Date de Pâques - Date of Easter

Calendrier des dates de Pâques, pour les années 532-632 après JC (marbre, au Musée de la cathédrale de Ravenne , Italie).

En tant que fête mobile , la date de Pâques est déterminée chaque année par un calcul connu sous le nom de comput ( latin pour « calcul »). Pâques est célébrée le premier dimanche après la pleine lune pascale , qui est la première pleine lune le ou après le 21 mars (une approximation fixe de l' équinoxe de mars ). Déterminer cette date à l'avance nécessite une corrélation entre les mois lunaires et l' année solaire , tout en tenant compte du mois, de la date et du jour de la semaine du calendrier julien ou grégorien . La complexité de l' algorithme vient du désir d'associer la date de Pâques à la date de la fête juive de la Pâque qui, selon les chrétiens, correspond à la crucification de Jésus.

Il était à l'origine possible pour toute l'église chrétienne de recevoir la date de Pâques chaque année par le biais d'une annonce annuelle du Pape . Au début du IIIe siècle, cependant, les communications dans l' empire romain s'étaient détériorées au point que l'église accordait une grande valeur à un système qui permettrait au clergé de déterminer lui-même la date, de manière indépendante et cohérente. De plus, l'église souhaitait éliminer les dépendances au calendrier hébreu , en dérivant la date de Pâques directement de l' équinoxe de mars .

Dans The Reckoning of Time (725), Bede utilise computus comme terme général pour toute sorte de calcul, bien qu'il se réfère aux cycles de Pâques de Théophile comme un « comput pascal » . À la fin du VIIIe siècle, le comput en est venu à désigner spécifiquement le calcul du temps. Les calculs produisent des résultats différents selon que l'on utilise le calendrier julien ou le calendrier grégorien. Pour cette raison, l' Église catholique et les Églises protestantes (qui suivent le calendrier grégorien) célèbrent Pâques à une date différente de celle des Églises orthodoxes orientales (qui suivent le calendrier julien). C'est la dérive du 21 mars de l'équinoxe observé qui a conduit à la réforme grégorienne du calendrier , pour les remettre en conformité.

Fond

Pâques commémore la résurrection de Jésus , qui aurait eu lieu le troisième jour (inclus) après la Pâque . Dans le calendrier hébreu, la Pâque a lieu le 14 Nisan . Nisan est le premier mois du printemps dans l' hémisphère nord , le 14 correspondant à une pleine lune. De plus, au IIe siècle, de nombreux chrétiens avaient choisi d'observer Pâques uniquement un dimanche. Le calendrier hébreu est un calendrier luni - solaire et n'a pas de rapport simple avec les calendriers chrétiens : il se resynchronise avec l'année solaire en intercalant un mois bissextile tous les deux ou trois ans, avant le nouvel an lunaire le 1 Nisan . Plus tard , les Juifs ont adopté le cycle métonique pour prédire les futures intercalations .

Une conséquence possible de cette intercalation est que le 14 Nisan peut avoir lieu avant l'équinoxe, ce que certains chrétiens du IIIe siècle considéraient comme inacceptable, bien que cela ne puisse pas se produire dans le calendrier fixe actuellement utilisé. Par conséquent, ils ont décidé de séparer la datation de Pâques du calendrier hébreu. Pour ce faire, il a fallu identifier la première pleine lune suivant l'équinoxe de mars. Au moment du premier concile de Nicée , l' Église d'Alexandrie avait désigné le 21 mars comme date ecclésiastique pour l'équinoxe, indépendamment de l'observation astronomique réelle. En 395, Théophile publia un tableau des dates futures de Pâques, validant les critères alexandrins. Par la suite, le comput serait la procédure pour déterminer le premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique tombant le ou après le 21 mars.

Histoire

Les premières tables romaines connues ont été conçues en 222 par Hippolyte de Rome sur la base de cycles de huit ans. Puis les tables de 84 ans ont été introduites à Rome par Augustalis vers la fin du IIIe siècle.

Bien qu'un processus basé sur le cycle métonique de 19 ans ait été proposé pour la première fois par l'évêque Anatolius de Laodicée vers 277, le concept ne s'est pleinement imposé que lorsque la méthode alexandrine a fait autorité à la fin du IVe siècle.

Le comput d'Alexandrie a été converti du calendrier alexandrin au calendrier julien à Alexandrie vers 440 après JC, ce qui a donné une table pascale (attribuée au pape Cyrille d'Alexandrie ) couvrant les années 437-531 après JC. Cette table pascale fut la source qui inspira Dionysius Exiguus , qui travailla à Rome d'environ 500 après JC à environ 540 après JC, pour en construire une continuation sous la forme de sa célèbre table pascale couvrant les années 532-616 après JC. Dionysius a introduit l' ère chrétienne (en comptant les années à partir de l'Incarnation du Christ) en publiant cette nouvelle table de Pâques en 525 après JC.

Un cycle modifié de 84 ans a été adopté à Rome au cours de la première moitié du IVe siècle. Victor d'Aquitaine tenta d'adapter la méthode alexandrine aux règles romaines en 457 sous la forme d'une table de 532 ans, mais il introduisit de graves erreurs. Ces tables victoriennes ont été utilisées en Gaule (aujourd'hui la France) et en Espagne jusqu'à ce qu'elles soient remplacées par des tables dionysiaques à la fin du VIIIe siècle.

Les tables de Dionysius et Victorius étaient en conflit avec celles traditionnellement utilisées dans les îles britanniques. Les tables britanniques utilisaient un cycle de 84 ans, mais une erreur a fait tomber les pleines lunes progressivement trop tôt. L'écart a conduit à un rapport selon lequel la reine Eanfled , sur le système dionysiaque – jeûnait le dimanche des Rameaux tandis que son mari Oswy , roi de Northumbrie, se régalait le dimanche de Pâques.

À la suite du synode irlandais de Magh-Lene en 630, les Irlandais du sud ont commencé à utiliser les tables dionysiaques, et les anglais du nord ont emboîté le pas après le synode de Whitby en 664.

Le calcul dionysiaque a été entièrement décrit par Bède en 725. Il a peut-être été adopté par Charlemagne pour l'Église franque dès 782 d' Alcuin , un disciple de Bède. Le comput dionysiaque/bédan est resté en usage en Europe occidentale jusqu'à la réforme du calendrier grégorien, et reste utilisé dans la plupart des Églises orientales, y compris la grande majorité des Églises orthodoxes orientales et des Églises non chalcédoniennes . La seule église orthodoxe orientale qui ne suit pas le système est l'église orthodoxe finlandaise, qui utilise le grégorien.

Ayant dévié des Alexandrins au cours du 6ème siècle, les églises au-delà de la frontière orientale de l'ancien Empire byzantin, y compris l' église assyrienne d'Orient , célèbrent désormais Pâques à des dates différentes des églises orthodoxes orientales quatre fois tous les 532 ans.

Hormis ces églises des franges orientales de l'empire romain, toutes avaient adopté au Xe siècle la Pâque alexandrine, qui plaçait encore l'équinoxe de printemps au 21 mars, bien que Bède en eût déjà noté la dérive en 725 - elle s'était encore éloignée en le 16ème siècle. Pire encore, la Lune calculée qui a été utilisée pour calculer Pâques a été fixée à l'année julienne par le cycle de 19 ans. Cette approximation a généré une erreur d'un jour tous les 310 ans, donc au 16ème siècle, le calendrier lunaire était déphasé de quatre jours avec la vraie Lune. La Pâques grégorienne est utilisée depuis 1583 par l' Église catholique romaine et a été adoptée par la plupart des églises protestantes entre 1753 et 1845.

Les états protestants allemands ont utilisé une Pâques astronomique entre 1700 et 1776, basée sur les tables de Rudolphine de Johannes Kepler , qui étaient à leur tour basées sur les positions astronomiques du Soleil et de la Lune observées par Tycho Brahe à son observatoire d' Uraniborg sur l'île de Ven , tandis que la Suède l'utilisa de 1739 à 1844. Cette Pâques astronomique était le dimanche suivant l'instant de la pleine lune qui était après l'instant de l'équinoxe de printemps en utilisant l'heure d'Uraniborg ( TT + 51 ^m ) . Cependant, il était retardé d'une semaine si ce dimanche était la date juive du  15 Nisan , le premier jour de la semaine de la Pâque, calculé selon les méthodes juives modernes. Cette  règle du 15 Nisan a affecté deux années suédoises, 1778 et 1798, qui, au lieu d'être une semaine avant la Pâques grégorienne, ont été retardées d'une semaine, elles étaient donc le même dimanche que la Pâques grégorienne. La Pâques astronomique de l'Allemagne était une semaine avant la Pâques grégorienne en 1724 et 1744. La Pâques astronomique de la Suède était une semaine avant la Pâques grégorienne en 1744, mais une semaine après en 1805, 1811, 1818, 1825 et 1829.

Deux Pâques astronomiques modernes ont été proposées mais jamais utilisées par aucune Église. Le premier a été proposé dans le cadre du calendrier julien révisé lors d'un synode à Constantinople en 1923 et le second a été proposé par une consultation du Conseil œcuménique des Églises à Alep en 1997. Les deux ont utilisé la même règle que les versions allemande et suédoise mais ont utilisé des calculs astronomiques et Jérusalem temps ( TT + 2 ^h 21 ^m ) sans l'Nisan  règle 15. La version 1923 aurait placé la Pâques astronomique un mois avant la Pâques grégorienne en 1924, 1943 et 1962, mais une semaine après en 1927, 1954 et 1967. La version 1997 aurait placé la Pâques astronomique le même dimanche que la Pâque grégorienne pour 2000-2025 sauf pour 2019, alors qu'elle aurait été un mois plus tôt.

Théorie

Le cycle de Pâques regroupe les jours en mois lunaires, qui durent 29 ou 30 jours. Il y a une exception. Le mois se terminant en mars a normalement trente jours, mais si le 29 février d'une année bissextile en fait partie, il en contient 31. Comme ces groupes sont basés sur le cycle lunaire , à long terme le mois moyen du calendrier lunaire est très bonne approximation du mois synodique , qui est29.530 59 jours. Il y a 12 mois synodiques dans une année lunaire, totalisant 354 ou 355 jours. L'année lunaire est d'environ 11 jours plus courte que l'année civile, qui dure 365 ou 366 jours. Ces jours par lesquels l'année solaire dépasse l'année lunaire sont appelés épactes ( grec : ἐπακταὶ ἡμέραι , translit.  epaktai hēmerai , lit.  « jours intercalaires »). Il faut les ajouter au jour de l'année solaire pour obtenir le bon jour de l'année lunaire. Chaque fois que l'épacte atteint ou dépasse 30, un mois intercalaire supplémentaire (ou mois embolismique) de 30 jours doit être inséré dans le calendrier lunaire : alors 30 doit être soustrait de l'épacte. Charles Wheatly fournit le détail :

« Ainsi, commençant l'année en mars (car c'était l'ancienne coutume), ils accordèrent trente jours pour la lune [finissant] en mars, et vingt-neuf pour celle [se terminant] en avril ; et trente de nouveau pour mai, et vingt-neuf pour juin &c. selon les anciens versets :

Impar luna pari, par fiet in impare mense;

In quo completur mensi lunatio detur.

« Car les premier, troisième, cinquième, septième, neuvième et onzième mois, qui sont appelés impares menses , ou mois inégaux, ont leurs lunes selon le calcul de trente jours chacun, qui sont donc appelés pares lunae , ou lunes égales : mais les deuxième, quatrième, sixième, huitième, dixième et douzième mois, qui sont appelés pares menses ou mois égaux, ont leurs lunes mais vingt-neuf jours chacun, qui sont appelés impares lunae , ou lunes inégales. »

—  Wheatly 1871 , p. 44

Ainsi le mois lunaire prit le nom du mois julien dans lequel il se terminait. Le cycle métonique de dix-neuf ans suppose que 19 années tropicales sont aussi longues que 235 mois synodiques. Ainsi, après 19 ans, les lunaisons devraient tomber de la même manière dans les années solaires, et les épactes devraient se répéter. Cependant, 19 × 11 = 209 ≡ 29 ( mod 30) , pas 0 (mod 30) ; c'est-à-dire que 209 divisé par 30 laisse un reste de 29 au lieu d'être un multiple de 30. Donc après 19 ans, l'épacte doit être corrigé d'un jour pour que le cycle se répète. C'est ce qu'on appelle le saltus lunae ("saut de la lune"). Le calendrier julien le gère en réduisant à 29 jours la durée du mois lunaire qui commence le 1er juillet de la dernière année du cycle. Cela fait trois mois successifs de 29 jours. Le saltus et les sept mois supplémentaires de 30 jours étaient en grande partie cachés en étant situés aux points où les mois julien et lunaire commencent à peu près au même moment. Les mois supplémentaires ont commencé le 1er janvier (année 3), 2 septembre (année 5), 6 mars (année 8), 3 janvier (année 11), 31 décembre (année 13), 1er septembre (année 16) et 5 mars (année 19). Le numéro de séquence de l'année dans le cycle de 19 ans est appelé le « nombre d'or », et est donné par la formule

GN = Y mod 19 + 1

C'est-à-dire, le reste de l'année numéro Y à l' ère chrétienne lorsqu'il est divisé par 19, plus un.

Le mois pascal ou mois de Pâques est le premier de l'année à avoir son quatorzième jour (sa pleine lune formelle ) le ou après le 21 mars. Pâques est le dimanche après son 14e jour (ou, en disant la même chose, le dimanche dans sa troisième semaine ). Le mois lunaire pascal commence toujours à une date comprise dans la période de 29 jours du 8 mars au 5 avril inclus. Son quatorzième jour tombe donc toujours à une date comprise entre le 21 mars et le 18 avril inclus, et le dimanche suivant tombe alors nécessairement à une date comprise entre le 22 mars et le 25 avril inclus. Dans le calendrier solaire, Pâques est appelé une fête mobile car sa date varie dans une plage de 35 jours. Mais dans le calendrier lunaire, Pâques est toujours le troisième dimanche du mois lunaire pascal et n'est pas plus "mobile" que n'importe quel jour férié fixé à un jour particulier de la semaine et à une semaine dans un mois.

Méthodes tabulaires

Réforme grégorienne du comput

Comme la réforme du comput était la principale motivation de l'introduction du calendrier grégorien en 1582, une méthodologie correspondante du comput a été introduite parallèlement au nouveau calendrier. La méthode générale de travail a été donnée par Clavius dans les Six Canons (1582), et une explication complète a suivi dans son Explicatio (1603).

Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant la date de la pleine lune pascale. La date de la pleine lune pascale est la date de la pleine lune ecclésiastique à compter du 21 mars. La méthode grégorienne dérive les dates de pleine lune pascale en déterminant l' épacte pour chaque année. L'épact peut avoir une valeur de * (0 ou 30) à 29 jours. C'est l'âge de la lune (en jours), c'est-à-dire la date lunaire, au 1er janvier réduite d'un jour. Dans son livre Le comput de Pâques et les origines de l'ère chrétienne, Alden A Mosshammer déclare à tort "Théoriquement, l'épacte 30 = 0 représente la nouvelle lune lors de sa conjonction avec le soleil. L'épacte de 1 représente la première visibilité théorique du premier croissant de la lune. C'est à partir de ce point comme premier jour que le quatorzième jour de la lune est compté. Le 14e jour du mois lunaire est considéré comme le jour de la pleine lune . C'est le jour du mois lunaire auquel le moment d'opposition ("pleine lune") est le plus susceptible de tomber. La "nouvelle lune" est plus susceptible de devenir visible (sous la forme d'un mince croissant dans le ciel occidental après le coucher du soleil) le premier jour du mois lunaire. La conjonction du soleil et de la lune ("nouvelle lune") est plus susceptible de tomber le jour précédent, qui est le jour 29 d'un mois "creux" (29 jours) et le jour 30 d'un mois "plein" (30 jours) mois.

Historiquement, la date de la pleine lune pascale pour une année a été trouvée à partir de son numéro de séquence dans le cycle métonique, appelé nombre d'or , lequel cycle répète la phase lunaire le 1er janvier (et en fait tous les jours de l'année) tous les 19 ans. Cette méthode a été abandonnée dans la réforme grégorienne car les dates tabulaires se désynchronisent avec la réalité au bout d'environ deux siècles, mais à partir de la méthode épact, on peut construire un tableau simplifié qui a une validité d'un à trois siècles.

Les épactes du cycle métonique actuel, qui a commencé en 2014, sont :

Le tableau ci-dessus est valable de 1900 à 2199 inclus. A titre d'exemple d'utilisation, le nombre d'or pour 2038 est 6 ( 2038 ÷ 19 = 107 reste 5, puis +1 = 6 ). D'après le tableau, la pleine lune pascale pour le nombre d'or 6 est le 18 avril. À partir de la table de la semaine, le 18 avril est le dimanche. Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant, le 25 avril.

Les épactes sont utilisés pour trouver les dates de la nouvelle lune de la manière suivante : Écrivez un tableau des 365 jours de l'année (le jour bissextile est ignoré). Étiquetez ensuite toutes les dates avec un chiffre romain en comptant vers le bas, de "*" (0 ou 30), "xxix" (29), jusqu'à "i" (1), à partir du 1er janvier, et répétez ceci jusqu'à la fin du année. Cependant, chaque seconde de cette période ne compte que 29 jours et étiquette la date avec xxv (25) également avec xxiv (24). Traitez donc la 13e période (onze derniers jours) comme longue et attribuez les étiquettes « xxv » et « xxiv » à des dates séquentielles (respectivement 26 et 27 décembre). Enfin, en plus, ajoutez l'étiquette « 25 » aux dates qui ont « xxv » dans les périodes de 30 jours ; mais dans les périodes de 29 jours (qui ont "xxiv" avec "xxv") ajoutez l'étiquette "25" à la date avec "xxvi". La répartition des durées des mois et de la durée des cycles d'épact est telle que chaque mois civil commence et se termine par la même étiquette d'épact, sauf pour février et pour les étiquettes d'épact "xxv" et "25" en juillet et août . Ce tableau s'appelle le calendrier . Les nouvelles lunes ecclésiastiques pour n'importe quelle année sont les dates auxquelles l'épacte pour l'année est entré. Si l'épacte pour l'année est par exemple 27, alors il y a une nouvelle lune ecclésiastique à chaque date de cette année qui a l'étiquette d'épacte « xxvii » (27).

Étiquetez également toutes les dates du tableau avec les lettres "A" à "G", à partir du 1er janvier, et répétez jusqu'à la fin de l'année. Si, par exemple, le premier dimanche de l'année est le 5 janvier, qui a la lettre "E", alors chaque date avec la lettre "E" est un dimanche cette année-là. Ensuite, "E" est appelé la lettre dominicale pour cette année (du latin : dies domini , jour du Seigneur). La lettre dominicale recule d'une position chaque année. Cependant, dans les années bissextiles après le 24 février, les dimanches tombent sur la lettre précédente du cycle, donc les années bissextiles ont deux lettres dominicales : la première pour avant, la seconde pour après le jour bissextile.

En pratique, aux fins du calcul de Pâques, cela n'a pas besoin d'être fait pour tous les 365 jours de l'année. Pour les épactes, mars sort exactement de la même manière que janvier, il n'est donc pas nécessaire de calculer janvier ou février. Pour éviter également d'avoir à calculer les lettres dominicales pour janvier et février, commencez par D pour le 1er mars. Vous n'avez besoin des épactes que du 8 mars au 5 avril. Cela donne lieu au tableau suivant :

Une table de Suède pour calculer la date de Pâques 1140-1671 selon le calendrier julien . Remarquez l' écriture runique .

Diagramme chronologique de la date de Pâques pendant 600 ans, de la réforme du calendrier grégorien à l'an 2200 (par Camille Flammarion , 1907)

Exemple : Si l'épacte est 27 (xxvii), une nouvelle lune ecclésiastique tombe à chaque date étiquetée xxvii . La pleine lune ecclésiastique tombe 13 jours plus tard. D'après le tableau ci-dessus, cela donne une nouvelle lune les 4 mars et 3 avril, et donc une pleine lune les 17 mars et 16 avril.

Ensuite, le jour de Pâques est le premier dimanche après la première pleine lune ecclésiastique le ou après le 21 mars. Cette définition utilise « le ou après le 21 mars » pour éviter toute ambiguïté avec le sens historique du mot « après ». En langage moderne, cette expression signifie simplement « après le 20 mars ». La définition de « le ou après le 21 mars » est fréquemment abrégée à tort en « après le 21 mars » dans les articles publiés et sur le Web, ce qui entraîne des dates de Pâques incorrectes.

Dans l'exemple, cette pleine lune pascale est le 16 avril. Si la lettre dominicale est E, alors le jour de Pâques est le 20 avril.

L'étiquette « 25 » (par opposition à « xxv ») est utilisée comme suit : dans un cycle métonique, les années qui sont séparées de 11 ans ont des épactes qui diffèrent d'un jour. Un mois commençant à une date portant les étiquettes xxiv et xxv écrites côte à côte a 29 ou 30 jours. Si les épactes 24 et 25 se produisent tous les deux dans un cycle métonique, alors les nouvelles (et pleines) lunes tomberaient aux mêmes dates pour ces deux années. Ceci est possible pour la vraie lune mais n'est pas élégant dans un calendrier lunaire schématique ; les dates ne devraient se répéter qu'après 19 ans. Pour éviter cela, dans les années qui ont des épactes 25 et avec un nombre d'or supérieur à 11, la nouvelle lune estimée tombe à la date avec l'étiquette 25 plutôt que xxv . Là où les étiquettes 25 et xxv sont ensemble, il n'y a pas de problème puisqu'elles sont identiques. Cela ne déplace pas le problème vers la paire « 25 » et « xxvi », car le premier épacte 26 qui pourrait apparaître serait dans l'année 23 du cycle, qui ne dure que 19 ans : il y a un saltus lunae entre les deux qui fait le nouveau les lunes tombent à des dates différentes.

Le calendrier grégorien a une correction de l'année tropicale en supprimant trois jours bissextiles en 400 ans (toujours en un siècle). Il s'agit d'une correction de la longueur de l'année tropicale, mais ne devrait avoir aucun effet sur la relation métonique entre les années et les lunaisons. Par conséquent, l'épact est compensé (partiellement - voir epact ) en soustrayant un dans ces années de siècle. C'est ce qu'on appelle la correction solaire ou "équation solaire" ("équation" étant utilisée dans son sens médiéval de "correction").

Cependant, 19 années juliennes non corrigées sont un peu plus longues que 235 lunaisons. La différence s'accumule à un jour en environ 310 ans. Par conséquent, dans le calendrier grégorien, l'épacte se corrige en ajoutant 1 huit fois en 2500 ans (grégoriens), toujours en un siècle : c'est ce qu'on appelle la correction lunaire (appelée historiquement « équation lunaire »). Le premier a été appliqué en 1800, le suivant est en 2100, et sera appliqué tous les 300 ans sauf pour un intervalle de 400 ans entre 3900 et 4300, qui entame un nouveau cycle.

Les corrections solaire et lunaire fonctionnent dans des directions opposées, et dans certains siècles (par exemple, 1800 et 2100) elles s'annulent. Le résultat est que le calendrier lunaire grégorien utilise une table épact valable pour une période de 100 à 300 ans. La table epact listée ci-dessus est valable pour la période 1900 à 2199.

Des détails

Cette méthode de calcul présente plusieurs subtilités :

Un mois lunaire sur deux n'a que 29 jours, donc un jour doit avoir deux (des 30) étiquettes épactes qui lui sont attribuées. La raison du déplacement de l'étiquette épacte "xxv/25" plutôt que toute autre semble être la suivante : selon Dionysius (dans sa lettre d'introduction à Pétrone), le concile de Nicée, sous l'autorité d' Eusebius , a de l'année lunaire ecclésiastique (le mois pascal) devrait commencer entre le 8 mars et le 5 avril inclus, et le 14e jour tomber entre le 21 mars et le 18 avril inclus, couvrant ainsi une période de (seulement) 29 jours. Une nouvelle lune le 7 mars, qui porte l'étiquette epact "xxiv", a son 14e jour (pleine lune) le 20 mars, ce qui est trop tôt (ne suit pas le 20 mars). Ainsi, les années avec un épacte de "xxiv", si le mois lunaire commençant le 7 mars avait 30 jours, auraient leur nouvelle lune pascale le 6 avril, ce qui est trop tard : la pleine lune tomberait le 19 avril, et Pâques pourrait être jusqu'au 26 avril. Dans le calendrier julien, la dernière date de Pâques était le 25 avril et la réforme grégorienne maintenait cette limite. Ainsi, la pleine lune pascale doit tomber au plus tard le 18 avril et la nouvelle lune le 5 avril, qui porte le label épact "xxv". Le 5 avril doit donc avoir ses doubles libellés « xxiv » et « xxv ». Ensuite, epact "xxv" doit être traité différemment, comme expliqué dans le paragraphe ci-dessus.

Par conséquent, le 19 avril est la date à laquelle Pâques tombe le plus souvent dans le calendrier grégorien : dans environ 3,87 % des années. Le 22 mars est le moins fréquent, avec 0,48%.

Distribution de la date de Pâques pour le cycle complet de 5 700 000 ans

La relation entre les dates du calendrier lunaire et solaire est rendue indépendante du schéma des jours bissextiles pour l'année solaire. Fondamentalement, le calendrier grégorien utilise toujours le calendrier julien avec un jour bissextile tous les quatre ans, donc un cycle métonique de 19 ans a 6 940 ou 6 939 jours avec cinq ou quatre jours bissextiles. Désormais, le cycle lunaire ne compte que 19 × 354 + 19 × 11 = 6 935 jours . En n'étiquetant pas et en ne comptant pas le jour bissextile avec un nombre épact, mais en faisant tomber la prochaine nouvelle lune à la même date calendaire que sans le jour bissextile, la lunaison actuelle est prolongée d'un jour, et les 235 lunaisons couvrent autant de jours que le 19 années. Ainsi, le fardeau de la synchronisation du calendrier avec la lune (précision à moyen terme) est transféré au calendrier solaire, qui peut utiliser n'importe quel schéma d'intercalation approprié, le tout en supposant que 19 années solaires = 235 lunaisons (créant une imprécision à long terme) . Une conséquence est que l'âge calculé de la lune peut être décalé d'un jour, et aussi que les lunaisons qui contiennent le jour bissextile peuvent durer 31 jours, ce qui n'arriverait jamais si la vraie lune était suivie (imprécisions à court terme). C'est le prix d'un ajustement régulier au calendrier solaire.

Du point de vue de ceux qui pourraient souhaiter utiliser le cycle grégorien de Pâques comme calendrier pour l'année entière, il y a quelques défauts dans le calendrier lunaire grégorien (bien qu'ils n'aient aucun effet sur le mois pascal et la date de Pâques) :

1. Des lunaisons de 31 (et parfois 28) jours se produisent.
2. Si une année avec le nombre d'or 19 se trouve avoir un epact 19, alors la dernière nouvelle lune ecclésiastique tombe le 2 décembre ; le prochain serait dû le 1er janvier. Cependant, au début de la nouvelle année, un saltus lunae augmente l'épact d'une autre unité, et la nouvelle lune aurait dû avoir lieu la veille. Donc une nouvelle lune est manquée. Le calendrier du Missale Romanum en tient compte en attribuant au 31 décembre d'une telle année l'étiquette épact "19" au lieu de "xx", faisant de cette date la nouvelle lune. Cela s'est produit tous les 19 ans lorsque la table des épactes grégorienne d'origine était en vigueur (pour la dernière fois en 1690), et se produit ensuite en 8511.
3. Si l'épacte d'une année est de 20, une nouvelle lune ecclésiastique tombe le 31 décembre. Si cette année tombe avant un siècle, alors dans la plupart des cas, une correction solaire réduit l'épacte pour la nouvelle année de un : L'épacte résultant "*" signifie qu'une autre nouvelle lune ecclésiastique est comptée le 1er janvier. Donc, formellement, une lunaison d'un jour est passée. Cela se produit ensuite en 4199-4200.
4. D'autres cas limites surviennent (beaucoup) plus tard, et si les règles sont strictement respectées et que ces cas ne sont pas spécialement traités, ils génèrent des dates de nouvelles lunes successives espacées de 1, 28, 59 ou (très rarement) 58 jours.

Une analyse minutieuse montre que par la façon dont ils sont utilisés et corrigés dans le calendrier grégorien, les épactes sont en fait des fractions d'une lunaison (1/30, également connu sous le nom de tithi ) et non des journées complètes. Voir epact pour une discussion.

Les corrections solaire et lunaire se répètent après 4 × 25 = 100 siècles. Au cours de cette période, l'épacte a changé d'un total de −1 ×3/4 × 100 + 1 × 8/25× 100 = −43 17 mod 30 . C'est le premier des 30 épactes possibles, il faut donc 100 × 30 = 3 000 siècles avant que les épactes ne se répètent ; et 3 000 × 19 = 57 000 siècles avant que les épactes ne se répètent au même nombre d'or. Cette période a5.700.000/19 × 235 − 43/30 × 57 000/100= 70 499 183 lunaisons . Ainsi, les dates de Pâques grégoriennes ne se répètent exactement dans le même ordre qu'après 5 700 000 ans, 70 499 183 lunaisons ou 2 081 882 250 jours ; la durée moyenne de la lunaison est alors de 29,53058690 jours. Cependant, le calendrier doit déjà avoir été ajusté après quelques millénaires en raison des changements dans la durée de l'année tropicale, le mois synodique et le jour.

Graphiques des dates du dimanche de Pâques occidental (catholique) et oriental (orthodoxe) par rapport à l'équinoxe de mars et aux pleines lunes de 1950 à 2050 sur le calendrier grégorien

Cela soulève la question de savoir pourquoi le calendrier lunaire grégorien a des corrections solaires et lunaires distinctes, qui s'annulent parfois. L'œuvre originale de Lilius n'a pas été conservée, mais sa proposition a été décrite dans le Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium diffusé en 1577, dans lequel il est expliqué que le système de correction qu'il a conçu devait être un outil parfaitement flexible entre les mains des futurs réformateurs du calendrier, puisque les calendriers solaire et lunaire pouvaient désormais être corrigés sans interférence mutuelle. Un exemple de cette flexibilité a été fourni par une séquence d'intercalation alternative dérivée des théories de Copernic, avec ses corrections d'épacte correspondantes.

Les "corrections solaires" annulent approximativement l'effet des modifications grégoriennes des jours bissextiles du calendrier solaire sur le calendrier lunaire : elles ramènent (partiellement) le cycle épacte à la relation métonique originale entre l'année julienne et le mois lunaire. Le décalage inhérent entre le soleil et la lune dans ce cycle de base de 19 ans est ensuite corrigé tous les trois ou quatre siècles par la "correction lunaire" des épactes. Cependant, les corrections épactes se produisent au début des siècles grégoriens, pas des siècles juliens, et donc le cycle métonien julien d'origine n'est pas entièrement restauré.

Alors que les soustractions nettes 4 × 8 − 3 × 25 = 43 epact pourraient être distribuées uniformément sur 10 000 ans (comme cela a été proposé par exemple par Lichtenberg 2003 , pp. 45-76) si les corrections sont combinées, alors les inexactitudes des deux les cycles sont également ajoutés et ne peuvent pas être corrigés séparément.

Les rapports de jours (solaires moyens) par an et de jours par lunaison changent à la fois en raison des variations intrinsèques à long terme des orbites et parce que la rotation de la Terre ralentit en raison de la décélération des marées , de sorte que les paramètres grégoriens deviennent de plus en plus obsolètes.

Cela affecte la date de l'équinoxe, mais il se trouve que l'intervalle entre les équinoxes vers le nord (printemps de l'hémisphère nord) a été assez stable au cours des temps historiques, surtout s'il est mesuré en temps solaire moyen (voir, en particulier.)

De plus, la dérive des pleines lunes ecclésiastiques calculées par la méthode grégorienne par rapport aux vraies pleines lunes est moins affectée qu'on ne s'y attendrait, car l'augmentation de la longueur du jour est presque exactement compensée par l'augmentation de la longueur du mois, comme le freinage de marée transfère le moment angulaire de la rotation de la Terre au moment angulaire orbital de la Lune.

La valeur ptolémaïque de la durée du mois synodique moyen, établie vers le IVe siècle avant notre ère par les Babyloniens, est de 29 jours 12 h 44 min 3+1/3s (voir Kidinnu ); la valeur actuelle est inférieure de 0,46 s (voir Nouvelle lune ). Au cours de la même période historique, la durée de l'année tropicale moyenne a diminué d'environ 10 s (toutes les valeurs correspondent à l'heure solaire).

Loi sur le calendrier britannique et Book of Common Prayer

La partie de la section Méthodes tabulaires ci-dessus décrit les arguments et les méthodes historiques par lesquels les dates actuelles du dimanche de Pâques ont été décidées à la fin du XVIe siècle par l'Église catholique. En Grande-Bretagne, où le calendrier julien était alors encore en usage, le dimanche de Pâques était défini, de 1662 à 1752 (conformément à la pratique antérieure), par un simple tableau de dates dans le Livre de prières anglican (décrété par l' Acte d'uniformité de 1662 ). . Le tableau était indexé directement par le nombre d'or et la lettre du dimanche , qui (dans la section Pâques du livre) étaient présumés déjà connus.

Pour l'Empire britannique et les colonies, la nouvelle détermination de la date du dimanche de Pâques a été définie par ce qu'on appelle maintenant le Calendar (New Style) Act 1750 avec son annexe. La méthode a été choisie pour donner des dates en accord avec la règle grégorienne déjà en usage ailleurs. La loi exigeait qu'elle soit inscrite dans le Book of Common Prayer , et c'est donc la règle anglicane générale. La loi originale se trouve dans les British Statutes at Large 1765 . L'annexe à la loi comprend la définition : " Le jour de Pâques (dont dépend le reste) est toujours le premier dimanche après la pleine lune , qui se produit le ou le suivant après le vingt et unième jour de mars . Et si la pleine lune arrive un dimanche , le jour de Pâques est le dimanche d' après." L'Annexe utilise par la suite les termes "Pleine Lune Pascale" et "Pleine Lune Ecclésiastique", indiquant clairement qu'ils se rapprochent de la vraie pleine lune.

La méthode est tout à fait distincte de celle décrite ci-dessus dans la réforme grégorienne du Comput . Pour une année générale, on détermine d'abord le nombre d'or , puis on utilise trois tables pour déterminer la lettre dominicale , un « chiffre », et la date de la pleine lune pascale, dont découle la date du dimanche de Pâques. L'épacte n'apparaît pas explicitement. Des tables plus simples peuvent être utilisées pour des périodes limitées (comme 1900-2199) pendant lesquelles le chiffre (qui représente l'effet des corrections solaires et lunaires) ne change pas. Les détails de Clavius ​​ont été employés dans la construction de la méthode, mais ils ne jouent aucun rôle ultérieur dans son utilisation.

JR Stockton montre sa dérivation d'un algorithme informatique efficace traçable aux tables du Livre de prières et de la Loi sur le calendrier (en supposant qu'une description de la façon d'utiliser les Tables est à portée de main), et vérifie ses processus en calculant les Tables correspondantes.

calendrier julien

Distribution de la date de Pâques dans la plupart des églises orientales 1900-2099 vs distribution occidentale de Pâques

La méthode de calcul de la date de la pleine lune ecclésiastique qui était standard pour l'Église occidentale avant la réforme du calendrier grégorien, et qui est encore utilisée aujourd'hui par la plupart des chrétiens orientaux , utilisait une répétition non corrigée du cycle métonique de 19 ans en combinaison avec le calendrier julien. En termes de méthode des epacts discutée ci-dessus, elle utilisait effectivement une seule table d'epact commençant par un epact de 0, qui n'a jamais été corrigé. Dans ce cas, l'épacte a été compté le 22 mars, la première date acceptable pour Pâques. Cela se répète tous les 19 ans, il n'y a donc que 19 dates possibles pour la pleine lune pascale du 21 mars au 18 avril inclus.

Parce qu'il n'y a pas de corrections comme il y en a pour le calendrier grégorien, la pleine lune ecclésiastique s'éloigne de la vraie pleine lune de plus de trois jours chaque millénaire. C'est déjà quelques jours plus tard. En conséquence, les églises orientales célèbrent Pâques une semaine plus tard que les églises occidentales environ 50% du temps. (La Pâques orientale est parfois quatre ou cinq semaines plus tard parce que le calendrier julien a 13 jours de retard sur le grégorien en 1900-2099, et donc la pleine lune pascale grégorienne est parfois avant le 21 mars julien.)

Le numéro de séquence d'une année dans le cycle de 19 ans est appelé son nombre d'or . Ce terme a été utilisé pour la première fois dans le poème computistique Massa Compoti d' Alexandre de Villa Dei en 1200. Un scribe ultérieur a ajouté le nombre d'or aux tableaux composés à l'origine par l' abbé de Fleury en 988.

L'affirmation de l'Église catholique dans la bulle papale Inter gravissimas de 1582 , qui promulguait le calendrier grégorien, qu'elle rétablissait "la célébration de Pâques selon les règles fixées par ... le grand concile œcuménique de Nicée" était fondée sur une fausse affirmation par Dionysius Exiguus (525) que "nous déterminons la date du jour de Pâques ... conformément à la proposition convenue par les 318 Pères de l'Église au Concile de Nicée". Le premier concile de Nicée (325) n'a cependant pas fourni de règles explicites pour déterminer cette date, mais a seulement écrit : Pâques en même temps avec les Romains et vous-mêmes [l'Église d'Alexandrie] et tous ceux qui ont observé Pâques depuis le début. Le comput médiéval était basé sur le comput d'Alexandrie, qui a été développé par l' Église d'Alexandrie au cours de la première décennie du IVe siècle en utilisant le calendrier alexandrin . L' Empire romain d'Orient l'a accepté peu après 380 après avoir converti le comput au calendrier julien. Rome l'a accepté entre le VIe et le IXe siècle. Les îles britanniques l'acceptèrent au VIIIe siècle à l'exception de quelques monastères. La Francie (toute l'Europe occidentale sauf la Scandinavie (païenne), les îles britanniques, la péninsule ibérique et l'Italie méridionale) l'accepta durant le dernier quart du VIIIe siècle. Le dernier monastère celtique à l'accepter, Iona , l'a fait en 716, tandis que le dernier monastère anglais à l'avoir accepté en 931. Avant ces dates, d'autres méthodes produisaient des dates du dimanche de Pâques qui pouvaient différer jusqu'à cinq semaines.

Voici le tableau des dates de pleine lune pascale pour toutes les années juliennes depuis 931 :

Exemple de calcul à l'aide de ce tableau :

Le nombre d'or pour 1573 est 16 ( 1573 + 1 = 1574 ; 1574 ÷ 19 = 82 reste 16 ). D'après le tableau, la pleine lune pascale pour le nombre d'or 16 est le 21 mars. De la table de la semaine le 21 mars est le samedi. Le dimanche de Pâques est le dimanche suivant, le 22 mars.

Ainsi pour une date donnée de la pleine lune ecclésiastique, il y a sept dates de Pâques possibles. Le cycle des lettres du dimanche, cependant, ne se répète pas en sept ans : en raison des interruptions du jour bissextile tous les quatre ans, le cycle complet dans lequel les jours de la semaine se répètent dans le calendrier de la même manière, est de 4 × 7 = 28 ans, le soi-disant cycle solaire . Ainsi, les dates de Pâques se répètent dans le même ordre après 4 × 7 × 19 = 532 ans. Ce cycle pascal est aussi appelé cycle victorien , du nom de Victor d'Aquitaine, qui l'introduisit à Rome en 457. On sait qu'il a d'abord été utilisé par Annianus d'Alexandrie au début du Ve siècle. Il a aussi parfois été appelé à tort le cycle dionysiaque, d'après Dionysius Exiguus, qui a préparé les tables de Pâques qui ont commencé en 532 ; mais il n'a apparemment pas réalisé que le comput alexandrin qu'il a décrit avait un cycle de 532 ans, bien qu'il ait réalisé que sa table de 95 ans n'était pas un vrai cycle. Le Vénérable Bède (VIIe siècle) semble avoir été le premier à identifier le cycle solaire et à expliquer le cycle pascal à partir du cycle métonique et du cycle solaire.

Dans l'Europe occidentale médiévale, les dates de la pleine lune pascale (14 Nisan) données ci-dessus pouvaient être mémorisées à l'aide d'un poème allitératif de 19 vers en latin :

Nonae Aprilis	quinos de nount	V
octonae kalendae	assim depromunt.	je
Idus Aprilis	etiam sexis,	VI
nonae quaternae	namque dipondio.	II
Article non défini	quinos ambiants,	V
quatuor idus	Capitaine Ternos.	III
Ternas kalendas	titulant séni,	VI
quatuor déné	cubant en quadris.	III
Septènes idus	septem éligunt,	VII
senae kalendae	sortir les ternos,	III
denis septenis	donant assim.	je
Pridie nonas	porro quaternis,	III
nonae kalendae	notantur septenis.	VII
Pridie idus	panditur quinis,	V
Kalendas Aprilis	exprimunt unus.	je
Duodene namque	docteur quaternis,	III
espèce quintam	spermamus duobus.	II
Quaternae kalendae	cinq conicints,	V
constante de quindène	tribus adeptis.	III

La première demi-ligne de chaque ligne donne la date de la pleine lune pascale du tableau ci-dessus pour chaque année du cycle de 19 ans. La seconde demi-ligne donne le déplacement régulier ferial , ou jour de la semaine, du jour de la pleine lune pascale de cette année par rapport au concurrent , ou jour de la semaine du 24 mars. Le ferial régulier est répété en chiffres romains dans la troisième colonne.

Des dates de Pâques "paradoxales"

En raison des divergences entre les approximations des calculs informatiques de l'heure de l' équinoxe vernal moyen (hémisphère nord) et des phases lunaires, et les valeurs vraies calculées selon les principes astronomiques, des différences surviennent parfois entre la date de Pâques selon le calcul informatique et la date hypothétique de Pâques calculée par des méthodes astronomiques en utilisant les principes attribués aux pères de l'Église. Ces écarts sont appelés dates de Pâques « paradoxales ». Dans son Kalendarium de 1474, Regiomontanus a calculé l'heure exacte de toutes les conjonctions du Soleil et de la Lune pour la longitude de Nuremberg selon les Tables d'Alfonsine pour la période de 1475 à 1531. Dans son travail, il a totalisé 30 cas où la Pâques du Julien computus n'était pas d'accord avec Pâques calculé en utilisant la Nouvelle Lune astronomique . Dans dix-huit cas, la date a différé d'une semaine, dans sept cas de 35 jours et dans cinq cas de 28 jours.

Ludwig Lange a étudié et classé différents types de dates de Pâques paradoxales à l'aide du comput grégorien. Dans les cas où la première pleine lune vernale selon le calcul astronomique a lieu un dimanche et que l'Ordinateur donne le même dimanche que Pâques, la fête de Pâques a lieu une semaine à l'avance par rapport à l'hypothétique Pâques "astronomiquement" correcte. Lange a appelé ce cas un paradoxe hebdomadaire négatif (hebdomadal) (paradoxe H−). Si le calcul astronomique donne un samedi pour la première pleine lune vernale et que Pâques n'est pas célébré le dimanche suivant mais une semaine plus tard, Pâques est célébrée selon le comput une semaine en retard par rapport au résultat astronomique. Il a classé de tels cas comme un paradoxe hebdomadaire positif (hebdomadal) (paradoxe H+). Les écarts sont encore plus grands s'il y a une différence selon l'équinoxe de printemps par rapport à la théorie astronomique et l'approximation du Comput. Si la pleine lune équinoxiale astronomique tombe avant la pleine lune équinoxiale informatique, Pâques sera célébrée quatre ou même cinq semaines trop tard. De tels cas sont appelés un paradoxe équinoxial positif (paradoxe A +) selon Lange. Dans le cas inverse où la pleine lune équinoxiale informatique tombe un mois avant la pleine lune équinoxiale astronomique, Pâques est célébrée quatre ou cinq semaines trop tôt. De tels cas sont appelés un paradoxe équinoxial négatif (paradoxe A−). Les paradoxes équinoxiaux sont toujours valables globalement pour toute la terre, car la séquence de l'équinoxe et de la pleine lune ne dépend pas de la longitude géographique. En revanche, les paradoxes hebdomadaires sont locaux dans la plupart des cas et ne sont valables que pour une partie de la terre, car le changement de jour entre le samedi et le dimanche dépend de la longitude géographique. Les calculs informatiques sont basés sur des tables astronomiques valables pour la longitude de Venise, que Lange a appelée la longitude grégorienne.

Aux 21e et 22e siècles, des dates de Pâques paradoxales hebdomadaires négatives se produisent en 2049, 2076, 2106, 2119 (mondial), 2133, 2147, 2150, 2170 et 2174 ; des dates paradoxales hebdomadaires positives se produisent en 2045, 2069, 2089 et 2096 ; dates paradoxales équinoxiales positives en 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 et 2190. En 2076 et 2133, des « doubles paradoxes (équinoxial positif et hebdomadaire négatif) se produisent. Les paradoxes équinoxiaux négatifs sont extrêmement rares ; ils ne se produisent que deux fois jusqu'en l'an 4000 en 2353, quand Pâques est cinq semaines trop tôt et en 2372, quand Pâques est quatre semaines trop tôt.

Algorithmes

Remarque sur les opérations

Lors de l'expression des algorithmes de Pâques sans utiliser de tables, il était d'usage de n'employer que les opérations d'entier addition , soustraction , multiplication , division , modulo et affectation car cela est compatible avec l'utilisation de simples calculatrices mécaniques ou électroniques. Cette restriction n'est pas souhaitable pour la programmation informatique, où des opérateurs et instructions conditionnels, ainsi que des tables de consultation, sont disponibles. On peut facilement voir comment la conversion du jour de mars (22 à 56) en jour et mois (22 mars au 25 avril) peut être effectuée comme if (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}. Plus important encore, l'utilisation de telles conditions simplifie également le cœur du calcul grégorien.

L'algorithme de Pâques de Gauss

En 1800, le mathématicien Carl Friedrich Gauss présenta cet algorithme pour calculer la date de la Pâques julienne ou grégorienne. Il corrigea l'expression pour le calcul de la variable p en 1816. En 1800, il déclara à tort p = étage (k/3) = ⌊k/3⌋ . En 1807, il remplace la condition (11 M + 11) mod 30 < 19 par la plus simple a > 10 . En 1811, il a limité son algorithme aux 18e et 19e siècles seulement, et a déclaré que le 26 avril est toujours remplacé par le 19 et le 25 avril par le 18 avril dans les circonstances indiquées. En 1816, il remercia son élève Peter Paul Tittel d'avoir souligné que p était faux dans la version originale.

Une analyse de l' algorithme de Pâques de Gauss est divisée en deux parties. La première partie est le suivi approximatif de l'orbite lunaire et la seconde partie est le décalage déterministe exact pour obtenir un dimanche suivant la pleine lune.

La première partie consiste à déterminer la variable d , le nombre de jours (comptant à partir du 22 mars) jusqu'au lendemain de la pleine lune. La formule pour d contient les termes 19 a et la constante M. a est la position de l'année dans le cycle de phase lunaire de 19 ans, dans lequel, par hypothèse, le mouvement de la lune par rapport à la terre se répète toutes les 19 années civiles. Dans les temps anciens, 19 années civiles étaient assimilées à 235 mois lunaires (le cycle métonique), ce qui est remarquablement proche puisque 235 mois lunaires correspondent à environ 6939,6813 jours et 19 ans correspondent en moyenne à 6939,6075 jours. L'expression (19 a + M) mod 30 se répète tous les 19 ans au sein de chaque siècle car M est déterminé par siècle. Le cycle de 19 ans n'a rien à voir avec le « 19 » en 19 un , il est juste une coïncidence qu'un autre apparaît de 19 « ». Le « 19 » dans 19 a vient de la correction du décalage entre une année civile et un nombre entier de mois lunaires. Une année civile (année non bissextile) a 365 jours et la plus proche peut venir avec un nombre entier de mois lunaires est de 12 × 29,5 = 354 jours. La différence est de 11 jours, ce qui doit être corrigé en reculant de 11 jours l'occurrence de la pleine lune de l'année suivante. Mais en arithmétique modulo 30, soustraire 11 revient à ajouter 19, d'où l'addition de 19 pour chaque année ajoutée, soit 19 a .

Le M en 19 a + M sert à avoir un point de départ correct au début de chaque siècle. Il est déterminé par un calcul prenant le nombre d'années bissextiles jusqu'à ce siècle où k inhibe un jour bissextile tous les 100 ans et q le réinstalle tous les 400 ans, donnant ( k − q ) comme nombre total d'inhibitions au modèle d'un jour bissextile tous les quatre ans. Ainsi, nous ajoutons ( k − q ) pour corriger les jours bissextiles qui ne se sont jamais produits. p corrige le fait que l'orbite lunaire n'est pas entièrement descriptible en termes entiers.

La plage de jours considérée pour la pleine lune pour déterminer Pâques est du 21 mars (le jour de l'équinoxe ecclésiastique du printemps) au 18 avril, soit une plage de 29 jours. Cependant, dans l'arithmétique mod 30 de la variable d et de la constante M , qui peuvent toutes deux avoir des valeurs entières comprises entre 0 et 29, la plage est de 30. Par conséquent, des ajustements sont effectués dans les cas critiques. Une fois d déterminé, il s'agit du nombre de jours à ajouter au 22 mars (le lendemain de la première pleine lune possible autorisée, qui coïncide avec l'équinoxe ecclésiastique du printemps) pour obtenir la date du lendemain de la pleine lune.

Ainsi, la première date autorisée de Pâques est le 22 mars + j + 0, car Pâques doit célébrer le dimanche après la pleine lune ecclésiastique, c'est-à-dire si la pleine lune tombe le dimanche 21 mars, Pâques doit être célébrée 7 jours après, tandis que si la pleine lune tombe le samedi 21 mars. Pâques est le 22 mars suivant.

La deuxième partie est la recherche e , les jours de décalage supplémentaires qui doivent être ajoutés au décalage de date d pour qu'il arrive à un dimanche. Comme la semaine compte 7 jours, le décalage doit être compris entre 0 et 6 et déterminé par l'arithmétique modulo 7. e est déterminé en calculant 2 b + 4 c + 6 d + N mod 7 . Ces constantes peuvent sembler étranges au premier abord, mais s'expliquent assez facilement si l'on se souvient que nous fonctionnons sous l'arithmétique mod 7. Pour commencer, 2 b + 4 c veille à ce que nous prenions en compte le fait que les jours de semaine glissent pour chaque année. Une année normale a 365 jours, mais 52 × 7 = 364 , donc 52 semaines complètes représentent un jour de trop peu. Ainsi, chaque année consécutive, le jour de la semaine « glisse d'un jour vers l'avant », ce qui signifie que si le 6 mai était un mercredi d'une année, c'est un jeudi de l'année suivante (sans tenir compte des années bissextiles). Tant b que c augmentent de un pour un avancement d'un an (sans tenir compte des effets modulo). L'expression 2 b + 4 c augmente donc de 6 - mais rappelez-vous que cela revient à soustraire 1 mod 7. Soustraire de 1 est exactement ce qui est requis pour une année normale - puisque le jour de la semaine avance d'un jour, nous devons en compenser un. jour de moins pour arriver au bon jour de la semaine (c'est-à-dire le dimanche). Pour une année bissextile, b devient 0 et 2 b est donc 0 au lieu de 8 - ce qui sous le mod 7, est une autre soustraction de 1 - c'est-à-dire une soustraction totale de 2, car les jours de la semaine après le jour bissextile cette année glissent vers l'avant de deux jours.

L'expression 6 d fonctionne de la même manière. Augmenter d d'un certain nombre y indique que la pleine lune se produit y jours plus tard cette année, et donc nous devrions compenser y jours de moins. L'ajout de 6 d est le même que la soustraction de d , ce qui est l'opération souhaitée. Ainsi, encore une fois, nous faisons des soustractions en ajoutant sous arithmétique modulo. Au total, la variable e contient le pas du lendemain de la pleine lune au dimanche suivant le plus proche, entre 0 et 6 jours à l'avance. La constante N fournit le point de départ des calculs pour chaque siècle et dépend de l'endroit où le 1er janvier, année 1 était implicitement situé lorsque le calendrier grégorien a été construit.

L'expression d + e peut produire des décalages compris entre 0 et 35, pointant vers d'éventuels dimanches de Pâques du 22 mars au 26 avril. Pour des raisons de compatibilité historique, tous les décalages de 35 et certains de 34 sont soustraits de 7, sautant un dimanche au jour de la pleine lune (en utilisant en fait un e négatif de −1). Cela signifie que le 26 avril n'est jamais le dimanche de Pâques et que le 19 avril est surreprésenté. Ces dernières corrections sont uniquement pour des raisons historiques et n'ont rien à voir avec l'algorithme mathématique. Le décalage de 34 est ajusté si (et seulement si) d = 28 et d = 29 ailleurs dans le cycle de 19 ans.

L'utilisation de l'algorithme de Pâques de Gauss pour les années antérieures à 1583 est historiquement inutile puisque le calendrier grégorien n'a pas été utilisé pour déterminer Pâques avant cette année-là. L'utilisation de l'algorithme loin dans le futur est discutable, car nous ne savons rien sur la façon dont les différentes églises définiront Pâques loin à l'avance. Les calculs de Pâques sont basés sur des accords et des conventions, non sur les mouvements célestes réels ni sur des faits incontestables de l'histoire.

Algorithme grégorien anonyme

"Un correspondant de New York" a soumis cet algorithme pour déterminer la Pâques grégorienne à la revue Nature en 1876. Il a été réimprimé plusieurs fois, par exemple, en 1877 par Samuel Butcher dans The Ecclesiastical Calendar , en 1916 par Arthur Downing dans The Observatory , dans 1922 par H. Spencer Jones dans General Astronomy , en 1977 par le Journal of the British Astronomical Association , en 1977 par The Old Farmer's Almanac , en 1988 par Peter Duffett-Smith dans Practical Astronomy with your Calculator , et en 1991 par Jean Meeus dans Algorithmes astronomiques . En raison de la citation du livre Meeus, cet algorithme est également appelé « Meeus/Jones/Butcher » :

En 1961, le New Scientist a publié une version de l' algorithme Nature intégrant quelques changements. La variable g a été calculée en utilisant la correction de 1816 de Gauss, ce qui a entraîné l'élimination de la variable f . Certains rangements entraînent le remplacement de la variable o (à laquelle il faut ajouter une pour obtenir la date de Pâques) par la variable p , qui donne directement la date.

Algorithme Julien de Meeus

Jean Meeus, dans son livre Astronomical Algorithms (1991, p. 69), présente l'algorithme suivant pour calculer les Pâques juliennes sur le calendrier julien, qui n'est pas le calendrier grégorien utilisé comme calendrier civil dans la plupart des pays contemporains. Pour obtenir la date de Pâques orthodoxe orientale sur ce dernier calendrier, 13 jours (de 1900 à 2099) doivent être ajoutés aux dates juliennes, produisant les dates ci-dessous, dans la dernière rangée.

Voir également

• Christian Zeller
• Ténèbres de la crucifixion
• Réforme de la date de Pâques

Les références

Remarques

Citations

Sources

Lectures complémentaires

Liens externes

• Formules et fonctions de feuille de calcul Excel pour calculer Pâques
• Les uvres Complètes du Vénérable Bède Vol. 6 (Contient De Temporibus et De Temporum Ratione .)
• L'entrée sur les épactes dans l'Encyclopédie catholique de 1911
• Les textes originaux de la réforme du calendrier grégorien (en latin), avec traductions en français par Rodolphe Audette
• Une calculatrice de Pâques avec une bibliographie complète et des liens utiles
• Site éphéméride du Bureau des Longitudes avec un calculateur de Pâques (valable entre 325 et 2500)
• Une page de calendrier et une calculatrice par Holger Oertel
• Une page de Clive Feather avec une brève explication, quelques tableaux supplémentaires et un autre algorithme
• (en allemand) Un site de calendrier complet et un calendrier et une calculatrice de Pâques par Nikolaus A. Bär
• Explication du calendrier grégorien solaire et lunaire, avec des procédures améliorées par rapport à la méthode tabulaire, par David Madore
• Table de Pâques de Dionysius Exiguus
• Diagrammes mnémotechniques du Computus des mains d'un manuscrit de la British Library
• Saint-Gall, Stiftsbibliothek, Codex Sangallensis 378 (XIe siècle) p. 28. Contient le poème Nonae Aprilis norunt quinos .
• Une méthode simplifiée pour déterminer la date de Pâques pour toutes les années 326 à 4099 après JC par Ronald W. Mallen
• Texte de la loi de 1750 sur le calendrier (nouveau style), loi du Parlement britannique introduisant le calendrier grégorien tel que modifié à ce jour. Contient des tableaux pour le calcul de Pâques jusqu'à l'an 8599. Contraste avec la loi telle qu'adoptée.
• Computuslat Une base de données de manuscrits médiévaux contenant des algorithmes informatiques latins, des textes, des tableaux, des diagrammes et des calendriers.
• Calculatrice de Pâques et Pâque perpétuelles