Moyenne contre-harmonique - Contraharmonic mean

En mathématiques, une moyenne contraharmonique est une fonction complémentaire de la moyenne harmonique . Le contraharmonic moyen est un cas particulier de la moyenne Lehmer , où p = 2. ${\ displaystyle L_ {p}}$

Définition

La moyenne contraharmonique d'un ensemble de nombres positifs est définie comme la moyenne arithmétique des carrés des nombres divisée par la moyenne arithmétique des nombres:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {C} \ left (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n} \ right) & = {{1 \ over n} \ left (x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ right) \ over {1 \ over n} \ left (x_ {1} + x_ {2 } + \ cdots + x_ {n} \ right)}, \\ [3pt] & = {{x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ { 2}} \ over {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}}}. \ End {aligné}}}$

Propriétés

Il est facile de montrer que cela satisfait les propriétés caractéristiques d'une moyenne :

• ${\ displaystyle \ operatorname {C} \ left (x_ {1}, x_ {2}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) \ in \ left [\ min \ left (x_ {1}, x_ {2}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right), \, \ max \ left (x_ {1}, x_ {2}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right )\droite]}$
• ${\ displaystyle \ operatorname {C} \ left (t \ cdot x_ {1}, t \ cdot x_ {2}, \, \ dots, \, t \ cdot x_ {n} \ right) = t \ cdot C \ gauche (x_ {1}, x_ {2}, \, \ dots, \, x_ {n} \ droite) {\ text {for}} t> 0}$

La première propriété implique la propriété de virgule fixe , que pour tout k > 0,

C ( k , k ,…, k ) = k

La moyenne contraharmonique a une valeur plus élevée que la moyenne arithmétique et également supérieure à la moyenne quadratique :

${\ displaystyle \ min (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {H} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {G} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {L} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {A} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {R} (\ mathbf {x}) \ leq \ operatorname {C} (\ mathbf {x}) \ leq \ max (\ mathbf {x})}$

où x est une liste de valeurs, H est la moyenne harmonique, G est la moyenne géométrique , L est la moyenne logarithmique , A est la moyenne arithmétique , R est la moyenne quadratique et C est la moyenne contraharmonique. À moins que toutes les valeurs de x ne soient identiques, les signes ≤ ci-dessus peuvent être remplacés par <.

Le nom contraharmonique peut être dû au fait qu'en prenant la moyenne de seulement deux variables, la moyenne contraharmonique est aussi élevée au-dessus de la moyenne arithmétique que la moyenne arithmétique est au-dessus de la moyenne harmonique (c'est-à-dire que la moyenne arithmétique des deux variables est égale à la moyenne arithmétique de leurs moyennes harmoniques et contraharmoniques).

Formules à deux variables

À partir des formules de la moyenne arithmétique et de la moyenne harmonique de deux variables, nous avons:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ operatorname {A} (a, b) & = {{a + b} \ over 2} \\\ operatorname {H} (a, b) & = {1 \ over { {1 \ over 2} \ cdot {\ left ({1 \ over a} + {1 \ over b} \ right)}}} = {{2ab} \ over {a + b}} \\\ operatorname {C } (a, b) & = 2 \ cdot A (a, b) -H (a, b) \\ & = a + b - {{2ab} \ over {a + b}} = {{(a + b) ^ {2} -2ab} \ over {a + b}} \\ & = {{a ^ {2} + b ^ {2}} \ over {a + b}} \ end {aligné}}}$

Notez que pour deux variables, la moyenne des moyennes harmoniques et contraharmoniques est exactement égale à la moyenne arithmétique:

A ( H ( a ,  b ), C ( a ,  b )) = A ( a ,  b )

Lorsque a se rapproche de 0, H ( a ,  b ) se rapproche également de 0. La moyenne harmonique est très sensible aux valeurs faibles. D'autre part, la moyenne contraharmonique est sensible aux valeurs plus grandes, de sorte que lorsque a s'approche de 0 alors C ( a ,  b ) s'approche de b (leur moyenne reste donc  A ( a ,  b )).

Il existe deux autres relations notables entre les moyennes à 2 variables. Premièrement, la moyenne géométrique des moyennes arithmétiques et harmoniques est égale à la moyenne géométrique des deux valeurs:

${\ displaystyle \ operatorname {G} (\ operatorname {A} (a, b), \ operatorname {H} (a, b)) = \ operatorname {G} \ left ({{a + b} \ over 2} , {{2ab} \ over {a + b}} \ right) = {\ sqrt {{{a + b} \ over 2} \ cdot {{2ab} \ over {a + b}}}} = {\ sqrt {ab}} = \ nom_opérateur {G} (a, b)}$

La deuxième relation est que la moyenne géométrique des moyennes arithmétiques et contraharmoniques est la moyenne quadratique:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & \ operatorname {G} \ left (\ operatorname {A} (a, b), \ operatorname {C} (a, b) \ right) = {} \ operatorname {G} \ left ({{a + b} \ over 2}, {{a ^ {2} + b ^ {2}} \ over {a + b}} \ right) \\ = {} & {\ sqrt {{ {a + b} \ over 2} \ cdot {{a ^ {2} + b ^ {2}} \ over {a + b}}}} = {} {\ sqrt {{a ^ {2} + b ^ {2}} \ over 2}} \\ [2pt] = {} & \ nom_opérateur {R} (a, b) \ end {aligné}}}$

La moyenne contraharmonique de deux variables peut être construite géométriquement à l'aide d'un trapèze (voir [1] ).

Constructions supplémentaires

La moyenne contraharmonique peut être construite sur un cercle similaire à la façon dont les moyennes de Pythagore de deux variables sont construites. La moyenne contraharmonique est le reste du diamètre sur lequel repose la moyenne harmonique.

Propriétés

La moyenne contraharmonique d'une variable aléatoire est égale à la somme de la moyenne arithmétique et de la variance divisée par la moyenne arithmétique. Puisque la variance est toujours ≥0, la moyenne contraharmonique est toujours supérieure ou égale à la moyenne arithmétique.

Le rapport de la variance et de la moyenne a été proposé comme statistique de test par Clapham. Cette statistique est la moyenne contraharmonique moins un.

Il est également lié à la statistique de Katz

${\ displaystyle J_ {n} = {\ sqrt {\ frac {n} {2}}} {\ frac {s ^ {2} -m} {m}}}$

où m est la moyenne, s ² la variance et n est la taille de l'échantillon.

J _n est asymptotiquement distribué normalement avec une moyenne de zéro et une variance de 1.

Utilisations en statistiques

Le problème d'un échantillon biaisé par la taille a été discuté par Cox en 1969 sur un problème d'échantillonnage des fibres. L' espérance de l'échantillon biaisé par la taille est égale à sa moyenne contraharmonique.

La probabilité qu'une fibre soit échantillonnée est proportionnelle à sa longueur. Pour cette raison, la moyenne habituelle de l'échantillon (moyenne arithmétique) est un estimateur biaisé de la vraie moyenne. Pour voir cela, considérez

${\ displaystyle g (x) = {\ frac {xf (x)} {m}}}$

où f ( x ) est la vraie distribution de la population, g ( x ) est la distribution pondérée par la longueur et m est la moyenne de l'échantillon. Si l'on prend l'espérance habituelle de la moyenne ici, on obtient la moyenne contraharmonique plutôt que la moyenne habituelle (arithmétique) de l'échantillon. Ce problème peut être surmonté en prenant à la place l'espérance de la moyenne harmonique (1 / x ). L'espérance et la variance de 1 / x sont

${\ displaystyle \ operatorname {E} \ left [{\ frac {1} {x}} \ right] = {\ frac {1} {m}}}$

et a une variance

${\ displaystyle \ operatorname {Var} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = {\ frac {mE \ left [{\ frac {1} {x}} - 1 \ right]} { nm ^ {2}}}}$

où E [] est l'opérateur d'espérance. Asymptotiquement, E [1 / x ] est distribué normalement.

L'efficacité asymptotique de l'échantillonnage biaisé par la longueur dépend de l'échantillonnage aléatoire de la distribution sous-jacente. si f ( x ) est log normal, l'efficacité est de 1 tandis que si la population est distribuée gamma avec l'indice b , l'efficacité est b / ( b - 1) .

Cette distribution a été utilisée dans plusieurs domaines.

Il a été utilisé dans l'analyse d'images.

Histoire

La moyenne contraharmonique a été découverte par le mathématicien grec Eudoxe au 4ème siècle avant notre ère.

Voir également

• Moyenne harmonique
• Lehmer signifie
• Pythagore signifie

Les références

• Essai n ° 3 - Quelques trapèzes "méchants", par Shannon Umberger: [2]
• Construction de la moyenne contre-harmonique dans un trapèze: [3]
• Moyens dans le trapèze: [4]
• Moyennes des nombres complexes: [5]
• Preuves sans mots / exercices de pensée visuelle, par Roger B. Nelsen, page 56, ISBN  0-88385-700-6
• Moyens pythagoriciens: [6] (étendre le segment qui représente la moyenne harmonique à travers le centre du cercle de l'autre côté, créant un diamètre. La longueur du segment de diamètre après le segment harmonique est la moyenne contre-harmonique.)
• Pahikkala, Jussi (2010), Sur la moyenne contraharmonique et les triplets de Pythagore , Elemente der Mathematik 65 (2): 62–67.

Liens externes

• Proportion contre-harmonique sur PlanetMath.org .