Système de coordonnées cartésiennes - Cartesian coordinate system

Illustration d'un plan de coordonnées cartésiennes. Quatre points sont marqués et étiquetés avec leurs coordonnées : (2, 3) en vert, (−3, 1) en rouge, (−1,5, −2,5) en bleu et l'origine (0, 0) en violet.

Un système de coordonnées cartésiennes ( UK : / k ɑː t i zj ə n / , États - Unis : / k ɑːr t i ʒ ə n / ) dans un plan est un système de coordonnées qui spécifie chaque point de façon unique par une paire de numériques coordonnées , qui sont les distances signées au point de deux lignes orientées perpendiculaires fixes , mesurées dans la même unité de longueur . Chaque ligne de référence est appelée un axe de coordonnées ou simplement un axe ( axes pluriels ) du système, et le point où elles se rencontrent est son origine , à la paire ordonnée (0, 0) . Les coordonnées peuvent également être définies comme les positions des projections perpendiculaires du point sur les deux axes, exprimées en distances signées de l'origine.

On peut utiliser le même principe pour spécifier la position de tout point dans l' espace tridimensionnel par trois coordonnées cartésiennes, ses distances signées à trois plans mutuellement perpendiculaires (ou, de manière équivalente, par sa projection perpendiculaire sur trois lignes mutuellement perpendiculaires). En général, n coordonnées cartésiennes (un élément de l' espace n réel ) spécifient le point dans un espace euclidien n- dimensionnel pour toute dimension n . Ces coordonnées sont égales, au signe près , aux distances du point à n hyperplans mutuellement perpendiculaires .

Système de coordonnées cartésiennes avec un cercle de rayon 2 centré à l'origine marqué en rouge. L'équation d'un cercle est ( xa ) 2 + ( yb ) 2 = r 2a et b sont les coordonnées du centre ( a , b ) et r est le rayon.

L'invention des coordonnées cartésiennes au XVIIe siècle par René Descartes ( nom latinisé : Cartesius ) a révolutionné les mathématiques en fournissant le premier lien systématique entre la géométrie euclidienne et l' algèbre . En utilisant le système de coordonnées cartésiennes, les formes géométriques (telles que les courbes ) peuvent être décrites par des équations cartésiennes : équations algébriques faisant intervenir les coordonnées des points se trouvant sur la forme. Par exemple, un cercle de rayon 2, centré à l'origine du plan, peut être décrit comme l' ensemble de tous les points dont les coordonnées x et y satisfont l'équation x 2 + y 2 = 4 .

Les coordonnées cartésiennes sont le fondement de la géométrie analytique et fournissent des interprétations géométriques éclairantes pour de nombreuses autres branches des mathématiques, telles que l'algèbre linéaire , l' analyse complexe , la géométrie différentielle , le calcul multivarié , la théorie des groupes , etc. Un exemple familier est le concept du graphe d'une fonction . Les coordonnées cartésiennes sont également des outils essentiels pour la plupart des disciplines appliquées qui traitent de la géométrie, notamment l' astronomie , la physique , l' ingénierie et bien d'autres. Ils sont le système de coordonnées le plus couramment utilisé dans l'infographie , la conception géométrique assistée par ordinateur et d'autres traitements de données liés à la géométrie .

Histoire

L'adjectif cartésien fait référence au mathématicien et philosophe français René Descartes , qui a publié cette idée en 1637. Elle a été découverte indépendamment par Pierre de Fermat , qui a également travaillé en trois dimensions, bien que Fermat n'ait pas publié la découverte. Le religieux français Nicole Oresme a utilisé des constructions similaires aux coordonnées cartésiennes bien avant l'époque de Descartes et de Fermat.

Descartes et Fermat ont tous deux utilisé un seul axe dans leurs traitements et ont une longueur variable mesurée en référence à cet axe. Le concept d'utiliser une paire d'axes a été introduit plus tard, après La Géométrie de Descartes a été traduit en latin en 1649 par Frans van Schooten et ses étudiants. Ces commentateurs ont introduit plusieurs concepts en essayant de clarifier les idées contenues dans l'œuvre de Descartes.

Le développement du système de coordonnées cartésiennes jouerait un rôle fondamental dans le développement du calcul par Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz . La description à deux coordonnées du plan a ensuite été généralisée dans le concept d' espaces vectoriels .

De nombreux autres systèmes de coordonnées ont été développés depuis Descartes, tels que les coordonnées polaires pour le plan et les coordonnées sphériques et cylindriques pour l'espace tridimensionnel.

La description

Une dimension

Choisir un système de coordonnées cartésiennes pour un espace à une dimension, c'est-à-dire pour une ligne droite, implique de choisir un point O de la ligne (l'origine), une unité de longueur et une orientation pour la ligne. Une orientation choisit laquelle des deux demi-droites déterminées par O est positive et laquelle est négative ; on dit alors que la droite "est orientée" (ou "pointe") de la moitié négative vers la moitié positive. Ensuite, chaque point P de la droite peut être spécifié par sa distance à O , prise avec un signe + ou − selon quelle demi-droite contient P .

Une droite avec un système cartésien choisi est appelée droite numérique . Chaque nombre réel a un emplacement unique sur la ligne. Inversement, chaque point de la ligne peut être interprété comme un nombre dans un continuum ordonné tel que les nombres réels.

Deux dimensions

Un système de coordonnées cartésiennes à deux dimensions (également appelé système de coordonnées rectangulaires ou système de coordonnées orthogonales ) est défini par une paire ordonnée de lignes perpendiculaires (axes), une seule unité de longueur pour les deux axes et une orientation pour chaque axe. Le point où les axes se rencontrent est pris comme origine pour les deux, transformant ainsi chaque axe en une droite numérique. Pour tout point P , une ligne est tracée à travers P perpendiculairement à chaque axe, et la position où elle rencontre l'axe est interprétée comme un nombre. Les deux nombres, dans cet ordre choisi, sont les coordonnées cartésiennes de P . La construction inverse permet de déterminer le point P étant donné ses coordonnées.

Les première et deuxième coordonnées sont appelées respectivement l' abscisse et l' ordonnée de P ; et le point où les axes se rencontrent est appelé l' origine du système de coordonnées. Les coordonnées sont généralement écrites sous la forme de deux nombres entre parenthèses, dans cet ordre, séparés par une virgule, comme dans (3, -10,5) . Ainsi, l'origine a des coordonnées (0, 0) , et les points sur les demi-axes positifs, à une unité de l'origine, ont des coordonnées (1, 0) et (0, 1) .

En mathématiques, en physique et en ingénierie, le premier axe est généralement défini ou représenté comme horizontal et orienté vers la droite, et le deuxième axe est vertical et orienté vers le haut. (Cependant, dans certains contextes d' infographie , l'axe des ordonnées peut être orienté vers le bas.) L'origine est souvent étiquetée O et les deux coordonnées sont souvent désignées par les lettres X et Y , ou x et y . Les axes peuvent alors être appelés axe X et axe Y. Les choix de lettres proviennent de la convention originale, qui consiste à utiliser la dernière partie de l'alphabet pour indiquer des valeurs inconnues. La première partie de l'alphabet servait à désigner des valeurs connues.

Un plan euclidien avec un système de coordonnées cartésiennes choisi est appelé un Plan cartésien . Dans un plan cartésien on peut définir des représentants canoniques de certaines figures géométriques, comme lecercle unité(de rayon égal à l'unité de longueur et de centre à l'origine), lecarré unité(dont la diagonale a pour extrémités(0, 0)et(1, 1)), l'hyperbole unitaire, et ainsi de suite.

Les deux axes divisent le plan en quatre angles droits , appelés quadrants . Les quadrants peuvent être nommés ou numérotés de diverses manières, mais le quadrant où toutes les coordonnées sont positives est généralement appelé le premier quadrant .

Si les coordonnées d'un point sont ( x , y ) , alors ses distances à l' axe X et à l' axe Y sont | y | et | x |, respectivement ; où |...| désigne la valeur absolue d'un nombre.

Trois dimensions

Un système de coordonnées cartésiennes en trois dimensions, avec l'origine O et les axes X , Y et Z , orientés comme indiqué par les flèches. Les graduations sur les axes sont espacées d'une unité de longueur. Le point noir montre le point avec les coordonnées x = 2 , y = 3 et z = 4 , ou (2, 3, 4 ) .

Un système de coordonnées cartésiennes pour un espace tridimensionnel se compose d'un triplet ordonné de lignes (les axes ) qui passent par un point commun (l' origine ) et sont perpendiculaires deux à deux ; une orientation pour chaque axe ; et une seule unité de longueur pour les trois axes. Comme dans le cas bidimensionnel, chaque axe devient une droite numérique. Pour tout point P de l'espace, on considère un hyperplan passant par P perpendiculaire à chaque axe de coordonnées, et interprète le point où cet hyperplan coupe l'axe comme un nombre. Les coordonnées cartésiennes de P sont ces trois nombres, dans l'ordre choisi. La construction inverse détermine le point P étant donné ses trois coordonnées.

Alternativement, chaque coordonnée d'un point P peut être prise comme la distance de P à l'hyperplan défini par les deux autres axes, avec le signe déterminé par l'orientation de l'axe correspondant.

Chaque paire d'axes définit un hyperplan de coordonnées . Ces hyperplans divisent l'espace en huit trièdres , appelés octants .

Les octants sont : | (+x,+y,+z) | (-x,+y,+z) | (+x,+y,-z) | (-x,+y,-z) | (+x,-y,+z) | (-x,-y,+z) | (+x,-y,-z) | (-x,-y,-z) |

Les coordonnées sont généralement écrites sous la forme de trois nombres (ou formules algébriques) entourés de parenthèses et séparés par des virgules, comme dans (3, -2,5, 1) ou ( t , u + v , /2 ) . Ainsi, l'origine a des coordonnées (0, 0, 0) et les points unitaires sur les trois axes sont (1, 0, 0) , (0, 1, 0) et (0, 0, 1) .

Il n'y a pas de noms standard pour les coordonnées dans les trois axes (cependant, les termes abscisse , ordonnée et appliqué sont parfois utilisés). Les coordonnées sont souvent désignées par les lettres X , Y et Z , ou x , y et z . Les axes peuvent alors être appelés axe X, axe Y et axe Z , respectivement. Ensuite, les hyperplans de coordonnées peuvent être appelés plan XY , plan YZ et plan XZ .

Dans les contextes des mathématiques, de la physique et de l'ingénierie, les deux premiers axes sont souvent définis ou représentés comme horizontaux, le troisième axe pointant vers le haut. Dans ce cas, la troisième coordonnée peut être appelée hauteur ou altitude . L'orientation est généralement choisie de manière à ce que l'angle de 90 degrés du premier axe au deuxième axe soit dans le sens inverse des aiguilles d'une montre vu du point (0, 0, 1) ; une convention qui est communément appelée la règle de la main droite .

Les surfaces de coordonnées des coordonnées cartésiennes ( x , y , z ) . L' axe z est vertical et l' axe x est surligné en vert. Ainsi, l'hyperplan rouge montre les points avec x = 1 , l'hyperplan bleu montre les points avec z = 1 , et l'hyperplan jaune montre les points avec y = −1 . Les trois surfaces se coupent au point P (représenté par une sphère noire) avec les coordonnées cartésiennes (1, -1, 1 ).

Dimensions supérieures

Les coordonnées cartésiennes étant uniques et non ambiguës, les points d'un plan cartésien peuvent être identifiés par des paires de nombres réels ; c'est-à-dire, avec le produit cartésien , où est l'ensemble de tous les nombres réels. De la même manière, les points de tout espace euclidien de dimension n peuvent être identifiés avec les tuples (listes) de n nombres réels ; c'est-à-dire avec le produit cartésien .

Généralisations

Le concept de coordonnées cartésiennes se généralise pour permettre des axes qui ne sont pas perpendiculaires les uns aux autres, et/ou des unités différentes le long de chaque axe. Dans ce cas, chaque coordonnée est obtenue en projetant le point sur un axe selon une direction parallèle à l'autre axe (ou, en général, à l' hyperplan défini par tous les autres axes). Dans un tel système de coordonnées obliques, les calculs des distances et des angles doivent être modifiés par rapport à ceux des systèmes cartésiens standard, et de nombreuses formules standard (telles que la formule de Pythagore pour la distance) ne tiennent pas (voir plan affine ).

Notations et conventions

Les coordonnées cartésiennes d'un point sont généralement écrites entre parenthèses et séparées par des virgules, comme dans (10, 5) ou (3, 5, 7) . L'origine est souvent étiquetée avec la lettre majuscule O . En géométrie analytique, les coordonnées inconnues ou génériques sont souvent désignées par les lettres ( x , y ) dans le plan et ( x , y , z ) dans l'espace tridimensionnel. Cette coutume vient d'une convention d'algèbre, qui utilise des lettres proches de la fin de l'alphabet pour des valeurs inconnues (telles que les coordonnées de points dans de nombreux problèmes géométriques) et des lettres proches du début pour des quantités données.

Ces noms conventionnels sont souvent utilisés dans d'autres domaines, tels que la physique et l'ingénierie, bien que d'autres lettres puissent être utilisées. Par exemple, dans un graphique montrant comment une pression varie avec le temps , les coordonnées du graphique peuvent être notées p et t . Chaque axe est généralement nommé d'après la coordonnée qui est mesurée le long de celui-ci ; alors on dit l' axe des x , l' axe des y , l' axe des t , etc.

Une autre convention courante pour nommer les coordonnées consiste à utiliser des indices, tels que ( x 1 , x 2 , ..., x n ) pour les coordonnées n dans un espace à n dimensions, en particulier lorsque n est supérieur à 3 ou non spécifié. Certains auteurs préfèrent la numérotation ( x 0 , x 1 , ..., x n −1 ). Ces notations sont particulièrement avantageuses en programmation informatique : en stockant les coordonnées d'un point sous forme de tableau , au lieu d'un enregistrement , l' indice peut servir à indexer les coordonnées.

Dans les illustrations mathématiques des systèmes cartésiens à deux dimensions, la première coordonnée (traditionnellement appelée l' abscisse ) est mesurée le long d'un axe horizontal , orienté de gauche à droite. La deuxième coordonnée (l' ordonnée ) est alors mesurée le long d'un axe vertical , généralement orienté de bas en haut. Les jeunes enfants qui apprennent le système cartésien apprennent généralement l'ordre de lire les valeurs avant de cimenter les concepts des axes x , y et z , en commençant par des mnémoniques 2D (par exemple, « Marchez le long du couloir puis montez les escaliers » à travers l' axe des x puis vers le haut verticalement le long de l' axe des y ).

L'infographie et le traitement d'images , cependant, utilisent souvent un système de coordonnées avec l' axe y orienté vers le bas sur l'écran de l'ordinateur. Cette convention s'est développée dans les années 1960 (ou avant) à partir de la façon dont les images étaient à l'origine stockées dans des tampons d'affichage .

Pour les systèmes tridimensionnels, une convention consiste à représenter le plan xy horizontalement, avec l' axe z ajouté pour représenter la hauteur (positif vers le haut). De plus, il existe une convention pour orienter l' axe des x vers le spectateur, biaisé soit vers la droite, soit vers la gauche. Si un diagramme ( projection 3D ou dessin en perspective 2D ) montre les axes x et y horizontalement et verticalement, respectivement, alors l' axe z doit être montré pointant « hors de la page » vers le spectateur ou la caméra. Dans un tel diagramme 2D d'un système de coordonnées 3D, l' axe z apparaîtrait sous la forme d'une ligne ou d'un rayon pointant vers le bas et vers la gauche ou vers le bas et vers la droite, selon la perspective présumée du spectateur ou de la caméra . Dans n'importe quel diagramme ou affichage, l'orientation des trois axes, dans leur ensemble, est arbitraire. Cependant, l'orientation des axes les uns par rapport aux autres doit toujours être conforme à la règle de la main droite , sauf indication contraire. Toutes les lois de la physique et des mathématiques supposent cette droiture , ce qui assure la cohérence.

Pour les diagrammes 3D, les noms "abscisse" et "ordonnée" sont rarement utilisés pour x et y , respectivement. Lorsqu'ils le sont, la coordonnée z est parfois appelée applicate . Les mots abscisse , ordonnée et appliquer sont parfois utilisés pour désigner les axes de coordonnées plutôt que les valeurs de coordonnées.

Quadrants et octants

Les quatre quadrants d'un système de coordonnées cartésiennes

Les axes d'un système cartésien à deux dimensions divisent le plan en quatre régions infinies, appelées quadrants , chacune délimitée par deux demi-axes. Celles-ci sont souvent numérotées du 1er au 4e et désignées par des chiffres romains : I (où les signes des deux coordonnées sont I (+,+), II (−,+), III (−,−), et IV (+, −) Lorsque les axes sont tracés selon l'usage mathématique, la numérotation va dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du quadrant supérieur droit (« nord-est »).

De même, un système cartésien à trois dimensions définit une division de l'espace en huit régions ou octants , selon les signes des coordonnées des points. La convention utilisée pour nommer un octant spécifique est d'énumérer ses signes ; par exemple, (+ + +) ou (− + −) . La généralisation du quadrant et de l'octant à un nombre arbitraire de dimensions est l' orthant , et un système de nommage similaire s'applique.

Formules cartésiennes pour le plan

Distance entre deux points

La distance euclidienne entre deux points du plan avec des coordonnées cartésiennes et est

C'est la version cartésienne du théorème de Pythagore . Dans l'espace tridimensionnel, la distance entre les points et est

qui peut être obtenu par deux applications consécutives du théorème de Pythagore.

Transformations euclidiennes

Les transformations euclidiennes ou mouvements euclidiens sont les mappages ( bijectifs ) des points du plan euclidien à eux-mêmes qui préservent les distances entre les points. Il existe quatre types de ces mappages (également appelés isométries) : les translations , les rotations , les réflexions et les réflexions glissantes .

Traduction

Traduire un ensemble de points du plan, en préservant les distances et les directions entre eux, équivaut à ajouter une paire fixe de nombres ( a , b ) aux coordonnées cartésiennes de chaque point de l'ensemble. C'est-à-dire que si les coordonnées d'origine d'un point sont ( x , y ) , après la translation elles seront

Rotation

Faire pivoter une figure dans le sens antihoraire autour de l'origine d'un certain angle équivaut à remplacer chaque point de coordonnées ( x , y ) par le point de coordonnées ( x' , y' ), où

Ainsi:

Réflexion

Si ( x , y ) sont les coordonnées cartésiennes d'un point, alors (− x , y ) sont les coordonnées de sa réflexion sur le deuxième axe de coordonnées (l'axe des y), comme si cette ligne était un miroir. De même, ( x , − y ) sont les coordonnées de sa réflexion sur le premier axe de coordonnées (l'axe des x). De manière plus générale, la réflexion sur une ligne passant par l'origine faisant un angle avec l'axe des x, équivaut à remplacer chaque point de coordonnées ( x , y ) par le point de coordonnées ( x , y ′) , où

Ainsi:

Reflet de la glisse

Une réflexion de glissement est la composition d'une réflexion sur une ligne suivie d'une translation dans la direction de cette ligne. On voit que l'ordre de ces opérations n'a pas d'importance (la traduction peut venir en premier, suivie de la réflexion).

Forme matricielle générale des transformations

Toutes les transformations affines du plan peuvent être décrites de manière uniforme en utilisant des matrices. À cette fin, les coordonnées d'un point sont généralement représentées par la matrice de colonnes. Le résultat de l'application d'une transformation affine à un point est donné par la formule

est une matrice 2×2 et est une matrice colonne. C'est-à-dire,

Parmi les transformations affines, les transformations euclidiennes se caractérisent par le fait que la matrice est orthogonale ; c'est-à-dire que ses colonnes sont des vecteurs orthogonaux de norme euclidienne un, ou, explicitement,

et

Cela revient à dire que A fois sa transposée est la matrice identité . Si ces conditions ne sont pas remplies, la formule décrit une transformation affine plus générale .

La transformation est une traduction si et seulement si A est la matrice identité . La transformation est une rotation autour d' un certain point si et seulement si A est une matrice de rotation , ce qui signifie qu'elle est orthogonale et

Une réflexion ou réflexion glissante est obtenue lorsque,

En supposant que les traductions ne soient pas utilisées (c'est-à-dire ), les transformations peuvent être composées en multipliant simplement les matrices de transformation associées. Dans le cas général, il est utile d'utiliser la matrice augmentée de la transformation ; c'est-à-dire réécrire la formule de transformation

Avec cette astuce, la composition des transformations affines est obtenue en multipliant les matrices augmentées.

Transformation affine

Effet de l'application de diverses matrices de transformation affine 2D sur un carré unitaire (les réflexions sont des cas particuliers de mise à l'échelle)

Les transformations affines du plan euclidien sont des transformations qui mappent des lignes en lignes, mais peuvent modifier les distances et les angles. Comme dit dans la section précédente, ils peuvent être représentés avec des matrices augmentées :

Les transformations euclidiennes sont les transformations affines telles que la matrice 2×2 du est orthogonale .

La matrice augmentée qui représente la composition de deux transformations affines est obtenue en multipliant leurs matrices augmentées.

Certaines transformations affines qui ne sont pas des transformations euclidiennes ont reçu des noms spécifiques.

Mise à l'échelle

Un exemple de transformation affine qui n'est pas euclidienne est donné par la mise à l'échelle. Faire un chiffre plus grand ou plus petit équivaut à multiplier les coordonnées cartésiennes de chaque point par le même nombre positif m . Si ( x , y ) sont les coordonnées d'un point sur la figure d'origine, le point correspondant sur la figure à l'échelle a des coordonnées

Si m est supérieur à 1, le chiffre devient plus grand ; si m est compris entre 0 et 1, il devient plus petit.

Tonte

Une transformation de cisaillement poussera le haut d'un carré sur le côté pour former un parallélogramme. Le cisaillement horizontal est défini par :

Le cisaillement peut également être appliqué verticalement :

Orientation et maniabilité

En deux dimensions

La fixation ou le choix de l' axe des x détermine l' axe des y jusqu'à la direction. A savoir, l' axe des y est nécessairement la perpendiculaire à l' axe des x passant par le point marqué 0 sur l' axe des x . Mais il y a un choix de laquelle des deux demi-droites sur la perpendiculaire à désigner comme positive et laquelle comme négative. Chacun de ces deux choix détermine une orientation différente (appelée aussi latéralité ) du plan cartésien.

La manière habituelle d'orienter le plan, avec l' axe x positif pointant vers la droite et l' axe y positif pointant vers le haut (et l' axe x étant le "premier" et l' axe y le "second"), est considéré comme le orientation positive ou standard , également appelée orientation droitière .

Un mnémonique couramment utilisé pour définir l'orientation positive est la règle de la main droite . En plaçant une main droite quelque peu fermée sur le plan avec le pouce pointant vers le haut, les doigts pointent de l' axe x à l' axe y , dans un système de coordonnées orienté positivement.

L'autre façon d'orienter l'avion est de suivre la règle de la main gauche , en plaçant la main gauche sur l'avion avec le pouce pointant vers le haut.

En pointant le pouce loin de l'origine le long d'un axe vers le positif, la courbure des doigts indique une rotation positive le long de cet axe.

Quelle que soit la règle utilisée pour orienter le plan, la rotation du système de coordonnées conservera l'orientation. La commutation d'un axe inversera l'orientation, mais la commutation des deux laissera l'orientation inchangée.

En trois dimensions

Fig. 7 – L'orientation gaucher est indiquée à gauche, et le droitier à droite.
Fig. 8 – Le système de coordonnées cartésiennes de droite indiquant les plans de coordonnées.

Une fois que les axes x et y sont spécifiés, ils déterminent la ligne le long de laquelle l' axe z doit se situer, mais il y a deux orientations possibles pour cette ligne. Les deux systèmes de coordonnées possibles qui en résultent sont appelés "droitier" et "gaucher". L'orientation standard, où le xy -Plane est horizontal et le z axe des x des points jusqu'à (et le x - et y axe des x former une coordonnée à deux dimensions orienté positivement dans le système xy -Plane si elle est observée de dessus de l' xy -Plane ) est appelé droitier ou positif .

Coordonnées cartésiennes 3D manuelles

Le nom dérive de la règle de la main droite . Si l' index de la main droite est pointé vers l'avant, le majeur plié vers l'intérieur à angle droit et le pouce placé à angle droit par rapport aux deux, les trois doigts indiquent l'orientation relative des x -, y -, et les axes z dans un système droitier . Le pouce indique l' axe des x , l'index l' axe des y et le majeur l' axe des z . Inversement, si la même chose est faite avec la main gauche, un système de gaucher en résulte.

La figure 7 représente un système de coordonnées gauche et droit. Parce qu'un objet tridimensionnel est représenté sur l'écran bidimensionnel, il en résulte une distorsion et une ambiguïté. L'axe pointant vers le bas (et vers la droite) est également destiné à pointer vers l'observateur, tandis que l'axe "milieu" est destiné à pointer à l' opposé de l'observateur. Le cercle rouge est parallèle au plan horizontal xy et indique la rotation de l' axe x à l' axe y (dans les deux cas). La flèche rouge passe donc devant l' axe z .

La figure 8 est une autre tentative de représentation d'un système de coordonnées droitier. Encore une fois, il y a une ambiguïté causée par la projection du système de coordonnées tridimensionnel dans le plan. De nombreux observateurs voient la figure 8 comme un "retournement" entre un cube convexe et un "coin" concave . Ceci correspond aux deux orientations possibles de l'espace. Voir la figure comme convexe donne un système de coordonnées gaucher. Ainsi, la manière "correcte" de visualiser la figure 8 est d'imaginer l' axe des x comme pointant vers l'observateur et voyant ainsi un coin concave.

Représentation d'un vecteur dans la base standard

Un point dans l'espace dans un système de coordonnées cartésien peut également être représenté par un vecteur de position , qui peut être considéré comme une flèche pointant de l'origine du système de coordonnées au point. Si les coordonnées représentent des positions spatiales (déplacements), il est courant de représenter le vecteur de l'origine au point d'intérêt sous la forme . En deux dimensions, le vecteur de l'origine au point de coordonnées cartésiennes (x, y) peut s'écrire :

où et sont des vecteurs unitaires dans la direction de l' axe x et de l'axe y respectivement, généralement appelés base standard (dans certains domaines d'application, ils peuvent également être appelés versors ). De même, en trois dimensions, le vecteur de l'origine au point avec des coordonnées cartésiennes peut s'écrire comme :

où et

Il n'y a pas d' interprétation naturelle de la multiplication des vecteurs pour obtenir un autre vecteur qui fonctionne dans toutes les dimensions, mais il existe un moyen d'utiliser des nombres complexes pour fournir une telle multiplication. Dans un plan cartésien à deux dimensions, identifiez le point de coordonnées ( x , y ) avec le nombre complexe z = x + iy . Ici, i est l' unité imaginaire et est identifié au point de coordonnées (0, 1) , ce n'est donc pas le vecteur unitaire dans la direction de l' axe x . Puisque les nombres complexes peuvent être multipliés en donnant un autre nombre complexe, cette identification fournit un moyen de "multiplier" les vecteurs. Dans un espace cartésien à trois dimensions, une identification similaire peut être faite avec un sous-ensemble des quaternions .

Applications

Les coordonnées cartésiennes sont une abstraction qui a une multitude d'applications possibles dans le monde réel. Cependant, trois étapes constructives sont impliquées dans la superposition de coordonnées sur une application problème. 1) Des unités de distance doivent être décidées en définissant la taille spatiale représentée par les nombres utilisés comme coordonnées. 2) Une origine doit être attribuée à un emplacement spatial ou à un point de repère spécifique, et 3) l'orientation des axes doit être définie à l'aide des repères directionnels disponibles pour tous les axes sauf un.

Prenons comme exemple la superposition de coordonnées cartésiennes 3D sur tous les points de la Terre (c'est-à-dire la 3D géospatiale). Les kilomètres sont un bon choix d'unités, car la définition originale du kilomètre était géospatiale, avec 10 000 km équivalant à la distance à la surface de l'équateur au pôle Nord. Sur la base de la symétrie, le centre gravitationnel de la Terre suggère un emplacement naturel de l'origine (qui peut être détecté via les orbites des satellites). L'axe de rotation de la Terre fournit une orientation naturelle pour les axes X , Y et Z , fortement associée à "haut contre bas", donc un Z positif peut adopter la direction du géocentre au pôle Nord. Un emplacement sur l'équateur est nécessaire pour définir l' axe X , et le méridien principal se distingue comme une orientation de référence, donc l' axe X prend l'orientation du géocentre à 0 degré de longitude, 0 degré de latitude. Notez qu'avec trois dimensions et deux orientations d'axes perpendiculaires épinglées pour X et Z , l' axe Y est déterminé par les deux premiers choix. Afin d'obéir à la règle de la main droite, l' axe Y doit pointer du géocentre à 90 degrés de longitude, 0 degré de latitude. À partir d'une longitude de -73,985656 degrés, d'une latitude de 40,748433 degrés et d'un rayon terrestre de 40 000/2π km, et en passant des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes, on peut estimer les coordonnées géocentriques de l'Empire State Building, ( x , y , z ) = (1330,53 km, –4635,75 km, 4155,46 km). La navigation GPS repose sur de telles coordonnées géocentriques.

Dans les projets d'ingénierie, l'accord sur la définition des coordonnées est une base cruciale. On ne peut pas supposer que les coordonnées sont prédéfinies pour une nouvelle application, donc la connaissance de la façon d'ériger un système de coordonnées là où il n'y en avait pas auparavant est essentielle pour appliquer la pensée de René Descartes.

Alors que les applications spatiales utilisent des unités identiques le long de tous les axes, dans les applications commerciales et scientifiques, chaque axe peut être associé à différentes unités de mesure (telles que les kilogrammes, les secondes, les livres, etc.). Bien que les espaces à quatre dimensions et plus soient difficiles à visualiser, l'algèbre des coordonnées cartésiennes peut être étendue relativement facilement à quatre variables ou plus, de sorte que certains calculs impliquant de nombreuses variables peuvent être effectués. (Ce genre d'extension algébrique est ce qui est utilisé pour définir la géométrie des espaces de dimension supérieure.) Inversement, il est souvent utile d'utiliser la géométrie des coordonnées cartésiennes en deux ou trois dimensions pour visualiser les relations algébriques entre deux ou trois de nombreux non -variables spatiales.

Le graphique d'une fonction ou d'une relation est l'ensemble de tous les points satisfaisant cette fonction ou relation. Pour une fonction d'une variable, f , l'ensemble de tous les points ( x , y ) , où y = f ( x ) est le graphique de la fonction f . Pour une fonction g de deux variables, l'ensemble de tous les points ( x , y , z ) , où z = g ( x , y ) est le graphique de la fonction g . Une esquisse du graphique d'une telle fonction ou relation comprendrait toutes les parties saillantes de la fonction ou de la relation qui incluraient ses extrema relatifs , sa concavité et ses points d'inflexion , tous les points de discontinuité et son comportement final. Tous ces termes sont plus complètement définis en calcul. De tels graphiques sont utiles en calcul pour comprendre la nature et le comportement d'une fonction ou d'une relation.

Voir également

Les références

Sources

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  • Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5e éd.), Pacific Grove : Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-35188-5

Lectures complémentaires

Liens externes