Cet article concerne les limites en topologie générale. Il ne doit pas être confondu avec la
frontière d'une variété .
Un ensemble (en bleu clair) et sa limite (en bleu foncé).
En topologie et en mathématiques en général, la frontière d'un sous-ensemble S d'un espace topologique X est l'ensemble des points qui peuvent être approchés à la fois de S et de l'extérieur de S . Plus précisément, c'est l'ensemble des points dans la fermeture de ne pas appartenir à l' intérieur de Un élément de la frontière de s'appelle un point frontière de Le terme opération de frontière désigne la recherche ou la prise de la frontière d'un ensemble. Les notations utilisées pour la frontière d'un ensemble incluent et Certains auteurs (par exemple Willard, dans General Topology ) utilisent le terme frontière au lieu de frontière afin d'éviter toute confusion avec une définition différente utilisée dans la topologie algébrique et la théorie des variétés . Malgré une large acceptation de la signification des termes frontière et frontière, ils ont parfois été utilisés pour désigner d'autres ensembles. Par exemple, les espaces métriques par ET Copson utilise la limite terme pour désigner Hausdorff de la frontière , qui est défini comme l'intersection d'un ensemble avec sa limite. Hausdorff a également introduit le terme résidu , qui est défini comme l'intersection d'un ensemble avec la fermeture de la frontière de son complément.
Une composante connexe de la frontière de est appelée une composante de frontière de
Définitions communes
Il existe plusieurs définitions équivalentes pour la frontière d'un sous-ensemble d'un espace topologique qui sera notée par ou simplement si l' on comprend :
- C'est la fermeture de moins l' intérieur de dans :
où désigne la fermeture de in et désigne l' intérieur topologique de in
- C'est l'intersection de la fermeture de avec la fermeture de son complémentaire :
- C'est l'ensemble des points tels que tout voisinage de contient au moins un point de et au moins un point non de :
Un point limite d'un ensemble fait référence à tout élément de la limite de cet ensemble. La frontière définie ci-dessus est parfois appelée frontière topologique de l'ensemble pour la distinguer d'autres notions du même nom telles que la frontière d'une variété avec frontière ou la frontière d'une variété avec coins , pour n'en citer que quelques exemples.
Propriétés
La fermeture d'un ensemble équivaut à l'union de l'ensemble avec sa frontière :
où dénote la
fermeture de dans
Un ensemble est fermé si et seulement s'il contient sa frontière, et ouvert si et seulement s'il est disjoint de sa frontière. La frontière d'un ensemble est fermée ; cela découle de la formule qui s'exprime comme l'intersection de deux sous-ensembles fermés de
("Trichotomie")Étant donné n'importe quel sous-ensemble, chaque point de se trouve exactement dans l'un des trois ensembles et Dit différemment,
et ces trois ensembles sont deux à deux disjoints . Par conséquent, si ces ensembles ne sont pas vides alors ils forment une partition de
Un point est un point limite d'un ensemble si et seulement si chaque voisinage de contient au moins un point dans l'ensemble et au moins un point hors de l'ensemble. La frontière de l'intérieur d'un ensemble ainsi que la frontière de la fermeture d'un ensemble sont toutes deux contenues dans la frontière de l'ensemble.
Diagramme de Venn conceptuel montrant les relations entre différents points d'un sous-ensemble de = ensemble de points limites d' ensemble de points limites de zone ombrée vert = ensemble de points intérieurs de zone ombrée jaune = ensemble de points isolés de zones ombrées noir = ensembles vides. Chaque point de est soit un point intérieur, soit un point limite. De plus, chaque point de est soit un point d'accumulation, soit un point isolé. De même, chaque point limite de est soit un point d'accumulation, soit un point isolé. Les points isolés sont toujours des points limites.
Exemples
Caractérisations et exemples généraux
La frontière d'un ensemble est égale à la frontière du complément de l'ensemble :
Si est un sous- ensemble ouvert dense de then
L'intérieur de la frontière d'un ensemble fermé est l'ensemble vide. Par conséquent, l'intérieur de la frontière de la fermeture d'un ensemble est l'ensemble vide. L'intérieur de la frontière d'un ensemble ouvert est aussi l'ensemble vide. Par conséquent, l'intérieur de la frontière de l'intérieur d'un ensemble est l'ensemble vide. En particulier, si est un sous - ensemble fermé ou ouvert alors il n'existe pas un sous - ensemble non vide de telle sorte que est également un sous - ensemble ouvert de
ce fait est important pour la définition et l' utilisation des sous - ensembles nulle part denses , des sous - ensembles maigres , et des espaces de Baire .
Un ensemble est la frontière d'un ensemble ouvert si et seulement s'il est fermé et nulle part dense . La limite d'un ensemble est vide si et seulement si l'ensemble est à la fois fermé et ouvert (c'est-à-dire un ensemble clopen ).
Exemples concrets
Considérez la ligne réelle avec la topologie habituelle (qui est, la topologie dont les ensembles base sont des intervalles ouverts ) et le sous - ensemble des nombres rationnels (dont l' intérieur topologique en est vide). Puis
Ces deux derniers exemples illustrent le fait que la frontière d'un ensemble dense à intérieur vide est sa fermeture. Ils montrent également qu'il est possible que la frontière d'un sous-ensemble contienne un sous-ensemble ouvert non vide de ; c'est-à-dire que l'intérieur de in ne soit pas vide. Cependant, la frontière d' un sous-ensemble fermé a toujours un intérieur vide.
Dans l'espace des nombres rationnels avec la topologie habituelle (la topologie du sous - espace de ), la frontière de où est irrationnelle, est vide.
La frontière d'un ensemble est une notion topologique et peut changer si l'on change la topologie. Par exemple, étant donné que la topologie habituelle sur la limite d'un disque fermé est le cercle environnant du disque : Si le disque est considéré comme un ensemble avec sa propre topologie habituelle, c'est-à-dire que la limite du disque est le disque lui-même : Si le disque est considéré comme son propre espace topologique (avec la topologie de sous-espace de ), alors la limite du disque est vide.
Limite d'une balle ouverte par rapport à sa sphère environnante
Cet exemple démontre que la frontière topologique d'une boule ouverte de rayon n'est pas nécessairement égale à la sphère de rayon correspondante (centrée au même point) ; il montre également que la fermeture d'une boule de rayon ouverte n'est pas nécessairement égale à la boule de rayon fermée (à nouveau centrée au même point). Notons la métrique euclidienne habituelle sur par
ce qui induit sur la
topologie euclidienne habituelle . Notons la réunion de l' axe - avec le cercle unité centré à l'origine ; c'est-à-dire qui est un sous - espace topologique dont la topologie est égale à celle induite par la (restriction de) la métrique
En particulier, les ensembles et sont tous des sous-ensembles fermés de et donc aussi des sous-ensembles fermés de son sous-espace
Dorénavant, sauf indication contraire claire , chaque boule ouverte, boule fermée et sphère doit être supposée être centrée à l'origine et de plus, seul l' espace métrique sera considéré (et non son superespace ); ceci étant un espace métrique complet connecté au chemin et connecté localement au chemin .
Désignons la boule ouverte de rayon en par de
sorte que lorsque puis
est le sous-intervalle ouvert de l' axe strictement compris entre et
La sphère unité dans ("unité" signifiant que son rayon est ) est
tandis que la boule unité fermée in est l'union de la boule unité ouverte et de la sphère unité centrée en ce même point :
Cependant, la limite topologique fermeture et topologique dans de la boule unité ouverte sont:
En particulier, la limite topologique de la boule unité ouverte est un sous-ensemble propre de la sphère unité dans
Et la fermeture topologique de la boule unité ouverte est un sous-ensemble propre de la boule unité fermée dans
Le point par exemple, ne peut pas appartenir à car il n'existe pas de séquence en cela converge vers elle ; le même raisonnement se généralise pour expliquer également pourquoi aucun point en dehors du sous-intervalle fermé n'appartient à Parce que la frontière topologique de l'ensemble est toujours un sous-ensemble de la fermeture de , il s'ensuit que doit également être un sous-ensemble de
Dans tout espace métrique, la frontière topologique d'une boule ouverte de rayon centrée en un point est toujours un sous-ensemble de la sphère de rayon centrée en ce même point ; C'est,
tient toujours.
De plus, la sphère unité dans contient qui est un sous-ensemble ouvert de Ceci montre, en particulier, que la sphère unité dans contient un
sous- ensemble ouvert non vide de
Limite d'une limite
Pour tout ensemble où désigne le
sur - ensemble avec égalité tenant si et seulement si la frontière de n'a pas de points intérieurs, ce qui sera le cas par exemple si est soit fermé soit ouvert. Puisque la frontière d'un ensemble est fermée, pour tout ensemble L'opérateur frontière satisfait ainsi une sorte d' idempotence affaiblie .
En discutant des frontières des variétés ou des simplexes et de leurs complexes simpliciaux , on rencontre souvent l'affirmation que la frontière de la frontière est toujours vide. En effet, la construction de l' homologie singulière repose de manière critique sur ce fait. L'explication de l'incongruité apparente est que la frontière topologique (le sujet de cet article) est un concept légèrement différent de la frontière d'une variété ou d'un complexe simplicial. Par exemple, la limite d'un disque ouvert vu comme une variété est vide, de même que sa limite topologique vue comme un sous-ensemble de lui-même, tandis que sa limite topologique vue comme un sous-ensemble du plan réel est le cercle entourant le disque. Inversement, la frontière d'un disque fermé vu comme une variété est le cercle englobant, de même que sa frontière topologique vue comme un sous-ensemble du plan réel, tandis que sa frontière topologique vue comme un sous-ensemble de lui-même est vide. En particulier, la frontière topologique dépend de l'espace ambiant, tandis que la frontière d'une variété est invariante.
Voir également
Remarques
Citations
Les références