Statistiques Bose-Einstein - Bose–Einstein statistics

Dans les statistiques quantiques , les statistiques de Bose-Einstein (B-E) décrit l' une des deux manières possibles dont une collection de non-interaction, impossibles à distinguer des particules peut occuper une série de discrètes disponibles états d'énergie à l' équilibre thermodynamique . L'agrégation de particules dans le même état, caractéristique des particules obéissant aux statistiques de Bose-Einstein, explique le flux cohésif de la lumière laser et le fluage sans friction de l' hélium superfluide . La théorie de ce comportement a été développée (1924–25) par Satyendra Nath Bose , qui a reconnu qu'une collection de particules identiques et indiscernables peut être distribuée de cette manière. L'idée a ensuite été adoptée et étendue par Albert Einstein en collaboration avec Bose.

Les statistiques de Bose-Einstein ne s'appliquent qu'aux particules non limitées à une occupation unique du même état, c'est-à-dire aux particules qui n'obéissent pas aux restrictions du principe d'exclusion de Pauli . De telles particules ont des valeurs entières de spin et sont appelées bosons .

Comparaison de l'occupation moyenne de l'état fondamental pour trois statistiques

Répartition Bose-Einstein

À basse température, les bosons se comportent différemment des fermions (qui obéissent à la statistique de Fermi-Dirac ) de telle sorte qu'un nombre illimité d'entre eux peuvent « se condenser » dans le même état d'énergie. Cette propriété apparemment inhabituelle donne également lieu à l'état particulier de la matière - le condensat de Bose-Einstein . Les statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein s'appliquent lorsque les effets quantiques sont importants et que les particules sont " indiscernables ". Des effets quantiques apparaissent si la concentration des particules satisfait

N est le nombre de particules, V est le volume, et n q est la concentration quantique , pour laquelle la distance interparticulaire est égale à la longueur d'onde thermique de Broglie , de sorte que les fonctions d' onde des particules se chevauchent à peine.

La statistique de Fermi-Dirac s'applique aux fermions (particules qui obéissent au principe d'exclusion de Pauli ) et la statistique de Bose-Einstein s'applique aux bosons . Comme la concentration quantique dépend de la température, la plupart des systèmes à haute température obéissent à la limite classique (Maxwell-Boltzmann), à moins qu'ils n'aient aussi une densité très élevée, comme pour une naine blanche . Fermi-Dirac et Bose-Einstein deviennent des statistiques de Maxwell-Boltzmann à haute température ou à faible concentration.

Les statistiques B–E ont été introduites pour les photons en 1924 par Bose et généralisées aux atomes par Einstein en 1924–25.

Le nombre attendu de particules dans un état d'énergie i pour les statistiques B-E est :

avec ε i  > μ et où n i est le nombre de particules dans l'état i sur le nombre total de particules de tous les états d'énergie. est la dégénérescence du niveau d'énergie i , ε i est l' énergie de la i état -ième, μ est le potentiel chimique , k B est la constante de Boltzmann , et T est la température absolue .

La variance de cette distribution est calculée directement à partir de l'expression ci-dessus pour le nombre moyen.

À titre de comparaison, le nombre moyen de fermions d'énergie donnée par la distribution d'énergie des particules de Fermi-Dirac a une forme similaire :

Comme mentionné ci-dessus, la distribution de Bose-Einstein et la distribution de Fermi-Dirac se rapprochent de la distribution de Maxwell-Boltzmann dans la limite d'une température élevée et d'une faible densité de particules, sans avoir besoin d'hypothèses ad hoc :

  • Dans la limite des faibles densités de particules, , donc ou de manière équivalente . Dans ce cas, , qui est le résultat des statistiques de Maxwell-Boltzmann.
  • Dans la limite des hautes températures, les particules sont réparties sur une large gamme de valeurs d'énergie, donc l'occupation sur chaque état (en particulier ceux à haute énergie avec ) est encore très faible, . Cela se réduit à nouveau aux statistiques de Maxwell-Boltzmann.

En plus de se réduire à la distribution de Maxwell-Boltzmann dans la limite de haute et basse densité, les statistiques B-E se réduisent également à la loi de Rayleigh-Jeans pour les états de faible énergie avec , à savoir

Histoire

Władysław Natanson en 1911 a conclu que la loi de Planck exige l'indiscernabilité des « unités d'énergie », bien qu'il n'ait pas défini cela en termes de quanta de lumière d'Einstein.

En présentant une conférence à l' Université de Dhaka (dans ce qui était alors l'Inde britannique et aujourd'hui le Bangladesh ) sur la théorie des radiations et la catastrophe ultraviolette , Satyendra Nath Bose entendait montrer à ses étudiants que la théorie contemporaine était inadéquate, car elle prédisait les résultats. pas en accord avec les résultats expérimentaux. Au cours de cette conférence, Bose a commis une erreur dans l'application de la théorie, ce qui a donné de manière inattendue une prédiction en accord avec l'expérience. L'erreur était une simple erreur-semblable à affirmer que le fait de retourner deux pièces de monnaie équitable produira deux têtes un tiers du temps-qui semblerait manifestement erroné à quiconque ayant une compréhension de base des statistiques (remarquablement, cette erreur ressemblait à la célèbre erreur de d 'Alembert connu par son article Croix ou Pile ). Cependant, les résultats prédits concordaient avec l'expérience, et Bose s'est rendu compte que ce n'était peut-être pas une erreur après tout. Pour la première fois, il a pris la position que la distribution de Maxwell-Boltzmann ne serait pas vraie pour toutes les particules microscopiques à toutes les échelles. Ainsi, il a étudié la probabilité de trouver des particules dans divers états dans l'espace des phases, où chaque état est un petit patch ayant un volume de phase de h 3 , et la position et la quantité de mouvement des particules ne sont pas particulièrement séparées mais sont considérées comme une seule variable.

Bose a adapté cette conférence en un court article intitulé La loi de Planck et l'hypothèse des quanta de lumière et l'a soumis au Philosophical Magazine . Cependant, le rapport de l'arbitre était négatif et le document a été rejeté. Intrépide, il envoya le manuscrit à Albert Einstein demandant sa publication dans le Zeitschrift für Physik . Einstein a immédiatement accepté, a personnellement traduit l'article de l'anglais vers l'allemand (Bose avait auparavant traduit l'article d'Einstein sur la théorie de la relativité générale de l'allemand vers l'anglais) et a veillé à sa publication. La théorie de Bose a été respectée lorsqu'Einstein a envoyé son propre article à l'appui de celui de Bose à Zeitschrift für Physik , demandant qu'ils soient publiés ensemble. Le journal est sorti en 1924.

La raison pour laquelle Bose a produit des résultats précis était que puisque les photons sont indiscernables les uns des autres, on ne peut pas traiter deux photons ayant des nombres quantiques égaux (par exemple, la polarisation et le vecteur de quantité de mouvement) comme étant deux photons identifiables distincts. Par analogie, si dans un univers alternatif, les pièces de monnaie se comportaient comme des photons et d'autres bosons, la probabilité de produire deux têtes serait en effet d'un tiers, de même que la probabilité d'obtenir une tête et une queue égale à la moitié pour le pièces conventionnelles (classiques, distinguables). L'"erreur" de Bose conduit à ce qu'on appelle maintenant les statistiques Bose-Einstein.

Bose et Einstein ont étendu l'idée aux atomes, ce qui a conduit à la prédiction de l'existence de phénomènes qui sont devenus connus sous le nom de condensat de Bose-Einstein , une collection dense de bosons (qui sont des particules à spin entier, nommées d'après Bose), qui a été démontré à existent par expérience en 1995.

Dérivation

Dérivation de l'ensemble microcanonique

Dans l' ensemble microcanonique , on considère un système à énergie, volume et nombre de particules fixes. On prend un système composé de bosons identiques, dont l'énergie est et sont répartis sur des niveaux ou états de même énergie , c'est à dire la dégénérescence associée à l'énergie de l'énergie totale . Le calcul du nombre d'arrangements de particules répartis entre les états est un problème de combinatoire . Étant donné que les particules sont indiscernables dans le contexte de la mécanique quantique ici, le nombre de façons d'organiser les particules dans des boîtes (pour le ième niveau d'énergie) serait (voir l'image à droite)

L'image représente une distribution possible de particules bosoniques dans différentes boîtes. Les cloisons des boîtes (vertes) peuvent être déplacées pour modifier la taille des boîtes et en raison du nombre de bosons que chaque boîte peut contenir.

où est la k -combinaison d'un ensemble à m éléments. Le nombre total d'arrangements dans un ensemble de bosons est simplement le produit des coefficients binomiaux ci-dessus sur tous les niveaux d'énergie, c'est-à-dire

Le nombre maximum d'arrangements déterminant le nombre d'occupation correspondant est obtenu en maximisant l' entropie , ou de manière équivalente, en fixant et en tenant compte des conditions subsidiaires (comme des multiplicateurs de Lagrange ). Le résultat pour , , est la distribution de Bose-Einstein.

Dérivation du grand ensemble canonique

La distribution de Bose-Einstein, qui ne s'applique qu'à un système quantique de bosons sans interaction, est naturellement dérivée du grand ensemble canonique sans aucune approximation. Dans cet ensemble, le système est capable d'échanger de l'énergie et des particules avec un réservoir (température T et potentiel chimique µ fixés par le réservoir).

En raison de la qualité de non-interaction, chaque niveau d'une seule particule disponible (avec le niveau d' énergie ε ) forme un système thermodynamique distinct en contact avec le réservoir. C'est-à-dire que le nombre de particules dans le système global qui occupent un état de particule unique donné forme un sous-ensemble qui est également un grand ensemble canonique ; par conséquent, il peut être analysé par la construction d'une fonction de grande partition .

Chaque état d'une seule particule est d'une énergie fixe, . Comme le sous-ensemble associé à un état monoparticulaire ne varie que par le nombre de particules, il est clair que l'énergie totale du sous-ensemble est aussi directement proportionnelle au nombre de particules dans l'état monoparticulaire ; où est le nombre de particules, l'énergie totale du sous-ensemble sera alors . En commençant par l'expression standard pour une fonction de grande partition et en remplaçant par , la fonction de grande partition prend la forme

Cette formule s'applique aux systèmes fermioniques ainsi qu'aux systèmes bosoniques. La statistique de Fermi-Dirac apparaît lorsque l'on considère l'effet du principe d'exclusion de Pauli : alors que le nombre de fermions occupant le même état de particule unique ne peut être que 1 ou 0, le nombre de bosons occupant un seul état de particule peut être n'importe quel nombre entier. Ainsi, la fonction de grande partition pour les bosons peut être considérée comme une série géométrique et peut être évaluée comme telle :

A noter que la série géométrique n'est convergente que si , y compris le cas où . Cela implique que le potentiel chimique du gaz de Bose doit être négatif, c'est-à-dire , alors que le gaz de Fermi est autorisé à prendre des valeurs à la fois positives et négatives pour le potentiel chimique.

Le nombre moyen de particules pour ce sous-état de particule unique est donné par

Ce résultat s'applique à chaque niveau de particule unique et forme ainsi la distribution de Bose-Einstein pour l'ensemble de l'état du système.

La variance du nombre de particules, , est :

En conséquence, pour les états fortement occupés, l' écart type du nombre de particules d'un niveau d'énergie est très grand, légèrement supérieur au nombre de particules lui-même : . Cette grande incertitude est due au fait que la distribution de probabilité pour le nombre de bosons dans un niveau d'énergie donné est une distribution géométrique ; quelque peu contre-intuitif, la valeur la plus probable pour N est toujours 0. (En revanche, les particules classiques ont à la place une distribution de Poisson en nombre de particules pour un état donné, avec une incertitude beaucoup plus petite de , et avec la valeur N la plus probable étant proche de . )

Dérivation dans l'approche canonique

Il est également possible de dériver des statistiques approximatives de Bose-Einstein dans l' ensemble canonique . Ces dérivations sont longues et ne donnent les résultats ci-dessus que dans la limite asymptotique d'un grand nombre de particules. La raison en est que le nombre total de bosons est fixé dans l'ensemble canonique. La distribution de Bose-Einstein dans ce cas peut être dérivée comme dans la plupart des textes par maximisation, mais la meilleure dérivation mathématique est par la méthode Darwin-Fowler des valeurs moyennes comme souligné par Dingle. Voir aussi Müller-Kirsten. Les fluctuations de l'état fondamental dans la région condensée sont cependant nettement différentes dans les ensembles canonique et grand-canonique.

Dérivation

Supposons que nous ayons un certain nombre de niveaux d'énergie, étiquetés par indice , chaque niveau ayant de l'énergie et contenant un total de particules. Supposons que chaque niveau contienne des sous-niveaux distincts, qui ont tous la même énergie et qui se distinguent. Par exemple, deux particules peuvent avoir des impulsions différentes, auquel cas elles se distinguent l'une de l'autre, mais elles peuvent toujours avoir la même énergie. La valeur associée au niveau est appelée la « dégénérescence » de ce niveau d'énergie. N'importe quel nombre de bosons peut occuper le même sous-niveau.

Soit le nombre de façons de répartir les particules entre les sous- niveaux d'un niveau d'énergie. Il n'y a qu'une seule façon de répartir les particules avec un sous-niveau, donc . Il est facile de voir qu'il existe des façons de répartir les particules en deux sous-niveaux que nous écrirons ainsi :

Avec un peu de réflexion (voir Notes ci-dessous), on peut voir que le nombre de façons de distribuer les particules en trois sous-niveaux est

pour que

où nous avons utilisé le théorème suivant faisant intervenir des coefficients binomiaux :

En poursuivant ce processus, nous pouvons voir qu'il s'agit simplement d'un coefficient binomial (voir les notes ci-dessous)

Par exemple, les nombres de population pour deux particules dans trois sous-niveaux sont 200, 110, 101, 020, 011, ou 002 pour un total de six qui équivaut à 4!/(2!2!). Le nombre de façons dont un ensemble de nombres d'occupations peut être réalisé est le produit des façons dont chaque niveau d'énergie individuel peut être peuplé :

où l'approximation suppose que .

En suivant la même procédure utilisée pour dériver les statistiques de Maxwell-Boltzmann , nous souhaitons trouver l'ensemble de pour lequel W est maximisé, sous la contrainte qu'il y ait un nombre total fixe de particules et une énergie totale fixe. Les maxima de et se produisent à la même valeur de et, puisqu'il est plus facile à accomplir mathématiquement, nous maximiserons plutôt cette dernière fonction. On contraint notre solution à l'aide de multiplicateurs de Lagrange formant la fonction :

En utilisant l' approximation et en utilisant l'approximation de Stirling pour les factorielles donne

K est la somme d'un certain nombre de termes qui ne sont pas des fonctions du . En prenant la dérivée par rapport à , en définissant le résultat sur zéro et en résolvant , donne les nombres de population de Bose-Einstein :

Par un processus similaire à celui décrit dans l' article sur les statistiques de Maxwell-Boltzmann , on peut voir que :

qui, en utilisant la célèbre relation de Boltzmann devient un énoncé de la deuxième loi de la thermodynamique à volume constant, et il s'ensuit que et où S est l' entropie , est le potentiel chimique , k B est la constante de Boltzmann et T est la température , de sorte que finalement :

Notez que la formule ci-dessus s'écrit parfois :

où est l' activité absolue , comme l'a noté McQuarrie.

A noter également que lorsque les nombres de particules ne sont pas conservés, la suppression de la contrainte de conservation des nombres de particules revient à remettre le potentiel chimique à zéro. Ce sera le cas pour les photons et les particules massives en équilibre mutuel et la distribution résultante sera la distribution de Planck .

Remarques

Une façon beaucoup plus simple de penser à la fonction de distribution de Bose-Einstein est de considérer que n particules sont désignées par des boules identiques et que g coquilles sont marquées par des partitions de ligne g-1. Il est clair que les permutations de ces n boules et g − 1 partitions donneront différentes manières d'arranger les bosons à différents niveaux d'énergie. Disons, pour 3 (=  n ) particules et 3 (=  g ) coquilles, donc ( g  − 1) = 2, l'arrangement pourrait être |●●|● , ou ||●●● , ou |●|●● , etc. Par conséquent, le nombre de permutations distinctes de n + (g-1) objets qui ont n éléments identiques et ( g  − 1) éléments identiques sera :

Voir l'image sur la droite pour une représentation visuelle d'une telle distribution de n particules dans g boîtes qui peuvent être représentées comme g -1 partitions.
L'image représente une distribution possible de particules bosoniques dans différentes boîtes. Les cloisons des boîtes (vertes) peuvent être déplacées pour modifier la taille des boîtes et en raison du nombre de bosons que chaque boîte peut contenir.

OU

Le but de ces notes est de clarifier certains aspects de la dérivation de la distribution de Bose-Einstein (B-E) pour les débutants. L'énumération des cas (ou voies) dans la distribution B-E peut être reformulée comme suit. Considérons un jeu de lancer de dés dans lequel il y a des dés, chaque dé prenant des valeurs dans l'ensemble , pour . Les contraintes du jeu sont que la valeur d'un dé , notée , doit être supérieure ou égale à la valeur du dé , notée , lors du lancer précédent, c'est-à-dire . Ainsi, une séquence valide de lancers de dés peut être décrite par un n- uplet , tel que . Notons l'ensemble de ces n -uplets valides :

(1)

Alors la quantité ( définie ci-dessus comme le nombre de façons de distribuer les particules parmi les sous- niveaux d'un niveau d'énergie) est la cardinalité de , c'est-à-dire le nombre d'éléments (ou n -uplets valides ) dans . Ainsi, le problème de trouver une expression pour devient le problème de compter les éléments dans .

Exemple n = 4, g = 3 :

(il y a des éléments dans )

Le sous - ensemble est obtenu en fixant tous les indices à , à l'exception du dernier indice, , qui est incrémenté de à . Le sous - ensemble est obtenu en fixant et en incrémentant de à . En raison de la contrainte sur les index dans , l'index doit automatiquement prendre des valeurs dans . La construction des sous - ensembles et suit de la même manière.

Chaque élément de peut être considéré comme un multi-ensemble de cardinalité ; les éléments d'un tel multi-ensemble sont tirés de l'ensemble de cardinalité , et le nombre de tels multi-ensembles est le coefficient du multi - ensemble

Plus généralement, chaque élément de est un multi-ensemble de cardinalité (nombre de dés) avec des éléments pris dans l'ensemble de cardinalité (nombre de valeurs possibles de chaque dé), et le nombre de ces multi-ensembles, c'est-à-dire est le coefficient du multi - ensemble

(2)

qui est exactement la même que la formule pour , telle que dérivée ci-dessus à l'aide d'un théorème impliquant des coefficients binomiaux, à savoir

(3)

Pour comprendre la décomposition

(4)

ou par exemple, et

réorganisons les éléments de comme suit

De toute évidence, le sous-ensemble de est le même que l'ensemble

.

En supprimant l'index (affiché en rouge avec un double soulignement ) dans le sous-ensemble de , on obtient l'ensemble

.

En d'autres termes, il existe une correspondance bijective entre le sous-ensemble de et l'ensemble . Nous écrivons

.

De même, il est facile de voir que

(ensemble vide).

Ainsi on peut écrire

ou plus généralement,

;

(5)

et depuis les ensembles

ne se coupent pas, on a donc

,

(6)

avec la convention que

(7)

En continuant le processus, nous arrivons à la formule suivante

En utilisant la convention (7) 2 ci-dessus, on obtient la formule

(8)

en gardant à l'esprit que pour et étant des constantes, nous avons

.

(9)

On peut alors vérifier que (8) et (2) donnent le même résultat pour , , , etc.

Applications interdisciplinaires

Considérée comme une pure distribution de probabilité , la distribution de Bose-Einstein a trouvé une application dans d'autres domaines :

  • Ces dernières années, les statistiques de Bose-Einstein ont également été utilisées comme méthode de pondération des termes dans la recherche d'informations . La méthode fait partie d'une collection de modèles DFR ("Divergence From Randomness"), la notion de base étant que les statistiques de Bose-Einstein peuvent être un indicateur utile dans les cas où un terme particulier et un document particulier ont une relation significative qui n'aurait pas s'est produit par pur hasard. Le code source pour la mise en œuvre de ce modèle est disponible auprès du projet Terrier de l'Université de Glasgow.
  • L'évolution de nombreux systèmes complexes, y compris le World Wide Web , les entreprises et les réseaux de citations, est codée dans le Web dynamique décrivant les interactions entre les composants du système. Malgré leur nature irréversible et hors d'équilibre, ces réseaux suivent les statistiques de Bose et peuvent subir une condensation de Bose-Einstein. Aborder les propriétés dynamiques de ces systèmes hors d'équilibre dans le cadre des gaz quantiques d'équilibre prédit que les phénomènes « premier arrivé-avantage », « fit-get-rich ( FGR ) » et « le gagnant remporte tout » observés dans les systèmes compétitifs sont des phases thermodynamiquement distinctes des réseaux en évolution sous-jacents.

Voir également

Remarques

Les références

  • Annett, James F. (2004). Supraconductivité, superfluides et condensats . New York : Oxford University Press. ISBN 0-19-850755-0.
  • Carter, Ashley H. (2001). Thermodynamique classique et statistique . Upper Saddle River, New Jersey : Prentice Hall. ISBN 0-13-779208-5.
  • Griffiths, David J. (2005). Introduction à la mécanique quantique (2e éd.). Upper Saddle River, New Jersey : Pearson, Prentice Hall. ISBN 0-13-191175-9.
  • McQuarrie, Donald A. (2000). Mécanique statistique (1ère éd.). Sausalito, Californie 94965 : University Science Books. p. 55 . ISBN 1-891389-15-7.Maintenance CS1 : emplacement ( lien )