Propriété commutative - Commutative property

Une opération est commutative si et seulement si pour chaque et . Cette image illustre cette propriété avec le concept d'une opération en tant que "machine à calculer". Peu importe la sortie ou respectivement l'ordre des arguments et ont - le résultat final est le même.

En mathématiques , une opération binaire est commutative si changer l'ordre des opérandes ne change pas le résultat. C'est une propriété fondamentale de nombreuses opérations binaires, et de nombreuses preuves mathématiques en dépendent. Plus familier comme le nom de la propriété qui dit quelque chose comme "3 + 4 = 4 + 3" ou "2 × 5 = 5 × 2" , la propriété peut également être utilisée dans des paramètres plus avancés. Le nom est nécessaire car il existe des opérations, telles que la division et la soustraction , qui ne l'ont pas (par exemple, "3 − 5 ≠ 5 − 3" ); ces opérations ne sont pas commutatives et sont donc appelées opérations non commutatives . L'idée que des opérations simples, telles que la multiplication et l' addition de nombres, sont commutatives a été implicitement supposée pendant de nombreuses années. Ainsi, cette propriété n'a été nommée qu'au XIXe siècle, lorsque les mathématiques ont commencé à se formaliser. Une propriété correspondante existe pour les relations binaires ; une relation binaire est dite symétrique si la relation s'applique quel que soit l'ordre de ses opérandes ; par exemple, l' égalité est symétrique car deux objets mathématiques égaux sont égaux quel que soit leur ordre.

Utilisations courantes

La propriété commutative (ou loi commutative ) est une propriété généralement associée aux opérations et fonctions binaires . Si la propriété commutative est valable pour une paire d'éléments sous une certaine opération binaire, on dit que les deux éléments commutent sous cette opération.

Définitions mathématiques

Une opération binaire sur un ensemble S est dite commutative si

Une opération qui ne satisfait pas la propriété ci-dessus est appelée non commutative .

On dit que x commute avec y ou que x et y commutent sous si

En d'autres termes, une opération est commutative si chaque paire d'éléments commute.

Une fonction binaire est parfois appelée commutative si

Une telle fonction est plus communément appelée fonction symétrique .

Exemples

Opérations commutatives dans la vie quotidienne

Le cumul des pommes, qui peut être vu comme une addition de nombres naturels, est commutatif.
  • Enfiler des chaussettes ressemble à une opération commutative puisque quelle chaussette est enfilée en premier n'a pas d'importance. Dans tous les cas, le résultat (avoir les deux chaussettes) est le même. En revanche, mettre des sous-vêtements et des pantalons n'est pas commutatif.
  • La commutativité de l'addition est observée lors du paiement d'un article en espèces. Quel que soit l'ordre dans lequel les factures sont remises, elles donnent toujours le même total.

Opérations commutatives en mathématiques

L'addition de vecteurs est commutative, car .

Deux exemples bien connus d'opérations binaires commutatives :

  • L' addition des nombres réels est commutative, puisque
    Par exemple 4 + 5 = 5 + 4, puisque les deux expressions sont égales à 9.
  • La multiplication des nombres réels est commutative, puisque

    Par exemple, 3 × 5 = 5 × 3, puisque les deux expressions sont égales à 15.

    En conséquence directe de cela, il est également vrai que les expressions sous la forme y% de z et z% de y sont commutatives pour tous les nombres réels y et z. Par exemple 64 % de 50 = 50 % de 64, puisque les deux expressions sont égales à 32, et 30 % de 50 % = 50 % de 30 %, puisque ces deux expressions sont égales à 15 %.

  • Certaines fonctions de vérité binaires sont également commutatives, puisque les tables de vérité pour les fonctions sont les mêmes lorsque l'on change l'ordre des opérandes.

    Par exemple, la fonction logique biconditionnelle p q est équivalente à q p. Cette fonction s'écrit aussi p IFF q, ou p ≡ q, ou encore E pq .

    La dernière forme est un exemple de la notation la plus concise de l'article sur les fonctions de vérité, qui énumère les seize fonctions de vérité binaires possibles dont huit sont commutatives : V pq = V qp ; A pq (OU) = A qp ; D pq (NAND) = D qp ; E pq (IFF) = E qp ; J pq = J qp ; K pq (ET) = K qp ; X pq (NOR) = X qp ; O pq = O qp .

  • D'autres exemples d'opérations binaires commutatives incluent l'addition et la multiplication de nombres complexes , l'addition et la multiplication scalaire de vecteurs , et l' intersection et l' union d' ensembles .

Opérations non commutatives dans la vie quotidienne

  • La concaténation , l'action de joindre des chaînes de caractères entre elles, est une opération non commutative. Par exemple,
    EA + T = MANGER THÉ = T + EA
  • Le lavage et le séchage des vêtements ressemblent à une opération non commutative ; le lavage puis le séchage produisent un résultat nettement différent du séchage puis du lavage.
  • Faire pivoter un livre de 90° autour d'un axe vertical puis de 90° autour d'un axe horizontal produit une orientation différente que lorsque les rotations sont effectuées dans l'ordre inverse.
  • Les mouvements de n'importe quel puzzle de combinaison (comme les torsions d'un Rubik's Cube , par exemple) ne sont pas commutatifs. Ceci peut être étudié en utilisant la théorie des groupes .
  • Les processus de pensée ne sont pas commutatifs : une personne a posé une question (A) puis une question (B) peut donner des réponses différentes à chaque question qu'une personne a posé d'abord (B) puis (A), car poser une question peut changer l'état de la personne d'esprit.
  • L'acte de s'habiller est soit commutatif, soit non commutatif, selon les items. Mettre des sous-vêtements et des vêtements normaux n'est pas commutatif. Mettre des chaussettes gauche et droite est commutatif.
  • Mélanger un jeu de cartes n'est pas commutatif. Étant donné deux façons, A et B, de mélanger un jeu de cartes, faire A d'abord puis B n'est en général pas la même chose que faire B d'abord puis A.

Opérations non commutatives en mathématiques

Quelques opérations binaires non commutatives :

Division, soustraction et exponentiation

La division est non commutative, puisque .

La soustraction est non commutative, puisque . Cependant il est classé plus précisément comme anti-commutatif , puisque .

L'exponentiation est non commutative, puisque .

Fonctions de vérité

Certaines fonctions de vérité sont non commutatives, car les tables de vérité des fonctions sont différentes lorsque l'on change l'ordre des opérandes. Par exemple, les tables de vérité pour (A B) = (¬A ∨ B) et (B ⇒ A) = (A ∨ ¬B) sont

UNE B A B B A
F F T T
F T T F
T F F T
T T T T

Composition fonctionnelle des fonctions linéaires

Composition de fonction des fonctions linéaires des nombres réels aux nombres réels est presque toujours non commutative. Par exemple, laissez et . Puis

et

Cela s'applique également plus généralement pour les transformations linéaires et affines d'un espace vectoriel vers lui-même (voir ci-dessous pour la représentation matricielle).

Multiplication matricielle

La multiplication matricielle de matrices carrées est presque toujours non commutative, par exemple :

Produit vectoriel

Le produit vectoriel (ou produit croisé ) de deux vecteurs en trois dimensions est anti-commutatif ; c'est-à-dire b × a = −( a × b ).

Histoire et étymologie

La première utilisation connue du terme était dans un journal français publié en 1814

Les enregistrements de l'utilisation implicite de la propriété commutative remontent à l'Antiquité. Les Égyptiens utilisaient la propriété commutative de la multiplication pour simplifier les produits informatiques . Euclide est connu pour avoir assumé la propriété commutative de la multiplication dans son livre Éléments . Les utilisations formelles de la propriété commutative sont apparues à la fin du XVIIIe et au début du XIXe siècle, lorsque les mathématiciens ont commencé à travailler sur une théorie des fonctions. Aujourd'hui, la propriété commutative est une propriété bien connue et de base utilisée dans la plupart des branches des mathématiques.

La première utilisation enregistrée du terme commutatif était dans un mémoire de François Servois en 1814, qui utilisait le mot commutatif pour décrire des fonctions qui ont ce qu'on appelle maintenant la propriété commutative. Le mot est une combinaison du mot français banlieusard signifiant « substituer ou échanger » et du suffixe -atif signifiant « tendre à », de sorte que le mot signifie littéralement « avoir tendance à substituer ou à échanger ». Le terme est ensuite apparu en anglais en 1838 dans l'article de Duncan Farquharson Gregory intitulé "On the real nature of symbolique algebra" publié en 1840 dans les Transactions of the Royal Society of Edinburgh .

Logique propositionnelle

Règle de remplacement

Dans la logique propositionnelle fonctionnelle de vérité, la commutation ou la commutativité font référence à deux règles de remplacement valides . Les règles permettent de transposer des variables propositionnelles au sein d' expressions logiques dans des preuves logiques . Les règles sont :

et

où " " est un symbole métalogique représentant "peut être remplacé dans une preuve par".

Connecteurs fonctionnels de vérité

La commutativité est une propriété de certains connecteurs logiques de la logique propositionnelle fonctionnelle de vérité . Les équivalences logiques suivantes démontrent que la commutativité est une propriété de connecteurs particuliers. Ce qui suit sont des tautologies fonctionnelles de vérité .

Commutativité de la conjonction
Commutativité de la disjonction
Commutativité d'implication (également appelée loi de permutation)
Commutativité de l'équivalence (également appelée loi commutative complète de l'équivalence)

Théorie des ensembles

En théorie des groupes et des ensembles , de nombreuses structures algébriques sont dites commutatives lorsque certains opérandes satisfont la propriété commutative. Dans les branches supérieures des mathématiques, telles que l' analyse et l'algèbre linéaire, la commutativité d'opérations bien connues (telles que l' addition et la multiplication sur des nombres réels et complexes) est souvent utilisée (ou implicitement supposée) dans les preuves.

Structures mathématiques et commutativité

Propriétés associées

L'associativité

La propriété associative est étroitement liée à la propriété commutative. La propriété associative d'une expression contenant deux occurrences ou plus du même opérateur indique que l'ordre des opérations est effectué n'affecte pas le résultat final, tant que l'ordre des termes ne change pas. En revanche, la propriété commutative indique que l'ordre des termes n'affecte pas le résultat final.

La plupart des opérations commutatives rencontrées en pratique sont également associatives. Cependant, commutativité n'implique pas associativité. Un contre-exemple est la fonction

ce qui est clairement commutatif (l'échange de x et y n'affecte pas le résultat), mais il n'est pas associatif (puisque, par exemple, mais ). D'autres exemples de ce type peuvent être trouvés dans les magmas commutatifs non associatifs .

Distributif

Symétrie

Graphique montrant la symétrie de la fonction d'addition

Certaines formes de symétrie peuvent être directement liées à la commutativité. Lorsqu'une opération commutative est écrite sous la forme d' une fonction binaire, cette fonction est appelée fonction symétrique et son graphique dans l' espace tridimensionnel est symétrique dans le plan . Par exemple, si la fonction f est définie comme alors est une fonction symétrique.

Pour les relations, une relation symétrique est analogue à une opération commutative, en ce que si une relation R est symétrique, alors .

Opérateurs sans commutation en mécanique quantique

En mécanique quantique telle que formulée par Schrödinger , les variables physiques sont représentées par des opérateurs linéaires tels que (c'est-à-dire multiplier par ) et . Ces deux opérateurs ne commutent pas comme on peut le voir en considérant l'effet de leurs compositions et (également appelés produits d'opérateurs) sur une fonction d'onde unidimensionnelle :

Selon le principe d'incertitude de Heisenberg , si les deux opérateurs représentant une paire de variables ne commutent pas, alors cette paire de variables est mutuellement complémentaire , ce qui signifie qu'elles ne peuvent pas être mesurées simultanément ou connues avec précision. Par exemple, la position et la quantité de mouvement linéaire dans la direction - d'une particule sont représentées par les opérateurs et , respectivement (où est la constante de Planck réduite ). C'est le même exemple à l'exception de la constante , donc encore une fois les opérateurs ne commutent pas et la signification physique est que la position et la quantité de mouvement linéaire dans une direction donnée sont complémentaires.

Voir également

Remarques

Les références

Livres

  • Axler, Sheldon (1997). Algèbre linéaire fait à droite, 2e . Springer. ISBN 0-387-98258-2.
    Théorie de l'algèbre abstraite. Couvre la commutativité dans ce contexte. Utilise la propriété tout au long du livre.
  • Copi, Irving M. ; Cohen, Carl (2005). Introduction à la logique (12e éd.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349.
  • Gallian, Joseph (2006). Algèbre abstraite contemporaine (6e éd.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6.
    Théorie de l'algèbre linéaire. Explique la commutativité dans le chapitre 1, l'utilise tout au long.
  • Goodman, Frédéric (2003). Algèbre : abstrait et concret, mettant l'accent sur la symétrie (2e éd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
    Théorie de l'algèbre abstraite. Utilise la propriété de commutativité tout au long du livre.
  • Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). Une introduction concise à la logique (12e éd.). Cengager l'apprentissage. ISBN 978-1-337-51478-1.

Des articles

Ressources en ligne