Le centre de masse - Center of mass

Ce jouet utilise les principes du centre de masse pour garder l'équilibre sur un doigt

En physique, le centre de masse d'une distribution de masse dans l'espace (parfois appelé point d'équilibre ) est le seul point où la position relative pondérée de la masse distribuée s'additionne à zéro. C'est le point auquel une force peut être appliquée pour provoquer une accélération linéaire sans accélération angulaire . Les calculs en mécanique sont souvent simplifiés lorsqu'ils sont formulés par rapport au centre de masse. C'est un point hypothétique où toute la masse d'un objet peut être supposée être concentrée pour visualiser son mouvement. En d'autres termes, le centre de masse est l'équivalent particulaire d'un objet donné pour l'application des lois du mouvement de Newton .

Dans le cas d'un seul corps rigide , le centre de masse est fixe par rapport au corps, et si le corps a une densité uniforme, il sera situé au centre de gravité . Le centre de masse peut être situé à l'extérieur du corps physique, comme c'est parfois le cas pour des objets creux ou de forme ouverte, comme un fer à cheval . Dans le cas d'une distribution de corps séparés, tels que les planètes du système solaire , le centre de masse peut ne pas correspondre à la position d'un membre individuel du système.

Le centre de masse est un point de référence utile pour les calculs en mécanique qui impliquent des masses réparties dans l'espace, telles que le moment linéaire et angulaire des corps planétaires et la dynamique des corps rigides . En mécanique orbitale , les équations du mouvement des planètes sont formulées comme des masses ponctuelles situées aux centres de masse. Le repère du centre de masse est un repère inertiel dans lequel le centre de masse d'un système est au repos par rapport à l'origine du repère.

Histoire

Le concept de centre de gravité ou de poids a été largement étudié par le mathématicien, physicien et ingénieur grec Archimède de Syracuse . Il a travaillé avec des hypothèses simplifiées sur la gravité qui équivalent à un champ uniforme, arrivant ainsi aux propriétés mathématiques de ce que nous appelons maintenant le centre de masse. Archimède a montré que le couple exercé sur un levier par des poids reposant à divers points le long du levier est le même que ce qu'il serait si tous les poids étaient déplacés vers un seul point - leur centre de masse. Dans son ouvrage On Floating Bodies , Archimède a démontré que l'orientation d'un objet flottant est celle qui rend son centre de masse le plus bas possible. Il a développé des techniques mathématiques pour trouver les centres de masse d'objets de densité uniforme de diverses formes bien définies.

D'autres mathématiciens antiques qui ont contribué à la théorie du centre de masse incluent Hero d'Alexandrie et Pappus d'Alexandrie . À la Renaissance et au début de l'époque moderne , oeuvres de Guido Ubaldi , Francesco Maurolico , Federico Commandino , Evangelista Torricelli , Simon Stevin , Luca Valerio , Jean-Charles de la Faille , Paul Guldin , John Wallis , Louis Carré , Pierre Varignon et Alexis Clairaut élargi le concept.

La deuxième loi de Newton est reformulée par rapport au centre de masse dans la première loi d'Euler .

Définition

Le centre de masse est l'unique point au centre d'une distribution de masse dans l'espace qui a la propriété que les vecteurs de position pondérés par rapport à ce point s'additionnent à zéro. Par analogie avec les statistiques, le centre de masse est l'emplacement moyen d'une distribution de masse dans l'espace.

Un système de particules

Dans le cas d'un système de particules P i , i = 1, …,  n , chacune de masse m i qui sont situées dans l'espace avec les coordonnées r i , i = 1, …,  n , les coordonnées R du centre de masse satisfaire la condition

La résolution de cette équation pour R donne la formule

où est la masse totale de toutes les particules.

Un volume continu

Si la distribution de masse est continue avec la densité ρ( r ) dans un solide Q , alors l'intégrale des coordonnées de position pondérées des points de ce volume par rapport au centre de masse R sur le volume V est nulle, c'est-à-dire

Résoudre cette équation pour les coordonnées R pour obtenir

où M est la masse totale dans le volume.

Si une distribution de masse continue a une densité uniforme , ce qui signifie que est constant, alors le centre de masse est le même que le centre de gravité du volume.

Coordonnées barycentriques

Les coordonnées R du centre de masse d'un système à deux particules, P 1 et P 2 , de masses m 1 et m 2 sont données par

Soit le pourcentage de la masse totale répartie entre ces deux particules qui varie de 100% P 1 et 0% P 2 à 50% P 1 et 50% P 2 à 0% P 1 et 100% P 2 , puis le centre de masse R se déplace le long de la ligne de P 1 à P 2 . Les pourcentages de masse à chaque point peuvent être considérés comme des coordonnées projectives du point R sur cette ligne, et sont appelés coordonnées barycentriques. Une autre façon d'interpréter le processus ici est l'équilibrage mécanique des moments autour d'un point arbitraire. Le numérateur donne le moment total qui est ensuite équilibré par une force totale équivalente au centre de masse. Cela peut être généralisé à trois points et quatre points pour définir des coordonnées projectives dans le plan et dans l'espace, respectivement.

Systèmes avec conditions aux limites périodiques

Pour les particules dans un système avec des conditions aux limites périodiques, deux particules peuvent être voisines même si elles sont de part et d'autre du système. Cela se produit souvent dans les simulations de dynamique moléculaire , par exemple, dans lesquelles des amas se forment à des emplacements aléatoires et parfois des atomes voisins traversent la frontière périodique. Lorsqu'un cluster chevauche la frontière périodique, un calcul naïf du centre de masse sera incorrect. Une méthode généralisée de calcul du centre de masse pour les systèmes périodiques consiste à traiter chaque coordonnée, x et y et/ou z , comme si elle était sur un cercle au lieu d'une ligne. Le calcul prend la coordonnée x de chaque particule et la mappe à un angle,

x max est la taille du système dans la direction x et . A partir de cet angle, deux nouveaux points peuvent être générés, qui peuvent être pondérés par la masse de la particule pour le centre de masse ou donner une valeur de 1 pour le centre géométrique :

Dans le plan, ces coordonnées se trouvent sur un cercle de rayon 1. A partir de la collection de et des valeurs de toutes les particules, les moyennes et sont calculées.

M est la somme des masses de toutes les particules.

Ces valeurs sont replacées dans un nouvel angle, , à partir duquel la coordonnée x du centre de masse peut être obtenue :

Le processus peut être répété pour toutes les dimensions du système afin de déterminer le centre de masse complet. L'utilité de l'algorithme est qu'il permet aux mathématiques de déterminer où se trouve le "meilleur" centre de masse, au lieu de deviner ou d'utiliser l' analyse de cluster pour "déplier" un cluster chevauchant les limites périodiques. Si les deux valeurs moyennes sont égales à zéro, , alors n'est pas défini. C'est un résultat correct, car il ne se produit que lorsque toutes les particules sont exactement espacées de manière égale. Dans cette condition, leurs coordonnées x sont mathématiquement identiques dans un système périodique .

Centre de gravité

Schéma d'un jouet éducatif en équilibre sur un point : le centre de gravité (C) s'installe en dessous de son support (P)

Le centre de gravité d'un corps est le point autour duquel le couple résultant dû aux forces de gravité disparaît. Lorsqu'un champ de gravité peut être considéré comme uniforme, le centre de masse et le centre de gravité seront les mêmes. Cependant, pour les satellites en orbite autour d'une planète, en l'absence d'autres couples appliqués à un satellite, la légère variation (gradient) du champ gravitationnel entre le plus proche (plus fort) et le plus éloigné (plus faible) de la planète peut conduire à un couple qui aura tendance à aligner le satellite de telle sorte que son grand axe soit vertical. Dans un tel cas, il est important de faire la distinction entre le centre de gravité et le centre de masse. Tout décalage horizontal entre les deux entraînera un couple appliqué.

Il est utile de noter que le centre de masse est une propriété fixe pour un corps rigide donné (par exemple sans clapot ni articulation), alors que le centre de gravité peut, en plus, dépendre de son orientation dans un système gravitationnel non uniforme. champ. Dans ce dernier cas, le centre de gravité sera toujours situé un peu plus près du corps attractif principal par rapport au centre de masse, et changera donc sa position dans le corps d'intérêt à mesure que son orientation est modifiée.

Dans l'étude de la dynamique des aéronefs, des véhicules et des navires, les forces et les moments doivent être résolus par rapport au centre de masse. Cela est vrai indépendamment du fait que la gravité elle-même soit une considération. Faire référence au centre de masse en tant que centre de gravité est quelque chose d'un langage familier, mais c'est d'usage courant et lorsque les effets de gradient de gravité sont négligeables, le centre de gravité et le centre de masse sont les mêmes et sont utilisés de manière interchangeable.

En physique, les avantages de l'utilisation du centre de masse pour modéliser une distribution de masse peuvent être vus en considérant la résultante des forces de gravité sur un corps continu. Considérons un corps Q de volume V de densité ( r ) en chaque point r du volume. Dans un champ de gravité parallèle, la force f en chaque point r est donnée par,

où dm est la masse au point r , g est l'accélération de la pesanteur, et est un vecteur unitaire définissant la direction verticale.

Choisissez un point de référence R dans le volume et calculez la force et le couple résultants en ce point,

et

Si le point de référence R est choisi de telle sorte qu'il soit le centre de masse, alors

ce qui signifie que le couple résultant T = 0. Parce que le couple résultant est nul, le corps se déplacera comme s'il s'agissait d'une particule avec sa masse concentrée au centre de la masse.

En sélectionnant le centre de gravité comme point de référence pour un corps rigide, les forces de gravité n'entraîneront pas la rotation du corps, ce qui signifie que le poids du corps peut être considéré comme concentré au centre de masse.

Moment linéaire et angulaire

Le moment linéaire et angulaire d'un ensemble de particules peut être simplifié en mesurant la position et la vitesse des particules par rapport au centre de masse. Soit le système de particules P i , i = 1, ..., n de masses m i situé aux coordonnées r i avec des vitesses v i . Sélectionnez un point de référence R et calculez les vecteurs position relative et vitesse,

Le moment linéaire total et le moment angulaire du système sont

et

Si R est choisi comme centre de masse, ces équations se simplifient en

m est la masse totale de toutes les particules, p est le moment linéaire et L est le moment angulaire.

La loi de conservation de la quantité de mouvement prédit que pour tout système non soumis à des forces externes, la quantité de mouvement du système restera constante, ce qui signifie que le centre de masse se déplacera à vitesse constante. Cela s'applique à tous les systèmes avec des forces internes classiques, y compris les champs magnétiques, les champs électriques, les réactions chimiques, etc. Plus formellement, cela est vrai pour toutes les forces internes qui s'annulent conformément à la troisième loi de Newton .

Localisation du centre de masse

Méthode du fil à plomb

La détermination expérimentale du centre de masse d'un corps utilise les forces de gravité sur le corps et est basée sur le fait que le centre de masse est le même que le centre de gravité dans le champ de gravité parallèle près de la surface de la terre.

Le centre de masse d'un corps avec un axe de symétrie et une densité constante doit se trouver sur cet axe. Ainsi, le centre de masse d'un cylindre circulaire de densité constante a son centre de masse sur l'axe du cylindre. De la même manière, le centre de masse d'un corps à symétrie sphérique de densité constante est au centre de la sphère. En général, pour toute symétrie d'un corps, son centre de masse sera un point fixe de cette symétrie.

En deux dimensions

Une méthode expérimentale pour localiser le centre de masse consiste à suspendre l'objet à deux endroits et à laisser tomber des fils à plomb depuis les points de suspension. L'intersection des deux droites est le centre de masse.

La forme d'un objet peut déjà être déterminée mathématiquement, mais elle peut être trop complexe pour utiliser une formule connue. Dans ce cas, on peut subdiviser la forme complexe en formes plus simples, plus élémentaires, dont les centres de masse sont faciles à trouver. Si la masse totale et le centre de masse peuvent être déterminés pour chaque zone, alors le centre de masse de l'ensemble est la moyenne pondérée des centres. Cette méthode peut même fonctionner pour les objets avec des trous, qui peuvent être comptabilisés comme des masses négatives.

Un développement direct du planimètre connu sous le nom d'intégraphe, ou d'entieromètre, peut être utilisé pour établir la position du centroïde ou du centre de masse d'une forme bidimensionnelle irrégulière. Cette méthode peut être appliquée à une forme avec une frontière irrégulière, lisse ou complexe où d'autres méthodes sont trop difficiles. Il était régulièrement utilisé par les constructeurs de navires pour comparer avec le déplacement et le centre de flottabilité requis d'un navire, et s'assurer qu'il ne chavirerait pas.

En trois dimensions

Une méthode expérimentale pour localiser les coordonnées tridimensionnelles du centre de masse commence en soutenant l'objet en trois points et en mesurant les forces, F 1 , F 2 et F 3 qui résistent au poids de l'objet, ( est le vecteur unitaire dans le sens vertical). Soient r 1 , r 2 et r 3 les coordonnées de position des points d'appui, alors les coordonnées R du centre de masse satisfont à la condition que le couple résultant soit nul,

ou

Cette équation donne les coordonnées du centre de masse R * dans le plan horizontal comme,

Le centre de masse se trouve sur la ligne verticale L, donnée par

Les coordonnées tridimensionnelles du centre de masse sont déterminées en effectuant cette expérience deux fois avec l'objet positionné de sorte que ces forces soient mesurées pour deux plans horizontaux différents à travers l'objet. Le centre de masse sera l'intersection des deux droites L 1 et L 2 obtenues à partir des deux expériences.

Applications

Conceptions techniques

Applications automobiles

Les ingénieurs tentent de concevoir une voiture de sport de sorte que son centre de masse est abaissée pour rendre la voiture poignée mieux, qui maintient la traction lors de l' exécution des virages relativement aigus.

Le profil bas caractéristique du Humvee militaire américain a été conçu en partie pour lui permettre de s'incliner plus loin que les véhicules plus grands, sans capotage , car son centre de masse bas resterait au-dessus de l'espace délimité les quatre roues même à des angles éloignés de l' horizontale .

Aéronautiques

Le centre de gravité est un point important sur un avion , ce qui affecte considérablement la stabilité de l'avion. Pour s'assurer que l'avion est suffisamment stable pour pouvoir voler en toute sécurité, le centre de gravité doit se situer dans des limites spécifiées. Si le centre de masse est en avance sur la limite avant , l'avion sera moins maniable, peut-être au point d'être incapable de pivoter pour le décollage ou d'arrondir pour l'atterrissage. Si le centre de gravité est en deçà de la limite arrière, l'avion sera plus maniable, mais aussi moins stable, et éventuellement suffisamment instable pour être impossible à piloter. Le bras de levier de l' élévateur sera également réduit, ce qui rend plus difficile la récupération après un blocage .

Pour les hélicoptères en vol stationnaire , le centre de masse est toujours directement sous la tête de rotor . En vol vers l'avant, le centre de masse se déplacera vers l'avant pour équilibrer le couple de pas négatif produit en appliquant le contrôle cyclique pour propulser l'hélicoptère vers l'avant ; par conséquent, un hélicoptère de croisière vole « à piquer » en vol horizontal.

Astronomie

Deux corps en orbite autour de leur barycentre (croix rouge)

Le centre de masse joue un rôle important en astronomie et en astrophysique, où il est communément appelé barycentre . Le barycentre est le point entre deux objets où ils s'équilibrent ; c'est le centre de masse où deux ou plusieurs corps célestes orbitent l' un autour de l'autre. Lorsqu'une lune est en orbite autour d' une planète ou qu'une planète est en orbite autour d' une étoile , les deux corps sont en fait en orbite autour d'un point éloigné du centre du corps principal (plus grand). Par exemple, la Lune ne tourne pas autour du centre exact de la Terre , mais d'un point sur une ligne entre le centre de la Terre et la Lune, à environ 1 710 km (1 062 miles) sous la surface de la Terre, où leurs masses respectives s'équilibrent. . C'est le point autour duquel gravitent la Terre et la Lune lorsqu'elles se déplacent autour du Soleil . Si les masses sont plus similaires, par exemple Pluton et Charon , le barycentre tombera à l'extérieur des deux corps.

Gréement et sécurité

Il est crucial de connaître l'emplacement du centre de gravité lors du gréement , ce qui peut entraîner des blessures graves ou la mort s'il est mal supposé. Un centre de gravité qui est au niveau ou au-dessus du point de levage entraînera très probablement un incident de renversement. En général, plus le centre de gravité est éloigné en dessous du point de prélèvement, plus l'ascenseur est sûr. D'autres éléments doivent être pris en compte, tels que le déplacement des charges, la force de la charge et de la masse, la distance entre les points de prélèvement et le nombre de points de prélèvement. Plus précisément, lors de la sélection des points de levage, il est très important de placer le centre de gravité au centre et bien en dessous des points de levage.

Mouvement du corps

En kinésiologie et en biomécanique, le centre de masse est un paramètre important qui aide les gens à comprendre leur locomotion humaine. En règle générale, le centre de masse d'un humain est détecté avec l'une des deux méthodes suivantes : la méthode du tableau de réaction est une analyse statique qui implique la personne allongée sur cet instrument et l'utilisation de son équation d' équilibre statique pour trouver son centre de masse ; la méthode de segmentation repose sur une solution mathématique basée sur le principe physique selon lequel la somme des couples de sections individuelles du corps, par rapport à un axe spécifié , doit être égale au couple de l'ensemble du système qui constitue le corps, mesuré par rapport au même axe.

Voir également

Remarques

Les références

Liens externes