Module de vrac - Bulk modulus

Illustration de la compression uniforme

Le module de masse ( ou ) d'une substance est une mesure de la résistance à la compression de cette substance. Elle est définie comme le rapport de l' augmentation de pression infinitésimale à la diminution relative résultante du volume . D'autres modules décrivent la réponse du matériau ( déformation ) à d'autres types de contraintes : le module de cisaillement décrit la réponse à la contrainte de cisaillement et le module de Young décrit la réponse à la contrainte normale. Pour un fluide , seul le module de masse est significatif. Pour un solide anisotrope complexe comme le bois ou le papier , ces trois modules ne contiennent pas assez d'informations pour décrire son comportement, et il faut utiliser la loi de Hooke généralisée complète . L'inverse du module de masse à température fixe est appelé la compressibilité isotherme . ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage B}$

Définition

Le module de masse (qui est généralement ) peut être formellement défini par l'équation ${\style d'affichage K}$${\style d'affichage >0}$

${\displaystyle K=-V{\frac {dP}{dV}}}$

où est la pression, est le volume initial de la substance et désigne la dérivée de la pression par rapport au volume. Comme le volume est inversement proportionnel à la densité, il s'ensuit que ${\style d'affichage P}$${\style d'affichage V}$${\displaystyle dP/dV}$

${\displaystyle K=\rho {\frac {dP}{d\rho }}}$

où est la densité initiale et désigne la dérivée de la pression par rapport à la densité (c'est-à-dire le taux de variation de la pression avec le volume). L'inverse du module de masse donne la compressibilité d' une substance . Généralement, le module d'encombrement est défini à température constante comme le module d'encombrement isotherme, mais peut également être défini à entropie constante comme le module d'encombrement adiabatique . ${\style d'affichage \rho }$${\displaystyle dP/d\rho }$

Relation thermodynamique

Strictement parlant, le module de compression est une grandeur thermodynamique , et afin de spécifier un module de compression, il est nécessaire de spécifier comment la pression varie pendant la compression : température constante (isotherme ), entropie constante ( isentropique ) et d'autres variations sont possibles . De telles distinctions sont particulièrement pertinentes pour les gaz . ${\displaystyle K_{T}}$ ${\style d'affichage K_{S}}$

Pour un gaz parfait, un processus isentropique a :

${\displaystyle PV^{\gamma }=const.\,\Rightarrow P\propto \left({\frac {1}{V}}\right)^{\gamma }\propto \rho ^{\gamma }, }$

où est le rapport de capacité calorifique . Par conséquent, le module de compression isentropique est donné par ${\style d'affichage \gamma }$${\style d'affichage K_{S}}$

${\displaystyle K_{S}=\gamma P.}$

De même, un processus isotherme d'un gaz parfait a :

${\displaystyle PV=const.\,\Rightarrow P\propto {\frac {1}{V}}\propto \rho ,}$

Par conséquent, le module de masse isotherme est donné par ${\displaystyle K_{T}}$

${\style d'affichage K_{T}=P}$ .

Lorsque le gaz n'est pas idéal, ces équations ne donnent qu'une approximation du module de masse. Dans un fluide, le module de masse et la densité déterminent la vitesse du son ( ondes de pression ), selon la formule de Newton-Laplace ${\style d'affichage K}$ ${\style d'affichage \rho }$ ${\style d'affichage c}$

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}.}$

Dans les solides, et ont des valeurs très similaires. Les solides peuvent également supporter des ondes transversales : pour ces matériaux, un module d'élasticité supplémentaire , par exemple le module de cisaillement, est nécessaire pour déterminer les vitesses des ondes. ${\style d'affichage K_{S}}$${\displaystyle K_{T}}$

La mesure

Il est possible de mesurer le module de masse par diffraction de poudre sous pression appliquée. C'est une propriété d'un fluide qui montre sa capacité à changer de volume sous sa pression.

Valeurs sélectionnées

Influences des ajouts de composants de verre sélectionnés sur le module de masse d'un verre de base spécifique.

Un matériau avec un module de compression de 35 GPa perd un pour cent de son volume lorsqu'il est soumis à une pression externe de 0,35 GPa (~3500 bars ).

Origine microscopique

Potentiel interatomique et élasticité linéaire

Potentiel et force interatomiques

L'élasticité linéaire étant le résultat direct de l'interaction interatomique, elle est liée à l'extension/compression des liaisons. Il peut alors être dérivé du potentiel interatomique des matériaux cristallins. Tout d'abord, examinons l'énergie potentielle de deux atomes en interaction. Partant de points très éloignés, ils ressentiront une attirance l'un envers l'autre. Au fur et à mesure qu'ils se rapprochent, leur énergie potentielle diminue. D'autre part, lorsque deux atomes sont très proches l'un de l'autre, leur énergie totale sera très élevée en raison de l'interaction répulsive. Ensemble, ces potentiels garantissent une distance interatomique qui atteint un état d'énergie minimal. Cela se produit à une certaine distance a ₀ , où la force totale est nulle :

${\displaystyle F=-{\partial U \over \partial r}=0}$

Où U est le potentiel interatomique et r est la distance interatomique. Cela signifie que les atomes sont en équilibre.

Pour étendre l'approche des deux atomes au solide, considérons un modèle simple, par exemple un tableau 1D d'un élément avec une distance interatomique de a et la distance d'équilibre est a ₀ . Sa relation potentielle de distance interatomique d'énergie a une forme similaire à celle du cas de deux atomes, qui atteint un minimum à un ₀ , le développement de Taylor en est:

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+\left({\partial u \over \partial r}\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})+ {1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}(a-a_{0})^{2 }+O\gauche((a-a_{0})^{3}\droite)}$

À l'équilibre, la dérivée première est 0, donc le terme dominant est le terme quadratique. Lorsque le déplacement est faible, les termes d'ordre supérieur doivent être omis. L'expression devient :

${\displaystyle u(a)=u(a_{0})+{1 \over 2}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r= a_{0}}(a-a_{0})^{2}}$

${\displaystyle F(a)=-{\partial u \over \partial r}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{ 0}}(a-a_{0})}$

Ce qui est clairement une élasticité linéaire.

Notez que la dérivation est faite en considérant deux atomes voisins, donc le coefficient de Hook est :

${\displaystyle K=a_{0}*{dF \over dr}=a_{0}\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_ {0}}}$

Cette forme peut être facilement étendue au cas 3-D, avec un volume par atome (Ω) à la place de la distance interatomique.

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)_{\Omega =\Omega _{0}}}$

Relation avec le rayon atomique

Comme dérivé ci-dessus, le module de masse est directement lié au potentiel interatomique et au volume par atomes. Nous pouvons en outre évaluer le potentiel interatomique pour connecter K avec d'autres propriétés. Habituellement, le potentiel interatomique peut être exprimé en fonction de la distance qui a deux termes, un terme pour l'attraction et un autre terme pour la répulsion.

${\displaystyle u=-Ar^{-n}+Br^{-m}}$

Où A > 0 représente le terme d'attraction et B > 0 représente la répulsion. n et m sont généralement entiers, et m est généralement plus grand que n , ce qui représente la nature à courte portée de la répulsion. À la position d'équilibre, u est à son minimum, donc la dérivée du premier ordre est 0.

${\displaystyle \left({\partial u \over \partial r}\right)_{r_{0}}=Anr^{-n-1}+-Bmr^{-m-1}=0}$

${\displaystyle {B \over A}={n \over m}r_{0}^{mn}}$

${\displaystyle u=-Ar^{-n}\left(1-{B \over A}r^{nm}\right)=-Ar^{-n}\left(1-{n \over m} r_{0}^{mn}r^{nm}\right)}$

lorsque r est proche de, rappeler que le n (généralement 1 à 6) est plus petit que m (généralement 9 à 12), ignorer le second terme, évaluer la dérivée seconde

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)_{r=a_{0}}=-An(n+1)r_{0}^{ -n-2}}$

Rappelons la relation entre r et

${\displaystyle \Omega ={4\pi \over 3}r^{3}}$

${\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial \Omega ^{2}}u\right)=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u \right)\left({\partial r \over \partial \Omega }\right)^{2}=\left({\partial ^{2} \over \partial r^{2}}u\right)\ Oméga ^{-{\frac {4}{3}}}}$

${\displaystyle K=\Omega _{0}\left({\partial ^{2}u \over \partial r^{2}}\right)_{\Omega =\Omega _{0}}\propto r_ {0}^{-n-3}}$

Dans de nombreux cas, comme dans le métal ou le matériau ionique, la force d'attraction est électrostatique, donc n = 1, nous avons

${\displaystyle K\propto r_{0}^{-4}}$

Cela s'applique aux atomes ayant une nature de liaison similaire. Cette relation est vérifiée au sein des métaux alcalins et de nombreux composés ioniques.

Les références

Lectures complémentaires

• De Jong, Maarten ; Chen, Wei (2015). « Créer les propriétés élastiques complètes des composés cristallins inorganiques » . Données scientifiques . 2 : 150009. bibcode : 2013NatSD ... 2E0009D . doi : 10.1038/sdata.2015.9 . PMC  4432655 . PMID  25984348 .

Formules de conversion
Les matériaux élastiques linéaires isotropes homogènes ont leurs propriétés élastiques uniquement déterminées par deux modules quelconques parmi ceux-ci; ainsi, étant donné deux quelconques, tout autre des modules d'élasticité peut être calculé selon ces formules.
	${\style d'affichage K=\,}$	${\style d'affichage E=\,}$	${\style d'affichage \lambda =\,}$	${\style d'affichage G=\,}$	${\style d'affichage \nu =\,}$	${\style d'affichage M=\,}$	Remarques
${\style d'affichage (K,\,E)}$			${\style d'affichage {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\style d'affichage (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\style d'affichage (K,\,G)}$		${\style d'affichage {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2}G}{3}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\style d'affichage (K,\,\nu )}$		${\style d'affichage 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu}} {1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\style d'affichage (K,\,M)}$		${\style d'affichage {\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3(MK)}{4}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\style d'affichage (E,\,\lambda )}$	${\style d'affichage {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\style d'affichage {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\style d'affichage (E,\,G)}$	${\style d'affichage {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\style d'affichage {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\style d'affichage (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\style d'affichage (E,\,M)}$	${\style d'affichage {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3M+ES}{8}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Il existe deux solutions valables. Le signe plus mène à .${\style d'affichage \nu \geq 0}$ Le signe moins mène à .${\style d'affichage \nu \leq 0}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\style d'affichage \lambda +2G\,}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Ne peut pas être utilisé lorsque ${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\style d'affichage (G,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\style d'affichage 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\style d'affichage (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}}$	${\style d'affichage M-2G\,}$		${\style d'affichage {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\style d'affichage (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$