Fonction cubique - Cubic function

Graphique d'une fonction cubique avec 3 racines réelles (où la courbe croise l'axe horizontal - où y = 0 ). Le cas présenté présente deux points critiques . Ici, la fonction est f ( x ) = ( x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8) / 4 .

En mathématiques , une fonction cubique est une fonction de la forme

où les coefficients a , b , c et d sont des nombres réels , et la variable x prend des valeurs réelles et a ≠ 0 . En d'autres termes, c'est à la fois une fonction polynomiale de degré trois et une fonction réelle . En particulier, le domaine et le codomaine sont l'ensemble des nombres réels.

Mettre f ( x ) = 0 produit une équation cubique de la forme

dont les solutions sont appelées racines de la fonction.

Une fonction cubique a une ou trois racines réelles (qui peuvent ne pas être distinctes); tous les polynômes de degré impair ont au moins une racine réelle.

Le graphe d'une fonction cubique a toujours un seul point d'inflexion . Il peut avoir deux points critiques , un minimum local et un maximum local. Sinon, une fonction cubique est monotone . Le graphe d'une fonction cubique est symétrique par rapport à son point d'inflexion; c'est-à-dire qu'il est invariant sous une rotation d'un demi-tour autour de ce point. Jusqu'à une transformation affine , il n'y a que trois graphiques possibles pour les fonctions cubiques.

Les fonctions cubiques sont fondamentales pour l' interpolation cubique .

Histoire

Points critiques et d'inflexion

Les racines , les points stationnaires , le point d'inflexion et la concavité d'un polynôme cubique x 3 - 3 x 2 - 144 x + 432 (ligne noire) et ses première et seconde dérivées (rouge et bleu).

Les points critiques d'une fonction cubique sont ses points stationnaires , c'est-à-dire les points où la pente de la fonction est nulle. Ainsi les points critiques d'une fonction cubique f définie par

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,

se produisent à des valeurs de x telles que la dérivée

de la fonction cubique est zéro.

Les solutions de cette équation sont les valeurs x des points critiques et sont données, en utilisant la formule quadratique , par

Le signe de l'expression à l'intérieur de la racine carrée détermine le nombre de points critiques. S'il est positif, alors il y a deux points critiques, l'un est un maximum local et l'autre est un minimum local. Si b 2 - 3 ac = 0 , alors il n'y a qu'un seul point critique, qui est un point d'inflexion . Si b 2 - 3 ac <0 , alors il n'y a pas de points critiques (réels). Dans les deux derniers cas, c'est-à-dire si b 2 - 3 ac est non positif, la fonction cubique est strictement monotone . Voir la figure pour un exemple du cas Δ 0 > 0 .

Le point d'inflexion d'une fonction est l'endroit où cette fonction change de concavité . Un point d'inflexion se produit lorsque la deuxième dérivée est égale à zéro et la troisième dérivée est différente de zéro. Ainsi, une fonction cubique a toujours un seul point d'inflexion, qui se produit à

Classification

Fonctions cubiques de la forme Le graphe de toute fonction cubique est similaire à une telle courbe.

Le graphique d'une fonction cubique est une courbe cubique , bien que de nombreuses courbes cubiques ne soient pas des graphiques de fonctions.

Bien que les fonctions cubiques dépendent de quatre paramètres, leur graphe ne peut avoir que très peu de formes. En fait, le graphe d'une fonction cubique est toujours similaire au graphe d'une fonction de la forme

Cette similitude peut être construite comme la composition de traductions parallèles aux axes de coordonnées, une homothétie ( mise à l'échelle uniforme ) et, éventuellement, une réflexion ( image miroir ) par rapport à l' axe y . Une autre mise à l'échelle non uniforme peut transformer le graphe en le graphe de l'une des trois fonctions cubiques

Cela signifie qu'il n'y a que trois graphiques de fonctions cubiques jusqu'à une transformation affine .

Les transformations géométriques ci-dessus peuvent être construites de la manière suivante, en partant d'une fonction cubique générale

Premièrement, si a <0 , le changement de variable x → - x permet de supposer a > 0 . Après ce changement de variable, le nouveau graphe est l'image miroir du précédent, par rapport à l' axe y .

Ensuite, le changement de variable x = x 1 - b / 3 a fournit une fonction du formulaire

Cela correspond à une translation parallèle à l' axe des x .

Le changement de variable y = y 1 + q correspond à une translation par rapport à l' axe y , et donne une fonction de la forme

Le changement de variable correspond à une mise à l'échelle uniforme, et donne, après multiplication par une fonction de la forme

qui est la forme la plus simple que l'on puisse obtenir par similitude.

Alors, si p ≠ 0 , la mise à l'échelle non uniforme donne, après division par

où a la valeur 1 ou –1, selon le signe de p . Si l'on définit cette dernière forme de la fonction s'applique à tous les cas (avec et ).

Symétrie

Pour une fonction cubique de la forme, le point d'inflexion est donc l'origine. Comme une telle fonction est une fonction impaire , son graphe est symétrique par rapport au point d'inflexion, et invariant sous une rotation d'un demi-tour autour du point d'inflexion. Comme ces propriétés sont invariantes par similitude , ce qui suit est vrai pour toutes les fonctions cubiques.

Le graphe d'une fonction cubique est symétrique par rapport à son point d'inflexion, et est invariant sous une rotation d'un demi-tour autour du point d'inflexion.

Colinéarité

Les points P 1 , P 2 et P 3 (en bleu) sont colinéaires et appartiennent au graphe de x 3 + 3 / 2 x 2 - 5 / 2 x + 5 / 4 . Les points T 1 , T 2 et T 3 (en rouge) sont les intersections des lignes tangentes (en pointillés) au graphique en ces points avec le graphique lui-même. Ils sont également colinéaires.

Les droites tangentes au graphique d'une fonction cubique à trois points colinéaires interceptent à nouveau la cubique aux points colinéaires. Cela peut être vu comme suit.

Comme cette propriété est invariante sous un mouvement rigide , on peut supposer que la fonction a la forme

Si α est un nombre réel, alors la tangente au graphe de f au point ( α , f ( α )) est la droite

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α )): x R }.

Ainsi, le point d'intersection entre cette droite et le graphique de f peut être obtenu en résolvant l'équation f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α ) , c'est-à-dire

qui peut être réécrit

et factorisé comme

Ainsi, la tangente intercepte le cube à

Ainsi, la fonction qui mappe un point ( x , y ) du graphe à l'autre point où la tangente intercepte le graphe est

Il s'agit d'une transformation affine qui transforme les points colinéaires en points colinéaires. Cela prouve le résultat revendiqué.

Interpolation cubique

Compte tenu des valeurs d'une fonction et de sa dérivée en deux points, il existe exactement une fonction cubique qui a les mêmes quatre valeurs, appelée spline Hermite cubique .

Il existe deux manières standard d'utiliser ce fait. Premièrement, si l'on connaît, par exemple par mesure physique, les valeurs d'une fonction et sa dérivée en certains points d'échantillonnage, on peut interpoler la fonction avec une fonction continuellement différentiable , qui est une fonction cubique par morceaux .

Si la valeur d'une fonction est connue en plusieurs points, l' interpolation cubique consiste à approcher la fonction par une fonction continuellement différentiable , qui est cubique par morceaux . Pour avoir une interpolation définie de manière unique, deux contraintes supplémentaires doivent être ajoutées, telles que les valeurs des dérivées aux extrémités, ou une courbure nulle aux extrémités.

Référence

Liens externes