Continuum (théorie des ensembles) - Continuum (set theory)

Dans le domaine mathématique de la théorie des ensembles , le continuum signifie les nombres réels , ou le nombre cardinal (infini) correspondant , désigné par . Georg Cantor a prouvé que la cardinalité est plus grand que l'infini la plus petite, à savoir . Il a également prouvé qu'il était égal à la cardinalité de l' ensemble de puissance des nombres naturels . ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}} \!}$

La cardinalité du continuum est la taille de l'ensemble des nombres réels. L' hypothèse du continuum est parfois déclaré en disant qu'il n'y a pas cardinalité se situe entre celle du continuum et que des nombres naturels , ou encore, que . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}} = \ aleph _ {1}}$

Continuum linéaire

Selon Raymond Wilder (1965), il y a quatre axiomes qui font d'un ensemble C et de la relation <un continuum linéaire :

• C est simplement ordonné par rapport à <.
• Si [ A, B ] est une coupe de C , alors soit A a un dernier élément, soit B a un premier élément. (comparer la coupe Dedekind )
• Il existe un sous- ensemble S de C non vide et dénombrable tel que, si x, y ∈ C tel que x < y , alors il existe z ∈ S tel que x < z < y . ( axiome de séparabilité )
• C n'a ni premier élément ni dernier élément. ( Axiome sans limites )

Ces axiomes caractérisent le type d'ordre de la droite numérique réelle .

Voir également

• Aleph nul
• Le problème de Suslin
• Nombre transfini

Les références

Bibliographie

• Raymond L. Wilder (1965) The Foundations of Mathematics , 2e éd., Page 150, John Wiley & Sons .

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