Coupe transversale (physique) - Cross section (physics)

En physique, la section efficace est une mesure de la probabilité qu'un processus spécifique se produise lorsqu'une sorte d'excitation radiante (par exemple un faisceau de particules, une onde sonore, de la lumière ou un rayon X) croise un phénomène localisé (par exemple une particule ou fluctuation de densité). Par exemple, la section efficace de Rutherford est une mesure de probabilité qu'une particule alpha soit déviée d'un angle donné lors d'une collision avec un noyau atomique . La section efficace est généralement notée σ ( sigma ) et est exprimée en unités de superficie, plus spécifiquement en granges . D'une certaine manière, cela peut être considéré comme la taille de l'objet que l'excitation doit toucher pour que le processus se produise, mais plus exactement, c'est un paramètre d'un processus stochastique .

En physique classique , cette probabilité converge souvent vers une proportion déterministe d'énergie d'excitation impliquée dans le processus, de sorte que, par exemple, avec la diffusion de la lumière d'une particule, la section efficace spécifie la quantité de puissance optique diffusée par la lumière d'un éclairement donné. (puissance par zone). Il est important de noter que bien que la section transversale ait les mêmes unités que la surface, la section transversale peut ne pas nécessairement correspondre à la taille physique réelle de la cible donnée par d'autres formes de mesure. Il n'est pas rare que la section transversale réelle d'un objet de diffusion soit beaucoup plus grande ou plus petite que la section transversale relative à un processus physique. Par exemple, les nanoparticules plasmoniques peuvent avoir des sections efficaces de diffusion de la lumière pour des fréquences particulières qui sont beaucoup plus grandes que leurs sections efficaces réelles.

Lorsque deux particules discrètes interagissent en physique classique, leur section transversale mutuelle est la zone transversale à leur mouvement relatif dans laquelle elles doivent se rencontrer pour se disperser . Si les particules sont des sphères inélastiques dures qui n'interagissent qu'au contact, leur section efficace de diffusion est liée à leur taille géométrique. Si les particules interagissent par le biais d'une force d'action à distance, telle que l' électromagnétisme ou la gravité , leur section efficace de diffusion est généralement plus grande que leur taille géométrique.

Lorsqu'une section efficace est spécifiée comme la limite différentielle d'une fonction d'une variable d'état final, telle que l'angle ou l'énergie des particules, elle est appelée section efficace différentielle (voir la discussion détaillée ci-dessous). Lorsqu'une section efficace est intégrée sur tous les angles de diffusion (et éventuellement d'autres variables), elle est appelée section efficace totale ou section efficace totale intégrée . Par exemple, dans la diffusion de Rayleigh , l'intensité diffusée aux angles avant et arrière est supérieure à l'intensité diffusée latéralement, de sorte que la section efficace de diffusion différentielle avant est supérieure à la section efficace différentielle perpendiculaire, et en ajoutant toutes les sections efficaces infinitésimales sur toute la gamme d'angles avec le calcul intégral, nous pouvons trouver la section transversale totale.

Les sections efficaces de diffusion peuvent être définies en physique nucléaire , atomique et des particules pour les collisions de faisceaux accélérés d'un type de particule avec des cibles (stationnaires ou mobiles) d'un deuxième type de particule. La probabilité qu'une réaction donnée se produise est proportionnelle à sa section efficace. Ainsi, spécifier la section efficace pour une réaction donnée est un indicateur de la probabilité qu'un processus de diffusion donné se produise.

La vitesse de réaction mesurée d'un processus donné dépend fortement de variables expérimentales telles que la densité du matériau cible, l'intensité du faisceau, l'efficacité de détection de l'appareil ou le réglage de l'angle de l'appareil de détection. Cependant, ces quantités peuvent être factorisées, permettant la mesure de la section efficace de collision sous-jacente à deux particules.

Les sections efficaces de diffusion différentielle et totale sont parmi les grandeurs mesurables les plus importantes en physique nucléaire , atomique et des particules .

Collision entre particules de gaz

Figure 1. Dans un gaz de particules de diamètre individuel 2 r , la section efficace σ , pour les collisions est liée à la densité numérique de particules n , et au libre parcours moyen entre collisions λ .

Dans un gaz de particules de taille finie, il y a des collisions entre les particules qui dépendent de leur taille de section transversale. La distance moyenne qu'une particule parcourt entre les collisions dépend de la densité des particules de gaz. Ces quantités sont liées par

σ est la section efficace d'une collision de deux particules (unités SI : m 2 ),
λ est le libre parcours moyen entre collisions (unités SI : m),
n est la densité numérique des particules cibles (unités SI : m -3 ).

Si les particules dans le gaz peuvent être traitées comme des sphères dures de rayon r qui interagissent par contact direct, comme illustré sur la figure 1, alors la section efficace pour la collision d'une paire est

Si les particules dans le gaz interagissent par une force avec une plage plus large que leur taille physique, alors la section transversale est une zone efficace plus grande qui peut dépendre d'une variété de variables telles que l'énergie des particules.

Les sections efficaces peuvent être calculées pour les collisions atomiques, mais sont également utilisées dans le domaine subatomique. Par exemple, en physique nucléaire, un "gaz" de neutrons de basse énergie entre en collision avec des noyaux dans un réacteur ou un autre dispositif nucléaire, avec une section efficace qui dépend de l'énergie et donc également avec un libre parcours moyen bien défini entre les collisions.

Atténuation d'un faisceau de particules

Si un faisceau de particules entre dans une mince couche de matériau d'épaisseur d z , le flux Φ du faisceau diminue par d Φ selon la

σ est la section transversale totale de tous les événements, y compris la diffusion , l' absorption , ou la transformation d' une autre espèce. La densité numérique des centres de diffusion est désignée par n . La résolution de cette équation montre l'atténuation exponentielle de l'intensité du faisceau :

Φ 0 est le flux initial, et z est l'épaisseur totale du matériau. Pour la lumière, c'est ce qu'on appelle la loi de Beer-Lambert .

Section différentielle

Considérons une mesure classique où une seule particule est dispersée sur une seule particule cible stationnaire. Classiquement, on utilise un repère sphérique , la cible étant placée à l'origine et l' axe z de ce repère aligné avec le faisceau incident. L'angle θ est l' angle de diffusion , mesurée entre le faisceau incident et le faisceau diffusé, et le φ est l' angle azimutal .

Section transversale différentielle.svg

Le paramètre d'impact b est la perpendiculaire de décalage de la trajectoire de la particule entrante et sortante de la particule émerge à un angle θ . Pour une interaction donnée ( coulombienne , magnétique , gravitationnelle , contact, etc.), le paramètre d'impact et l'angle de diffusion ont une dépendance fonctionnelle précise l'un par rapport à l'autre. En général, le paramètre d'impact ne peut être ni contrôlé ni mesuré d'un événement à l'autre et est supposé prendre toutes les valeurs possibles lors de la moyenne sur de nombreux événements de diffusion. La taille de l' écart de la section transversale est l'élément de surface dans le plan du paramètre d'impact, c. -à- d σ = b j φ j b . La plage angulaire différentielle de la particule dispersée à l' angle θ est l'élément d'angle solide d Ω = sin θ d θ d φ . La section efficace différentielle est le quotient de ces quantités, d σ/d Ω.

C'est une fonction de l'angle de diffusion (et donc aussi du paramètre d'impact), ainsi que d'autres observables telles que la quantité de mouvement de la particule entrante. La section efficace différentielle est toujours considérée comme positive, même si des paramètres d'impact plus importants produisent généralement moins de déflexion. Dans les situations à symétrie cylindrique autour de l'axe (de faisceau), l' angle azimutal φ n'a pas été modifiée par le processus de diffusion, et la section transversale différentielle peut être écrit sous la forme

.

Dans les situations où le processus de diffusion n'est pas à symétrie azimutale, comme lorsque le faisceau ou les particules cibles possèdent des moments magnétiques orientés perpendiculairement à l'axe du faisceau, la section efficace différentielle doit également être exprimée en fonction de l'angle azimutal.

Pour la diffusion de particules de flux incident F inc sur une cible fixe constituée de nombreuses particules, la section efficace différentielled σ/d Ωun angle ( θ , φ ) est en relation avec le flux de détection de particules dispersées F out ( θ , φ ) en particules par unité de temps par

Ici Δ Ω est la taille angulaire finie du détecteur (unité SI : sr ), n est la densité numérique des particules cibles (unités SI : m −3 ), et t est l'épaisseur de la cible stationnaire (unités SI : m ). Cette formule suppose que la cible est suffisamment fine pour que chaque particule du faisceau interagisse avec au plus une particule cible.

La section transversale totale σ peut être récupéré par l' intégration de la section différentielled σ/d Ωsur tout l'angle solide ( stéradians) :

Il est courant d'omettre le qualificatif « différentiel » lorsque le type de section transversale peut être déduit du contexte. Dans ce cas, σ peut être désigné sous le nom de section transversale intégrale ou section transversale totale . Ce dernier terme peut prêter à confusion dans des contextes où plusieurs événements sont impliqués, puisque « total » peut également faire référence à la somme des coupes transversales sur tous les événements.

La section efficace différentielle est une quantité extrêmement utile dans de nombreux domaines de la physique, car sa mesure peut révéler une grande quantité d'informations sur la structure interne des particules cibles. Par exemple, la section efficace différentielle de la diffusion Rutherford a fourni des preuves solides de l'existence du noyau atomique.

Au lieu de l'angle solide, le transfert de quantité de mouvement peut être utilisé comme variable indépendante des sections efficaces différentielles.

Les sections efficaces différentielles en diffusion inélastique contiennent des pics de résonance qui indiquent la création d'états métastables et contiennent des informations sur leur énergie et leur durée de vie.

Diffusion quantique

Dans le formalisme indépendant du temps de la diffusion quantique , la fonction d'onde initiale (avant diffusion) est considérée comme une onde plane d' impulsion définie k :

z et r sont les coordonnées relatives entre le projectile et la cible. La flèche indique que cela ne décrit le comportement asymptotique de la fonction d'onde que lorsque le projectile et la cible sont trop éloignés l'un de l'autre pour que l'interaction ait un effet.

Après diffusion, on s'attend à ce que la fonction d'onde prenne la forme asymptotique suivante :

f est une fonction des coordonnées angulaires connues sous le nom d' amplitude de diffusion . Cette forme générale est valable pour toute interaction à courte portée et à économie d'énergie. Ce n'est pas vrai pour les interactions à longue distance, il y a donc des complications supplémentaires lorsqu'il s'agit d'interactions électromagnétiques.

La fonction d'onde complète du système se comporte asymptotiquement comme la somme

La section efficace différentielle est liée à l'amplitude de diffusion :

Cela a l'interprétation simple comme la densité de probabilité pour trouver le projectile dispersé à un angle donné.

Une section transversale est donc une mesure de la surface effective vue par les particules incidentes, et en tant que telle est exprimée en unités de surface. La section transversale de deux particules (c'est-à-dire observée lorsque les deux particules entrent en collision ) est une mesure de l'événement d'interaction entre les deux particules. La section efficace est proportionnelle à la probabilité qu'une interaction se produise ; par exemple dans une expérience de diffusion simple le nombre de particules diffusées par unité de temps (courant de particules diffusées I r ) ne dépend que du nombre de particules incidentes par unité de temps (courant de particules incidentes I i ), des caractéristiques de la cible ( par exemple le nombre de particules par unité de surface N ), et le type d'interaction. Pour ≪ 1 on a

Relation avec la matrice S

Si les masses et les moments réduits du système de collision sont respectivement m i , p i et m f , p f avant et après la collision, la section efficace différentielle est donnée par

où la matrice T sur la coque est définie par

en termes de S-matrice . Ici δ est la fonction Dirac . Le calcul de la matrice S est l'objectif principal de la théorie de la diffusion .

Unités

Bien que l' unité SI des sections efficaces totales soit le m 2 , des unités plus petites sont généralement utilisées dans la pratique.

En physique nucléaire et des particules, l'unité conventionnelle est la grange b , où 1 b = 10 −28  m 2 = 100  fm 2 . Des unités préfixées plus petites telles que mb et b sont également largement utilisées. De manière correspondante, la section efficace différentielle peut être mesurée en unités telles que mb/sr.

Lorsque le rayonnement diffusé est de la lumière visible, il est classique de mesurer la longueur du trajet en centimètres . Pour éviter d'avoir recours à des facteurs de conversion, la section efficace de diffusion est exprimée en cm 2 , et la concentration en nombre en cm -3 . La mesure de la diffusion de la lumière visible est connue sous le nom de néphélométrie , et est efficace pour des particules de 2 à 50  µm de diamètre : à ce titre, elle est largement utilisée en météorologie et dans la mesure de la pollution atmosphérique .

La diffusion des rayons X peut également être décrite en termes de sections efficaces de diffusion, auquel cas le carré ångström est une unité pratique : 1 Å 2 = 10 −20  m 2 =10 000  pm 2 = 10 8  b. La somme des sections efficaces de diffusion, photoélectriques et de production de paires (dans les granges) est représentée par le « coefficient d'atténuation atomique » (faisceau étroit), dans les granges.

Diffusion de la lumière

Pour la lumière, comme dans d'autres contextes, la section transversale de diffusion des particules est généralement différente de la section transversale géométrique de la particule et dépend de la longueur d' onde de la lumière et de la permittivité , de la forme et de la taille de la particule. La quantité totale de diffusion dans un milieu clairsemé est proportionnelle au produit de la section efficace de diffusion et du nombre de particules présentes.

Dans l'interaction de la lumière avec les particules, de nombreux processus se produisent, chacun avec ses propres sections efficaces, y compris l' absorption , la diffusion et la photoluminescence . La somme des sections efficaces d'absorption et de diffusion est parfois appelée section efficace d'atténuation ou d'extinction.

La section efficace d'extinction totale est liée à l'atténuation de l'intensité lumineuse par la loi de Beer-Lambert , qui dit que l'atténuation est proportionnelle à la concentration des particules :

A λ est l'atténuation à une donnée de longueur d' onde λ , C est la concentration de particules en une densité de nombre, et l est la longueur du trajet . L'absorbance du rayonnement est le logarithme ( décadique ou, plus généralement, naturel ) de l'inverse de la transmittance T :

La combinaison des sections efficaces de diffusion et d'absorption de cette manière est souvent rendue nécessaire par l'incapacité de les distinguer expérimentalement, et de nombreux efforts de recherche ont été consacrés au développement de modèles permettant de les distinguer, la théorie de Kubelka-Munk étant l'une des plus importantes en cette zone.

Section transversale et théorie de Mie

Les sections efficaces couramment calculées à l'aide de la théorie de Mie incluent les coefficients d'efficacité pour les sections efficaces d'extinction , de diffusion et d'absorption . Ceux-ci sont normalisés par les sections transversales géométriques de la particule comme

La section transversale est définie par

où est le flux d'énergie à travers la surface environnante, et est l'intensité de l'onde incidente. Pour l' onde plane, l'intensité sera , où est l' impédance du milieu hôte .

L'approche principale est basée sur ce qui suit. Premièrement, nous construisons une sphère imaginaire de rayon (surface ) autour de la particule (le diffuseur). Le taux net d'énergie électromagnétique traversant la surface est

où est le vecteur de Poynting moyenné dans le temps. Si l' énergie est absorbée dans la sphère, sinon l'énergie est créée dans la sphère. Nous excluons de la considération le dernier. Une fois que le milieu hôte est non absorbant, l'énergie est absorbée par la particule. On décompose le champ total en parties incidente et dispersée , et de même pour le champ magnétique . Ainsi, nous pouvons décomposer en les trois termes , où

Où , , et .

Tout le champ peut être décomposé en la série des harmoniques vectorielles sphériques (VSH) . Après cela, toutes les intégrales peuvent être prises. Dans le cas d'une sphère uniforme de rayon , de permittivité et de perméabilité, le problème a une solution précise. Les coefficients de diffusion et d'extinction sont

Où . Ceux-ci sont connectés comme

Approximation dipolaire pour la section efficace de diffusion

Supposons que les particules ne supportent que des modes dipolaires électriques et magnétiques avec des polarisabilités et (nous utilisons ici la notation de polarisabilité magnétique à la manière de Bekshaev et al. plutôt que la notation de Nieto-Vesperians et al. ) exprimés à travers les coefficients de Mie comme

Ensuite, les sections transversales seront
et, enfin, les sections efficaces d'absorption électrique et magnétique sont
et

Pour le cas d'une particule sans gain interne, c'est-à-dire qu'il n'y a pas d'énergie émise par la particule en interne ( ), on a un cas particulier du théorème optique

Le signe d'égalité est atteint pour les particules non absorbantes, c'est-à-dire pour .

Diffusion de la lumière sur des corps étendus

Dans le cadre de la diffusion de la lumière sur les corps étendus, la section transversale de diffusion, σ excréments , décrit la probabilité d' une lumière qui est diffusée par une particule macroscopique. En général, la section transversale de diffusion est différente de la section transversale géométrique d'une particule, car elle dépend de la longueur d'onde de la lumière et de la permittivité en plus de la forme et de la taille de la particule. La quantité totale de diffusion dans un milieu clairsemé est déterminée par le produit de la section efficace de diffusion et du nombre de particules présentes. En termes de superficie, la section transversale totale ( de σ ) est la somme des sections transversales en raison de l' absorption , la diffusion et la luminescence :

La section transversale totale est liée à l' absorbance de l'intensité lumineuse par la loi de Beer-Lambert , ce qui indique que l' absorbance est proportionnelle à la concentration: A λ = Clσ , où A λ est l'absorbance à une donnée de longueur d' onde λ , C est la concentration comme une densité de nombres , et l est la longueur du chemin . L'extinction ou absorbance du rayonnement est le logarithme ( décennal ou, plus généralement, naturel ) de l'inverse de la transmittance T :

Rapport à la taille physique

Il n'y a pas de relation simple entre la section efficace de diffusion et la taille physique des particules, car la section efficace de diffusion dépend de la longueur d'onde du rayonnement utilisé. Cela peut être vu en regardant un halo entourant la lune par une soirée assez brumeuse : les photons de lumière rouge subissent une plus grande section transversale de gouttelettes d'eau que les photons d'énergie plus élevée. Le halo autour de la lune a donc un périmètre de lumière rouge en raison des photons de plus faible énergie se dispersant plus loin du centre de la lune. Les photons du reste du spectre visible sont laissés au centre du halo et perçus comme de la lumière blanche.

Gamme météorologique

La section efficace de diffusion est liée à la gamme météorologique L V :

La quantité C' scat est parfois notée b scat , le coefficient de diffusion par unité de longueur.

Exemples

Exemple 1 : collision élastique de deux sphères dures

La collision élastique de deux sphères dures est un exemple instructif qui démontre le sens d'appeler cette quantité une section efficace. R et r sont respectivement les rayons du centre de diffusion et de la sphère diffusée. La section transversale totale est

Ainsi, dans ce cas, la section efficace de diffusion totale est égale à l'aire du cercle (de rayon r + R ) à l'intérieur de laquelle le centre de masse de la sphère entrante doit arriver pour qu'elle soit déviée, et à l'extérieur de laquelle elle passe par le centre de diffusion stationnaire. Lorsque le rayon de la sphère entrante approche de zéro, la section transversale n'est que l'aire d'un cercle de rayon R.

Exemple 2 : diffusion de la lumière à partir d'un miroir circulaire 2D

Un autre exemple illustre les détails du calcul d'un modèle simple de diffusion de la lumière obtenu par une réduction de la dimension. Pour simplifier, nous considérerons la diffusion d'un faisceau lumineux sur un plan traité comme une densité uniforme de rayons parallèles et dans le cadre de l'optique géométrique à partir d'un cercle de rayon r avec une frontière parfaitement réfléchissante. Son équivalent tridimensionnel est donc le problème le plus difficile d'un laser ou d'une lampe de poche diffusant la lumière de la sphère du miroir, par exemple, de la bille du roulement mécanique. L'unité de section transversale dans une dimension est l'unité de longueur, par exemple 1 m. Soit α être l'angle entre le rayon lumineux et le rayon joignant le point de réflexion du rayon lumineux avec le point central du miroir de cercle. Ensuite, l'augmentation de l'élément de longueur perpendiculaire au faisceau lumineux est exprimée par cet angle comme

l'angle de réflexion de ce rayon par rapport au rayon incident est alors 2 α et l'angle de diffusion est

L'énergie ou le nombre de photons réfléchis par le faisceau lumineux avec l'intensité ou la densité de photons I sur la longueur d x est

La section efficace différentielle est donc ( d Ω = d θ )

Comme on le voit à partir du comportement de la fonction sinus , cette quantité a le maximum pour la diffusion vers l'arrière ( θ = π ; la lumière est réfléchie perpendiculairement et revient), et le minimum zéro pour la diffusion du bord du cercle directement vers l'avant ( θ = 0 ). Cela confirme les attentes intuitives selon lesquelles le cercle du miroir agit comme une lentille divergente , et un faisceau mince est d'autant plus dilué qu'il est proche du bord défini par rapport à la direction entrante. La section transversale totale peut être obtenue en additionnant (intégrant) la section différentielle de toute la plage d'angles :

il est donc égal d'autant que le miroir circulaire masque totalement l'espace bidimensionnel pour le faisceau de lumière. En trois dimensions pour la boule à facettes de rayon r elle est donc égale à σ = π r 2 .

Exemple 3 : diffusion de la lumière à partir d'un miroir sphérique 3D

Nous pouvons maintenant utiliser le résultat de l'exemple 2 pour calculer la section efficace différentielle pour la diffusion de la lumière de la sphère parfaitement réfléchissante en trois dimensions. Notons maintenant le rayon de la sphère a . Nous pouvons paramétrer le plan perpendiculaire au faisceau de lumière entrant par les coordonnées cylindriques r et φ . Dans n'importe quel plan du rayon entrant et du rayon réfléchi, nous pouvons maintenant écrire à partir de l'exemple précédent :

tandis que l'élément de zone d'impact est

En utilisant la relation pour l'angle solide dans les coordonnées sphériques :

et l'identité trigonométrique

on obtient

tandis que la section transversale totale comme nous l'avions prévu est

Comme on peut le voir, il est également en accord avec le résultat de l'exemple 1 si le photon est supposé être une sphère rigide de rayon nul.

Voir également

Les références

Références générales

  • JD Bjorken, SD Drell, Mécanique quantique relativiste , 1964
  • P. Roman, Introduction à la théorie quantique , 1969
  • W. Greiner, J. Reinhardt, électrodynamique quantique , 1994
  • RG Newton. Théorie de la diffusion des ondes et des particules . McGraw Hill, 1966.
  • RC Fernow (1989). Introduction à la physique expérimentale des particules . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 978-0-521-379-403.

Liens externes