C*-algèbre - C*-algebra

En mathématiques, en particulier en analyse fonctionnelle , une C -algèbre (prononcé "C-star") est une algèbre de Banach avec une involution satisfaisant les propriétés de l' adjoint . Un cas particulier est celui d'une algèbre complexe A d' opérateurs linéaires continus sur un espace de Hilbert complexe avec deux propriétés supplémentaires :

Une autre classe importante d'algèbres C* non de Hilbert comprend l'algèbre des fonctions continues à valeurs complexes sur X qui s'annulent à l'infini, où X est un espace de Hausdorff localement compact .

Les C*-algèbres ont d'abord été considérées principalement pour leur utilisation en mécanique quantique pour modéliser des algèbres d' observables physiques . Cette ligne de recherche a commencé par Werner Heisenberg de la mécanique de la matrice et sous une forme plus mathématiquement développée avec Pascual Jordan autour de 1933. Par la suite, John von Neumann a tenté d'établir un cadre général pour ces algèbres, qui a abouti à une série de documents sur les anneaux de les opérateurs. Ces articles considéraient une classe spéciale d'algèbres C* qui sont maintenant connues sous le nom d' algèbres de von Neumann .

Vers 1943, les travaux d' Israel Gelfand et de Mark Naimark ont donné une caractérisation abstraite des algèbres C* ne faisant aucune référence aux opérateurs sur un espace de Hilbert.

Les C*-algèbres sont maintenant un outil important dans la théorie des représentations unitaires des groupes localement compacts , et sont également utilisées dans les formulations algébriques de la mécanique quantique. Un autre domaine de recherche actif est le programme visant à obtenir une classification, ou à déterminer dans quelle mesure la classification est possible, pour les C*-algèbres nucléaires simples séparables .

Caractérisation abstraite

Nous commençons par la caractérisation abstraite des C*-algèbres donnée dans l'article de 1943 de Gelfand et Naimark.

AC*-algèbre, A , est une algèbre de Banach sur le corps des nombres complexes , avec une application pour avec les propriétés suivantes :

  • Pour tout x , y dans A :
  • Pour tout nombre complexe λ dans C et tout x dans A :
  • Pour tout x dans A :

Remarque. Les trois premières identités disent que A est une *-algèbre . La dernière identité est appelée l' identité C* et équivaut à :

qui est parfois appelée l'identité B*. Pour l'histoire derrière les noms C*- et B*-algèbres, voir la section histoire ci-dessous.

L'identité C* est une exigence très forte. Par exemple, avec la formule du rayon spectral , cela implique que la norme C* est uniquement déterminée par la structure algébrique :

Une carte linéaire bornée , π  : AB , entre C * de A et B est appelé * homomorphisme si

  • Pour x et y dans A
  • Pour x dans A

Dans le cas des C*-algèbres, tout *-homomorphisme π entre C*-algèbres est contractif , c'est-à-dire borné de norme ≤ 1. De plus, un *-homomorphisme injectif entre C*-algèbres est isométrique . Ce sont des conséquences de l'identité C*.

Un *-homomorphisme π bijectif est appelé un C*-isomorphisme , auquel cas A et B sont dits isomorphes .

Un peu d'histoire : B*-algèbres et C*-algèbres

Le terme B*-algèbre a été introduit par CE Rickart en 1946 pour décrire les *-algèbres de Banach qui satisfont à la condition :

  • pour tout x dans la B*-algèbre donnée. (condition B*)

Cette condition implique automatiquement que la *-involution est isométrique, c'est-à-dire . Par conséquent, , et donc, une B*-algèbre est aussi une C*-algèbre. Inversement, la condition C* implique la condition B*. Ceci n'est pas trivial et peut être prouvé sans utiliser la condition . Pour ces raisons, le terme B*-algèbre est rarement utilisé dans la terminologie actuelle et a été remplacé par le terme « C*-algèbre ».

Le terme C*-algèbre a été introduit par IE Segal en 1947 pour décrire les sous-algèbres fermées aux normes de B ( H ), à savoir l'espace des opérateurs bornés sur un espace de Hilbert H . « C » signifiait « fermé ». Dans son article, Segal définit une C*-algèbre comme une « algèbre uniformément fermée et auto-adjointe d'opérateurs bornés sur un espace de Hilbert ».

Structure des C*-algèbres

Les C*-algèbres ont un grand nombre de propriétés qui sont techniquement pratiques. Certaines de ces propriétés peuvent être établies en utilisant le calcul fonctionnel continu ou par réduction aux C*-algèbres commutatives. Dans ce dernier cas, on peut utiliser le fait que la structure de ceux-ci est entièrement déterminée par l' isomorphisme de Gelfand .

Éléments auto-adjoints

Les éléments auto-adjoints sont ceux de la forme x = x *. L'ensemble des éléments d'une C*-algèbre A de la forme x*x forme un cône convexe fermé . Ce cône est identique aux éléments de la forme xx* . Les éléments de ce cône sont appelés non négatifs (ou parfois positifs , même si cette terminologie est en conflit avec son utilisation pour les éléments de R .)

L'ensemble des éléments auto-adjoints d'une C*-algèbre A a naturellement la structure d'un espace vectoriel partiellement ordonné ; l'ordre est généralement noté . Dans cet ordre, un élément auto-adjoint x de A satisfait x ≥ 0 si et seulement si le spectre de x est non négatif, si et seulement si x = s*s pour un certain s . Deux éléments auto-adjoints x et y de A satisfont xy si xy ≥ 0.

Ce sous-espace partiellement ordonné permet la définition d'une fonctionnelle linéaire positive sur une C*-algèbre, qui à son tour est utilisée pour définir les états d'une C*-algèbre, qui à son tour peut être utilisée pour construire le spectre d'une C*- algèbre utilisant la construction GNS .

Quotients et identités approximatives

Toute C*-algèbre A a une identité approximative . En fait, il existe une famille orientée { e λ } λ∈I d'éléments auto-adjoints de A telle que

Dans le cas où A est séparable, A a une identité approchée séquentielle. Plus généralement, A aura une identité approchée séquentielle si et seulement si A contient un élément strictement positif , c'est-à-dire un élément positif h tel que hAh est dense dans A .

En utilisant des identités approchées, on peut montrer que le quotient algébrique d'une C*-algèbre par un idéal bilatéral propre fermé , de norme naturelle, est une C*-algèbre.

De même, un idéal bilatéral fermé d'une C*-algèbre est lui-même une C*-algèbre.

Exemples

C*-algèbres de dimension finie

L'algèbre M( n , C ) de n × n matrices sur C devient une C*-algèbre si l'on considère les matrices comme des opérateurs sur l'espace euclidien, C n , et utilise l' opérateur norm ||·|| sur les matrices. L'involution est donnée par la transposée conjuguée . Plus généralement, on peut considérer des sommes directes finies d'algèbres matricielles. En fait, toutes les C*-algèbres qui sont de dimension finie comme espaces vectoriels sont de cette forme, à isomorphisme près. L'exigence auto-adjointe signifie que les C*-algèbres de dimension finie sont semi - simples , d'où l'on peut déduire le théorème suivant de type Artin-Wedderburn :

Théorème. Une C*-algèbre de dimension finie, A , est canoniquement isomorphe à une somme directe finie

où min A est l'ensemble des projections centrales auto-adjointes minimales non nulles de A .

Chaque C*-algèbre, Ae , est isomorphe (de manière non canonique) à l'algèbre matricielle complète M(dim( e ), C ). La famille finie indexée sur min A donnée par {dim( e )} e est appelée vecteur de dimension de A . Ce vecteur détermine de manière unique la classe d'isomorphisme d'une C*-algèbre de dimension finie. Dans le langage de la K-théorie , ce vecteur est le cône positif du groupe K 0 de A .

Une -algèbre (ou, plus explicitement, une -algèbre fermée ) est le nom parfois utilisé en physique pour une C*-algèbre de dimension finie. Le poignard , , est utilisé dans le nom parce que les physiciens utilisent généralement le symbole pour désigner un adjoint hermitien , et ne sont souvent pas inquiets des subtilités associées à un nombre infini de dimensions. (Les mathématiciens utilisent généralement l'astérisque, *, pour désigner l'adjoint hermitien.) Les -algèbres occupent une place prépondérante dans la mécanique quantique , et en particulier la science de l'information quantique .

Une généralisation immédiate des C*-algèbres de dimension finie sont les C*-algèbres approximativement de dimension finie .

C*-algèbres d'opérateurs

L'exemple prototypique d'une C*-algèbre est l'algèbre B(H) d' opérateurs linéaires bornés (équivalents continus) définis sur un espace de Hilbert complexe H ; ici x* désigne l' opérateur adjoint de l'opérateur x  : HH . En fait, toute C*-algèbre, A , est *-isomorphe à une sous-algèbre fermée adjointe normée de B ( H ) pour un espace de Hilbert convenable, H ; c'est le contenu du théorème de Gelfand-Naimark .

C*-algèbres d'opérateurs compacts

Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie. L'algèbre K ( H ) des opérateurs compacts sur H est une sous-algèbre fermée de norme de B ( H ). Il est également fermé sous involution ; c'est donc une C*-algèbre.

Les C*-algèbres concrètes d'opérateurs compacts admettent une caractérisation similaire au théorème de Wedderburn pour les C*-algèbres de dimension finie :

Théorème. Si A est une C * -subalgebra de K ( H ), alors il existe des espaces de Hilbert { H i } iI tel que

où la (C*-)somme directe est constituée des éléments ( T i ) du produit cartésien K ( H i ) avec || T i || → 0.

Bien que K ( H ) n'ait pas d'élément d'identité, une identité séquentielle approximative pour K ( H ) peut être développée. Pour être précis, H est isomorphe à l'espace des séquences carrées sommables l 2 ; on peut supposer que H = l 2 . Pour chaque entier naturel n soit H n le sous-espace des suites de l 2 qui s'annulent pour les indices kn et soit e n la projection orthogonale sur H n . La séquence { e n } n est une identité approximative pour K ( H ).

K ( H ) est un idéal fermé à deux côtés de B ( H ). Pour les espaces Hilbert séparables, c'est l'idéal unique. Le quotient de B ( H ) par K ( H ) est l' algèbre de Calkin .

C*-algèbres commutatives

Soit X un espace de Hausdorff localement compact . L'espace des fonctions continues à valeurs complexes sur X qui s'annulent à l'infini (défini dans l'article sur la compacité locale ) forme une C*-algèbre commutative sous multiplication et addition ponctuelles. L'involution est une conjugaison ponctuelle. a un élément unité multiplicatif si et seulement si est compact. Comme toute C*-algèbre, a une identité approximative . Dans le cas de c'est immédiat: considérer l'ensemble dirigé de sous - ensembles compacts de et pour chaque compact let être une fonction de support compact qui est identique 1 sur . De telles fonctions existent par le théorème d'extension de Tietze , qui s'applique aux espaces de Hausdorff localement compacts. Une telle séquence de fonctions est une identité approximative.

La représentation de Gelfand indique que chaque C*-algèbre commutative est *-isomorphe à l'algèbre , où est l'espace des caractères équipés de la topologie faible* . De plus, si est isomorphe à en tant que C*-algèbres, il s'ensuit que et sont homéomorphes . Cette caractérisation est l'une des motivations des programmes de topologie non commutative et de géométrie non commutative .

algèbre enveloppante C*

Étant donné une *-algèbre de Banach A d' identité approximative , il existe un unique (à C*-isomorphisme près) C*-algèbre E ( A ) et *-morphisme de A dans E ( A ) qui est universel , c'est-à-dire , tout autre *-morphisme continu π ' : AB se factorise uniquement par . L'algèbre E ( A ) est appelée algèbre enveloppante C* de la *-algèbre de Banach A .

D'une importance particulière est la C*-algèbre d'un groupe localement compact G . Ceci est défini comme la C*-algèbre enveloppante de l' algèbre de groupe de G . La C*-algèbre de G fournit un contexte pour l'analyse harmonique générale de G dans le cas où G n'est pas abélien. En particulier, le dual d'un groupe localement compact est défini comme l'espace idéal primitif du groupe C*-algèbre. Voir spectre d'une C*-algèbre .

Algèbres de Von Neumann

Les algèbres de Von Neumann , connues sous le nom d'algèbres W* avant les années 1960, sont un type particulier d'algèbre C*. Ils doivent être fermés dans la topologie de l'opérateur faible , qui est plus faible que la topologie de la norme.

Le théorème de Sherman-Takeda implique que toute C*-algèbre possède une W*-algèbre enveloppante universelle, telle que tout homomorphisme à une W*-algèbre la traverse.

Type pour les algèbres C*

AC*-algèbre A est de type I si et seulement si pour toutes les représentations non dégénérées π de A l'algèbre de von Neumann π( A )′′ (c'est-à-dire le bicommutant de π( A )) est de type I von Neumann algèbre. En fait, il suffit de ne considérer que des représentations factorielles, c'est-à-dire des représentations π pour lesquelles π( A )′′ est un facteur.

Un groupe localement compact est dit de type I si et seulement si son groupe C*-algèbre est de type I.

Cependant, si une C*-algèbre a des représentations non de type I, alors d'après les résultats de James Glimm, elle a aussi des représentations de type II et de type III. Ainsi pour les C*-algèbres et les groupes localement compacts, il n'y a de sens que de parler de propriétés de type I et non de type I.

C*-algèbres et théorie quantique des champs

En mécanique quantique , on décrit typiquement un système physique avec une C*-algèbre A à élément unité ; les éléments auto-adjoints de A (éléments x avec x* = x ) sont considérés comme les observables , les quantités mesurables, du système. Un état du système est défini comme une fonctionnelle positive sur A (une application C -linéaire φ : AC avec φ( u*u ) ≥ 0 pour tout uA ) telle que φ(1) = 1. valeur de l'observable x , si le système est dans l'état φ, est alors φ( x ).

Cette approche C*-algèbre est utilisée dans l'axiomatisation de Haag-Kastler de la théorie quantique locale des champs , où chaque ensemble ouvert de l'espace - temps de Minkowski est associé à une C*-algèbre.

Voir également

Remarques

Les références

  • Arveson, W. (1976), Une invitation à C*-Algèbre , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90176-0. Une excellente introduction au sujet, accessible pour ceux qui ont une connaissance de l' analyse fonctionnelle de base .
  • Connes, Alain , Géométrie non commutative , ISBN 0-12-185860-X. Ce livre est largement considéré comme une source de nouveau matériel de recherche, fournissant beaucoup d'intuitions à l'appui, mais il est difficile.
  • Dixmier, Jacques (1969), Les C*-algèbres et leurs représentations , Gauthier-Villars, ISBN 0-7204-0762-1. Il s'agit d'une référence un peu datée, mais est toujours considérée comme une exposition technique de haute qualité. Il est disponible en anglais auprès de North Holland Press.
  • Doran, Robert S. ; Belfi, Victor A. (1986), Caractérisations des algèbres C* : les théorèmes de Gelfand-Naimark , CRC Press, ISBN 978-0-8247-7569-8.
  • Emch, G. (1972), Méthodes algébriques en mécanique statistique et théorie quantique des champs , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-23900-3. Référence mathématiquement rigoureuse qui fournit des connaissances approfondies en physique.
  • AI Shtern (2001) [1994], "C*-algèbre" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
  • Sakai, S. (1971), C*-algèbres et W*-algèbres , Springer, ISBN 3-540-63633-1.
  • Segal, Irving (1947), « Irreducible representations of operator algebras », Bulletin of the American Mathematical Society , 53 (2) : 73-88, doi : 10.1090/S0002-9904-1947-08742-5.