Cours de conjugaison - Conjugacy class

${\style d'affichage G}$

Les classes de conjugaison peuvent être désignées en les décrivant, ou plus brièvement par des abréviations telles que "6A", signifiant "une certaine classe de conjugaison d'éléments d'ordre 6", et "6B" serait une classe de conjugaison différente d'éléments d'ordre 6 ; la classe de conjugaison 1A est la classe de conjugaison de l'identité. Dans certains cas, les classes de conjugaison peuvent être décrites de manière uniforme ; par exemple, dans le groupe symétrique, ils peuvent être décrits par structure de cycle.

Exemples

Le groupe symétrique constitué des 6

${\style d'affichage S_{3},}$

1. pas de changement ${\style d'affichage (abc\vers abc)}$
2. transposer deux${\displaystyle (abc\to acb,abc\to bac,abc\to cba)}$
3. une permutation cyclique des trois${\displaystyle (abc\to bca,abc\to cab).}$

Ces trois classes correspondent également à la classification des isométries d'un triangle équilatéral .

Tableau montrant pour toutes les paires avec (comparer la liste numérotée ) . Chaque ligne contient tous les éléments de la classe de conjugaison de et chaque colonne contient tous les éléments de${\displaystyle bab^{-1}}$${\style d'affichage (a,b)}$${\displaystyle a,b\in S_{4}}$ ${\style d'affichage a,}$${\style d'affichage S_{4}.}$

Le groupe symétrique${\style d'affichage S_{4},}$ constitué des 24 permutations de quatre éléments, a cinq classes de conjugaison, répertoriées avec leurs structures de cycle et leurs ordres :

(1) ₄     aucun changement (1 élément : { (1, 2, 3, 4) }). La seule rangée contenant cette classe de conjugaison est représentée par une rangée de cercles noirs dans le tableau adjacent.

(2) en       interchangeant deux (6 éléments : { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }). Les 6 lignes contenant cette classe de conjugaison sont surlignées en vert dans le tableau adjacent.

(3)       une permutation cyclique de trois (8 éléments : { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }). Les 8 lignes contenant cette classe de conjugaison sont affichées en caractères normaux (pas de caractères gras ni de surlignage en couleur) dans le tableau adjacent.

(4)       une permutation cyclique des quatre (6 éléments : { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2 , 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). Les 6 lignes contenant cette classe de conjugaison sont surlignées en orange dans le tableau adjacent.

(2)(2) en   interchangeant deux, et aussi les deux autres (3 éléments : { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }) . Les 3 lignes contenant cette classe de conjugaison sont affichées avec des entrées en gras dans le tableau adjacent.

Les rotations propres du cube , qui peuvent être caractérisées par des permutations des diagonales du corps, sont également décrites par conjugaison dans${\style d'affichage S_{4}.}$

En général, le nombre de classes de conjugaison dans le groupe symétrique${\style d'affichage S_{n}}$ est égal au nombre de partitions entières de C'est parce que chaque classe de conjugaison correspond à exactement une partition de en

${\style d'affichage n.}$

${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$

${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}.}$

En général, le groupe euclidien peut être étudié par conjugaison d'isométries dans l'espace euclidien .

Propriétés

• L'élément d'identité est toujours le seul élément de sa classe, c'est-à-dire ${\displaystyle \operatorname {Cl} (e)=\{e\}.}$
• Si est

${\displaystyle a\in G}$

${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage a}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$

${\displaystyle a\in G,}$

${\style d'affichage g}$

${\displaystyle ga=ag,}$

${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}\left(a\right)\right]}$

${\style d'affichage a}$

Prenez et laissez être les entiers distincts qui apparaissent comme des longueurs de cycles dans le type de cycle de (y compris 1-cycles). Soit le nombre de cycles de longueur dans pour chacun (de sorte que ). Alors le nombre de conjugués de est :${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{s}}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle k_{i}}$${\style d'affichage m_{i}}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle i=1,2,\ldots ,s}$${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{s}k_{i}m_{i}=n}$${\style d'affichage \sigma }$

$${\displaystyle {\frac {n!}{(k_{1}!m_{1}^{k_{1}})(k_{2}!m_{2}^{k_{2}})\cdots ( k_{s}!m_{s}^{k_{s}})}}.}$$

La conjugaison comme action de groupe

Pour deux éléments quelconques, soit ${\style d'affichage g,x\dans G,}$

$${\displaystyle g\cdot x:=gxg^{-1}.}$$

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage G.}$

De même, nous pouvons définir une action de groupe de sur l'ensemble de tous les

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage G,}$

$${\displaystyle g\cdot S:=gSg^{-1},}$$

${\style d'affichage G.}$

Équation de classe de conjugaison

Si est un

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage a,}$

${\style d'affichage a}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a).}$

${\style d'affichage b}$

${\style d'affichage c}$

${\style d'affichage b=cz}$

${\style d'affichage z}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$

${\style d'affichage a}$

$${\displaystyle bab^{-1}=cza(cz)^{-1}=czaz^{-1}c^{-1}=cazz^{-1}c^{-1}=cac^{- 1}.}$$

Ainsi le nombre d'éléments dans la classe de conjugaison de est l'

${\style d'affichage a}$

${\displaystyle \left[G:\operatorname {C} _{G}(a)\right]}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(a)}$

${\style d'affichage G}$

De plus, si nous choisissons un seul élément représentatif de chaque classe de conjugaison, nous déduisons de la disjonction des classes de conjugaison où est le centralisateur de l'élément Observant que chaque élément du centre forme une classe de conjugaison contenant juste lui-même donne naissance à la

${\style d'affichage x_{i}}$

${\displaystyle |G|=\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)\right],}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)}$

${\style d'affichage x_{i}.}$

${\displaystyle \operatorname {Z} (G)}$

$${\displaystyle |G|=|\operatorname {Z} (G)|+\sum _{i}\left[G:\operatorname {C} _{G}\left(x_{i}\right)\right ],}$$

La connaissance des diviseurs de l'ordre des groupes peut souvent être utilisée pour obtenir des informations sur l'ordre du centre ou des classes de conjugaison. ${\style d'affichage |G|}$

Exemple

Considérons un fini

${\style d'affichage p}$

${\style d'affichage G}$

${\style d'affichage p^{n},}$

${\style d'affichage p}$

${\style d'affichage n>0}$

${\style d'affichage p}$

Étant donné que l'ordre de toute classe de conjugaison de doit diviser, l'ordre de celle - ci s'ensuit que chaque classe de conjugaison qui n'est pas au centre a également un certain ordre d' où Mais alors l'équation de classe exige que De cela, nous voyons que doit se diviser ainsi${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G,}$${\style d'affichage H_{i}}$${\displaystyle p^{k_{i}},}$${\style d'affichage 0<k_{i}<n.}$${\displaystyle |G|=p^{n}=|\operatorname {Z} (G)|+\sum _{i}p^{k_{i}}.}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1.}$

En particulier, quand then est un groupe abélien puisque tout élément de groupe non trivial est d'ordre ou Si un élément de est d'ordre alors est isomorphe à un groupe d'ordre cyclique donc abélien. D'autre part, si tous les éléments non-trivial est d'ordre donc par la conclusion ci - dessus alors ou nous ne devons considérer le cas où alors il y a un élément de ce qui est pas dans le centre de noter que comprend et le centre qui ne contient pas mais au moins des éléments. D' où l'ordre est strictement plus grande que par conséquent , par conséquent , est un élément du centre d' une contradiction. Par conséquent est abélien et en fait isomorphe au produit direct de deux groupes cycliques chacun d'ordre${\style d'affichage n=2,}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p}$${\style d'affichage p^{2}.}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p^{2},}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p^{2},}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|>1,}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1}$${\style d'affichage p^{2}.}$${\displaystyle |\operatorname {Z} (G)|=p>1,}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G.}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage p}$${\displaystyle \operatorname {C} _{G}(b)}$${\style d'affichage p,}$${\displaystyle \left|\operatorname {C} _{G}(b)\right|=p^{2},}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage G,}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage p.}$

Conjugaison de sous-groupes et de sous-ensembles généraux

De manière plus générale, étant donné tout sous - ensemble ( pas nécessairement un sous - groupe), définir un sous - ensemble d'être conjugué à s'il existe une telle que Soit l'ensemble des sous - ensembles de tous tels que est conjugué à${\displaystyle S\subseteq G}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\style d'affichage S}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle T=gSg^{-1}.}$${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$${\displaystyle T\subseteq G}$${\style d'affichage T}$${\style d'affichage S.}$

Un théorème fréquemment utilisé est que, étant donné tout sous - ensemble, l'

${\displaystyle S\subseteq G,}$

${\displaystyle \operatorname {N} (S)}$

${\style d'affichage S}$

${\style d'affichage G}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} (S)}$

$${\displaystyle |\operatorname {Cl} (S)|=[G:N(S)].}$$

Cela s'ensuit puisque, si alors si et seulement si en d'autres termes, si et seulement si sont dans le même

${\displaystyle g,h\in G,}$

${\displaystyle gSg^{-1}=hSh^{-1}}$

${\displaystyle g^{-1}h\in \operatorname {N} (S),}$

${\displaystyle g{\text{ et }}h}$

${\displaystyle \operatorname {N} (S).}$

En utilisant cette formule, on généralise celle donnée précédemment pour le nombre d'éléments dans une classe de conjugaison. ${\style d'affichage S=\{a\},}$

Ce qui précède est particulièrement utile lorsqu'on parle de sous-groupes de Les sous-groupes peuvent ainsi être divisés en classes de conjugaison, avec deux sous-groupes appartenant à la même classe si et seulement s'ils sont conjugués. Les sous-groupes conjugués sont

${\style d'affichage G.}$

Interprétation géométrique

Les classes de conjugaison dans le groupe fondamental d'un espace topologique à chemins connectés peuvent être considérées comme des classes d'équivalence de boucles libres sous homotopie libre.

Classe de conjugaison et représentations irréductibles en groupe fini

Dans tout groupe fini , le nombre de représentations irréductibles distinctes (non isomorphes) sur les nombres complexes est précisément le nombre de classes de conjugaison.

Voir également

• Conjugaison topologique
• FC-group  – groupe en théorie des groupes mathématiques
• Sous-groupe clos de conjugaison

Remarques

Les références

• Grillet, Pierre-Antoine (2007). Algèbre abstraite . Textes de maîtrise en mathématiques. 242 (2 éd.). Springer. ISBN 978-0-387-71567-4.

Liens externes

• "Éléments conjugués" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]