Fonction de choix - Choice function

Une fonction de choix ( sélecteur , sélection ) est une fonction mathématique f qui est définie sur une collection X d' ensembles non vides et affecte un élément de chaque ensemble S de cette collection à S par f ( S ); f ( S ) mappe S à un élément de S . En d'autres termes, f est une fonction de choix pour X si et seulement si elle appartient au produit direct de X .

Un exemple

Soit X  = { {1,4,7}, {9}, {2,7} }. Alors la fonction qui affecte 7 à l'ensemble {1,4,7}, 9 à {9} et 2 à {2,7} est une fonction de choix sur X .

Histoire et importance

Ernst Zermelo (1904) a introduit les fonctions de choix ainsi que l' axiome du choix (AC) et a prouvé le théorème du bon ordre , qui stipule que tout ensemble peut être bien ordonné . AC indique que chaque ensemble d'ensembles non vides a une fonction de choix. Une forme plus faible de AC, l' axiome du choix dénombrable (AC _ω ) stipule que chaque ensemble dénombrable d'ensembles non vides a une fonction de choix. Cependant, en l'absence de AC ou AC _ω , certains ensembles peuvent encore être montrés comme ayant une fonction de choix.

• Si est un fini ensemble d'ensembles non vides, alors on peut construire une fonction de choix pour en choisissant un élément de chaque membre de ce ne nécessite que de choix, finiment donc ni AC ou AC _ω est nécessaire.${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X.}$
• Si chaque membre de est un ensemble non vide et que l' union est bien ordonnée, alors on peut choisir le moindre élément de chaque membre de . Dans ce cas, il était possible de bien en même temps pour tous les membres de en faisant un seul choix d'un bien ordre de l'union, de sorte que ni AC ni AC _ω était nécessaire. (Cet exemple montre que le théorème du bon ordre implique AC. L' inverse est également vrai, mais moins trivial.)${\style d'affichage X}$ ${\displaystyle \bigcup X}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage X}$

Fonction de choix d'une carte multivaluée

Étant donné deux ensembles X et Y , soit F une application multivaluée de X et Y (de manière équivalente, est une fonction de X dans l' ensemble de puissance de Y ). ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$

Une fonction est dite une sélection de F , si : ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle \forall x\in X\,(f(x)\in F(x))\,.}$

L'existence de fonctions de choix plus régulières, à savoir des sélections continues ou mesurables, est importante dans la théorie des inclusions différentielles , du contrôle optimal et de l'économie mathématique . Voir Théorème de sélection .

Fonction Bourbaki tau

Nicolas Bourbaki a utilisé le calcul epsilon pour ses fondements qui avaient un symbole pouvant être interprété comme le choix d'un objet (s'il existait) qui satisfait une proposition donnée. Donc, si est un prédicat, alors est un objet particulier qui satisfait (s'il existe, sinon il renvoie un objet arbitraire). Par conséquent, nous pouvons obtenir des quantificateurs à partir de la fonction de choix, par exemple était équivalent à . ${\style d'affichage \tau }$${\style d'affichage P(x)}$${\style d'affichage \tau _{x}(P)}$${\style d'affichage P}$${\style d'affichage P(\tau _{x}(P))}$${\style d'affichage (\existe x)(P(x))}$

Cependant, l'opérateur de choix de Bourbaki est plus fort que d'habitude : c'est un opérateur de choix global . C'est-à-dire qu'elle implique l' axiome du choix global . Hilbert s'en est rendu compte en introduisant le calcul epsilon.

Voir également

• Axiome du choix comptable
• Paradoxe de Hausdorff
• Hémicontinuité

Remarques

Les références

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