Cesàro sommation - Cesàro summation

En analyse mathématique , la sommation de Cesàro (également connue sous le nom de moyenne de Cesàro ) attribue des valeurs à certaines sommes infinies qui ne sont pas nécessairement convergentes au sens habituel. La somme de Cesàro est définie comme la limite, lorsque n tend vers l'infini, de la suite des moyennes arithmétiques des n premières sommes partielles de la série.

Ce cas particulier d'une méthode de sommabilité matricielle porte le nom de l'analyste italien Ernesto Cesàro (1859-1906).

Le terme sommation peut être trompeur, car on peut dire que certaines déclarations et preuves concernant la sommation de Cesàro impliquent l' escroquerie Eilenberg-Mazur . Par exemple, il est couramment appliqué à la série de Grandi avec la conclusion que la somme de cette série est 1/2.

Définition

Soit une suite , et soit ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

être sa k ème somme partielle .

La séquence ( a _n ) est appelé Cesàro sommable , avec la somme Cesàro A ∈${\displaystyle \mathbb {R} }$ , si, comme n tend vers l' infini, la moyenne arithmétique des premières n sommes partielles s ₁ , s ₂ , ..., s _n tend vers A :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

La valeur de la limite résultante est appelée somme de Cesàro de la série. Si cette série est convergente, alors elle est sommable de Cesàro et sa somme de Cesàro est la somme habituelle. ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

Exemples

Premier exemple

Soit a _n = (−1) ⁿ pour n 0 . C'est-à-dire, est la séquence ${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}$

${\style d'affichage (1,-1,1,-1,\ldots ).}$

Soit G la série

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }$

La série G est connue sous le nom de série de Grandi .

Notons la suite des sommes partielles de G : ${\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0, \ldots ).\end{aligned}}}$

Cette suite de sommes partielles ne converge pas, donc la série G est divergente. Cependant, G est Cesàro sommable. Soit la suite des moyennes arithmétiques des n premières sommes partielles : ${\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n} )&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}}, {\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right). \end{aligné}}}$

Puis

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}$

et donc, la somme de Cesàro de la série G est 1/2 .

Deuxième exemple

Comme autre exemple, soit a _n = n pour n 1 . C'est-à-dire, est la séquence ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\style d'affichage (1,2,3,4,\ldots ).}$

Notons maintenant G la série

${\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }$

Alors la suite des sommes partielles est ${\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}$

Puisque la suite des sommes partielles croît sans limite, la série G diverge à l'infini. La suite ( t _n ) des moyennes des sommes partielles de G est

${\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}}, \ldots \right).}$

Cette séquence diverge également à l'infini, donc G n'est pas sommable Cesàro. En fait, pour toute suite qui diverge à l'infini (positif ou négatif), la méthode Cesàro conduit aussi à une suite qui diverge également, et donc une telle suite n'est pas sommable Cesàro.

(C, α ) sommation

En 1890, Ernesto Cesàro a énoncé une famille plus large de méthodes de sommation qui ont depuis été appelées (C, α ) pour les entiers non négatifs α . La méthode (C, 0) est juste une sommation ordinaire, et (C, 1) est la sommation Cesàro comme décrit ci-dessus.

Les méthodes d'ordre supérieur peuvent être décrites comme suit : étant donné une série Σ a _n , définir les quantités

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_ {k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}$

(où les indices supérieurs ne désignent pas les exposants) et définissent E^α
_nêtre un^α
_npour la série 1 + 0 + 0 + 0 + ... . Ensuite , le (C, α ) somme Σ a _n est désigné par (C, α ) -Σ un _n et a la valeur

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\ frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

s'il existe ( Shawyer & Watson 1994 , pp.16-17). Cette description représente une application itérée α fois de la méthode de sommation initiale et peut être reformulée comme suit

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}.}$

Plus généralement encore, pour α ∈ \ ⁻${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$ , soit A^α
_n implicitement donné par les coefficients de la série

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

et E^α
_ncomme ci-dessus. En particulier, E^α
_nsont les coefficients binomiaux de puissance −1 − α . Ensuite , le (C, α ) somme Σ a _n est défini comme ci - dessus.

Si Σ un _n a un (C, α ) somme, il a aussi un (C, β ) somme pour chaque β > α , et les sommes d' accord; de plus on a a _n = o ( n ^α ) si α > −1 (voir la petite notation- o ).

Cesàro sommabilité d'une intégrale

Laissez a ≥ 0 . L' intégrale est (C, α ) sommable si ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f (x)\,dx}$

existe et est fini ( Titchmarsh 1948 , §1.15) . La valeur de cette limite, si elle existe, est le (C, α ) la somme de l'intégrale. De manière analogue au cas de la somme d'une série, si α = 0 , le résultat est la convergence de l' intégrale impropre . Dans le cas α = 1 , (C, 1) la convergence équivaut à l'existence de la limite erreur harv : pas de cible : CITEREFTitchmarsh1948 ( aide )

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y) \,dy\,dx}$

qui est la limite des moyennes des intégrales partielles.

Comme cela est le cas avec les séries, si une intégrale est (C, α ) sommable pour une certaine valeur de α ≥ 0 , alors il est également (C, β ) sommable pour tout β > α , et la valeur de la limite résultante est la même.

Voir également

Les références

• Shawyer, Bruce ; Watson, Bruce (1994), Méthodes de sommabilité de Borel : théorie et applications , Oxford University Press, ISBN 0-19-853585-6
• Titchmarsh, EC (1986) [1948], Introduction à la théorie des intégrales de Fourier (2e éd.), New York, NY : Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8284-0324-5
• Volkov, II (2001) [1994], "Méthodes de sommation Cesàro" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Zygmund, Antoni (1988) [1968], Série trigonométrique (2e éd.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35885-9