Benoit Mandelbrot - Benoit Mandelbrot

Benoît Mandelbrot
Mandelbrot lors d'une conférence TED en 2010 peu de temps avant sa mort.
Née	( 1924-11-20 )20 novembre 1924 Varsovie , Pologne
Décédés	14 octobre 2010 (2010-10-14)(85 ans) Cambridge, Massachusetts , États-Unis
Nationalité	français Etats-Unis polonais
mère nourricière	École Polytechnique California Institute of Technology Université de Paris
Connu pour	Ensemble Mandelbrot Théorie du chaos Fractales Loi Zipf-Mandelbrot
Conjoint(s)	Aliette Kagan (m. 1955-2010; sa mort)
Récompenses	Légion d'honneur ( Chevalier 1990  · Officier 2006) 2003   Prix ​​Japon 1993   Prix Wolf 1989   Prix ​​Harvey 1986   Médaille Franklin 1985   Médaille Barnard
Carrière scientifique
Des champs	Mathématiques Aérodynamique
Établissements	Université de Yale IBM Laboratoire national du nord-ouest du Pacifique
Conseiller de doctorat	Paul Lévy
Doctorants	LE. Calvet Eugène Fama Ken Musgrave Mourad Taqqu
Influences	Johannes Kepler , Paul Lévy , Szolem Mandelbrojt
Influencé	Nassim Nicolas Taleb

Benoit B. Mandelbrot (20 Novembre 1924-1914 Octobre 2010) était un français-américain d' origine polonaise mathématicien et polymathe avec de larges intérêts dans les sciences pratiques, en particulier en ce qui concerne ce qu'il a qualifié comme « l'art de la rugosité » des phénomènes physiques et « la élément incontrôlé de la vie". Il se considérait comme un « fractaliste » et est reconnu pour sa contribution au domaine de la géométrie fractale , qui comprenait l'invention du mot « fractale », ainsi que le développement d'une théorie de « la rugosité et l' auto-similitude » dans la nature.

En 1936, alors qu'il était enfant, la famille de Mandelbrot a émigré en France de Varsovie , en Pologne. Après la fin de la Seconde Guerre mondiale , Mandelbrot a étudié les mathématiques, diplômé des universités de Paris et des États-Unis et obtenu une maîtrise en aéronautique du California Institute of Technology . Il a passé la majeure partie de sa carrière aux États-Unis et en France, ayant la double nationalité française et américaine . En 1958, il entame une carrière de 35 ans chez IBM , où il devient IBM Fellow , et prend périodiquement des congés pour enseigner à l'Université Harvard . À Harvard, suite à la publication de son étude sur les marchés des matières premières américains en relation avec les contrats à terme sur le coton, il a enseigné l'économie et les sciences appliquées.

En raison de son accès aux ordinateurs d'IBM, Mandelbrot a été l'un des premiers à utiliser l'infographie pour créer et afficher des images géométriques fractales, ce qui a conduit à sa découverte de l' ensemble de Mandelbrot en 1980. Il a montré comment la complexité visuelle peut être créée à partir de règles simples. Il a déclaré que les choses généralement considérées comme « rugueuses », un « désordre » ou « chaotique », comme les nuages ​​ou les rivages, avaient en fait un « degré d'ordre ». Sa carrière de recherche centrée sur les mathématiques et la géométrie a inclus des contributions à des domaines tels que la physique statistique , la météorologie , l' hydrologie , la géomorphologie , l' anatomie , la taxonomie , la neurologie , la linguistique , les technologies de l'information , l'infographie , l' économie , la géologie , la médecine , la cosmologie physique , l' ingénierie , la théorie du chaos. , éconophysique , métallurgie et sciences sociales .

Vers la fin de sa carrière, il était professeur Sterling de sciences mathématiques à l'Université de Yale , où il était le plus ancien professeur de l'histoire de Yale à être titularisé. Mandelbrot a également occupé des postes au Pacific Northwest National Laboratory , à l' Université Lille Nord de France , à l' Institut d'études avancées et au Centre national de la recherche scientifique . Au cours de sa carrière, il a reçu plus de 15 doctorats honorifiques et a participé à de nombreuses revues scientifiques, en plus de remporter de nombreux prix. Son autobiographie, The Fractalist : Memoir of a Scientific Maverick , a été publiée à titre posthume en 2012.

Les premières années

Vidéo externe
Antécédents familiaux et éducation préscolaire , (4:11) Entretien avec Benoit Mandelbrot, Partie 1 sur 144, Web of Stories

Mandelbrot est né dans une famille juive lituanienne , à Varsovie pendant la Seconde République polonaise . Son père gagnait sa vie en vendant des vêtements ; sa mère était chirurgien-dentiste. Au cours de ses deux premières années d'école, il a reçu des cours particuliers d'un oncle qui méprisait l'apprentissage par cœur : « La plupart de mon temps était passé à jouer aux échecs, à lire des cartes et à apprendre à ouvrir les yeux sur tout ce qui m'entourait. En 1936, alors qu'il avait 11 ans, la famille émigre de Pologne en France. Le déménagement, la guerre et sa connaissance du frère de son père, le mathématicien Szolem Mandelbrojt (qui s'était installé à Paris vers 1920), empêchèrent encore plus une éducation standard. "Le fait que mes parents, réfugiés économiques et politiques, aient rejoint Szolem en France nous a sauvé la vie", écrit-il.

Mandelbrot a fréquenté le Lycée Rollin (aujourd'hui le Collège-lycée Jacques-Decour ) à Paris jusqu'au début de la Seconde Guerre mondiale , lorsque sa famille a déménagé à Tulle , en France. Il est aidé par le rabbin David Feuerwerker , le rabbin de Brive-la-Gaillarde , pour poursuivre ses études. Une grande partie de la France était alors occupée par les nazis, et Mandelbrot se souvient de cette période :

Notre crainte constante était qu'un ennemi suffisamment déterminé puisse nous dénoncer à une autorité et que nous soyons envoyés à la mort. C'est arrivé à une amie proche de Paris, Zina Morhange , médecin dans un chef-lieu voisin. Simplement pour éliminer la concurrence, un autre médecin l'a dénoncée... Nous avons échappé à ce sort. Qui sait pourquoi ?

En 1944, Mandelbrot retourne à Paris, étudie au Lycée du Parc à Lyon , et de 1945 à 1947 fréquente l' École Polytechnique , où il étudie avec Gaston Julia et Paul Lévy . De 1947 à 1949, il étudie au California Institute of Technology, où il obtient une maîtrise en aéronautique. De retour en France, il obtient son doctorat en sciences mathématiques à l' Université de Paris en 1952.

Carrière de recherche

De 1949 à 1958, Mandelbrot est membre du personnel du Centre national de la recherche scientifique . Pendant ce temps, il a passé un an à l' Institute for Advanced Study à Princeton, New Jersey , où il a été parrainé par John von Neumann . En 1955, il épousa Aliette Kagan et s'installa à Genève, en Suisse (pour collaborer avec Jean Piaget au Centre international d'épistémologie génétique) et plus tard à l' Université Lille Nord de France . En 1958, le couple a déménagé aux États-Unis où Mandelbrot a rejoint le personnel de recherche du IBM Thomas J. Watson Research Center à Yorktown Heights, New York . Il est resté chez IBM pendant 35 ans, devenant IBM Fellow, et plus tard Fellow Emeritus .

À partir de 1951, Mandelbrot a travaillé sur des problèmes et publié des articles non seulement en mathématiques mais dans des domaines appliqués tels que la théorie de l'information , l'économie et la dynamique des fluides .

Aléatoire et fractales sur les marchés financiers

Mandelbrot considérait les marchés financiers comme un exemple de « aléatoire sauvage », caractérisé par la concentration et la dépendance à long terme. Il a développé plusieurs approches originales pour modéliser les fluctuations financières. Dans ses premiers travaux, il a constaté que les variations de prix sur les marchés financiers ne suivaient pas une distribution gaussienne , mais plutôt des distributions stables de Lévy ayant une variance infinie . Il a trouvé, par exemple, que les prix du coton ont suivi une distribution stable avec le paramètre Lévy α égal à 1,7 au lieu de 2 comme dans une distribution gaussienne. Les distributions "stables" ont la propriété que la somme de plusieurs instances d'une variable aléatoire suit la même distribution mais avec un paramètre d'échelle plus grand . Ce dernier travail du début des années 60 a été réalisé avec des données quotidiennes des prix du coton à partir de 1900, bien avant qu'il n'introduise le mot « fractale ». Plus tard, après la maturation du concept de fractales, l'étude des marchés financiers dans le contexte des fractales n'est devenue possible qu'après la disponibilité de données à haute fréquence en finance. À la fin des années 80, Mandelbrot a utilisé des données de tick intra-quotidiennes fournies par Olsen & Associates à Zurich pour appliquer la théorie fractale à la microstructure du marché. Cette coopération a conduit à la publication des premiers articles complets sur la loi d'échelle en finance qui démontrent des propriétés similaires à différentes échelles de temps, confirmant la compréhension de Mandelbrot de la nature fractale de la microstructure du marché. Les propres recherches de Mandelbrot dans ce domaine sont présentées dans ses livres « Fractals and Scaling in Finance » et « The (Mis)behavior of Markets ».

Développement de la « géométrie fractale » et de l'ensemble de Mandelbrot

En tant que professeur invité à l'Université de Harvard , Mandelbrot a commencé à étudier des fractales appelées ensembles de Julia qui étaient invariantes sous certaines transformations du plan complexe . S'appuyant sur les travaux antérieurs de Gaston Julia et Pierre Fatou , Mandelbrot a utilisé un ordinateur pour tracer des images des ensembles Julia. Tout en étudiant la topologie de ces ensembles de Julia, il a étudié l' ensemble de Mandelbrot qu'il a introduit en 1979. En 1982, Mandelbrot a élargi et mis à jour ses idées dans The Fractal Geometry of Nature . Ce travail influent a introduit les fractales dans le courant dominant des mathématiques professionnelles et populaires, tout en faisant taire les critiques, qui avaient rejeté les fractales comme des « artefacts de programme ».

En 1975, Mandelbrot a inventé le terme fractale pour décrire ces structures et a d'abord publié ses idées, puis traduit plus tard, Fractales : Forme, Chance et Dimension . Selon l'informaticien et physicien Stephen Wolfram , le livre était une « percée » pour Mandelbrot, qui jusque-là « appliquait généralement des mathématiques assez simples … à des domaines qui avaient à peine vu la lumière des mathématiques sérieuses auparavant ». Wolfram ajoute qu'à la suite de cette nouvelle recherche, il n'était plus un "scientifique errant", et l'appela plus tard "le père des fractales":

Mandelbrot a fini par faire un grand morceau de science et par identifier une idée beaucoup plus forte et plus fondamentale - en termes simples, qu'il existe des formes géométriques, qu'il a appelées "fractales", qui sont également "rugueuses" à toutes les échelles. Peu importe à quel point vous regardez de près, ils ne deviennent jamais plus simples, tout comme la section d'un littoral rocheux que vous pouvez voir à vos pieds semble aussi déchiquetée que le tronçon que vous pouvez voir depuis l'espace.

Wolfram décrit brièvement les fractales comme une forme de répétition géométrique, "dans laquelle des copies de plus en plus petites d'un motif sont successivement imbriquées les unes dans les autres, de sorte que les mêmes formes complexes apparaissent quel que soit le zoom sur l'ensemble. Feuilles de fougère et roman le brocoli en sont deux exemples tirés de la nature." Il souligne une conclusion inattendue :

On aurait pu penser qu'une forme de régularité aussi simple et fondamentale aurait été étudiée pendant des centaines, voire des milliers d'années. Mais ce n'était pas le cas. En fait, il n'a pris de l'importance qu'au cours des 30 dernières années environ, presque entièrement grâce aux efforts d'un seul homme, le mathématicien Benoit Mandelbrot.

Mandelbrot a utilisé le terme « fractale » car il dérive du mot latin « fractus », défini comme du verre brisé ou brisé. En utilisant les ordinateurs IBM nouvellement développés à sa disposition, Mandelbrot a pu créer des images fractales à l'aide d'un code informatique graphique, images qu'un intervieweur a décrites comme ressemblant à « l'exubérance délirante de l' art psychédélique des années 1960 avec des formes qui rappellent de manière obsédante la nature et le corps humain ». . Il se considérait également comme un « futur Kepler », du nom du scientifique du XVIIe siècle Johannes Kepler , qui calcula et décrivit les orbites des planètes.

Mandelbrot, cependant, n'a jamais senti qu'il inventait une nouvelle idée. Il décrit ses sentiments dans un documentaire avec l'écrivain scientifique Arthur C. Clarke :

En explorant cet ensemble, je n'ai certainement jamais eu le sentiment d'invention. Je n'ai jamais eu le sentiment que mon imagination était assez riche pour inventer toutes ces choses extraordinaires en les découvrant. Ils étaient là, même si personne ne les avait vus auparavant. C'est merveilleux, une formule très simple explique toutes ces choses très compliquées. Le but de la science est donc de commencer par un gâchis, et de l'expliquer avec une formule simple, une sorte de rêve de science.

Selon Clarke, « l' ensemble de Mandelbrot est en effet l'une des découvertes les plus étonnantes de toute l'histoire des mathématiques. Qui aurait pu rêver qu'une équation aussi incroyablement simple aurait pu générer des images d' une complexité littéralement infinie ? Clarke note également une "étrange coïncidence

le nom Mandelbrot et le mot " mandala " - pour un symbole religieux - ce qui, j'en suis sûr, est une pure coïncidence, mais en effet l'ensemble de Mandelbrot semble contenir un nombre énorme de mandalas.

Mandelbrot a quitté IBM en 1987, après 35 ans et 12 jours, lorsqu'IBM a décidé de mettre fin à la recherche pure dans sa division. Il a rejoint le département de mathématiques de Yale et a obtenu son premier poste titulaire en 1999, à l'âge de 75 ans. Au moment de sa retraite en 2005, il était professeur Sterling de sciences mathématiques.

Les fractales et la "théorie de la rugosité"

Mandelbrot a créé la toute première « théorie de la rugosité », et il a vu la « rugosité » dans les formes des montagnes, des côtes et des bassins fluviaux ; les structures des plantes, des vaisseaux sanguins et des poumons ; l'amas de galaxies . Sa quête personnelle était de créer une formule mathématique pour mesurer la "rugosité" globale de tels objets dans la nature. Il a commencé par se poser diverses sortes de questions liées à la nature :

La géométrie peut-elle fournir ce que la racine grecque de son nom [geo-] semblait promettre : une mesure véridique, non seulement des champs cultivés le long du Nil, mais aussi de la Terre sauvage ?

Dans son article intitulé Combien de temps dure la côte de la Grande-Bretagne ? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension publié dans Science en 1967 Mandelbrot discute des courbes autosimilaires qui ont une dimension Hausdorff qui sont des exemples de fractales , bien que Mandelbrot n'utilise pas ce terme dans l'article, car il ne l'a inventé qu'en 1975. L'article est l'une des premières publications de Mandelbrot sur le thème des fractales.

Mandelbrot a souligné l'utilisation de fractales comme modèles réalistes et utiles pour décrire de nombreux phénomènes « rugueux » dans le monde réel. Il a conclu que "la vraie rugosité est souvent fractale et peut être mesurée". Bien que Mandelbrot ait inventé le terme « fractal », certains des objets mathématiques qu'il a présentés dans The Fractal Geometry of Nature avaient déjà été décrits par d'autres mathématiciens. Avant Mandelbrot, cependant, ils étaient considérés comme des curiosités isolées aux propriétés non naturelles et non intuitives. Mandelbrot a réuni ces objets pour la première fois et les a transformés en outils essentiels pour l'effort de longue date visant à étendre la portée de la science à l'explication des objets non lisses et « rugueux » dans le monde réel. Ses méthodes de recherche étaient à la fois anciennes et nouvelles :

La forme de géométrie que j'ai de plus en plus favorisée est la plus ancienne, la plus concrète et la plus inclusive, spécifiquement habilitée par l'œil et aidée par la main et, aujourd'hui, aussi par l'ordinateur... apportant un élément d'unité aux mondes de la connaissance et sentiment ... et, sans le vouloir, en prime, dans le but de créer de la beauté.

Les fractales se retrouvent également dans les activités humaines, telles que la musique, la peinture, l'architecture et les cours boursiers . Mandelbrot croyait que les fractales, loin d'être contre nature, étaient à bien des égards plus intuitives et naturelles que les objets artificiellement lisses de la géométrie euclidienne traditionnelle :

Les nuages ​​ne sont pas des sphères, les montagnes ne sont pas des cônes, les côtes ne sont pas des cercles et l'écorce n'est pas lisse, pas plus que les éclairs ne se déplacent en ligne droite.
  —Mandelbrot, dans son introduction à The Fractal Geometry of Nature

Mandelbrot a été qualifié d'artiste, de visionnaire et de franc-tireur. Son style d'écriture informel et passionné et son insistance sur l'intuition visuelle et géométrique (soutenue par l'inclusion de nombreuses illustrations) ont rendu The Fractal Geometry of Nature accessible aux non-spécialistes. Le livre a suscité un intérêt généralisé pour les fractales et a contribué à la théorie du chaos et à d'autres domaines de la science et des mathématiques.

Mandelbrot a également mis ses idées au service de la cosmologie. Il a proposé en 1974 une nouvelle explication du paradoxe d' Olbers (l'énigme du « ciel nocturne noir »), démontrant les conséquences de la théorie fractale comme une résolution suffisante, mais non nécessaire , du paradoxe. Il a postulé que si les étoiles de l'univers étaient distribuées de manière fractale (par exemple, comme la poussière de Cantor ), il ne serait pas nécessaire de s'appuyer sur la théorie du Big Bang pour expliquer le paradoxe. Son modèle n'exclurait pas un Big Bang, mais permettrait un ciel sombre même si le Big Bang n'avait pas eu lieu.

Récompenses et honneurs

Les récompenses de Mandelbrot comprennent le prix Wolf de physique en 1993, le prix Lewis Fry Richardson de la Société européenne de géophysique en 2000, le prix du Japon en 2003 et la conférence Einstein de l' American Mathematical Society en 2006.

Le petit astéroïde 27500 Mandelbrot a été nommé en son honneur. En novembre 1990, il est fait Chevalier de la Légion d'Honneur . En décembre 2005, Mandelbrot a été nommé au poste de Battelle Fellow au Pacific Northwest National Laboratory . Mandelbrot a été promu officier de la Légion d'honneur en janvier 2006. Un diplôme honorifique de l'Université Johns Hopkins a été décerné à Mandelbrot lors des exercices de début de mai 2010.

Une liste partielle des récompenses reçues par Mandelbrot :

Mort et héritage

Mandelbrot est décédé d' un cancer du pancréas à l'âge de 85 ans dans un hospice de Cambridge, Massachusetts, le 14 octobre 2010. Réagissant à l'annonce de sa mort, le mathématicien Heinz-Otto Peitgen a déclaré : dans les sciences, il est l'une des figures les plus importantes de ces cinquante dernières années."

Chris Anderson , commissaire de la conférence TED , a décrit Mandelbrot comme « une icône qui a changé notre façon de voir le monde ». Nicolas Sarkozy , président de la France au moment de la mort de Mandelbrot, a déclaré que Mandelbrot avait « un esprit puissant et original qui n'a jamais hésité à innover et à briser les idées préconçues [...] théorie de l'information." La nécrologie de Mandelbrot dans The Economist souligne sa renommée en tant que "célébrité au-delà de l'académie" et le loue comme le "père de la géométrie fractale".

L'essayiste-auteur à succès Nassim Nicholas Taleb a fait remarquer que le livre de Mandelbrot, The (Mis)Behavior of Markets, est à son avis "Le livre de finance le plus profond et le plus réaliste jamais publié".

Bibliographie

en anglais

• Fractales : Forme, Chance et Dimension, 1977, 2020
• La géométrie fractale de la nature , 1982
• Fractales et mise à l'échelle en finance : discontinuité, concentration, risque. Selecta Volume E, 1997 par Benoit B. Mandelbrot et RE Gomory
• Fractales, hasard et finance, 1959-1997, 1er novembre 1998
• Multifractals and 1/ƒ Noise: Wild Self-Affinity in Physics (1963-1976) (Selecta; VN) 18 janvier 1999 par JM Berger et Benoit B. Mandelbrot
• Gaussian Self-Affinity and Fractals: Globality, The Earth, 1/f Noise, and R/S (Oeuvres choisies de Benoit B. Mandelbrot) 14 décembre 2001 par Benoit Mandelbrot et FJ Damerau
• Fractales et chaos : l'ensemble de Mandelbrot et au-delà, 9 janvier 2004
• The Misbehavior of Markets: A Fractal View of Financial Turbulence, 2006 par Benoit Mandelbrot et Richard L. Hudson
• The Fractalist : Mémoire d'un scientifique non-conformiste, 2014

En français

• La forme d'une vie. Mémoires (1924-2010) de Benoît Mandelbrot (Auteur), Johan-Frédérik Hel Guedj (Traduction)

Références dans la culture populaire

• Dans le livre de 1990 The Ghost from the Grand Banks d' Arthur C. Clarke , les mécènes utilisent l'ensemble pour tester une théorie sur la façon d'élever le Titanic .
• En 1992, l'auteur Piers Anthony a écrit Fractal Mode où les idées de plusieurs univers liés via des fractales sont un point principal de la construction du monde dans l'histoire.
• Mandelbrot et la géométrie fractale sont mentionnés dans le film de 2001 The Bank , et il sert de modèle au protagoniste pour créer son programme BTSE
• En 2004, l'auteur-compositeur-interprète américain Jonathan Coulton a écrit « Mandelbrot Set ». Auparavant, il contenait les lignes « Mandelbrot est au paradis / au moins il le sera quand il sera mort / en ce moment, il est toujours en vie et enseigne les mathématiques à Yale ». Les performances en direct après le décès de Mandelbrot en 2010 ne comportent que la première ligne et un bref instrumental rock.
• En 2007, l'auteur Laura Ruby a publié "The Chaos King", qui comprend un personnage nommé Mandelbrot et une discussion sur la théorie du chaos.
• En 2017, le webcomic de Zach Weinersmith , Saturday Morning Breakfast Cereal , dépeint Mandelbrot.
• En 2017, Liz Ziemska a publié une nouvelle, Mandelbrot The Magnificent , un récit fictif de la façon dont Mandelbrot a sauvé sa famille pendant la Seconde Guerre mondiale.

Hommage

Le 20 novembre 2020, Google a célébré Mandelbrot avec un Google Doodle .

Voir également

Remarques

Les références

Bibliographie

• Hudson, Richard L.; Mandelbrot, Benoît B. (2004). Le (Mauvais) Comportement des Marchés : Une Vue Fractal du Risque, de la Ruine et de la Récompense . New York : livres de base. ISBN 978-0-465-04355-2.

Lectures complémentaires

• Mandelbrot, Benoit B. (2010). Le fractaliste, mémoire d'un non-conformiste scientifique. New York : Vintage Books , Division de Random House. ISBN  978-0-307-38991-6
• Mandelbrot, Benoît B. (1983). La géométrie fractale de la nature . San Francisco : WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1186-5.
• Heinz-Otto Peitgen , Hartmut Jürgens , Dietmar Saupe et Cornelia Zahlten: Fractals: An Animated Discussion (film vidéo de 63 min, entretiens avec Benoît Mandelbrot et Edward Lorenz, animations informatiques), WH Freeman and Company, 1990. ISBN  0-7167-2213 -5 (réédité par Films for the Humanities & Sciences, ISBN  978-0-7365-0520-8 )
• Mandelbrot, Benoit B. (1997) Fractales et échelle en finance : discontinuité, concentration, risque , Springer.
• Mandelbrot, Benoît (février 1999). "Une marche multifractale dans Wall Street". Scientifique américain . 280 (2): 70. bibcode : 1999SciAm.280b..70M . doi : 10.1038/scientificamerican0299-70 .
• Mandelbrot, Benoit B., Auto-affinité gaussienne et fractales , Springer : 2002.
• Mandelbrot, Benoît ; Taleb, Nassim (23 mars 2006). "Un focus sur les exceptions qui confirment la règle" . Temps Financier . Archivé de l' original le 23 octobre 2010 . Récupéré le 17 octobre 2010 .
• "Hunting the Hidden Dimension: Mystryly beautiful fractals are shake up the world of Mathematics and Deepening Our Understanding of Nature" , NOVA , WGBH Educational Foundation, Boston pour PBS, première diffusion le 28 octobre 2008.
• Cadre, Michael ; Cohen, Nathan (2015). Benoit Mandelbrot : Une vie en plusieurs dimensions . Singapour : World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4366-06-9.
• Mandelbrot, B. (1959) Variables et processus stochastiques de Pareto-Levy, et la répartition des revenus. Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris, 249, 613-615.
• Mandelbrot, B. (1960) La loi de Pareto-Levy et la répartition des revenus. Revue économique internationale, 1, 79-106.
• Mandelbrot, B. (1961) Fonctions aléatoires parétiennes stables et variation multiplicative du revenu. Econometrica, 29, 517-543.
• Mandelbrot, B. (1964) Marches aléatoires, ampleur des dégâts causés par le feu et autres phénomènes de risque parétien. Recherche opérationnelle, 12, 582-585.

Liens externes

• Benoit Mandelbrot au Projet de Généalogie Mathématiques
• La page de Mandelbrot à Yale
• "Benoît Mandelbrot : Les fractales et l'art de la rugosité" (adresse TED).
• Fractales en science, ingénierie et finance (cours magistral).
• Interview FT.com sur le sujet des marchés financiers qui inclut sa critique de l'hypothèse du "marché efficace".
• Taylor, Richard (2011). "Nécrologies : Benoit Mandelbrot" . La physique aujourd'hui . 64 (6): 63. bibcode : 2011PhT .... 64f..63T . doi : 10.1063/1.3603925 .
• Mandelbrot raconte l'histoire de sa vie ( Web of Stories ).
• Interview (1er janvier 1981, Ithaca, NY) réalisée par la Eugene Dynkin Collection of Mathematics Interviews, Cornell University Library .
• Animation vidéo du plateau de Mandelbrot , facteur de zoom 10 ³⁴² .
• Animation vidéo de Mandelbulb sur YouTube , une projection tridimensionnelle de Mandelbrot.
• Survol vidéo d'un monde animé de Mandelbulb sur YouTube
• Benoit Mandelbrot chez IMDb
• Benoit Mandelbrot à TED