Confusion de l'inverse - Confusion of the inverse

La confusion de l'inverse , également appelée sophisme de probabilité conditionnelle ou sophisme inverse , est un sophisme logique pour lequel une probabilité conditionnelle est assimilée à son inverse; c'est-à-dire que, étant donné deux événements A et B , la probabilité que A se produise étant donné que B s'est produit est supposée être à peu près la même que la probabilité que B soit donné A , alors qu'il n'y a en fait aucune preuve de cette hypothèse. Plus formellement, P ( A | B ) est supposé être approximativement égal à P ( B | A ).

Exemples

Exemple 1


Taille relative
Malin Bénin Le total
Test
positif
0,8
(vrai positif)
9,9
(faux positif)
10.7
Test
négatif
0,2
(faux négatif)
89,1
(vrai négatif)
89,3
Le total 1 99 100

Dans une étude, les médecins ont été invités à donner les chances de malignité avec une probabilité antérieure de 1% de se produire. Un test peut détecter 80% des tumeurs malignes et a un taux de faux positifs de 10%. Quelle est la probabilité de malignité en cas de résultat de test positif ? Environ 95 médecins sur 100 ont répondu que la probabilité de malignité serait d'environ 75 %, apparemment parce que les médecins croyaient que les chances de malignité en cas de résultat positif au test étaient approximativement les mêmes que les chances d'un résultat de test positif en cas de malignité.

La probabilité correcte de malignité étant donné un résultat de test positif comme indiqué ci-dessus est de 7,5%, dérivée via le théorème de Bayes :

Voici d'autres exemples de confusion :

  • Les utilisateurs de drogues dures ont tendance à consommer de la marijuana ; par conséquent, les utilisateurs de marijuana ont tendance à utiliser des drogues dures (la première probabilité est la consommation de marijuana étant donné la consommation de drogues dures, la seconde est la consommation de drogues dures étant donné la consommation de marijuana).
  • La plupart des accidents se produisent à moins de 25 milles de la maison; par conséquent, vous êtes plus en sécurité lorsque vous êtes loin de chez vous.
  • Les terroristes ont tendance à avoir une formation en ingénierie; ainsi, les ingénieurs ont une tendance au terrorisme.

Pour d'autres erreurs de probabilité conditionnelle, voir le problème de Monty Hall et le sophisme du taux de base . Comparer à la conversion illicite .

Exemple 2


Taille relative (%)
Je vais bien Le total
Test
positif
0.99
(vrai positif)
0,99
(faux positif)
1,98
Test
négatif
0,01
(faux négatif)
98.01
(vrai négatif)
98.02
Le total 1 99 100

Afin d'identifier les personnes atteintes d'une maladie grave sous une forme curable précoce, on peut envisager de dépister un grand groupe de personnes. Bien que les avantages soient évidents, un argument contre de tels dépistages est la perturbation causée par des résultats de dépistage faussement positifs : si une personne qui n'a pas la maladie s'avère à tort l'avoir par le test initial, elle sera très probablement bouleversée, et même si elle passent ensuite un test plus minutieux et on leur dit qu'ils vont bien, leur vie peut encore être affectée négativement. S'ils entreprennent un traitement inutile pour la maladie, ils peuvent être lésés par les effets secondaires et les coûts du traitement.

L'ampleur de ce problème est mieux comprise en termes de probabilités conditionnelles.

Supposons que 1% du groupe souffre de la maladie et que le reste se porte bien. Choisir un individu au hasard,

Supposons que lorsque le test de dépistage est appliqué à une personne n'ayant pas la maladie, il y a 1% de chance d'obtenir un résultat faussement positif (et donc 99% de chance d'obtenir un vrai résultat négatif, un nombre connu sous le nom de spécificité du test ), c'est à dire

Enfin, supposons que lorsque le test est appliqué à une personne atteinte de la maladie, il y a 1% de chance d'avoir un résultat faux négatif (et 99% de chance d'obtenir un vrai résultat positif, connu sous le nom de sensibilité du test), c'est-à-dire

Calculs

La fraction d'individus dans l'ensemble du groupe qui se portent bien et dont le test est négatif (vrai négatif) :

La fraction d'individus dans l'ensemble du groupe qui sont malades et testés positifs (vraiment positifs) :

La fraction d'individus dans l'ensemble du groupe qui ont des résultats faussement positifs :

La fraction d'individus dans l'ensemble du groupe qui ont des résultats faussement négatifs :

De plus, la fraction d'individus dans l'ensemble du groupe qui sont testés positifs :

Enfin, la probabilité qu'un individu soit effectivement atteint de la maladie, étant donné que le résultat du test est positif :

Conclusion

Dans cet exemple, il devrait être facile de faire le lien entre les probabilités conditionnelles P (positive | malade) qui avec les probabilités supposées est de 99%, et P (mal | positif) qui est de 50% : la première est la probabilité que une personne dont le test de la maladie est positif ; la seconde est la probabilité qu'un individu dont le test est positif soit effectivement atteint de la maladie. Ainsi, avec les probabilités choisies dans cet exemple, à peu près le même nombre d'individus bénéficient des avantages d'un traitement précoce que ceux qui sont affligés par les faux positifs ; ces effets positifs et négatifs peuvent alors être pris en compte pour décider s'il faut procéder au dépistage, ou si possible ajuster les critères du test pour diminuer le nombre de faux positifs (éventuellement au détriment d'un plus grand nombre de faux négatifs).

Voir également

Remarques

Les références