Centre de masse (relativiste) - Center of mass (relativistic)

En physique , le centre de masse relativiste fait référence aux concepts mathématiques et physiques qui définissent le centre de masse d'un système de particules en mécanique relativiste et en mécanique quantique relativiste .

introduction

En physique non relativiste, il existe une notion unique et bien définie du centre de vecteur de masse , un vecteur tridimensionnel (abrégé: "3-vecteur"), d'un système isolé de particules massives à l'intérieur des 3 espaces des référentiels inertiels de l' espace-temps de Galilei . Cependant, une telle notion n'existe pas en relativité restreinte à l'intérieur des 3 espaces des cadres inertiels de l'espace-temps de Minkowski .

Dans tout cadre à rotation rigide (y compris le cas particulier d'un cadre inertiel galiléen) avec des coordonnées , le centre de masse de Newton de N particules de masse et 3 positions est le vecteur 3 ${\ displaystyle (t, x)}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {i} (t)}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {(nr)} (t) = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i} \, {\ vec {x} } _ {i} (t)} {\ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i}}}}$

à la fois pour les particules libres et en interaction.

Dans un cadre inertiel relativiste restreint dans l'espace-temps de Minkowski avec quatre coordonnées vectorielles , une variable collective avec toutes les propriétés du centre de masse de Newton n'existe pas. Les principales propriétés du centre de masse non relativiste sont ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, x)}$

i) avec l' élan total, il forme une paire canonique ,

ii) il se transforme sous rotations comme un vecteur à trois, et

iii) c'est une position associée à la distribution spatiale des masses des constituants.

Il est intéressant de noter que les trois propositions suivantes pour un centre de masse relativiste apparaissant dans la littérature du siècle dernier reprennent individuellement ces trois propriétés:

1. Le centre de spin de Newton – Wigner – Pryce ou centre de masse canonique, (c'est le pendant classique de l'opérateur de position quantique de Newton – Wigner). Il s'agit d'un 3-vecteur satisfaisant les mêmes conditions canoniques que le centre de masse de Newton, à savoir avoir des crochets de Poisson disparaissant dans l' espace des phases . Cependant, il n'y a pas de 4 vecteurs qui l'ont comme partie d'espace, de sorte qu'il n'identifie pas une ligne du monde , mais seulement une pseudo-ligne du monde, en fonction de la trame inertielle choisie. ${\ displaystyle {\ vec {\ tilde {x}}}}$ ${\ displaystyle \ {{\ tilde {x}} ^ {i}, {\ tilde {x}} ^ {j} \} = 0}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} = ({\ tilde {x}} ^ {o}, {\ vec {\ tilde {x}}})}$
2. Le centre d'inertie de Fokker – Pryce . C'est la partie spatiale d'un 4-vecteur , de sorte qu'elle identifie une ligne du monde, mais ce n'est pas canonique, c'est-à-dire . ${\ displaystyle {\ vec {Y}}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} = (Y ^ {0}, {\ vec {Y}})}$${\ displaystyle \ {Y ^ {i}, Y ^ {j} \} \ not = 0}$
3. Le centre d'énergie de Møller , défini comme le centre de masse de Newton avec les masses de repos des particules remplacées par leurs énergies relativistes. Ce n'est pas canonique, c'est-à-dire ni la partie spatiale d'un 4-vecteur, c'est-à-dire qu'il identifie uniquement une pseudo-ligne du monde dépendant de la trame. ${\ displaystyle {\ vec {R}}}$${\ displaystyle m_ {i}}$${\ displaystyle \ {R ^ {i}, R ^ {j} \} \ not = 0}$

Ces trois variables collectives ont toutes la même vitesse 3 constante et toutes s'effondrent dans le centre de masse de Newton dans la limite non relativiste. Dans les années 70, il y a eu un grand débat sur ce problème, sans aucune conclusion définitive.

Définition théorique de groupe

En mécanique non relativiste, l'expression dans l'espace des phases des dix générateurs du groupe Galilei d'un système isolé de N particules avec 3 positions , 3 moments et des masses dans le référentiel inertiel avec coordonnées sont un potentiel inter-particules ) ${\ displaystyle {{\ vec {x}} _ {i} (t)}}$${\ displaystyle {{\ vec {p}} _ {i} (t)}}$${\ displaystyle m_ {i} (i = 1..N)}$${\ displaystyle (t, x)}$${\ displaystyle (V (t) = V ({\ vec {x}} _ {i} (t) - {\ vec {x}} _ {j} (t))}$

${\ displaystyle E_ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ frac {{\ vec {p}} _ {i} ^ {2} (t)} {2m_ {i} }} + V (t), \ qquad {\ vec {P}} _ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ vec {p}} _ {i} (t) ,}$

${\ displaystyle {\ vec {J}} _ {G} = \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, {\ vec {x}} _ {i} (t) \ times {\ vec {p }} _ {i} (t), \ qquad {\ vec {K}} _ {G} = {\ vec {P}} \, t- \ sum _ {i = 1} ^ {N} \, m_ {i} \, {\ vec {x}} _ {i} (t).}$

Ce sont des constantes du mouvement générant les transformations reliant les référentiels inertiels. Par conséquent, à une définition théorique de groupe du centre de masse de Newton est ${\ displaystyle t = 0}$

${\ displaystyle {\ vec {x}} _ {(nr)} = - {\ frac {{\ vec {K}} _ {G}} {M}}, M = \ sum _ {i = 1} ^ {N} m_ {i}}$

En relativité restreinte, les référentiels inertiels sont reliés par des transformations générées par le groupe de Poincaré . La forme de ses dix générateurs pour un système isolé de N particules avec des interactions d'action à distance est très compliquée, dépend de la façon dont les particules sont paramétrées dans l'espace des phases et n'est connue explicitement que pour certaines classes d'interactions. Or les dix quantités sont des constantes du mouvement et, lorsqu'il s'agit d'un 4-vecteur temporel, on peut définir les deux invariants de Casimir de la représentation donnée du groupe de Poincaré. Ces deux constantes de mouvement identifient la masse invariante et le spin au repos du système de particules isolé. La relation relativiste énergie – impulsion est: ${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle M ^ {2} c ^ {2} = (P ^ {0}) ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2},}$

où est la composante zéro des quatre impulsions , l'énergie relativiste totale du système de particules, et le pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski est: ${\ displaystyle P ^ {0}}$

${\ displaystyle W ^ {\ mu} = {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {\ mu \ nu \ kappa \ lambda} P _ {\ nu} J _ {\ kappa \ lambda}}$

${\ displaystyle {\ vec {W}} | _ {{\ vec {P}} = 0} = Mc {\ vec {S}},}$

${\ displaystyle W ^ {2} = M ^ {2} c ^ {2} S ^ {2}}$

On peut montrer que dans un référentiel inertiel avec coordonnées, les trois variables collectives précédentes 1), 2) et 3) sont les seules qui ne peuvent être exprimées qu'en termes de et avec ${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {0}, {\ vec {x}})}$${\ displaystyle P ^ {\ mu}, J ^ {\ mu \ nu}, M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle J ^ {i} = {\ frac {1} {2}} \, \ sum _ {jk} \, \ epsilon ^ {ijk} \, J ^ {jk}, K ^ {i} = J ^ {0i}}$

à : ${\ displaystyle x ^ {0} = 0}$

${\ displaystyle {\ vec {R}} = - {\ frac {\ vec {K}} {Mc}}}$

${\ displaystyle {\ vec {\ tilde {x}}} = - {\ frac {\ vec {K}} {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ { 2}}}} + {\ frac {{\ vec {J}} \ times {\ vec {P}}} {{\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}} (Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}})}} + {\ frac {{\ vec {K} } \ cdot {\ vec {P}} \, {\ vec {P}}} {Mc \, {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2} }} (Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}})}}}$

${\ displaystyle {\ vec {Y}} = {\ frac {(Mc + {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}}) \, {\ vec {\ tilde {x}}} - Mc \, {\ vec {R}}} {\ sqrt {M ^ {2} c ^ {2} - {\ vec {P}} ^ {2}}}} }$

Puisque les générateurs de Poincaré dépendent de toutes les composantes du système isolé même lorsqu'ils sont à de grandes distances de type spatial, ce résultat montre que les variables collectives relativistes sont des quantités globales (non définies localement). Par conséquent, toutes sont des quantités non mesurables, au moins avec des mesures locales. Cela suggère qu'il pourrait y avoir des problèmes également avec la mesure du centre de masse de Newton avec des méthodes locales.

Les trois variables collectives sous forme de 4 quantités dans la base de repos

Les cadres de repos inertiels d'un système isolé peuvent être géométriquement définis comme les cadres inertiels dont les 3 espaces de type spatial sont orthogonaux au 4-moment temporel conservé du système: ils ne diffèrent que pour le choix de l'origine de l'observateur inertiel de les 4 coordonnées . On choisit le centre d'inertie 4-vecteur de Fokker – Pryce comme origine puisqu'il s'agit d'un 4-vecteur, de sorte que c'est la seule variable collective qui puisse être utilisée pour un observateur inertiel. Si est l' heure propre de l' horloge atomique portée par l'observateur inertiel et les 3 coordonnées dans les 3 espaces restants , les emplacements de l'espace-temps dans ces 3 espaces peuvent être décrits dans un cadre inertiel arbitraire avec les plongements, ${\ displaystyle x ^ {\ mu}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ tau}$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$${\ displaystyle {\ vec {\ Sigma}} _ {\ tau}}$

${\ displaystyle z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ vec {\ sigma}}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ sum _ {r = 1} ^ {3} \ epsilon _ {r} ^ {\ mu} ({\ vec {h}}) \ sigma ^ {r},}$

où . Le 4-vecteur de type temps et les trois 4-vecteurs de type spatial sont les colonnes des boosters de Wigner pour les orbites de type temps du groupe de Poincaré. En conséquence les 3 coordonnées définissent les 3-vecteurs spin-1 de Wigner qui se transforment sous des rotations de Wigner quand on fait une transformation de Lorentz . Par conséquent, en raison de cette covariance de Wigner, ces 3 espaces de repos privilégiés (nommés 3 espaces de Wigner ) peuvent être définis comme étant intrinsèquement définis et ne dépendent pas de l'observateur inertiel qui les décrit. Ils permettent la description d'états liés relativistes sans la présence des temps relatifs de leurs constituants, dont les excitations n'ont jamais été observées en spectroscopie. ${\ displaystyle {\ vec {h}} = {\ vec {P}} / Mc}$${\ displaystyle h ^ {\ mu} = P ^ {\ mu} / Mc}$${\ displaystyle \ epsilon _ {r} ^ {\ mu} ({\ vec {h}})}$${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}}}$${\ displaystyle \ Sigma _ {(W) \ tau}}$

Dans ce cadre, il est possible de décrire les trois variables collectives à 4 quantités , telles que . On peut montrer qu'ils ont les expressions suivantes en termes de (les données Jacobi en pour le centre de masse canonique), et ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau), Y ^ {\ mu} (\ tau), R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau = h _ {\ mu} {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau) = h _ {\ mu} Y ^ {\ mu} (\ tau) = h _ {\ mu} R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ tau, {\ vec {z}} = Mc {\ vec {\ tilde {x}}} (0)}$${\ displaystyle \ tau = 0}$${\ displaystyle {\ vec {h}}, M}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ tilde { \ vec {x}}} (\ tau) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h }} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc}}) {\ vec {h}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ tilde {\ vec {\ sigma} }}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ left (0, {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ right) \\\ end {aligné}}}$ ,

${\ displaystyle {\ begin {aligné} Y ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ vec {Y}} (\ tau ) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z} }} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc }}) {\ vec {h}} + {\ frac {{\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, {\ vec {0}}) \ end {aligné}},}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} R ^ {\ mu} (\ tau) & = \ left ({\ tilde {x}} ^ {0} (\ tau); {\ vec {R}} (\ tau ) \ right) = \ left ({\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}} (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z} }} {Mc}}); {\ frac {\ vec {z}} {Mc}} + (\ tau + {\ frac {{\ vec {h}} \ cdot {\ vec {z}}} {Mc }}) {\ vec {h}} - {\ frac {\ {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ { 2}}} (1 + {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}})}} \ right) \\ & = z_ {W} ^ {\ mu} (\ tau, { \ vec {\ sigma}} _ {R}) = Y ^ {\ mu} (\ tau) + \ left (0; {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}} } {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}}}} \ droit) \ end {aligné}}}$

Les emplacements dans le repos privilégié Wigner 3-espace du centre de masse canonique et du centre d'énergie sont

${\ displaystyle {\ tilde {\ vec {\ sigma}}} = {\ frac {- {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc (1 + {\ sqrt {1+ { \ vec {h}} ^ {2}}})}}}$

et

${\ displaystyle {\ vec {\ sigma}} _ {R} = {\ frac {- \, {\ vec {S}} \ times {\ vec {h}}} {Mc {\ sqrt {1 + {\ vec {h}} ^ {2}}}}}}$ .

La pseudo-ligne du monde du centre de masse canonique est toujours plus proche du centre d'inertie que du centre d'énergie.

Tube mondial de non-covariance de Møller

Møller a montré que si dans un référentiel inertiel arbitraire on dessine toutes les pseudo-lignes du monde de et associées à chaque référentiel inertiel possible, alors elles remplissent un tube-monde autour du 4-vecteur avec un rayon de Møller invariant transversal déterminé par les deux Casimirs de le système isolé. Ce tube-monde décrit la région de non-covariance des variables collectives relativistes et pose une limite théorique pour la localisation des particules relativistes. Cela peut être vu en prenant la différence entre et soit ou . Dans les deux cas, la différence n'a qu'une composante spatiale perpendiculaire aux deux et et une grandeur allant de zéro au rayon de Møller car la vitesse à trois du système de particules isolées dans le référentiel inertiel arbitraire va de 0 vers c. Puisque la différence n'a qu'une composante spatiale, il est évident que le volume correspond à un tube-monde sans covariance autour du vecteur 4 de Fokker-Pryce . ${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle \ rho = | {\ vec {S}} | / Mc}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle R ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle {\ tilde {x}} ^ {\ mu} (\ tau)}$${\ displaystyle {\ vec {S}}}$${\ displaystyle {\ vec {h}}}$${\ displaystyle Y ^ {\ mu} (\ tau)}$

Le rayon de Møller étant de l'ordre de la longueur d'onde Compton du système isolé, il est impossible d'explorer son intérieur sans produire des paires, c'est-à-dire sans prendre en compte la mécanique quantique relativiste. De plus, le tube-monde est le vestige des conditions d'énergie de la relativité générale dans la solution plate de Minkowski: si un corps matériel a son rayon matériel inférieur à son rayon de Møller, alors dans un référentiel, la densité d'énergie du corps n'est pas définie. positif même si l'énergie totale est positive.

La différence entre les trois variables collectives relativistes et le tube-monde de non-covariance sont des effets globaux (non définis localement) induits par la signature de Lorentz de l'espace-temps de Minkowski et disparaissent dans la limite non relativiste.

Voir également

Les références