Bisection - Bisection

La ligne DE coupe la ligne AB en D, la ligne EF est une bissectrice perpendiculaire du segment AD en C et la ligne EF est la bissectrice intérieure de l'angle droit AED

En géométrie , la bissection est la division de quelque chose en deux parties égales ou congruentes , généralement par une ligne , qui est alors appelée bissectrice . Les types de bissectrices les plus souvent considérés sont la bissectrice du segment (une ligne qui passe par le milieu d'un segment donné ) et la bissectrice (une ligne qui passe par le sommet d'un angle , qui le divise en deux angles égaux).

Dans l' espace tridimensionnel , la bissection est généralement effectuée par un plan, également appelé bissectrice ou plan bissectrice .

Bissectrice du segment de droite perpendiculaire

Définition

Bisectrice perpendiculaire d'un segment de droite

La médiatrice d'un segment a également la propriété que chacun de ses points est équidistant des extrémités du segment : (D) .

La preuve découle de et théorème de Pythagore :

La propriété (D) est généralement utilisée pour la construction d'une médiatrice :

Construction par règle et compas

Construction par règle et compas

En géométrie classique, la bissection est une simple construction compas et règle , dont la possibilité dépend de la capacité à tracer des cercles de rayons égaux et de centres différents :

Le segment est coupé en deux en dessinant des cercles sécants de même rayon , dont les centres sont les extrémités du segment. La droite déterminée par les points d'intersection des deux cercles est la médiatrice du segment. Étant donné que la construction de la bissectrice est effectuée sans connaître le milieu du segment , la construction est utilisée pour déterminer l'intersection de la bissectrice et du segment de droite.

Cette construction est en effet utilisée pour construire une droite perpendiculaire à une droite donnée en un point donné : tracer un cercle dont le centre est tel qu'il coupe la droite en deux points , et la perpendiculaire à construire est le seul segment bissectant .

Équations

Si sont les vecteurs de position de deux points , alors son milieu est et le vecteur est un vecteur normal de la bissectrice du segment de droite perpendiculaire. Son équation vectorielle est donc . L'insertion et le développement de l'équation conduisent à l'équation vectorielle

(V)

Avec on obtient l'équation sous forme de coordonnées :

(C)

Ou explicitement :
(E) , où , , et .

Applications

Des bissectrices de segments de droite perpendiculaires ont été utilisées pour résoudre divers problèmes géométriques :

  1. Construction du centre d'un cercle de Thales ,
  2. Construction du centre de l' Excercle d'un triangle,
  3. Les limites du diagramme de Voronoï sont constituées de segments de telles lignes ou plans.
Plan bissectrice

Bissectrices de segments de droite perpendiculaires dans l'espace

  • La perpendiculaire bissectrice d'un segment de ligne est un plan qui rencontre le segment au niveau de son point médian perpendiculairement.

Son équation vectorielle est littéralement la même que dans le cas plan :

(V)

Avec on obtient l'équation sous forme de coordonnées :

(C3)

La propriété (D) (voir ci-dessus) est aussi littéralement vraie dans l'espace :
(D) Le plan médianisé de la bissectrice d'un segment a pour tout point la propriété : .

bissectrice

Bisection d'un angle à l'aide d'un compas et d'une règle

Un angle bissectrice divise l'angle en deux angles avec l' égalité des mesures. Un angle n'a qu'une bissectrice. Chaque point d'une bissectrice est équidistant des côtés de l'angle.

La bissectrice intérieure ou interne d'un angle est la ligne, la demi-ligne ou le segment de ligne qui divise un angle inférieur à 180° en deux angles égaux. La bissectrice extérieure ou externe est la ligne qui divise l' angle supplémentaire (de 180° moins l'angle d'origine), formé par un côté formant l'angle d'origine et le prolongement de l'autre côté, en deux angles égaux.

Pour couper en deux un angle à la règle et au compas , on trace un cercle dont le centre est le sommet. Le cercle rencontre l'angle en deux points : un sur chaque jambe. En utilisant chacun de ces points comme centre, dessinez deux cercles de la même taille. L'intersection des cercles (deux points) détermine une ligne qui est la bissectrice de l'angle.

La preuve de la justesse de cette construction est assez intuitive, s'appuyant sur la symétrie du problème. La trisection d'un angle (en le divisant en trois parties égales) ne peut pas être réalisée avec le compas et la règle seuls (cela a été prouvé pour la première fois par Pierre Wantzel ).

Les bissectrices interne et externe d'un angle sont perpendiculaires . Si l'angle est formé par les deux droites données algébriquement comme et alors les bissectrices interne et externe sont données par les deux équations

Triangle

Encercle.svg

Concurrences et colinéarités

Les bissectrices intérieures d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre du triangle, comme le montre le diagramme à droite.

Les bissectrices de deux angles extérieurs et la bissectrice de l'autre angle intérieur sont concourantes.

Trois points d'intersection, chacun d'une bissectrice d'angle externe avec le côté étendu opposé , sont colinéaires (se situent sur la même ligne les uns que les autres).

Trois points d'intersection, dont deux entre une bissectrice intérieure et le côté opposé, et le troisième entre l'autre bissectrice extérieure et le côté opposé prolongé, sont colinéaires.

Théorème de la bissectrice

Dans ce diagramme, BD:DC = AB:AC.

Le théorème de la bissectrice concerne les longueurs relatives des deux segments en lesquels le côté d'un triangle est divisé par une ligne qui coupe l'angle opposé. Il assimile leurs longueurs relatives aux longueurs relatives des deux autres côtés du triangle.

Longueurs

Si les longueurs des côtés d'un triangle sont , le demi-périmètre et A est le côté opposé de l'angle , alors la longueur de la bissectrice interne de l'angle A est

ou en termes trigonométriques,

Si la bissectrice interne de l'angle A dans le triangle ABC a une longueur et si cette bissectrice divise le côté opposé à A en segments de longueurs m et n , alors

b et c sont les longueurs des côtés opposés aux sommets B et C ; et le côté opposé à A est divisé dans la proportion b : c .

Si les bissectrices internes des angles A, B et C ont des longueurs et , alors

Il n'y a pas deux triangles non congrus qui partagent le même ensemble de trois longueurs de bissectrice d'angle interne.

Triangles entiers

Il existe des triangles entiers avec une bissectrice rationnelle .

Quadrilatère

Les bissectrices internes d'un quadrilatère convexe forment soit un quadrilatère cyclique (c'est-à-dire que les quatre points d'intersection des bissectrices adjacentes sont concycliques ), ou ils sont concurrents . Dans ce dernier cas le quadrilatère est un quadrilatère tangentiel .

Rhombe

Chaque diagonale d'un losange coupe en son milieu des angles opposés.

Quadrilatère ex-tangentiel

L'excentre d'un quadrilatère ex-tangentiel se trouve à l'intersection de six bissectrices. Ce sont les bissectrices d'angle interne à deux angles de sommet opposés, les bissectrices d'angle externe (bissectrices d'angle supplémentaires) aux deux autres angles de sommet, et les bissectrices d'angle externe aux angles formés où les extensions des côtés opposés se coupent.

Parabole

La tangente à une parabole en tout point coupe l'angle entre la ligne joignant le point au foyer et la ligne partant du point et perpendiculaire à la directrice.

Bissectrices des côtés d'un polygone

Triangle

Médianes

Chacune des trois médianes d'un triangle est un segment de ligne passant par un sommet et le milieu du côté opposé, il coupe donc ce côté (mais pas en général perpendiculairement). Les trois médianes se coupent en un point qui s'appelle le centre de gravité du triangle, qui est son centre de masse s'il a une densité uniforme ; ainsi toute ligne passant par le centre de gravité d'un triangle et l'un de ses sommets coupe le côté opposé. Le centre de gravité est deux fois plus proche du milieu d'un côté que du sommet opposé.

Bissectrices perpendiculaires

L'intérieur perpendiculaire bissectrice d'un côté d'un triangle est le segment, tombant entièrement et à l' intérieur du triangle, de la ligne qui coupe perpendiculairement la face. Les trois bissectrices perpendiculaires des trois côtés d'un triangle se coupent au centre circonscrit (le centre du cercle passant par les trois sommets). Ainsi, toute ligne passant par le centre circonscrit d'un triangle et perpendiculaire à un côté coupe ce côté en son milieu.

Dans un triangle aigu, le centre circonscrit divise les bissectrices perpendiculaires intérieures des deux côtés les plus courts dans des proportions égales. Dans un triangle obtus, les bissectrices perpendiculaires des deux côtés les plus courts (s'étendant au-delà de leurs côtés opposés du triangle jusqu'au centre circonscrit) sont divisées par leurs côtés respectifs du triangle qui se coupent dans des proportions égales.

Pour tout triangle, les médiatrices intérieures sont données par et où sont les côtés et l'aire est

Quadrilatère

Les deux bimédianes d'un quadrilatère convexe sont les segments de droite qui relient les milieux des côtés opposés, coupant ainsi chacun deux côtés. Les deux bimédianes et le segment de droite joignant les milieux des diagonales sont concourants en un point appelé "centre de gravité du sommet" et sont tous coupés en deux par ce point.

Les quatre "maltitudes" d'un quadrilatère convexe sont les perpendiculaires à un côté passant par le milieu du côté opposé, coupant ainsi ce dernier côté. Si le quadrilatère est cyclique (inscrit dans un cercle), ces maltitudes sont concourantes à (toutes se rejoignent à) un point commun appelé « anticentre ».

Le théorème de Brahmagupta stipule que si un quadrilatère cyclique est orthodiagonal (c'est-à-dire qu'il a des diagonales perpendiculaires ), alors la perpendiculaire à un côté à partir du point d'intersection des diagonales coupe toujours le côté opposé.

La construction de la bissectrice perpendiculaire forme un quadrilatère à partir des bissectrices perpendiculaires des côtés d'un autre quadrilatère.

Bissectrices d'aire et bissectrices de périmètre

Triangle

Il existe une infinité de droites qui coupent l' aire d'un triangle . Trois d'entre elles sont les médianes du triangle (qui relient les milieux des côtés aux sommets opposés), et celles-ci sont concurrentes au centre de gravité du triangle ; en effet, ce sont les seules bissectrices d'aire qui passent par le centroïde. Trois autres bissectrices sont parallèles aux côtés du triangle ; chacun d'eux coupe les deux autres côtés de manière à les diviser en segments avec les proportions . Ces six lignes sont concurrentes trois à la fois : en plus des trois médianes étant concurrentes, une médiane quelconque est concurrente avec deux des bissectrices latérales parallèles.

L' enveloppe de l'infinité des bissectrices de l'aire est un deltoïde (défini au sens large comme une figure avec trois sommets reliés par des courbes concaves à l'extérieur du deltoïde, faisant des points intérieurs un ensemble non convexe). Les sommets du deltoïde sont au milieu des médianes ; tous les points à l'intérieur du deltoïde se trouvent sur trois bissectrices différentes, tandis que tous les points à l'extérieur se trouvent sur une seule. [1] Les côtés du deltoïde sont des arcs de hyperboles qui sont asymptotiques aux côtés étendus du triangle. Le rapport entre l'aire de l'enveloppe des bissectrices et l'aire du triangle est invariant pour tous les triangles, et est égal à 0,019860... ou inférieur à 2%.

Un couperet d'un triangle est un segment de ligne qui coupe le périmètre du triangle et a une extrémité au milieu de l'un des trois côtés. Les trois fendoirs coïncident (tous passent par) le centre du cercle de Spieker , qui est le cercle inscrit du triangle médian . Les fendoirs sont parallèles aux bissectrices.

Un séparateur de triangle est un segment de ligne ayant une extrémité à l'un des trois sommets du triangle et coupant le périmètre en deux. Les trois séparateurs coïncident au point de Nagel du triangle.

Toute ligne passant par un triangle qui divise à la fois l'aire du triangle et son périmètre en deux passe par le centre du triangle (le centre de son cercle inscrit ). Il y en a un, deux ou trois pour un triangle donné. Une ligne passant par le centre coupe l'une de la zone ou du périmètre si et seulement si elle coupe également l'autre.

Parallélogramme

Toute ligne passant par le milieu d'un parallélogramme divise la zone et le périmètre.

Cercle et ellipse

Toutes les bissectrices d'aire et de périmètre d'un cercle ou d'une autre ellipse passent par le centre , et toutes les cordes passant par le centre divisent l'aire et le périmètre en deux. Dans le cas d'un cercle, ce sont les diamètres du cercle.

Bissectrices de diagonales

Parallélogramme

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Quadrilatère

Si un segment de ligne reliant les diagonales d'un quadrilatère coupe les deux diagonales, alors ce segment de ligne (la ligne de Newton ) est lui-même coupé par le centre de gravité du sommet.

Bisectrices de volume

Un plan qui divise deux arêtes opposées d'un tétraèdre dans un rapport donné divise également le volume du tétraèdre dans le même rapport. Ainsi, tout plan contenant un bimédian (connecteur des points médians des arêtes opposées) d'un tétraèdre coupe en deux le volume du tétraèdre

Les références

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Bissectrice d'angle extérieur". De MathWorld - Une ressource Web Wolfram.
  2. ^ Espagne, Barry. Analytical Conics , Dover Publications, 2007 (orig. 1957).
  3. ^ A b c d e Johnson, Roger A., euclidienne avancée Géométrie , Dover Publ. 2007 (orig. 1929).
  4. ^ Oxman, Victor. « Sur l'existence de triangles avec des longueurs données d'un côté et deux bissectrices adjacentes », Forum Geometricorum 4, 2004, 215-218. http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200425.pdf
  5. ^ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, mars 2009, 115-116.
  6. ^ Mironescu, P., et Panaitopol, L., "L'existence d'un triangle avec des longueurs de bissectrice d'angle prescrites", American Mathematical Monthly 101 (1994): 58-60.
  7. ^ Oxman, Victor, "Une preuve purement géométrique de l'unicité d'un triangle avec des bissectrices d'angle prescrites", Forum Geometricorum 8 (2008) : 197-200.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Quadrilatéral". De MathWorld - Une ressource Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
  9. ^ un b Mitchell, Douglas W. (2013), "Bisectrices perpendiculaires des côtés triangulaires", Forum Geometricorum 13, 53-59. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201307.pdf
  10. ^ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
  11. ^ A b c Dunn, JA, et Pretty, JE, "un triangle Réduire de moitié," mathématique Gazette du 56 mai 1972 105-108.
  12. ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers", Mathematics Magazine 83, avril 2010, pp. 141-146.
  13. ^ Dunn, JA et JE Pretty, « Réduire de moitié un triangle », Mathematical Gazette 56, mai 1972, p. 105.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Tétraèdre". De MathWorld - Une ressource Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Tetrahedron.html
  15. ^ Altshiller-Court, N. "Le tétraèdre". Ch. 4 en géométrie solide pure moderne : Chelsea, 1979.

Liens externes

  • La bissectrice d'angle à couper le nœud
  • Définition de la bissectrice d'angle. Math Open Reference Avec applet interactif
  • Définition de la bissectrice de ligne. Math Open Reference Avec applet interactif
  • Bissectrice de la ligne perpendiculaire. Avec applet interactif
  • Instructions animées pour couper un angle et couper une ligne à l' aide d'un compas et d'une règle
  • Weisstein, Eric W. "Ligne bissectrice" . MathWorld .

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