Emballage serré de sphères égales - Close-packing of equal spheres

Illustration du compactage de sphères égales dans les réseaux HCP (à gauche) et FCC (à droite)

En géométrie , le compactage de sphères égales est un arrangement dense de sphères congruentes dans un arrangement infini et régulier (ou réseau ). Carl Friedrich Gauss a prouvé que la densité moyenne la plus élevée - c'est-à-dire la plus grande fraction d'espace occupée par des sphères - qui peut être atteinte par un garnissage en treillis est

.

La même densité de compactage peut également être obtenue par des empilements alternés des mêmes plans de sphères compactés, y compris des structures apériodiques dans la direction d'empilement. La conjecture de Kepler affirme qu'il s'agit de la densité la plus élevée pouvant être atteinte par n'importe quel arrangement de sphères, qu'elles soient régulières ou irrégulières. Cette conjecture a été prouvée par TC Hales . La densité la plus élevée n'est connue que dans le cas de 1, 2, 3, 8 et 24 dimensions.

De nombreuses structures cristallines sont basées sur un compactage d'un seul type d'atome, ou un compactage de gros ions avec des ions plus petits remplissant les espaces entre eux. Les arrangements cubiques et hexagonaux sont très proches les uns des autres en énergie, et il peut être difficile de prédire quelle forme sera préférée à partir des premiers principes.

Treillis FCC et HCP

Disposition FCC vue sur la direction de l'axe 4 fois
FAC HCP
Cuboctaèdre B2 planes.png Cuboctaèdre 3 plans.png Filaire orthobicupole triangulaire.png
L' agencement FCC peut être orienté dans deux plans différents, carré ou triangulaire. Ceux-ci peuvent être vus dans le cuboctaèdre avec 12 sommets représentant les positions de 12 sphères voisines autour d'une sphère centrale. L' arrangement HCP peut être vu dans l'orientation triangulaire, mais alterne deux positions de sphères, dans un arrangement triangulaire orthobicupola .

Il existe deux réseaux réguliers simples qui atteignent cette densité moyenne la plus élevée. Ils sont appelés cubiques à faces centrées ( FCC ) (également appelés cubiques compacts ) et hexagonaux compacts ( HCP ), en fonction de leur symétrie . Tous deux reposent sur des nappes de sphères disposées aux sommets d'un pavage triangulaire ; ils diffèrent par la façon dont les feuilles sont empilées les unes sur les autres. Le réseau FCC est également connu des mathématiciens comme celui généré par le système racinaire A 3 .

Problème de boulet de canon

Des boulets de canon empilés sur une base triangulaire (avant) et rectangulaire (arrière) , tous deux en treillis FCC .

Le problème du compactage des sphères a été analysé mathématiquement pour la première fois par Thomas Harriot vers 1587, après qu'une question sur l'empilement des boulets de canon sur les navires lui ait été posée par Sir Walter Raleigh lors de leur expédition en Amérique. Les boulets de canon étaient généralement empilés dans un cadre en bois rectangulaire ou triangulaire, formant une pyramide à trois ou quatre côtés. Les deux arrangements produisent un réseau cubique à faces centrées – avec une orientation différente par rapport au sol. Le compactage hexagonal se traduirait par une pyramide à six côtés avec une base hexagonale.

Boules de neige empilées en vue d'une bataille de boules de neige . La pyramide avant est hexagonale compacte et l'arrière est cubique à face centrée.

Le problème des boulets de canon demande quels arrangements carrés plats de boulets de canon peuvent être empilés dans une pyramide carrée. Édouard Lucas a formulé le problème comme l' équation diophantienne ou et a conjecturé que les seules solutions sont et . Voici le nombre de couches dans l'arrangement d'empilement pyramidal et le nombre de boulets de canon le long d'un bord dans l'arrangement carré plat.

Positionnement et espacement

Dans les deux arrangements FCC et HCP, chaque sphère a douze voisins. Pour chaque sphère, il y a un espace entouré de six sphères ( octaédrique ) et deux espaces plus petits entourés de quatre sphères (tétraédrique). Les distances entre les centres de ces espaces et les centres des sphères environnantes sont 32 pour le tétraèdre, et 2 pour l'octaèdre, lorsque le rayon de la sphère est 1.

Par rapport à une couche de référence de positionnement A, deux autres positionnements B et C sont possibles. Chaque séquence de A, B et C sans répétition immédiate de la même est possible et donne un emballage également dense pour les sphères d'un rayon donné.

Les plus réguliers sont

  • FCC = ABC ABC ABC... (chaque troisième couche est la même)
  • HCP = AB AB AB AB... (toutes les autres couches sont identiques).

Il existe un nombre infiniment infini d'arrangements désordonnés de plans (par exemple ABCACBABABAC ...) qui sont parfois collectivement appelés « emballages de Barlow », d'après le cristallographe William Barlow

En compactage, l'espacement centre à centre des sphères dans le plan xy est un simple pavage en nid d'abeille avec un pas (distance entre les centres des sphères) d'un diamètre de sphère. La distance entre les centres des sphères, projetée sur l' axe z (vertical), est :

d est le diamètre d'une sphère ; cela résulte de l'arrangement tétraédrique des sphères compactes.

Le nombre de coordination de HCP et FCC est de 12 et leurs facteurs d'emballage atomique (APF) sont égaux au nombre mentionné ci-dessus, 0,74.

Comparaison entre HCP et FCC
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Figure 1 – Le réseau HCP (à gauche) et le réseau FCC (à droite). Le contour de chaque réseau de Bravais respectif est représenté en rouge. Les lettres indiquent quelles couches sont identiques. Il y a deux couches "A" dans la matrice HCP, où toutes les sphères sont dans la même position. Les trois couches de la pile FCC sont différentes. Notez que l'empilement FCC peut être converti en empilement HCP par translation de la sphère la plus haute, comme indiqué par le contour en pointillés.
Cellule unitaire hexagonale compacte.jpg Sphères compactes, avec éclairage parapluie et camera.jpg
Figure 2 - Montré ici est un empilement de onze sphères du réseau HCP illustré à la figure 1 . La pile HCP ne diffère des 3 niveaux supérieurs de la pile FCC illustrés à la figure 3 que par le niveau le plus bas ; il peut être modifié en FCC par une rotation ou une translation appropriée. Figure 3Thomas Harriot , vers 1585, a d'abord réfléchi aux mathématiques de l' arrangement des boulets de canon ou de la pile de boulets de canon, qui a un réseau FCC . Notez comment les boules adjacentes le long de chaque bord du tétraèdre régulier entourant la pile sont toutes en contact direct les unes avec les autres. Cela ne se produit pas dans un réseau HCP, comme le montre la figure 2 .

Génération de treillis

Lors de la formation d'un réseau de remplissage de sphères, le premier fait à noter est que chaque fois que deux sphères se touchent, une ligne droite peut être tracée du centre d'une sphère au centre de l'autre coupant le point de contact. La distance entre les centres le long du chemin le plus court à savoir cette droite sera donc r 1  +  r 2r 1 est le rayon de la première sphère et r 2 est le rayon de la seconde. En compactage serré, toutes les sphères partagent un rayon commun, r . Donc deux centres auraient simplement une distance 2 r .

Réseau HCP simple

Une animation de génération de treillis compact. Remarque : Si une troisième couche (non illustrée) se trouve directement sur la première couche, le treillis HCP est construit. Si la troisième couche est placée sur les trous de la première couche, le réseau FCC est créé.

Pour former un emballage étroit ABAB-... hexagonal de sphères, les points de coordonnées du réseau seront les centres des sphères. Supposons que le but soit de remplir une boîte avec des sphères selon HCP. La boîte serait placée sur l' espace de coordonnées x - y - z .

Formez d'abord une rangée de sphères. Les centres se trouveront tous sur une ligne droite. Leur coordonnée x variera de 2 r puisque la distance entre chaque centre des sphères qui se touchent est de 2 r . La coordonnée y et la coordonnée z seront les mêmes. Pour simplifier, disons que les boules sont la première rangée et que leurs coordonnées y et z sont simplement r , de sorte que leurs surfaces reposent sur les plans zéro. Les coordonnées des centres de la première rangée ressembleront à (2 rrr ), (4 rrr ), (6 r  , rr ), (8 r  , rr ), ... .

Maintenant, formez la prochaine rangée de sphères. Encore une fois, les centres se trouveront tous sur une ligne droite avec des différences de coordonnées x de 2 r , mais il y aura un décalage de distance r dans la direction x de sorte que le centre de chaque sphère de cette rangée s'aligne avec la coordonnée x d'où deux sphères se touchent dans la première rangée. Cela permet aux sphères de la nouvelle rangée de se rapprocher de la première rangée jusqu'à ce que toutes les sphères de la nouvelle rangée touchent deux sphères de la première rangée. Puisque les nouvelles sphères touchent deux sphères, leurs centres forment un triangle équilatéral avec les centres de ces deux voisins. Les longueurs des côtés sont toutes de 2 r , donc la différence de hauteur ou de coordonnées y entre les rangées est 3 r . Ainsi, cette ligne aura des coordonnées comme ceci :

La première sphère de cette rangée ne touche qu'une seule sphère de la rangée d'origine, mais son emplacement suit celui du reste de la rangée.

La ligne suivante suit ce schéma de déplacement de la x -Coordonner par r et y -Coordonner par 3 . Ajoutez des lignes jusqu'à atteindre les bordures maximales x et y de la boîte.

Dans un modèle d'empilement ABAB-..., les plans de sphères impairs auront exactement les mêmes coordonnées, à l'exception d'une différence de hauteur dans les coordonnées z et les plans de sphères pairs partageront les mêmes coordonnées x et y . Les deux types d'avions sont formés à l'aide du motif mentionné ci-dessus, mais le point de départ de la première sphère de la première rangée sera différent.

En utilisant le plan décrit précisément ci-dessus comme le plan #1, le plan A, placez une sphère au-dessus de ce plan de manière à ce qu'elle touche trois sphères dans le plan A. Les trois sphères se touchent déjà toutes, formant un triangle équilatéral, et comme elles touchent toutes la nouvelle sphère, les quatre centres forment un tétraèdre régulier . Tous les côtés sont égaux à 2 r car tous les côtés sont formés par deux sphères qui se touchent. La hauteur de laquelle ou la différence de coordonnées z entre les deux "plans" est6 r 2/3. Ceci, combiné avec les décalages dans les coordonnées x et y donne les centres de la première rangée dans le plan B :

Les coordonnées de la deuxième rangée suivent le modèle décrit ci-dessus et sont :

La différence avec l'avion suivant, l'avion A, est encore 6 r 2/3dans la direction z et un décalage dans les x et y pour correspondre à ces coordonnées x et y du premier plan A.

En général, les coordonnées des centres des sphères peuvent s'écrire :

i , j et k sont des indices commençant à 0 pour les coordonnées x , y et z .

Indices de Miller

Indice de Miller-Bravais pour le réseau HCP

Les caractéristiques cristallographiques des systèmes HCP, telles que les vecteurs et les familles de plans atomiques, peuvent être décrites à l'aide d'une notation d' indice de Miller à quatre valeurs ( hkil ) dans laquelle le troisième indice i désigne un composant commode mais dégénéré qui est égal à − h  −  k . Les directions d'indice h , i et k sont séparées de 120°, et ne sont donc pas orthogonales ; la composante l est mutuellement perpendiculaire aux directions d'indice h , i et k .

Remplir l'espace restant

Les emballages FCC et HCP sont les emballages connus les plus denses de sphères égales avec la symétrie la plus élevée (plus petites unités de répétition). Des tassements de sphères plus denses sont connus, mais ils impliquent des tassements de sphères inégaux . Une densité d'emballage de 1, remplissant complètement l'espace, nécessite des formes non sphériques, telles que des nids d' abeilles .

Le remplacement de chaque point de contact entre deux sphères par un bord reliant les centres des sphères en contact produit des tétraèdres et des octaèdres de longueurs de bord égales. L'arrangement FCC produit le nid d'abeille tétraédrique-octaédrique . L'arrangement HCP produit le nid d'abeille tétraédrique-octaédrique giratoire . Si, au contraire, chaque sphère est augmentée avec les points dans l'espace qui sont plus proches d'elle que de toute autre sphère, les duels de ces nids d'abeilles sont produits : le nid d' abeilles rhombique dodécaédrique pour FCC, et le nid d' abeilles dodécaédrique trapézo-rhombique pour HCP.

Des bulles sphériques apparaissent dans l'eau savonneuse dans un arrangement FCC ou HCP lorsque l'eau dans les espaces entre les bulles s'écoule. Ce motif se rapproche également du nid d'abeilles dodécaédrique rhombique ou du nid d'abeilles dodécaédrique trapézo-rhombique . Cependant, de telles mousses FCC ou HCP à très faible teneur en liquide sont instables, car elles ne satisfont pas aux lois de Plateau . La mousse Kelvin et la mousse Weaire-Phelan sont plus stables, ayant une énergie interfaciale plus faible dans la limite d'une très faible teneur en liquide.

Voir également

Remarques

Liens externes