mesures. Notez que cela est différent de la définition habituelle de la corrélation en statistique. La « corrélation » du physicien quantique est le « moment produit brut (non centré, non normalisé) » du statisticien . Ils sont similaires en ce que, avec l'une ou l'autre définition, si les paires de résultats sont toujours les mêmes, la corrélation est de +1 ; si les paires de résultats sont toujours opposées, la corrélation est de -1 ; et si les paires de résultats concordent 50 % du temps, alors la corrélation est de 0. La corrélation est liée de manière simple à la probabilité de résultats égaux, c'est-à-dire qu'elle est égale à deux fois la probabilité de résultats égaux, moins un.

En mesurant le spin de ces particules intriquées le long de directions antiparallèles (c'est-à-dire faisant face dans des directions précisément opposées, peut-être décalées d'une distance arbitraire), l'ensemble de tous les résultats est parfaitement corrélé. D'un autre côté, si les mesures sont effectuées le long de directions parallèles (c'est-à-dire tournées exactement dans la même direction, peut-être décalées d'une distance arbitraire), elles donnent toujours des résultats opposés et l'ensemble de mesures montre une anti-corrélation parfaite. Ceci est en accord avec les probabilités indiquées ci-dessus de mesurer le même résultat dans ces deux cas. Enfin, les mesures dans des directions perpendiculaires ont 50 % de chances de correspondre et l'ensemble des mesures n'est pas corrélé. Ces cas de base sont illustrés dans le tableau ci-dessous. Les colonnes doivent être lues comme des exemples de paires de valeurs qui pourraient être enregistrées par Alice et Bob avec une augmentation du temps vers la droite.

Anti-parallèle Paire
1 2 3 4 ... m
Alice , 0° + + + ...
Bob , 180° + + + ...
Corrélation ( +1 +1 +1 +1 + ... +1 ) / n = +1
(100% identique)
Parallèle 1 2 3 4 ... m
Alice , 0° + + ... +
Bob , 0° ou 360° + + ...
Corrélation ( -1 -1 -1 -1 - ... -1 ) / n = -1
(100% opposé)
Orthogonal 1 2 3 4 ... m
Alice, 0° + + ...
Bob, 90° ou 270° + + ...
Corrélation ( -1 +1 +1 -1 ... +1 ) / n = 0
(50% identique, 50% opposé)
La meilleure imitation réaliste locale possible (rouge) pour la corrélation quantique de deux spins à l'état singulet (bleu), insistant sur l'anti-corrélation parfaite à 0°, la corrélation parfaite à 180°. De nombreuses autres possibilités existent pour la corrélation classique sous réserve de ces conditions secondaires, mais toutes sont caractérisées par des pics (et des vallées) nets à 0°, 180° et 360°, et aucune n'a de valeurs plus extrêmes (±0,5) à 45°, 135°, 225° et 315°. Ces valeurs sont marquées par des étoiles dans le graphique, et sont les valeurs mesurées dans une expérience standard de type Bell-CHSH : QM permet ±1/ 2 = ±0.7071... , le réalisme local prédit ±0,5 ou moins.

Avec les mesures orientées à des angles intermédiaires entre ces cas de base, l'existence de variables cachées locales pourrait être en accord avec / serait cohérente avec une dépendance linéaire de la corrélation dans l'angle mais, selon l'inégalité de Bell (voir ci-dessous), ne pourrait pas être en accord avec la dépendance prédite par la théorie de la mécanique quantique, à savoir que la corrélation est le cosinus négatif de l'angle. Les résultats expérimentaux contredisent les courbes classiques et correspondent à la courbe prédite par la mécanique quantique tant que les lacunes expérimentales sont prises en compte.

Au fil des ans, le théorème de Bell a subi une grande variété de tests expérimentaux. Cependant, diverses lacunes communes dans les tests du théorème ont été identifiées, notamment la faille de détection et la faille de communication . Au fil des années, les expériences ont été progressivement améliorées pour mieux combler ces lacunes. En 2015, la première expérience visant à combler simultanément toutes les lacunes a été réalisée.

À ce jour, le théorème de Bell est généralement considéré comme étayé par un corpus substantiel de preuves et il y a peu de partisans des variables cachées locales, bien que le théorème soit continuellement l'objet d'études, de critiques et de raffinements.

Importance

Le théorème de Bell, dérivé de son article fondateur de 1964 intitulé "Sur le paradoxe d'Einstein Podolsky Rosen", a été appelé, en supposant que la théorie est correcte, "le plus profond de la science". Peut-être d'une importance égale est l'effort délibéré de Bell pour encourager et conférer une légitimité au travail sur les questions d'exhaustivité, qui étaient tombées en discrédit. Plus tard dans sa vie, Bell a exprimé son espoir qu'un tel travail "continuerait à inspirer ceux qui soupçonnent que ce qui est prouvé par les preuves d'impossibilité est le manque d'imagination". N. David Mermin a décrit les évaluations de l'importance du théorème de Bell dans la communauté de la physique comme allant de "l'indifférence" à "l'extravagance sauvage".

Le titre de l'article fondateur de Bell fait référence à l'article de 1935 d' Einstein, Podolsky et Rosen qui contestait l'exhaustivité de la mécanique quantique. Dans son article, Bell est parti des deux mêmes hypothèses que l'EPR, à savoir (i) la réalité (que les objets microscopiques ont des propriétés réelles déterminant les résultats des mesures de mécanique quantique) et (ii) la localité (que la réalité à un endroit n'est pas influencée. par des mesures effectuées simultanément à un endroit éloigné). Bell a pu tirer de ces deux hypothèses un résultat important, à savoir l'inégalité de Bell. La violation théorique (et plus tard expérimentale) de cette inégalité implique qu'au moins une des deux hypothèses doit être fausse.

À deux égards, l'article de Bell de 1964 était un pas en avant par rapport à l'article EPR : premièrement, il considérait plus de variables cachées que le simple élément de réalité physique dans l'article EPR ; et l'inégalité de Bell était, en partie, testable expérimentalement, soulevant ainsi la possibilité de tester l'hypothèse du réalisme local. Les limites de ces tests à ce jour sont indiquées ci-dessous. Alors que l'article de Bell ne traite que des théories déterministes des variables cachées, le théorème de Bell a ensuite été généralisé aux théories stochastiques , et il a également été réalisé que le théorème ne concerne pas tant les variables cachées que les résultats des mesures qui auraient pu être prises à la place. de celui effectivement pris. L'existence de ces variables est appelée hypothèse de réalisme, ou hypothèse de définition contrefactuelle .

Après l'article de l'EPR, la mécanique quantique était dans une position insatisfaisante : soit elle était incomplète, en ce sens qu'elle ne tenait pas compte de certains éléments de la réalité physique, soit elle violait le principe d'une vitesse de propagation finie des effets physiques. Dans une version modifiée de l'expérience de pensée EPR, deux observateurs hypothétiques , maintenant communément appelés Alice et Bob , effectuent des mesures indépendantes du spin sur une paire d'électrons, préparés à une source dans un état spécial appelé état singulet de spin . C'est la conclusion de l'EPR qu'une fois qu'Alice mesure le spin dans une direction (par exemple sur l' axe x ), la mesure de Bob dans cette direction est déterminée avec certitude, comme étant le résultat opposé à celui d'Alice, alors qu'immédiatement avant la mesure d'Alice, le résultat de Bob était seulement déterminé statistiquement (c'est-à-dire n'était qu'une probabilité, pas une certitude); ainsi, soit la rotation dans chaque direction est un élément de la réalité physique , soit les effets voyagent instantanément d'Alice à Bob.

Dans QM, les prédictions sont formulées en termes de probabilités - par exemple, la probabilité qu'un électron soit détecté à un endroit particulier, ou la probabilité que son spin soit vers le haut ou vers le bas. L'idée persistait, cependant, que l'électron a en fait une position et un spin définis , et que la faiblesse de QM est son incapacité à prédire ces valeurs avec précision. Il existait la possibilité qu'une théorie inconnue, telle qu'une théorie des variables cachées , puisse prédire exactement ces quantités, tout en étant en même temps en parfait accord avec les probabilités prédites par QM. Si une telle théorie des variables cachées existe, alors parce que les variables cachées ne sont pas décrites par QM, cette dernière serait une théorie incomplète.

Réalisme local

Le concept de réalisme local est formalisé pour énoncer et prouver le théorème et les généralisations de Bell. Une approche commune est la suivante :

  1. Il existe un espace de probabilité Λ et les résultats observés par Alice et Bob résultent d'un échantillonnage aléatoire du paramètre (inconnu, "caché") λ ∈ Λ .
  2. Les valeurs observées par Alice ou Bob sont fonction des paramètres locaux du détecteur, de l'état de l'événement entrant (spin pour le matériau ou phase pour le photon) et du paramètre caché uniquement. Ainsi, il existe des fonctions A , B  : S 2 × Λ → {−1, +1} , où un paramètre de détecteur est modélisé comme un emplacement sur la sphère unité S 2 , tel que
    • La valeur observée par Alice avec le réglage du détecteur a est A ( a , λ )
    • La valeur observée par Bob avec réglage du détecteur b est B ( b , λ )

Anti-corrélation parfaite , il faudrait B ( c , λ ) = - A ( c , λ ), cS 2 . Implicite dans l' hypothèse 1) ci - dessus, l'espace de paramètre caché Λ a une mesure de probabilité μ et l' attente d'une variable aléatoire X sur Λ par rapport à μ est écrit

où, pour l'accessibilité de la notation, nous supposons que la mesure de probabilité a une densité de probabilité p qui est donc non négative et s'intègre à 1 . Le paramètre caché est souvent pensé comme étant associé à la source mais il peut tout aussi bien contenir des composants associés aux deux appareils de mesure.

Inégalités de Bell

Les inégalités de Bell concernent des mesures effectuées par des observateurs sur des paires de particules qui ont interagi puis se sont séparées. En supposant un réalisme local, certaines contraintes doivent tenir sur les relations entre les corrélations entre les mesures ultérieures des particules sous divers paramètres de mesure possibles. Soit A et B comme ci-dessus. Définissez pour les présentes trois fonctions de corrélation :

  • Soit C e ( a , b ) la corrélation mesurée expérimentalement définie par
N ++ est le nombre de mesures donnant "spin up" dans la direction de a mesuré par Alice (premier indice + ) et "spin up" dans la direction de b mesuré par Bob. Les autres occurrences de N sont définies de manière analogue. En d'autres termes, cette expression désigne le nombre de fois qu'Alice et Bob ont trouvé le même spin, moins le nombre de fois qu'ils ont trouvé un spin opposé, divisé par le nombre total de mesures, pour une paire d'angles donnée.
  • Soit C q ( a , b ) la corrélation telle que prédite par la mécanique quantique. Ceci est donné par l'expression
où est la fonction d'onde de spin antisymétrique, est le vecteur de Pauli . Cette valeur est calculée pour être
où et sont les vecteurs unitaires qui représentent chaque appareil de mesure et le produit scalaire est égal au cosinus de l'angle entre ces vecteurs.
  • Soit C h ( a , b ) la corrélation telle que prédite par toute théorie des variables cachées. Dans la formalisation de ci-dessus, c'est
Détails sur le calcul de C q ( a , b )

L'espace de spin à deux particules est le produit tensoriel des espaces de Hilbert de spin à deux dimensions des particules individuelles. Chaque espace individuel est un espace de représentation irréductible du groupe de rotation SO(3) . L'espace produit se décompose comme une somme directe de représentations irréductibles avec des spins totaux définis 0 et 1 de dimensions 1 et 3 respectivement. Tous les détails peuvent être trouvés dans la décomposition de Clebsch-Gordan . Le sous-espace de spin zéro total est couvert par l' état singulet dans l'espace des produits, un vecteur explicitement donné par

avec adjoint dans cette représentation

La manière dont les opérateurs à particule unique agissent sur l'espace produit est illustrée ci-dessous par l'exemple ci-dessous ; on définit le produit tensoriel des opérateurs, où les facteurs sont des opérateurs de particules simples, donc si Π, sont des opérateurs de particules simples,

et

etc., où l'exposant entre parenthèses indique sur quel espace de Hilbert dans l'espace du produit tensoriel l'action est destinée et l'action est définie par le membre de droite. L'état singulet a un spin total 0 comme cela peut être vérifié par application de l'opérateur de spin total J · J = ( J 1 + J 2 ) ⋅ ( J 1 + J 2 ) par un calcul similaire à celui présenté ci-dessous.

La valeur attendue de l'opérateur

dans l'état singulet peut être calculé directement. On a, par définition des matrices de Pauli ,

Lors de l'application gauche de ce sur | A on obtient

De même, application (à gauche) de l'opérateur correspondant à b sur A | rendements

Les produits internes sur l'espace des produits tensoriels sont définis par

Compte tenu de cela, la valeur attendue se réduit à


Avec cette notation, un résumé concis de ce qui suit peut être fait.

  • Théoriquement, il existe a , b tels que
quelles que soient les particularités de la théorie des variables cachées pour autant qu'elle respecte les règles du réalisme local telles que définies ci-dessus. C'est-à-dire qu'aucune théorie des variables cachées locales ne peut faire les mêmes prédictions que la mécanique quantique.
  • Expérimentalement, des cas de
ont été trouvés (quelle que soit la théorie des variables cachées), mais
n'a jamais été retrouvé. C'est-à-dire que les prédictions de la mécanique quantique n'ont jamais été falsifiées par l'expérience. Ces expériences incluent celles qui peuvent exclure les théories locales des variables cachées. Mais voir ci-dessous sur les échappatoires possibles.

L'inégalité originale de Bell

L'inégalité dérivée de Bell peut s'écrire :

a, b et c se réfèrent à trois réglages arbitraires des deux analyseurs. Cette inégalité est cependant limitée dans son application au cas assez particulier dans lequel les résultats des deux côtés de l'expérience sont toujours exactement anticorrélés lorsque les analyseurs sont parallèles. L'avantage de restreindre l'attention à ce cas particulier est la simplicité résultante de la dérivation. Dans le travail expérimental, l'inégalité n'est pas très utile car il est difficile, voire impossible, de créer une anti-corrélation parfaite .

Cette forme simple a cependant une explication intuitive. Il est équivalent au résultat élémentaire suivant de la théorie des probabilités. Considérons trois lancers de pièces (fortement corrélés et éventuellement biaisés) X, Y et Z , avec la propriété suivante :

  1. X et Y donnent le même résultat (les deux faces ou les deux faces) 99% du temps
  2. Y et Z donnent également le même résultat 99% du temps,

alors X et Z doivent également donner le même résultat au moins 98% du temps. Le nombre de discordances entre X et Y (1/100) plus le nombre de discordances entre Y et Z (1/100) sont ensemble le nombre maximum possible de discordances entre X et Z (une simple inégalité de Boole-Fréchet ).

Imaginez une paire de particules qui peuvent être mesurées à des endroits éloignés. Supposons que les appareils de mesure aient des paramètres, qui sont des angles, par exemple, les appareils mesurent quelque chose appelé spin dans une certaine direction. L'expérimentateur choisit les directions, une pour chaque particule, séparément. Supposons que le résultat de la mesure soit binaire (par exemple, spin up, spin down). Supposons que les deux particules soient parfaitement anti-corrélées - en ce sens que chaque fois que les deux sont mesurées dans la même direction, on obtient des résultats identiquement opposés, lorsque les deux mesurées dans des directions opposées, elles donnent toujours le même résultat. La seule façon d'imaginer comment cela fonctionne est que les deux particules quittent leur source commune avec, d'une manière ou d'une autre, les résultats qu'elles fourniront lorsqu'elles seront mesurées dans n'importe quelle direction possible. (Comment la particule 1 pourrait-elle autrement donner la même réponse que la particule 2 lorsqu'elle est mesurée dans la même direction ? Ils ne savent pas à l'avance comment elles vont être mesurées...). La mesure sur la particule 2 (après avoir changé de signe) peut être considérée comme nous indiquant ce que la même mesure sur la particule 1 aurait donné.

Commencez avec un réglage exactement opposé à l'autre. Toutes les paires de particules donnent le même résultat (chaque paire est soit à la fois en rotation ascendante, soit en rotation descendante). Décalez maintenant le réglage d'Alice d'un degré par rapport à celui de Bob. Ils sont maintenant à un degré d'être exactement opposés l'un à l'autre. Une petite fraction des paires, disons f , donne maintenant des résultats différents. Si au contraire nous avions laissé le réglage d'Alice inchangé mais décalé celui de Bob d'un degré (dans la direction opposée), alors à nouveau une fraction f des paires de particules s'avère donner des résultats différents. Considérez enfin ce qui se passe lorsque les deux décalages sont mis en œuvre en même temps : les deux réglages sont maintenant exactement à deux degrés d'être opposés l'un à l'autre. Par l'argument de discordance, la probabilité d'une discordance à deux degrés ne peut pas être plus de deux fois la probabilité d'une discordance à un degré : elle ne peut pas être supérieure à 2 f .

Comparez cela avec les prédictions de la mécanique quantique pour l'état singulet. Pour un petit angle θ , mesuré en radians, la probabilité d'un résultat différent est approximativement expliquée par l' approximation aux petits angles . A deux fois ce petit angle, la probabilité d'un décalage est donc environ 4 fois plus grande, puisque . Mais nous venons de faire valoir qu'il ne peut pas être plus de 2 fois plus grand.

Cette formulation intuitive est due à David Mermin . La limite du petit angle est discutée dans l'article original de Bell, et remonte donc à l'origine des inégalités de Bell.

Inégalité CHSH

En généralisant l'inégalité originale de Bell, John Clauser , Michael Horne , Abner Shimony et RA Holt ont introduit l' inégalité CHSH , qui met des limites classiques à l'ensemble des quatre corrélations dans l'expérience d'Alice et Bob, sans aucune hypothèse de corrélations parfaites (ou anti-corrélations) à paramètres égaux

En faisant le choix spécial , en indiquant , et en supposant une anti-corrélation parfaite à paramètres égaux, une corrélation parfaite à des paramètres opposés, donc et , l'inégalité CHSH se réduit à l'inégalité de Bell d'origine. De nos jours, (1) est aussi souvent appelée simplement « l'inégalité de Bell », mais parfois plus complètement « l'inégalité de Bell-CHSH ».

Dérivation de la borne classique

Avec notation abrégée

l'inégalité CHSH peut être dérivée comme suit. Chacune des quatre quantités est et dépend de . Il s'ensuit que pour tout , l'un de et est égal à zéro, et l'autre est . De là il s'ensuit que

et donc

Au cœur de cette dérivation se trouve une simple inégalité algébrique concernant quatre variables, , qui ne prennent que les valeurs :

L'inégalité CHSH semble dépendre uniquement des trois caractéristiques clés suivantes d'une théorie des variables cachées locales : (1) le réalisme : à côté des résultats des mesures réellement effectuées, les résultats des mesures potentiellement effectuées existent également en même temps ; (2) localité, les résultats des mesures sur la particule d'Alice ne dépendent pas de la mesure que Bob choisit d'effectuer sur l'autre particule ; (3) liberté : Alice et Bob peuvent en effet choisir librement les mesures à effectuer.

L' hypothèse de réalisme est en fait quelque peu idéaliste, et le théorème de Bell ne prouve la non-localité que par rapport aux variables qui n'existent que pour des raisons métaphysiques. Cependant, avant la découverte de la mécanique quantique, le réalisme et la localité étaient des caractéristiques totalement incontestées des théories physiques.

Les prédictions de la mécanique quantique violent les inégalités CHSH

Les mesures effectuées par Alice et Bob sont des mesures de spin sur des électrons. Alice peut choisir entre deux paramètres de détecteur étiquetés et ; ces réglages correspondent à la mesure du spin le long de l' axe ou . Bob peut choisir entre deux réglages de détecteur étiquetés et ; ceux-ci correspondent à la mesure du spin le long de l' axe ou , où le système de coordonnées est tourné de 135° par rapport au système de coordonnées. Les observables de spin sont représentés par les matrices auto-adjointes 2 × 2 :

Ce sont les matrices de spin de Pauli , dont les valeurs propres sont connues pour être égales à . Comme d'habitude, nous utiliserons la notation bra-ket pour désigner les vecteurs propres de as , où

Considérons maintenant l'état singulet défini comme
où nous avons utilisé la notation abrégée

Selon la mécanique quantique, le choix des mesures est codé dans le choix des opérateurs hermitiens appliqués à cet état. En particulier, considérons les opérateurs suivants :

où représentent deux choix de mesure d'Alice et deux choix de mesure de Bob.

Pour obtenir la valeur attendue donnée par un choix de mesure donné d'Alice et de Bob, il faut calculer la valeur attendue de la paire d'opérateurs correspondante (par exemple, si les entrées sont choisies pour être ) sur l'état partagé .

Par exemple, la valeur attendue correspondant à Alice choisissant le paramètre de mesure et Bob choisissant le paramètre de mesure est calculée comme suit

Des calculs similaires sont utilisés pour obtenir
Il s'ensuit que la valeur de donnée par cet arrangement expérimental particulier est

Théorème de Bell : Si le formalisme de la mécanique quantique est correct, alors le système constitué d'une paire d'électrons intriqués ne peut pas satisfaire le principe du réalisme local. Notez qu'il s'agit bien de la borne supérieure de la mécanique quantique appelée borne de Tsirelson . Les opérateurs donnant cette valeur maximale sont toujours isomorphes aux matrices de Pauli.

Tester par des expériences pratiques

Schéma d'un test de Bell "à deux canaux"
La source S produit des paires de "photons", envoyés dans des directions opposées. Chaque photon rencontre un polariseur à deux canaux dont l'orientation (a ou b) peut être réglée par l'expérimentateur. Les signaux émergents de chaque canal sont détectés et les coïncidences de quatre types (++, −−, +− et −+) comptées par le moniteur de coïncidence.

Des tests expérimentaux peuvent déterminer si les inégalités de Bell requises par le réalisme local résistent aux preuves empiriques.

En fait, la plupart des expériences ont été réalisées en utilisant la polarisation des photons plutôt que le spin des électrons (ou d'autres demi-particules de spin). L'état quantique de la paire de photons intriqués n'est pas l'état singulet, et la correspondance entre les angles et les résultats est différente de celle de la configuration du demi-spin. La polarisation d'un photon est mesurée dans une paire de directions perpendiculaires. Par rapport à une orientation donnée, la polarisation est soit verticale (notée V ou par +) soit horizontale (notée H ou par -). Les paires de photons sont générées dans l'état quantique

où et désigne l'état d'un seul photon polarisé verticalement ou horizontalement, respectivement (par rapport à une direction de référence fixe et commune pour les deux particules).

Lorsque la polarisation des deux photons est mesurée dans la même direction, les deux donnent le même résultat : une corrélation parfaite. Lorsqu'ils sont mesurés dans des directions faisant un angle de 45° les unes avec les autres, les résultats sont complètement aléatoires (non corrélés). Mesurant dans des directions à 90° l'une de l'autre, les deux sont parfaitement anticorrélés. En général, lorsque les polariseurs sont à un angle θ à l'autre, la corrélation est cos (2 & thetav ) . Donc , par rapport à la fonction de corrélation pour l'état singulet de particules de spin et demi, nous avons un positif plutôt que d' une fonction de cosinus négatif, et sont divisés par deux angles: la corrélation est périodique de période π au lieu de 2 π .

Les inégalités de Bell sont testées par des "comptes de coïncidences" à partir d'une expérience de test de Bell telle que celle optique montrée dans le diagramme. Des paires de particules sont émises à la suite d'un processus quantique, analysées par rapport à une propriété clé telle que la direction de polarisation, puis détectées. Le réglage (orientations) des analyseurs est choisi par l'expérimentateur.

Les expériences de test de Bell à ce jour violent massivement l'inégalité de Bell.

Deux classes d'inégalités de Bell

Le problème de l'échantillonnage équitable a été abordé ouvertement dans les années 1970. Dans les premières conceptions de leur expérience de 1973, Freedman et Clauser ont utilisé un échantillonnage équitable sous la forme de l'hypothèse Clauser-Horne-Shimony-Holt (CHSH). Cependant, peu de temps après, Clauser et Horne ont fait la distinction importante entre les inégalités de Bell inhomogènes (IBI) et homogènes (HBI). Tester un IBI nécessite que nous comparions certains taux de coïncidence dans deux détecteurs séparés avec les taux simples des deux détecteurs. Personne n'avait besoin d'effectuer l'expérience, car les taux de célibataires avec tous les détecteurs dans les années 1970 étaient au moins dix fois tous les taux de coïncidence. Ainsi, compte tenu de cette faible efficacité du détecteur, la prédiction QM satisfaisait en fait l'IBI. Pour arriver à une conception expérimentale dans laquelle la prédiction QM viole l'IBI, nous avons besoin de détecteurs dont l'efficacité dépasse 82,8% pour les états singulet, mais qui ont un taux d'obscurité très faible et des temps morts et de résolution courts. Cependant, Eberhard a découvert qu'avec une variante de l'inégalité de Clauser-Horne, et en utilisant moins d'états intriqués au maximum, une efficacité de détection de seulement 66,67% était requise. Ceci a été réalisé en 2015 par deux expériences réussies de type Bell « sans faille », à Vienne et au NIST de Boulder, Colorado.

Défis pratiques

Parce qu'à cette époque, même les meilleurs détecteurs ne détectaient pas une grande partie de tous les photons, Clauser et Horne ont reconnu que tester l'inégalité de Bell nécessitait des hypothèses supplémentaires. Ils ont introduit la No Enhancement Hypothesis (NEH) :

Un signal lumineux, provenant d'une cascade atomique par exemple, a une certaine probabilité d'activer un détecteur. Ensuite, si un polariseur est interposé entre la cascade et le détecteur, la probabilité de détection ne peut pas augmenter.

Compte tenu de cette hypothèse, il existe une inégalité de Bell entre les taux de coïncidence avec polariseurs et les taux de coïncidence sans polariseurs.

L'expérience a été réalisée par Freedman et Clauser, qui ont constaté que l'inégalité de Bell a été violée. Ainsi, l'hypothèse de non-amélioration ne peut pas être vraie dans un modèle à variables cachées locales.

Alors que les premières expériences utilisaient des cascades atomiques, les expériences ultérieures ont utilisé une conversion descendante paramétrique, suivant une suggestion de Reid et Walls, donnant des propriétés de génération et de détection améliorées. En conséquence, les expériences récentes avec des photons n'ont plus à souffrir de la faille de détection. Cela a fait du photon le premier système expérimental pour lequel toutes les principales failles expérimentales ont été surmontées, bien qu'au début seulement dans des expériences séparées. A partir de 2015, les expérimentateurs ont pu surmonter simultanément toutes les principales failles expérimentales ; voir les expériences de test de Bell .

Interprétations du théorème de Bell

L'interprétation de Copenhague

L' interprétation de Copenhague est une collection de vues sur la signification de la mécanique quantique principalement attribuée à Niels Bohr et Werner Heisenberg . C'est l'une des plus anciennes des nombreuses interprétations proposées de la mécanique quantique , car ses caractéristiques remontent au développement de la mécanique quantique entre 1925 et 1927, et elle reste l'une des plus enseignées. Il n'y a pas de déclaration historique définitive de ce qu'est l' interprétation de Copenhague. En particulier, il y avait des désaccords fondamentaux entre les vues de Bohr et Heisenberg. Certains principes de base généralement acceptés dans le cadre de la collection de Copenhague incluent l'idée que la mécanique quantique est intrinsèquement indéterministe, avec des probabilités calculées à l'aide de la règle de Born , et le principe de complémentarité : certaines propriétés ne peuvent pas être définies conjointement pour le même système en même temps. Pour parler d'une propriété spécifique d'un système, ce système doit être considéré dans le contexte d'un arrangement de laboratoire spécifique. Les quantités observables correspondant à des arrangements de laboratoire mutuellement exclusifs ne peuvent pas être prédites ensemble, mais il est nécessaire de considérer plusieurs de ces expériences mutuellement exclusives pour caractériser un système. Bohr lui-même a utilisé la complémentarité pour affirmer que le « paradoxe » de l'EPR était fallacieux. Parce que les mesures de position et de quantité de mouvement sont complémentaires, faire le choix de mesurer l'une exclut la possibilité de mesurer l'autre. Par conséquent, a-t-il soutenu, un fait déduit concernant un agencement d'appareils de laboratoire ne pouvait pas être combiné avec un fait déduit au moyen de l'autre, et ainsi, l'inférence de valeurs prédéterminées de position et de quantité de mouvement pour la deuxième particule n'était pas valide. Bohr a conclu que les "arguments d'EPR ne justifient pas leur conclusion selon laquelle la description quantique s'avère être essentiellement incomplète".

Les interprétations de type Copenhague prennent généralement la violation des inégalités de Bell comme motif pour rejeter ce que Bell a appelé le « réalisme », ce qui n'est pas nécessairement la même chose que l'abandon du réalisme dans un sens philosophique plus large. Par exemple, Roland Omnès plaide pour le rejet des variables cachées et conclut que « la mécanique quantique est probablement aussi réaliste que ne le sera jamais n'importe quelle théorie de sa portée et de sa maturité ». C'est aussi la voie empruntée par les interprétations qui descendent de la tradition de Copenhague, telles que les histoires cohérentes (souvent annoncées comme "Copenhague bien fait"), ainsi que le QBism .

Interprétation à plusieurs mondes de la mécanique quantique

L' interprétation des mondes multiples est locale et déterministe, car elle consiste en la partie unitaire de la mécanique quantique sans effondrement. Il peut générer des corrélations qui violent une inégalité de Bell car il ne satisfait pas l'hypothèse implicite de Bell selon laquelle les mesures ont un résultat unique. En fait, le théorème de Bell peut être prouvé dans le cadre des mondes multiples à partir de l'hypothèse qu'une mesure a un résultat unique. Par conséquent, une violation d'une inégalité de Bell peut être interprétée comme une démonstration que les mesures ont des résultats multiples.

L'explication qu'il fournit pour les corrélations de Bell est que lorsqu'Alice et Bob font leurs mesures, ils se séparent en branches locales. Du point de vue de chaque copie d'Alice, il y a plusieurs copies de Bob connaissant des résultats différents, donc Bob ne peut pas avoir de résultat défini, et il en va de même du point de vue de chaque copie de Bob. Ils n'obtiendront un résultat mutuellement bien défini que lorsque leurs futurs cônes de lumière se chevaucheront. À ce stade, nous pouvons dire que la corrélation de Bell commence à exister, mais elle a été produite par un mécanisme purement local. Par conséquent, la violation d'une inégalité de Bell ne peut être interprétée comme une preuve de non-localité.

Variables cachées non locales

La plupart des partisans de l'idée des variables cachées croient que les expériences ont exclu les variables cachées locales. Ils sont prêts à abandonner la localité, expliquant la violation de l'inégalité de Bell au moyen d'une théorie des variables cachées non locales , dans laquelle les particules échangent des informations sur leurs états. C'est la base de l' interprétation de Bohm de la mécanique quantique, qui exige que toutes les particules de l'univers soient capables d'échanger instantanément des informations avec toutes les autres. Une expérience de 2007 a exclu une grande classe de théories des variables cachées non-locales non bohèmes, mais pas la mécanique bohème elle-même.

L' interprétation transactionnelle , qui postule des ondes se déplaçant à la fois en arrière et en avant dans le temps, est également non locale.

Superdéterminisme

Bell lui-même a résumé l'une des façons possibles d'aborder le théorème, le superdéterminisme , dans une interview de 1985 à la BBC Radio :

Il existe un moyen d'échapper à l'inférence des vitesses supraluminiques et de l'action effrayante à distance. Mais cela implique un déterminisme absolu dans l'univers, l'absence totale de libre arbitre . Supposons que le monde soit super-déterministe, avec non seulement une nature inanimée fonctionnant en coulisses, mais avec notre comportement, y compris notre conviction que nous sommes libres de choisir de faire une expérience plutôt qu'une autre, absolument prédéterminée, y compris le " décision" de l'expérimentateur d'effectuer une série de mesures plutôt qu'une autre, la difficulté disparaît. Il n'est pas nécessaire qu'un signal plus rapide que la lumière indique à la particule A quelle mesure a été effectuée sur la particule  B , car l'univers, y compris la particule  A , « sait » déjà ce que sera cette mesure et son résultat.

Quelques partisans des modèles déterministes n'ont pas abandonné les variables cachées locales. Par exemple, Gerard 't Hooft a soutenu que la faille du superdéterminisme susmentionnée ne peut être écartée. Pour une théorie des variables cachées , si les conditions de Bell sont correctes, les résultats en accord avec la théorie de la mécanique quantique semblent indiquer des effets supraluminiques (plus rapides que la lumière), en contradiction avec la physique relativiste .

Il y a également eu des affirmations répétées selon lesquelles les arguments de Bell ne sont pas pertinents parce qu'ils reposent sur des hypothèses cachées qui, en fait, sont discutables. Par exemple, ET Jaynes a soutenu en 1989 qu'il y a deux hypothèses cachées dans le théorème de Bell qui limitent sa généralité. Selon Jaynes :

  1. Bell a interprété la probabilité conditionnelle P ( X  |  Y ) comme une influence causale, c'est-à-dire que Y a exercé une influence causale sur X en réalité. Cette interprétation est un malentendu de la théorie des probabilités. Comme le montre Jaynes, "on ne peut même pas raisonner correctement dans un problème aussi simple que de tirer deux boules de l'urne de Bernoulli, s'il interprète les probabilités de cette manière".
  2. L'inégalité de Bell ne s'applique pas à certaines théories possibles des variables cachées. Elle ne s'applique qu'à une certaine classe de théories de variables cachées locales. En fait, il a peut-être manqué le genre de théories des variables cachées qui intéresse le plus Einstein.

Richard D. Gill a affirmé que Jaynes avait mal compris l'analyse de Bell. Gill souligne que dans le même volume de conférence dans lequel Jaynes argumente contre Bell, Jaynes avoue être extrêmement impressionné par une courte preuve de Steve Gull présentée à la même conférence, que les corrélations singulet ne pourraient pas être reproduites par une simulation informatique d'un théorie des variables cachées. Selon Jaynes (écrivant près de 30 ans après les contributions marquantes de Bell), il nous faudrait probablement encore 30 ans pour apprécier pleinement le résultat étonnant de Gull.

En 2006, une vague d'activités sur les implications pour le déterminisme a surgi avec le théorème du libre arbitre de John Horton Conway et Simon B. Kochen , qui a déclaré que « la réponse d'une particule de spin 1 à une triple expérience est libre, c'est-à-dire qu'elle n'est pas une fonction des propriétés de cette partie de l'univers qui est antérieure à cette réponse par rapport à un référentiel inertiel donné." Ce théorème a fait prendre conscience d'une tension entre le déterminisme régissant pleinement une expérience (d'une part) et Alice et Bob étant libres de choisir les paramètres qu'ils aiment pour leurs observations (d'autre part). Le philosophe David Hodgson soutient ce théorème comme montrant que le déterminisme n'est pas scientifique , laissant ainsi la porte ouverte à notre libre arbitre.

Remarques générales

Les violations des inégalités de Bell, dues à l'intrication quantique, fournissent des démonstrations quasi définitives de quelque chose qui était déjà fortement suspecté : que la physique quantique ne peut être représentée par aucune version de l'image classique de la physique. Certains éléments antérieurs qui avaient semblé incompatibles avec les images classiques comprenaient la complémentarité et l' effondrement de la fonction d'onde . Les violations de Bell montrent qu'aucune résolution de tels problèmes ne peut éviter l'étrangeté ultime du comportement quantique.

L'article de l'EPR a « indiqué » les propriétés inhabituelles des états intriqués , par exemple l'état singulet mentionné ci-dessus, qui est à la base des applications actuelles de la physique quantique, telles que la cryptographie quantique ; une application implique la mesure de l'intrication quantique en tant que source physique de bits pour le protocole de transfert inconscient de Rabin . Cette non-localité était à l'origine censée être illusoire, car l'interprétation standard pouvait facilement supprimer l'action à distance en attribuant simplement à chaque particule des états de spin définis pour toutes les directions de spin possibles. L'argument EPR était : donc ces états définis existent, donc la théorie quantique est incomplète au sens EPR, puisqu'ils n'apparaissent pas dans la théorie. Le théorème de Bell a montré que la prédiction de "l'intrication" de la mécanique quantique a un degré de non-localité qui ne peut être expliqué par aucune théorie classique des variables cachées locales.

Ce qui est puissant dans le théorème de Bell, c'est qu'il ne fait référence à aucune théorie particulière des variables cachées locales. Cela montre que la nature viole les hypothèses les plus générales derrière les images classiques, et pas seulement les détails de certains modèles particuliers. Aucune combinaison de variables cachées locales déterministes et aléatoires locales ne peut reproduire les phénomènes prédits par la mécanique quantique et observés à plusieurs reprises dans les expériences.

Voir également

Remarques

Les références

Lectures complémentaires

Les éléments suivants sont destinés au grand public.

  • Amir D. Aczel, Entanglement : Le plus grand mystère de la physique (Four Walls Eight Windows, New York, 2001).
  • A. Afriat et F. Selleri, The Einstein, Podolsky et Rosen Paradox (Plenum Press, New York et Londres, 1999)
  • J. Baggott, La signification de la théorie quantique (Oxford University Press, 1992)
  • N. David Mermin, « La lune est-elle là quand personne ne regarde ? La réalité et la théorie quantique », in Physics Today , avril 1985, pp. 38-47.
  • Louisa Gilder, L'ère de l'intrication : quand la physique quantique renaissait (New York : Alfred A. Knopf, 2008)
  • Brian Greene, Le tissu du cosmos (Vintage, 2004, ISBN  0-375-72720-5 )
  • Nick Herbert, Quantum Reality: Beyond the New Physics (Ancre, 1987, ISBN  0-385-23569-0 )
  • D. Wick, La frontière infâme : sept décennies de controverse en physique quantique (Birkhauser, Boston 1995)
  • R. Anton Wilson, Prometheus Rising (New Falcon Publications, 1997, ISBN  1-56184-056-4 )
  • Gary Zukav " Les maîtres de la danse Wu Li " (Perennial Classics, 2001, ISBN  0-06-095968-1 )
  • Goldstein, Sheldon ; et al. (2011). "Théorème de Bell" . Scholarpedia . 6 (10): 8378. bibcode : 2011SchpJ ... 6.8378G . doi : 10.4249/scholarpedia.8378 .
  • Mermin, ND (1981). « Ramener à la maison le monde atomique : les mystères quantiques pour n'importe qui ». Journal américain de physique . 49 (10) : 940-943. Bibcode : 1981AmJPh..49..940M . doi : 10.1119/1.12594 . S2CID  122724592 .

Liens externes