Homologie cyclique - Cyclic homology

Dans la géométrie non commutative et les branches connexes des mathématiques, l' homologie cyclique et la cohomologie cyclique sont certaines théories de (co)homologie pour les algèbres associatives qui généralisent la (co)homologie de Rham des variétés. Ces notions ont été introduites indépendamment par Boris Tsygan (homologie) et Alain Connes (cohomologie) dans les années 1980. Ces invariants ont de nombreuses relations intéressantes avec plusieurs branches plus anciennes des mathématiques, notamment la théorie de Rham, la (co)homologie de Hochschild, la cohomologie de groupe et la K-théorie . Les contributeurs au développement de la théorie incluent Max Karoubi , Yuri L. Daletskii,Boris Feigin , Jean-Luc Brylinski , Mariusz Wodzicki , Jean-Louis Loday , Victor Nistor, Daniel Quillen , Joachim Cuntz , Ryszard Nest, Ralf Meyer et Michael Puschnigg.

Conseils sur la définition

La première définition de l'homologie cyclique d'un anneau A sur un corps de caractéristique zéro, notée

HC _n ( A ) ou H _n ^λ ( A ),

procédé au moyen du complexe de chaîne explicite suivant lié au complexe d'homologie de Hochschild de A , appelé complexe de Connes :

Pour tout entier naturel n 0 , définir l'opérateur qui génère l'action cyclique naturelle de sur le n- ième produit tensoriel de A : ${\style d'affichage t_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}:A^{\otimes n}\to A^{\otimes n},\quad a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n}\mapsto ( -1)^{n-1}a_{n}\otimes a_{1}\otimes \dots \otimes a_{n-1}.\end{aligned}}}$

Rappelons que les groupes complexes de Hochschild de A avec des coefficients dans A lui-même sont donnés en fixant pour tout n 0 . Ensuite, les composants du complexe de Connes sont définis comme , et le différentiel est la restriction du différentiel de Hochschild à ce quotient. On peut vérifier que la différentielle de Hochschild prend bien en compte cet espace de covariants. ${\displaystyle HC_{n}(A):=A^{\fois n+1}}$${\displaystyle C_{n}^{\lambda }(A):=HC_{n}(A)/\langle 1-t_{n+1}\rangle }$${\displaystyle d:C_{n}^{\lambda }(A)\to C_{n-1}^{\lambda }(A)}$

Connes a trouvé plus tard une approche plus catégorique de l'homologie cyclique en utilisant une notion d' objet cyclique dans une catégorie abélienne , qui est analogue à la notion d' objet simplicial . De cette façon, l'homologie cyclique (et la cohomologie) peut être interprétée comme un foncteur dérivé , qui peut être explicitement calculé au moyen du ( b , B )-bicomplexe. Si le champ k contient les nombres rationnels, la définition en termes du complexe de Connes calcule la même homologie.

L'une des caractéristiques frappantes de l'homologie cyclique est l'existence d'une longue séquence exacte reliant Hochschild et l'homologie cyclique. Cette longue séquence exacte est appelée séquence de périodicité.

Cas des anneaux commutatifs

Cyclic cohomology de l'algèbre commutative A des fonctions régulières sur une variété algébrique affine sur un corps k de caractéristique zéro peut être calculé en termes de Grothendieck de algébrique de Rham complexe . En particulier, si la variété V =Spec A est lisse, les cohomologies cycliques de A sont exprimées en fonction de la cohomologie de Rham de V comme suit :

${\displaystyle HC_{n}(A)\simeq \Omega ^{n}\!A/d\Omega ^{n-1}\!A\oplus \bigoplus _{i\geq 1}H_{DR}^ {n-2i}(V).}$

Cette formule suggère une façon de définir la cohomologie de Rham pour un « spectre non commutatif » d'une algèbre non commutative A , qui a été largement développée par Connes.

Variantes d'homologie cyclique

Une des motivations de l'homologie cyclique était la nécessité d'une approximation de la K-théorie qui est définie, contrairement à la K-théorie, comme l'homologie d'un complexe en chaîne . La cohomologie cyclique est en effet dotée d'un appariement avec la K-théorie, et on espère que cet appariement sera non dégénéré.

Il a été défini un certain nombre de variantes dont le but est de mieux s'adapter aux algèbres avec topologie, telles que les algèbres de Fréchet , -algèbres, etc. La raison en est que la K-théorie se comporte beaucoup mieux sur les algèbres topologiques telles que les algèbres de Banach ou C*- algèbres que sur des algèbres sans structure supplémentaire. Puisque, d'autre part, l'homologie cyclique dégénère sur les C*-algèbres, il est apparu le besoin de définir des théories modifiées. Parmi eux se trouvent l'homologie cyclique entière due à Alain Connes , l'homologie cyclique analytique due à Ralf Meyer ou l'homologie cyclique asymptotique et locale due à Michael Puschnigg. La dernière est très proche de la K-théorie car elle est dotée d'un caractère bivariant de Chern de la KK-théorie . ${\style d'affichage C^{*}}$

Applications

L'une des applications de l'homologie cyclique est de trouver de nouvelles preuves et généralisations du théorème d'indice d'Atiyah-Singer . Parmi ces généralisations se trouvent les théorèmes d'indices basés sur les triplets spectraux et la quantification des déformations des structures de Poisson .

Un opérateur elliptique D sur une variété lisse compacte définit une classe en K homologie. Un invariant de cette classe est l'indice analytique de l'opérateur. Ceci est vu comme l'appariement de la classe [D], avec l'élément 1 dans HC(C(M)). La cohomologie cyclique peut être considérée comme un moyen d'obtenir des invariants supérieurs des opérateurs différentiels elliptiques non seulement pour les variétés lisses, mais aussi pour les feuilletages, les orbifolds et les espaces singuliers qui apparaissent dans la géométrie non commutative.

Calculs de la K-théorie algébrique

La carte de trace cyclotomique est une carte de la K-théorie algébrique (d'un anneau A , disons), à l'homologie cyclique :

${\displaystyle tr:K_{n}(A)\to HC_{n-1}(A).}$

Dans certaines situations, cette carte peut être utilisée pour calculer la K-théorie au moyen de cette carte. Un résultat pionnier dans ce sens est un théorème de Goodwillie (1986) : il affirme que la carte

${\displaystyle K_{n}(A,I)\otimes \mathbf {Q} \to HC_{n-1}(A,I)\otimes \mathbf {Q} }$

entre la K-théorie relative de A par rapport à un idéal bilatéral nilpotent I à l'homologie cyclique relative (mesurant la différence entre la K-théorie ou homologie cyclique de A et de A / I ) est un isomorphisme pour n ≥1.

Alors que le résultat de Goodwillie est valable pour des anneaux arbitraires, une réduction rapide montre qu'il ne s'agit essentiellement que d'une déclaration à propos de . Pour les cycles ne contenant pas Q , l'homologie cyclique doit être remplacée par une homologie cyclique topologique afin de garder un lien étroit avec la K-théorie. (Si Q est contenu dans A , alors l'homologie cyclique et l'homologie cyclique topologique de A concordent.) Ceci est en accord avec le fait que l' homologie Hochschild (classique) se comporte moins bien que l'homologie Hochschild topologique pour les anneaux ne contenant pas Q . Clausen, Mathew & Morrow (2018) ont prouvé une généralisation de grande envergure du résultat de Goodwillie, affirmant que pour un anneau commutatif A de sorte que le lemme hensélien s'applique à l'idéal I , la K-théorie relative est isomorphe à l'homologie cyclique topologique relative (sans tenseur à la fois avec Q ). Leur résultat englobe également un théorème de Gabber (1992) , affirmant que dans cette situation le spectre relatif de la théorie K modulo un entier n qui est inversible dans A s'annule. Jardine (1993) a utilisé le résultat de Gabber et la rigidité de Suslin pour réfuter le calcul de Quillen de la K-théorie des corps finis . ${\displaystyle A\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} }$

Voir également

• Géométrie non commutative

Remarques

Les références

• Jardine, JF (1993), "La K-théorie des corps finis, revisitée", K-Theory , 7 (6) : 579-595, doi : 10.1007/BF00961219 , MR  1268594
• Loday, Jean-Louis (1998), Homologie cyclique , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 301 , Springer, ISBN 978-3-540-63074-6
• Gabber, Ofer (1992), " K -théorie des anneaux locaux henséliens et paires henséliennes", K -théorie algébrique , algèbre commutative et géométrie algébrique (Santa Margherita Ligure, 1989) , Contemp. Math., 126 , AMS, p. 59-70
• Clausen, Dustin; Matthieu, Akhil ; Morrow, Matthew (2018), "K-théorie et homologie cyclique topologique de paires henséliennes", arXiv : 1803.10897 [ math.KT ]
• Goodwillie, Thomas G. (1986), "Relative algebraic K -theory and cyclic homology", Annals of Mathematics , Second Series, 124 (2) : 347-402, doi : 10.2307/1971283 , JSTOR  1971283 , MR  0855300
• Rosenberg, Jonathan (1994), Algebraic K-theory and its applications , Graduate Texts in Mathematics , 147 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94248-3, MR  1282290 , Zbl  0801.19001. Errata

Liens externes

• "Cohomologie cyclique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Une note personnelle sur Hochschild et homologie cyclique