Orbite circulaire - Circular orbit

Fait partie d'une série sur
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v t e

Une orbite circulaire est représentée dans le quadrant supérieur gauche de ce diagramme, où le puits de potentiel gravitationnel de la masse centrale montre l'énergie potentielle et l'énergie cinétique de la vitesse orbitale est indiquée en rouge. La hauteur de l'énergie cinétique reste constante tout au long de l'orbite circulaire à vitesse constante.

En haut du diagramme, un satellite en orbite circulaire dans le sens des aiguilles d'une montre (point jaune) lance des objets de masse négligeable :
(1 - bleu) vers la Terre,
(2 - rouge) loin de la Terre,
(3 - gris) dans la direction de déplacement, et
(4 - noir) vers l'arrière du sens de déplacement.

Les ellipses en pointillés sont des orbites par rapport à la Terre. Les courbes pleines sont des perturbations relatives au satellite : sur une orbite, (1) et (2) reviennent au satellite en ayant fait une boucle dans le sens horaire de part et d'autre du satellite. Sans intuition, (3) spirale de plus en plus loin derrière alors que (4) spirale devant.

Une orbite circulaire est une orbite à distance fixe autour du barycentre ; c'est-à-dire en forme de cercle .

Vous trouverez ci-dessous une orbite circulaire en astrodynamique ou en mécanique céleste selon des hypothèses standard. Ici, la force centripète est la force gravitationnelle et l'axe mentionné ci-dessus est la ligne passant par le centre de la masse centrale perpendiculaire au plan de mouvement.

Dans ce cas, non seulement la distance, mais aussi la vitesse, la vitesse angulaire , l'énergie potentielle et cinétique sont constantes. Il n'y a ni périapsis ni apoapsis. Cette orbite n'a pas de version radiale.

Accélération circulaire

L' accélération transversale ( perpendiculaire à la vitesse) provoque un changement de direction. S'il est constant en amplitude et changeant de direction avec la vitesse, un mouvement circulaire s'ensuit. Prendre deux dérivées des coordonnées de la particule par rapport au temps donne l' accélération centripète

${\displaystyle a\,={\frac {v^{2}}{r}}\,={\omega ^{2}}{r}}$

où:

• ${\style d'affichage v\,}$est la vitesse orbitale du corps en orbite,
• ${\style d'affichage r\,}$est le rayon du cercle
• ${\displaystyle \omega \ }$est la vitesse angulaire , mesurée en radians par unité de temps.

La formule est sans dimension , décrivant un rapport vrai pour toutes les unités de mesure appliqué uniformément à travers la formule. Si la valeur numérique de est mesurée en mètres par seconde par seconde, alors les valeurs numériques de seront en mètres par seconde, en mètres et en radians par seconde. ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\style d'affichage v\,}$${\style d'affichage r\,}$${\displaystyle \omega \ }$

Rapidité

La vitesse (ou l'amplitude de la vitesse) par rapport à l'objet central est constante :

${\displaystyle v={\sqrt {GM\! \over {r}}}={\sqrt {\mu \over {r}}}}$

où:

• ${\style d'affichage G}$, est la constante gravitationnelle
• ${\style d'affichage M}$, est la masse des deux corps en orbite , bien que dans la pratique courante, si la plus grande masse est significativement plus grande, la plus petite masse est souvent négligée, avec un changement minimal dans le résultat.${\style d'affichage (M_{1}+M_{2})}$
• ${\displaystyle \mu =GM}$, est le paramètre gravitationnel standard .

Équation du mouvement

L' équation de l' orbite en coordonnées polaires, ce qui donne en général r en fonction de θ , se réduit à:

${\displaystyle r={{h^{2}} \over {\mu }}}$

où:

• ${\displaystyle h=rv}$est le moment angulaire spécifique du corps en orbite.

Ceci est dû au fait ${\displaystyle \mu =rv^{2}}$

Vitesse angulaire et période orbitale

${\displaystyle \omega ^{2}r^{3}=\mu }$

Par conséquent, la période orbitale ( ) peut être calculée comme suit : ${\style d'affichage T\,\!}$

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$

Comparez deux quantités proportionnelles, le temps de chute libre (temps pour tomber à une masse ponctuelle du repos)

${\displaystyle T_{ff}={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (17,7% de la période orbitale en orbite circulaire)

et le temps pour tomber à une masse ponctuelle dans une orbite parabolique radiale

${\displaystyle T_{par}={\frac {\sqrt {2}}{3}}{\sqrt {r^{3} \over {\mu }}}}$ (7,5% de la période orbitale en orbite circulaire)

Le fait que les formules ne diffèrent que par un facteur constant ressort a priori de l'analyse dimensionnelle .

Énergie

L' énergie orbitale spécifique ( ) est négative, et ${\style d'affichage \epsilon \,}$

${\displaystyle \epsilon =-{v^{2} \over {2}}}$

${\displaystyle \epsilon =-{\mu \over {2r}}}$

Ainsi le théorème du viriel s'applique même sans prendre de moyenne temporelle :

• l'énergie cinétique du système est égale à la valeur absolue de l'énergie totale
• l'énergie potentielle du système est égale à deux fois l'énergie totale

La vitesse d' échappement à n'importe quelle distance est √ 2 fois la vitesse sur une orbite circulaire à cette distance : l'énergie cinétique est deux fois plus élevée, donc l'énergie totale est nulle.

Delta-v pour atteindre une orbite circulaire

Manœuvrer dans une grande orbite circulaire, par exemple une orbite géostationnaire , nécessite un delta-v plus grand qu'une orbite de fuite , bien que cette dernière implique de s'éloigner arbitrairement et d'avoir plus d'énergie que nécessaire pour la vitesse orbitale de l'orbite circulaire. Il s'agit aussi de manœuvrer dans l'orbite. Voir aussi Orbite de transfert Hohmann .

Vitesse orbitale en relativité générale

Dans la métrique de Schwarzschild , la vitesse orbitale pour une orbite circulaire de rayon est donnée par la formule suivante : ${\style d'affichage r}$

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

où est le rayon de Schwarzschild du corps central. ${\displaystyle \scriptstyle r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

Dérivation

Pour des raisons de commodité, la dérivation sera écrite en unités dans lesquelles . ${\displaystyle \scriptstyle c=G=1}$

La vitesse quadruple d'un corps sur une orbite circulaire est donnée par :

${\displaystyle u^{\mu }=({\dot {t}},0,0,{\dot {\phi }})}$

( est constant sur une orbite circulaire, et les coordonnées peuvent être choisies pour que ). Le point au-dessus d'une variable indique la dérivation par rapport au temps propre . ${\displaystyle \scriptstyler}$${\displaystyle \scriptstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle \scriptstyle \tau }$

Pour une particule massive, les composantes de la vitesse à quatre satisfont à l'équation suivante :

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r^{2}{\dot {\phi }}^{2} =1}$

On utilise l'équation géodésique :

${\displaystyle {\ddot {x}}^{\mu }+\Gamma _{\nu \sigma }^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }{\dot {x}}^ {\sigma }=0}$

La seule équation non triviale est celle de . Il donne: ${\displaystyle \scriptstyle \mu =r}$

${\displaystyle {\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-r\left (1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {\phi }}^{2}=0}$

De là, on obtient :

${\displaystyle {\dot {\phi }}^{2}={\frac {M}{r^{3}}}{\dot {t}}^{2}}$

En substituant cela dans l'équation d'une particule massive, on obtient :

${\displaystyle \left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\dot {t}}^{2}-{\frac {M}{r}}{\dot {t}} ^{2}=1}$

D'où:

${\displaystyle {\dot {t}}^{2}={\frac {r}{r-3M}}}$

Supposons que nous ayons un observateur au rayon , qui ne se déplace pas par rapport au corps central, c'est-à-dire que leur vitesse quadruple est proportionnelle au vecteur . La condition de normalisation implique qu'elle est égale à : ${\displaystyle \scriptstyler}$${\displaystyle \scriptstyle \partial _{t}}$

${\displaystyle v^{\mu }=\left({\sqrt {\frac {r}{r-2M}}},0,0,0\right)}$

Le produit scalaire des quatre vitesses de l'observateur et du corps en orbite est égal au facteur gamma du corps en orbite par rapport à l'observateur, d'où :

${\displaystyle \gamma =g_{\mu \nu }u^{\mu }v^{\nu }=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {r}{r-3M}}}{\sqrt {\frac {r}{r-2M}}}={\sqrt {\frac {r-2M}{r-3M}}}}$

Cela donne la vitesse :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {M}{r-2M}}}}$

Ou, en unités SI :

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {GM}{r-r_{S}}}}}$

Voir également

• Orbite elliptique
• Liste des orbites
• Problème à deux corps

Les références