Équation cubique - Cubic equation

Graphique d'une fonction cubique avec 3 racines réelles (où la courbe croise l'axe horizontal à y = 0 ). Le cas présenté présente deux points critiques . Ici, la fonction est f ( x ) = ( x 3 + 3 x 2 − 6 x − 8)/4 .

En algèbre , une équation cubique à une variable est une équation de la forme

dans laquelle a est non nul.

Les solutions de cette équation sont appelées racines de la fonction cubique définie par le membre de gauche de l'équation. Si tous les coefficients a , b , c et d de l'équation cubique sont des nombres réels , alors elle a au moins une racine réelle (cela est vrai pour toutes les fonctions polynomiales de degré impair ). Toutes les racines de l'équation cubique peuvent être trouvées par les moyens suivants:

Les coefficients n'ont pas besoin d'être des nombres réels. Une grande partie de ce qui est couvert ci-dessous est valable pour les coefficients dans n'importe quel domaine avec une caractéristique autre que 2 et 3. Les solutions de l'équation cubique n'appartiennent pas nécessairement au même domaine que les coefficients. Par exemple, certaines équations cubiques avec des coefficients rationnels ont des racines qui sont des nombres complexes irrationnels (et même non réels) .

Histoire

Les équations cubiques étaient connues des anciens Babyloniens, Grecs, Chinois, Indiens et Égyptiens. Des tablettes cunéiformes babyloniennes (20e au 16e siècles avant JC) ont été trouvées avec des tables pour calculer les cubes et les racines cubiques. Les Babyloniens auraient pu utiliser les tables pour résoudre des équations cubiques, mais aucune preuve n'existe pour confirmer qu'ils l'ont fait. Le problème du doublement du cube implique l'équation cubique étudiée la plus simple et la plus ancienne, et pour laquelle les anciens Égyptiens ne croyaient pas qu'une solution existait. Au 5ème siècle avant JC, Hippocrate a réduit ce problème à celui de trouver deux moyennes proportionnelles entre une ligne et une autre de deux fois sa longueur, mais n'a pas pu résoudre ce avec une construction de la boussole et straight , une tâche qui est maintenant connu pour être impossible. Des méthodes pour résoudre des équations cubiques apparaissent dans The Nine Chapters on the Mathematical Art , un texte mathématique chinois compilé vers le IIe siècle av. J.-C. et commenté par Liu Hui au IIIe siècle. Au 3ème siècle après JC, le mathématicien grec Diophante a trouvé des solutions entières ou rationnelles pour certaines équations cubiques bivariées ( équations diophantiennes ). On pense qu'Hippocrate, Menaechmus et Archimède ont presque résolu le problème du doublement du cube en utilisant des sections coniques qui se croisent , bien que des historiens tels que Reviel Netz se demandent si les Grecs pensaient à des équations cubiques ou simplement à des problèmes pouvant conduire à des équations cubiques. Certains autres comme TL Heath , qui a traduit tous les travaux d'Archimède, sont en désaccord, avançant la preuve qu'Archimède a vraiment résolu des équations cubiques en utilisant les intersections de deux coniques , mais a également discuté des conditions où les racines sont 0, 1 ou 2.

Graphique de la fonction cubique f ( x ) = 2 x 3  − 3 x 2  − 3 x  + 2 = ( x  + 1) (2 x  − 1) ( x  − 2)

Au 7ème siècle, le mathématicien astronome de la dynastie Tang Wang Xiaotong dans son traité mathématique intitulé Jigu Suanjing a systématiquement établi et résolu numériquement 25 équations cubiques de la forme x 3 + px 2 + qx = N , 23 d'entre elles avec p , q ≠ 0 , et deux d'entre eux avec q = 0 .

Au XIe siècle, le poète-mathématicien persan Omar Khayyam (1048-1131) fit des progrès significatifs dans la théorie des équations cubiques. Dans un premier article, il a découvert qu'une équation cubique peut avoir plus d'une solution et a déclaré qu'elle ne peut pas être résolue en utilisant des constructions de compas et de règle. Il a également trouvé une solution géométrique . Dans son ouvrage ultérieur, le Traité sur la démonstration des problèmes d'algèbre , il a écrit une classification complète des équations cubiques avec des solutions géométriques générales trouvées au moyen de sections coniques qui se croisent .

Au 12ème siècle, le mathématicien indien Bhaskara II a tenté la solution d'équations cubiques sans succès général. Cependant, il a donné un exemple d'équation cubique : x 3 + 12 x = 6 x 2 + 35 . Au 12ème siècle, un autre mathématicien persan , Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), a écrit le Al-Muʿādalāt ( Traité sur les équations ), qui traitait de huit types d'équations cubiques avec des solutions positives et cinq types d'équations cubiques qui peut ne pas avoir de solutions positives. Il a utilisé ce qui sera plus tard connu sous le nom de " méthode Ruffini - Horner " pour approximer numériquement la racine d'une équation cubique. Il a également utilisé les concepts de maxima et de minima de courbes afin de résoudre des équations cubiques qui peuvent ne pas avoir de solutions positives. Il a compris l'importance du discriminant de l'équation cubique pour trouver des solutions algébriques à certains types d'équations cubiques.

Dans son livre Flos , Léonard de Pise, également connu sous le nom de Fibonacci (1170-1250), a pu se rapprocher étroitement de la solution positive de l'équation cubique x 3 + 2 x 2 + 10 x = 20 . En écrivant en chiffres babyloniens, il a donné le résultat sous la forme 1,22,7,42,3,4,40 (équivalent à 1 + 22/60 + 7/60 2  + 42/60 3  + 33/60 4  + 4/60 5  + 40/60 6 ), qui a une erreur relative d'environ 10 −9 .

Au début du XVIe siècle, le mathématicien italien Scipione del Ferro (1465-1526) a trouvé une méthode pour résoudre une classe d'équations cubiques, à savoir celles de la forme x 3 + mx = n . En fait, toutes les équations cubiques peuvent être réduites à cette forme si l'on admet que m et n soient négatifs, mais les nombres négatifs ne lui étaient pas connus à cette époque. Del Ferro a gardé son exploit secret jusqu'à juste avant sa mort, lorsqu'il en a parlé à son élève Antonio Fior.

Niccolò Fontana Tartaglia

En 1530, Niccolò Tartaglia (1500-1557) reçut de Zuanne da Coi deux problèmes d'équations cubiques et annonça qu'il pouvait les résoudre. Il fut bientôt défié par Fior, ce qui déboucha sur un fameux concours entre les deux. Chaque concurrent devait mettre une certaine somme d'argent et proposer à son rival un certain nombre de problèmes à résoudre. Celui qui résoudrait plus de problèmes dans les 30 jours obtiendrait tout l'argent. Tartaglia a reçu des questions sous la forme x 3 + mx = n , pour lesquelles il avait élaboré une méthode générale. Fior a reçu des questions sous la forme x 3 + mx 2 = n , ce qui s'est avéré trop difficile à résoudre pour lui, et Tartaglia a remporté le concours.

Plus tard, Tartaglia a été persuadé par Gerolamo Cardano (1501-1576) de révéler son secret pour résoudre les équations cubiques. En 1539, Tartaglia ne le fit qu'à la condition que Cardano ne le révèle jamais et que s'il écrivait un livre sur les cubiques, il donnerait à Tartaglia le temps de le publier. Quelques années plus tard, Cardano a découvert les travaux antérieurs de del Ferro et a publié la méthode de del Ferro dans son livre Ars Magna en 1545, ce qui signifie que Cardano a donné à Tartaglia six ans pour publier ses résultats (avec crédit accordé à Tartaglia pour une solution indépendante). La promesse de Cardano à Tartaglia disait qu'il ne publierait pas le travail de Tartaglia, et Cardano sentit qu'il publiait celui de del Ferro, afin de contourner la promesse. Néanmoins, cela a conduit à un défi à Cardano de Tartaglia, ce que Cardano a nié. Le défi a finalement été accepté par l'étudiant de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari a fait mieux que Tartaglia dans la compétition, et Tartaglia a perdu à la fois son prestige et ses revenus.

Cardano a remarqué que la méthode de Tartaglia l'obligeait parfois à extraire la racine carrée d'un nombre négatif. Il a même inclus un calcul avec ces nombres complexes dans Ars Magna , mais il ne l'a pas vraiment compris. Rafael Bombelli a étudié cette question en détail et est donc souvent considéré comme le découvreur des nombres complexes.

François Viète (1540-1603) a indépendamment dérivé la solution trigonométrique du cube à trois racines réelles, et René Descartes (1596-1650) a étendu les travaux de Viète.

Factorisation

Si les coefficients d'une équation cubique sont des nombres rationnels , on peut obtenir une équation équivalente à coefficients entiers, en multipliant tous les coefficients par un multiple commun de leurs dénominateurs. Une telle équation

à coefficients entiers, est dit réductible si le polynôme du membre de gauche est le produit de polynômes de degrés inférieurs. Par le lemme de Gauss , si l'équation est réductible, on peut supposer que les facteurs ont des coefficients entiers.

Trouver les racines d'une équation cubique réductible est plus facile que de résoudre le cas général. En effet, si l'équation est réductible, l'un des facteurs doit avoir le degré un, et donc avoir la forme

avec q et p étant des nombres entiers premiers entre eux . Le test de racine rationnelle permet de trouver q et p en examinant un nombre fini de cas (car q doit être un diviseur de a , et p doit être un diviseur de d ).

Ainsi, une racine est et les autres racines sont les racines de l'autre facteur, que l'on peut trouver par division polynomiale longue . Cet autre facteur est

(Les coefficients ne semblent pas être des entiers, mais doivent être des entiers si p / q est une racine.)

Ensuite, les autres racines sont les racines de ce polynôme quadratique et peuvent être trouvées en utilisant la formule quadratique .

Cube déprimé

Cubes de la forme

sont dits dépressifs. Elles sont beaucoup plus simples que les cubiques générales, mais elles sont fondamentales, car l'étude de n'importe quelle cubique peut être réduite par un simple changement de variable à celle d'une cubique déprimée.

Laisser

être une équation cubique. Le changement de variable

donne une cubique (en t ) qui n'a pas de terme en t 2 .

Après avoir divisé par un, on obtient l' équation cubique déprimée

avec

Les racines de l'équation originale sont liées aux racines de l'équation déprimée par les relations

pour .

Discriminant et nature des racines

La nature (réelle ou non, distincte ou non) des racines d'une cubique peut être déterminée sans les calculer explicitement, en utilisant le discriminant .

Discriminant

Le discriminant d'un polynôme est une fonction de ses coefficients qui est nul si et seulement si le polynôme a une racine multiple , ou, s'il est divisible par le carré d'un polynôme non constant. En d'autres termes, le discriminant est non nul si et seulement si le polynôme est sans carré .

Si r 1 , r 2 , r 3 sont les trois racines (pas nécessairement distinctes ni réelles ) de la cubique alors le discriminant est

Le discriminant de la cubique déprimée est

Le discriminant de la cubique générale est

C'est le produit et le discriminant de la cubique déprimée correspondante. En utilisant la formule reliant la cubique générale et la cubique déprimée associée, cela implique que le discriminant de la cubique générale peut s'écrire sous la forme

Il s'ensuit que l'un de ces deux discriminants est nul si et seulement si l'autre est également nul, et, si les coefficients sont réels , les deux discriminants ont le même signe. En résumé, la même information peut être déduite de l'un ou l'autre de ces deux discriminants.

Pour prouver les formules précédentes, on peut utiliser les formules de Vieta pour tout exprimer sous forme de polynômes dans r 1 , r 2 , r 3 et a . La preuve aboutit alors à la vérification de l'égalité de deux polynômes.

Nature des racines

Si les coefficients d'un polynôme sont des nombres réels et que son discriminant n'est pas nul, il y a deux cas :

  • Si la cubique a trois racines réelles distinctes
  • Si la cubique a une racine réelle et deux racines conjuguées complexes non réelles .

Ceci peut être prouvé comme suit. Premièrement, si r est une racine d'un polynôme à coefficients réels, alors son conjugué complexe est aussi une racine. Ainsi, les racines non réelles, le cas échéant, apparaissent sous forme de paires de racines conjuguées complexes. Comme un polynôme cubique a trois racines (pas nécessairement distinctes) par le théorème fondamental de l'algèbre , au moins une racine doit être réelle.

Comme indiqué ci-dessus, si r 1 , r 2 , r 3 sont les trois racines de la cubique , alors le discriminant est

Si les trois racines sont réelles et distinctes, le discriminant est un produit de réels positifs, c'est-à-dire

Si une seule racine, disons r 1 , est réelle, alors r 2 et r 3 sont des conjugués complexes, ce qui implique que r 2 - r 3 est un nombre purement imaginaire , et donc que ( r 2 - r 3 ) 2 est réel et négatif. D'autre part, r 1r 2 et r 1r 3 sont des conjugués complexes, et leur produit est réel et positif. Ainsi le discriminant est le produit d'un seul nombre négatif et de plusieurs nombres positifs. C'est-à-dire

Racine multiple

Si le discriminant d'un cube est nul, le cube a une racine multiple . Si de plus ses coefficients sont réels, alors toutes ses racines sont réelles.

Le discriminant de la cubique déprimée est zéro si Si p est également nul, alors p = q = 0 , et 0 est une racine triple de la cubique. Si et p 0 , alors la cubique a une racine simple

et une racine double

En d'autres termes,

Ce résultat peut être prouvé en développant ce dernier produit ou récupéré en résolvant le système d'équations assez simple résultant des formules de Vieta .

En utilisant la réduction d'une cubique déprimée , ces résultats peuvent être étendus à la cubique générale. Cela donne : Si le discriminant de la cubique est nul, alors

  • soit, si la cubique a une racine triple
et
  • ou, si la cubique a une racine double
et une racine simple,
Et ainsi

Caractéristique 2 et 3

Les résultats ci-dessus sont valables lorsque les coefficients appartiennent à un domaine de caractéristique autre que 2 ou 3, mais doivent être modifiés pour la caractéristique 2 ou 3, en raison des divisions impliquées par 2 et 3.

La réduction à une cubique déprimée fonctionne pour la caractéristique 2, mais pas pour la caractéristique 3. Cependant, dans les deux cas, il est plus simple d'établir et d'énoncer les résultats pour la cubique générale. L'outil principal pour cela est le fait qu'une racine multiple est une racine commune du polynôme et de sa dérivée formelle . Dans ces caractéristiques, si la dérivée n'est pas une constante, elle a une racine unique, linéaire en caractéristique 3, ou le carré d'un polynôme linéaire en caractéristique 2. Cela permet de calculer la racine multiple, et la troisième racine peut être déduite de la somme des racines, qui est fournie par les formules de Vieta .

Une différence avec d'autres caractéristiques est que, dans la caractéristique 2, la formule d'une racine double implique une racine carrée et, dans la caractéristique 3, la formule d'une racine triple implique une racine cubique.

La formule de Cardano

Gerolamo Cardano est crédité de la publication de la première formule pour résoudre les équations cubiques, l'attribuant à Scipione del Ferro . La formule s'applique aux cubiques déprimés, mais, comme indiqué au § Cube déprimé , elle permet de résoudre toutes les équations cubiques.

Le résultat de Cardano est que, si

est une équation cubique telle que p et q sont des nombres réels tels qu'alors l'équation a la racine réelle

Voir § Dérivation des racines , ci-dessous, pour plusieurs méthodes permettant d'obtenir ce résultat.

Comme indiqué dans § Nature des racines , les deux autres racines sont des nombres complexes conjugués non réels, dans ce cas. Il a été montré plus tard (Cardano ne connaissait pas les nombres complexes ) que les deux autres racines sont obtenues en multipliant l'une des racines cubiques par la racine cubique primitive de l'unité et l'autre racine cubique par

S'il y a trois racines réelles, mais la théorie de Galois permet de prouver que, s'il n'y a pas de racine rationnelle, les racines ne peuvent pas être exprimées par une expression algébrique ne faisant intervenir que des nombres réels. Par conséquent, l'équation ne peut pas être résolue dans ce cas avec la connaissance du temps de Cardano. Ce cas a donc été appelé casus irreducibilis , ce qui signifie cas irréductible en latin.

In casus irreducibilis , la formule de Cardano peut toujours être utilisée, mais une certaine prudence est nécessaire dans l'utilisation des racines cubiques. Une première méthode consiste à définir les symboles et comme représentant les valeurs principales de la fonction racine (c'est-à-dire la racine qui a la plus grande partie réelle). Avec cette convention, la formule de Cardano pour les trois racines reste valable, mais n'est pas purement algébrique, car la définition d'une partie principale n'est pas purement algébrique, puisqu'elle implique des inégalités pour comparer des parties réelles. De plus, l'utilisation de la racine cubique principale peut donner un résultat erroné si les coefficients sont des nombres complexes non réels. De plus, si les coefficients appartiennent à un autre domaine , la racine cubique principale n'est pas définie en général.

La deuxième façon de rendre la formule de Cardano toujours correcte est de remarquer que le produit des deux racines cubiques doit être p / 3 . Il en résulte qu'une racine de l'équation est

Dans cette formule, les symboles et désignent toute racine carrée et toute racine cubique. Les autres racines de l'équation sont obtenues soit en changeant de racine cubique, soit, de manière équivalente, en multipliant la racine cubique par une racine cubique primitive de l'unité, c'est-à-dire

Cette formule pour les racines est toujours correcte sauf lorsque p = q = 0 , à condition que si p = 0 , la racine carrée soit choisie telle que C 0 . Cependant, la formule est inutile dans ces cas car les racines peuvent être exprimées sans racine cubique. De même, la formule est également inutile dans les autres cas où aucune racine cubique n'est nécessaire, c'est-à-dire quand et quand le polynôme cubique n'est pas irréductible .

Cette formule est également correcte lorsque p et q appartiennent à un domaine de caractéristique autre que 2 ou 3.

Formule cubique générale

Une formule cubique pour les racines de l'équation cubique générale (avec a 0 )

peut être déduit de chaque variante de la formule de Cardano par réduction à un cube déprimé . La variante qui est présentée ici est valable non seulement pour des coefficients réels, mais aussi pour des coefficients a , b , c , d appartenant à tout domaine de caractéristique différente de 2 et 3.

La formule étant assez compliquée, cela vaut la peine de la diviser en formules plus petites.

Laisser

(Les deux et peuvent être exprimés comme les résultantes de la cubique et de ses dérivées : est-1/8afois la résultante de la cubique et de sa dérivée seconde, et est-1/12a fois la résultante des dérivées première et seconde du polynôme cubique.)

Puis

où les symboles et sont interprétés comme n'importe quelle racine carrée et n'importe quelle racine cubique, respectivement. Le signe " ± " avant la racine carrée est soit " + " soit " " ; le choix est presque arbitraire, et le changer revient à choisir une racine carrée différente. Cependant, si un choix donne C = 0 , c'est-à-dire si alors l'autre signe doit être sélectionné à la place. Si les deux choix donnent C = 0 , c'est-à-dire si une fraction0/0apparaît dans les formules suivantes, qui doivent être interprétées comme égales à zéro (voir la fin de cette section). Ensuite, l'une des racines est

Les deux autres racines peuvent être obtenues en changeant le choix de la racine cubique dans la définition de C , ou, de manière équivalente en multipliant C par une racine cubique primitive de l'unité , c'est-à-dire-1 ± -3/2. En d'autres termes, les trois racines sont

ξ =–1 + –3/2.

Comme pour le cas particulier d'un cubique déprimé, cette formule s'applique mais est inutile lorsque les racines peuvent être exprimées sans racines cubiques. En particulier, si la formule donne que les trois racines sont égales ce qui signifie que le polynôme cubique peut être factorisé comme Un calcul simple permet de vérifier que l'existence de cette factorisation est équivalente à

Solutions trigonométriques et hyperboliques

Solution trigonométrique pour trois racines réelles

Lorsqu'une équation cubique à coefficients réels a trois racines réelles, les formules exprimant ces racines en termes de radicaux impliquent des nombres complexes. La théorie de Galois permet de prouver que lorsque les trois racines sont réelles et qu'aucune n'est rationnelle ( casus irreducibilis ), on ne peut pas exprimer les racines en termes de radicaux réels. Néanmoins, des expressions purement réelles des solutions peuvent être obtenues à l'aide de fonctions trigonométriques , notamment en termes de cosinus et arccosinus . Plus précisément, les racines du cube déprimé

sommes

Cette formule est due à François Viète . Elle est purement réelle lorsque l'équation a trois racines réelles (c'est-à-dire ). Sinon, cela reste correct mais implique des cosinus et arccosinus complexes lorsqu'il n'y a qu'une seule racine réelle, et c'est un non-sens (division par zéro) lorsque p = 0 .

Cette formule peut être directement transformée en une formule pour les racines d'une équation cubique générale, en utilisant la rétro-substitution décrite dans § Cubique déprimée . On peut le prouver comme suit :

En partant de l'équation t 3 + pt + q = 0 , posons t = u cos  θ . L'idée est de choisir u pour faire coïncider l'équation avec l'identité  

Pour cela, choisissez et divisez l'équation par Cela donne

En combinant avec l'identité ci-dessus, on obtient

et les racines sont ainsi

Solution hyperbolique pour une vraie racine

Lorsqu'il n'y a qu'une seule racine réelle (et p 0 ), cette racine peut être représentée de la même manière en utilisant des fonctions hyperboliques , comme

Si p 0 et les inégalités de droite ne sont pas satisfaites (cas de trois racines réelles), les formules restent valables mais font intervenir des quantités complexes.

Lorsque p = ±3 , les valeurs ci-dessus de t 0 sont parfois appelées racine cubique de Chebyshev. Plus précisément, les valeurs impliquant des cosinus et des cosinus hyperboliques définissent, lorsque p = −3 , la même fonction analytique notée C 1/3 ( q ) , qui est la propre racine cubique de Chebyshev. La valeur impliquant des sinus hyperboliques est également notée S 1/3 ( q ) , lorsque p = 3 .

Solutions géométriques

La solution d'Omar Khayyam

La solution géométrique d'Omar Khayyám d'une équation cubique, pour le cas m = 2 , n = 16 , donnant la racine 2 . L'intersection de la ligne verticale sur l' axe des x au centre du cercle est le hasard de l'exemple illustré.

Pour résoudre l'équation cubique x 3 + m 2 x = nn > 0 , Omar Khayyám a construit la parabole y = x 2 / m , le cercle qui a pour diamètre le segment de droite [0, n / m 2 ] sur le l' axe des x positif et une ligne verticale passant par le point d'intersection du cercle et de la parabole au-dessus de l' axe des x . La solution est donnée par la longueur du segment de ligne horizontale de l'origine à l'intersection de la ligne verticale et de l' axe des x (voir la figure).

Une preuve moderne simple est la suivante. Multiplier l'équation par x / m 2 et regrouper les termes donne

Le membre de gauche est la valeur de y 2 sur la parabole. L'équation du cercle étant y 2 + x ( xm/m 2) = 0 , le côté droit est la valeur de y 2 sur le cercle.

Solution avec trisecteur d'angle

Une équation cubique à coefficients réels peut être résolue géométriquement à l'aide d'une boussole, d'une règle et d'un trisecteur d'angle si et seulement si elle a trois racines réelles.

Une équation cubique peut être résolue par construction compas et règle (sans trisecteur) si et seulement si elle a une racine rationnelle . Cela implique que les vieux problèmes de trisection d'angle et de doublement du cube , posés par les anciens mathématiciens grecs , ne peuvent pas être résolus par une construction à compas et à bords droits.

Interprétation géométrique des racines

Trois vraies racines

Pour le cube ( 1 ) à trois racines réelles, les racines sont la projection sur l' axe des x des sommets A , B et C d'un triangle équilatéral . Le centre du triangle a la même coordonnée x que le point d'inflexion .

L'expression trigonométrique des racines par Viète dans le cas des trois racines réelles se prête à une interprétation géométrique en termes de cercle. Lorsque la cubique est écrite sous forme déprimée ( 2 ) , t 3 + pt + q = 0 , comme indiqué ci-dessus, la solution peut être exprimée sous la forme

Voici un angle dans le cercle unité; prise1/3de cet angle correspond à prendre une racine cubique d'un nombre complexe ; en ajoutant k2 π/3pour k = 1, 2 trouve les autres racines cubiques ; et multiplier les cosinus de ces angles résultants par des corrections d'échelle.

Pour le cas non déprimé ( 1 ) (représenté dans le graphique ci-joint), le cas déprimé comme indiqué précédemment est obtenu en définissant t tel que x = tb/3 undonc t = x +b/3 un. Graphiquement, cela correspond à simplement déplacer le graphique horizontalement lors du changement entre les variables t et x , sans changer les relations d'angle. Ce décalage déplace le point d'inflexion et le centre du cercle sur l' axe des y . Par conséquent, les racines de l'équation en t sont égales à zéro.

Une vraie racine

Dans le plan cartésien

La pente de la droite RA est le double de celle de RH. En désignant les racines complexes du cube comme g ± salut , g = OM (négatif ici) et h = tan ORH = pente de la ligne RH = BE = DA .

Lorsque le graphe d'une fonction cubique est tracée dans le plan cartésien , s'il n'y a qu'une seule racine réelle, il est l' abscisse ( x -Coordonner) de l'ordonnée à l' horizontale de la courbe (point R de la figure). En outre, si les racines complexes conjuguées sont écrites en tant que g ± salut , la partie réelle g est l'abscisse du point de tangence H de la ligne tangente à la cubique qui passe à travers x ordonnée à l' origine R de la cubique (qui est la RM de longueur signé , négatif sur la figure). Les parties imaginaires ±h sont les racines carrées de la tangente de l'angle entre cette tangente et l'axe horizontal.

Dans le plan complexe

Avec une racine réelle et deux racines complexes, les trois racines peuvent être représentées comme des points dans le plan complexe, tout comme les deux racines de la dérivée du cube. Il existe une relation géométrique intéressante entre toutes ces racines.

Les points du plan complexe représentant les trois racines servent de sommets à un triangle isocèle. (Le triangle est isocèle parce qu'une racine est sur l'axe horizontal (réel) et les deux autres racines, étant des conjugués complexes, apparaissent symétriquement au-dessus et au-dessous de l'axe réel.) Le théorème de Marden dit que les points représentant les racines de la dérivée de la cubiques sont les foyers de l' ellipse Steiner du triangle - l'ellipse unique qui est tangente au triangle au milieu de ses côtés. Si l'angle au sommet sur l'axe réel est inférieur à??/3alors le grand axe de l'ellipse se trouve sur l'axe réel, de même que ses foyers et donc les racines de la dérivée. Si cet angle est supérieur à??/3, le grand axe est vertical et ses foyers, les racines de la dérivée, sont des conjugués complexes. Et si cet angle est??/3, le triangle est équilatéral, l'ellipse de Steiner est simplement le cercle inscrit du triangle, ses foyers coïncident les uns avec les autres au centre, qui se trouve sur l'axe réel, et donc la dérivée a des racines réelles en double.

Groupe Galois

Étant donné un polynôme cubique irréductible sur un corps k de caractéristique différente de 2 et 3, le groupe de Galois sur k est le groupe des automorphismes de corps qui fixent k de la plus petite extension de k ( spliting field ). Comme ces automorphismes doivent permuter les racines des polynômes, ce groupe est soit le groupe S 3 des six permutations des trois racines, soit le groupe A 3 des trois permutations circulaires.

Le discriminant Δ de la cubique est le carré de

a est le coefficient dominant de la cubique, et r 1 , r 2 et r 3 sont les trois racines de la cubique. Comme changements de signe si deux racines sont échangées, n'est fixé par le groupe de Galois que si le groupe de Galois est A 3 . Autrement dit, le groupe de Galois est A 3 si et seulement si le discriminant est le carré d'un élément de k .

Comme la plupart des entiers ne sont pas des carrés, en travaillant sur le corps Q des nombres rationnels , le groupe de Galois des polynômes cubiques les plus irréductibles est le groupe S 3 à six éléments. Un exemple de groupe de Galois A 3 à trois éléments est donné par p ( x ) = x 3 − 3 x − 1 , dont le discriminant est 81 = 9 2 .

Dérivation des racines

Cette section regroupe plusieurs méthodes pour dériver la formule de Cardano .

La méthode de Cardano

Cette méthode est due à Scipione del Ferro et Tartaglia , mais porte le nom de Gerolamo Cardano qui l'a publiée pour la première fois dans son livre Ars Magna (1545).

Cette méthode s'applique à un cube déprimé t 3 + pt + q = 0 . L'idée est d'introduire deux variables u et v telles que u + v = t et de les substituer dans la cubique déprimée, donnant

À ce stade, Cardano a imposé la condition 3 uv + p = 0 . Cela supprime le troisième terme dans l'égalité précédente, conduisant au système d'équations

Connaissant la somme et le produit de u 3 et v 3 , on en déduit que ce sont les deux solutions de l' équation quadratique

donc

Le discriminant de cette équation est , et en supposant qu'il soit positif, les solutions réelles de cette équation sont (après division par 4 sous la racine carrée) :

Donc (sans perte de généralité en choisissant u ou v) :

Comme u + v = t , la somme des racines cubiques de ces solutions est une racine de l'équation. C'est-à-dire

est une racine de l'équation; c'est la formule de Cardano.

Cela fonctionne bien quand mais, si la racine carrée apparaissant dans la formule n'est pas réelle. Comme un nombre complexe a trois racines cubiques, l'utilisation sans précaution de la formule de Cardano fournirait neuf racines, tandis qu'une équation cubique ne peut pas avoir plus de trois racines. Cela a d'abord été clarifié par Rafael Bombelli dans son livre L'Algèbre (1572). La solution est d'utiliser le fait que uv =p/3, c'est v =p/3 heures. Cela signifie qu'une seule racine cubique doit être calculée, et conduit à la deuxième formule donnée dans § la formule de Cardano .

Les autres racines de l'équation peuvent être obtenues en changeant de racine cubique, ou, de manière équivalente, en multipliant la racine cubique par chacune des deux racines cubiques primitives de l'unité , qui sont

Le remplacement de Vieta

La substitution de Vieta est une méthode introduite par François Viète (Vieta est son nom latin) dans un texte publié à titre posthume en 1615, qui fournit directement la deuxième formule de la méthode de § Cardano , et évite le problème du calcul de deux racines cubiques différentes.

En partant de la cubique déprimée t 3 + pt + q = 0 , la substitution de Vieta est t = wp/3 semaines.

La substitution t = wp/3 semaines transforme le cube déprimé en

En multipliant par w 3 , on obtient une équation quadratique en w 3 :

Laisser

être une racine non nulle de cette équation quadratique. Si w 1 , w 2 et w 3 sont les trois racines cubiques de W , alors les racines du cube déprimé original sont w 1p/3 semaines 1, w 2 -p/3 semaines 2, et w 3p/3 semaines 3. L'autre racine de l'équation quadratique est Cela implique que changer le signe de la racine carrée échange w i et p/3 w jepour i = 1, 2, 3 , et ne change donc pas les racines. Cette méthode échoue uniquement lorsque les deux racines de l'équation quadratique sont nulles, c'est-à-dire lorsque p = q = 0 , auquel cas la seule racine de la cubique déprimée est 0 .

La méthode de Lagrange

Dans son article Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Réflexions sur la résolution algébrique des équations"), Joseph Louis Lagrange a introduit une nouvelle méthode pour résoudre des équations de faible degré de manière uniforme, avec l'espoir de pouvoir la généraliser degrés. Cette méthode fonctionne bien pour les équations cubiques et quartiques , mais Lagrange n'a pas réussi à l'appliquer à une équation quintique , car elle nécessite de résoudre un polynôme résolvant de degré au moins six. Sauf que personne n'a réussi auparavant à résoudre le problème, c'était la première indication de l'inexistence d'une formule algébrique pour les degrés 5 et plus ; cela a été prouvé plus tard comme le théorème d'Abel-Ruffini . Néanmoins, les méthodes modernes de résolution d'équations quintiques résolvables sont principalement basées sur la méthode de Lagrange.

Dans le cas des équations cubiques, la méthode de Lagrange donne la même solution que celle de Cardano. La méthode de Lagrange peut être appliquée directement à l'équation cubique générale ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 , mais le calcul est plus simple avec l'équation cubique déprimée, t 3 + pt + q = 0 .

L'idée principale de Lagrange était de travailler avec la transformée de Fourier discrète des racines plutôt qu'avec les racines elles-mêmes. Plus précisément, soit ξ une racine tierce primitive de l'unité , c'est-à-dire un nombre tel que ξ 3 = 1 et ξ 2 + ξ + 1 = 0 (en travaillant dans l'espace des nombres complexes , on a mais cette interprétation complexe n'est pas utilisé ici). En notant x 0 , x 1 et x 2 les trois racines de l'équation cubique à résoudre, soit

être la transformée de Fourier discrète des racines. Si s 0 , s 1 et s 2 sont connus, les racines peuvent en être récupérées avec la transformée de Fourier inverse consistant à inverser cette transformation linéaire ; C'est,

Par les formules de Vieta , s 0 est connu pour être nul dans le cas d'une cubique déprimée, et b/unepour le cube général. Ainsi, seuls s 1 et s 2 doivent être calculés. Ce ne sont pas des fonctions symétriques des racines (l'échange de x 1 et x 2 échange également s 1 et s 2 ), mais certaines fonctions symétriques simples de s 1 et s 2 sont également symétriques dans les racines de l'équation cubique à résoudre. Ainsi , ces fonctions symétriques peuvent être exprimées en termes de (connus) coefficients du cube d' origine, ce qui permet éventuellement exprimer le s i comme les racines d'un polynôme avec des coefficients connus. Cela fonctionne bien pour tous les degrés, mais, en degrés supérieur à quatre, le polynôme résultant qui a la s i comme racines a un degré supérieur à celui du polynôme initial, et est donc inutile pour la résolution. C'est la raison pour laquelle la méthode de Lagrange échoue dans les degrés cinq et plus.

Dans le cas d'une équation cubique, et sont de tels polynômes symétriques (voir ci-dessous). Il s'ensuit que et sont les deux racines de l'équation quadratique Ainsi la résolution de l'équation peut être terminée exactement comme avec la méthode de Cardano, avec et à la place de u et v .

Dans le cas de la cubique déprimée, on a et tandis que dans la méthode de Cardano on a posé et Ainsi, à l'échange de u et v , on a et En d'autres termes, dans ce cas, la méthode de Cardano et la méthode de Lagrange calculent exactement le même choses, jusqu'à un facteur de trois dans les variables auxiliaires, la principale différence étant que la méthode de Lagrange explique pourquoi ces variables auxiliaires apparaissent dans le problème.

Calcul de S et P

Un calcul simple utilisant les relations ξ 3 = 1 et ξ 2 + ξ + 1 = 0 donne

Cela montre que P et S sont des fonctions symétriques des racines. En utilisant les identités de Newton , il est simple de les exprimer en termes de fonctions symétriques élémentaires des racines, donnant

avec e 1 = 0 , e 2 = p et e 3 = − q dans le cas d'une cubique déprimée, et e 1 = −b/une, e 2 =c/uneet e 3 = −/une, dans le cas général.

Applications

Les équations cubiques surviennent dans divers autres contextes.

En mathématiques

Dans d'autres sciences

Remarques

Les références

  • Guilbeau, Lucye (1930), "The History of the Solution of the Cubic Equation", Mathematics News Letter , 5 (4) : 8–12, doi : 10.2307/3027812 , JSTOR  3027812

Lectures complémentaires

Liens externes