Cercle de Brocard - Brocard circle

En géométrie , le cercle de Brocard (ou cercle à sept points ) pour un triangle est un cercle défini à partir d'un triangle donné . Elle passe par le centre du cercle circonscrit et symmedian du triangle, et est centrée au milieu du segment de droite qui les joint ( de sorte que ce segment est un diamètre ).

Équation

En ce qui concerne les longueurs des côtés , et du triangle donné, et les coordonnées surfaciques pour les points à l' intérieur du triangle (où le -Coordonner d'un point est l'aire du triangle formé par ce point avec le côté de la longueur , etc.), le cercle de Brocard est constitué des points satisfaisant l'équation ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$ ${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a ^ {2} yz + b ^ {2} zx + c ^ {2} xy = {\ frac {a ^ {2} b ^ {2} c ^ {2} (x + y + z) } {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}} \ gauche ({\ frac {x} {a ^ {2}}} + {\ frac {y} {b ^ {2 }}} + {\ frac {z} {c ^ {2}}} \ right).}$

Points liés

Les deux points de Brocard se trouvent sur ce cercle, tout comme les sommets du triangle de Brocard . Ces cinq points, ainsi que les deux autres points du cercle (le circumcenter et le symedian), justifient le nom de "cercle à sept points".

Le cercle de Brocard est concentrique au premier cercle de Lemoine .

Cas spéciaux

Si le triangle est équilatéral , le circumcenter et le symedian coïncident et donc le cercle de Brocard se réduit à un seul point.

Histoire

Le cercle de Brocard porte le nom d' Henri Brocard , qui en présenta un article à l'Association française pour l'avancement des sciences à Alger en 1881.

Références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Brocard Circle" . MathWorld .

Voir également

• Cercle à neuf points