Décagone - Decagon
Décagone régulier | |
---|---|
Un décagone régulier
| |
Taper | Polygone régulier |
Arêtes et sommets | dix |
Symbole Schläfli | {10}, t {5} |
Diagramme de Coxeter |
|
Groupe de symétrie | Dièdre (D 10 ), ordre 2 × 10 |
Angle interne ( degrés ) | 144 ° |
Polygone double | Soi |
Propriétés | Convexe , cyclique , équilatéral , isogonal , isotoxique |
En géométrie , un décagone (du grec δέκα déka et γωνία gonía, "dix angles") est un polygone à dix côtés ou 10-gon. La somme totale des angles intérieurs d'un décagone simple est de 1440 °.
Un décagone régulier auto- sécant est appelé décagramme .
Décagone régulier
Un décagone régulier a tous les côtés de longueur égale et chaque angle interne sera toujours égal à 144 °. Son symbole Schläfli est {10} et peut également être construit comme un pentagone tronqué , t {5}, un décagone quasirégulaire alternant deux types d'arêtes.
Zone
L' aire d'un décagone régulier de longueur de côté a est donnée par:
En termes de apothème r (voir aussi figure inscrite ), la zone est:
En termes de circumradius R , l'aire est:
Une formule alternative est où d est la distance entre les côtés parallèles, ou la hauteur lorsque le décagone se trouve sur un côté comme base, ou le diamètre du cercle inscrit du décagone . Par simple trigonométrie ,
et il peut être écrit algébriquement comme
Côtés
Un décagone régulier a 10 côtés et est équilatéral . Il a 35 diagonales
Construction
Comme 10 = 2 × 5, une puissance de deux fois un premier de Fermat , il s'ensuit qu'un décagone régulier est constructible en utilisant la boussole et la règle , ou par une arête- bisection d'un pentagone régulier .
Une méthode alternative (mais similaire) est la suivante:
- Construisez un pentagone dans un cercle par l'une des méthodes illustrées lors de la construction d'un pentagone .
- Prolongez une ligne de chaque sommet du pentagone à travers le centre du cercle vers le côté opposé de ce même cercle. Là où chaque ligne coupe le cercle est un sommet du décagone.
- Les cinq coins du pentagone constituent des coins alternés du décagone. Joignez ces points aux nouveaux points adjacents pour former le décagone.
Décagone régulier non convexe
Le rapport de longueur de deux arêtes inégales d'un triangle d'or est le nombre d' or , noté ou son inverse multiplicatif :
On peut ainsi obtenir les propriétés d'une étoile décagonale régulière, grâce à un pavage de triangles dorés qui remplit ce polygone d'étoiles .
Le nombre d'or en décagone
Le nombre d' or divisant un segment de ligne par division extérieure est l'élément déterminant de la construction dans la construction avec un cercle circulaire donné ainsi qu'avec une longueur de côté donnée .
- Dans la construction à cercle circulaire donné, l'arc de cercle autour de G de rayon GE 3 produit le segment AH , dont la division correspond au nombre d'or.
- Dans la construction avec une longueur de côté donnée, l'arc de cercle autour de D de rayon DA produit le segment E 10 F , dont la division correspond au nombre d' or .
Symétrie
Le décagone régulier a une symétrie Dih 10 , ordre 20. Il existe 3 symétries dièdres de sous-groupes: Dih 5 , Dih 2 et Dih 1 , et 4 symétries de groupes cycliques : Z 10 , Z 5 , Z 2 et Z 1 .
Ces 8 symétries peuvent être vues dans 10 symétries distinctes sur le décagone, un plus grand nombre car les lignes de réflexions peuvent passer soit par des sommets, soit par des arêtes. John Conway les étiquette par une lettre et un ordre de groupe. La symétrie complète de la forme régulière est r20 et aucune symétrie n'est étiquetée a1 . Les symétries dièdres sont divisées selon qu'elles passent par des sommets ( d pour diagonale) ou des arêtes ( p pour les perpendiculaires), et i lorsque les lignes de réflexion traversent à la fois les arêtes et les sommets. Les symétries cycliques dans la colonne du milieu sont désignées par g pour leurs ordres de giration centrale.
Chaque symétrie de sous-groupe permet un ou plusieurs degrés de liberté pour les formes irrégulières. Seul le sous-groupe g10 n'a pas de degrés de liberté mais peut être vu comme des arêtes dirigées .
Les décagones irréguliers à symétrie la plus élevée sont d10 , un décagone isogonal construit par cinq miroirs qui peuvent alterner des bords longs et courts, et p10 , un décagone isotoxal , construit avec des longueurs d'arêtes égales, mais des sommets alternant deux angles internes différents. Ces deux formes sont duales l'une de l'autre et ont la moitié de l'ordre de symétrie du décagone régulier.
Dissection
Projection de 10 cubes | Dissection de 40 losanges | |||
---|---|---|---|---|
Coxeter déclare que chaque zonogon (un 2 m -gon dont les côtés opposés sont parallèles et de même longueur) peut être disséqué en m ( m -1) / 2 parallélogrammes. En particulier, cela est vrai pour les polygones réguliers avec un nombre égal de côtés, auquel cas les parallélogrammes sont tous des losanges. Pour le décagone régulier , m = 5, et il peut être divisé en 10 losanges, avec des exemples illustrés ci-dessous. Cette décomposition peut être vue comme 10 des 80 faces dans un plan de projection polygonal Petrie du 5-cube . Une dissection est basée sur 10 des 30 faces du triacontaèdre rhombique . La liste OEIS : A006245 définit le nombre de solutions comme 62, avec 2 orientations pour la première forme symétrique et 10 orientations pour les 6 autres.
5 cubes |
|||
Décagone oblique
{5} # {} | {5/2} # {} | {5/3} # {} |
---|---|---|
Un décagone oblique régulier est considéré comme les bords en zig-zag d'un antiprisme pentagonal , d'un antiprisme pentagrammique et d'un antiprisme croisé pentagrammique . |
Un décagone oblique est un polygone oblique avec 10 sommets et arêtes mais n'existant pas sur le même plan. L'intérieur d'un tel décagone n'est généralement pas défini. Un décagone en zig-zag incliné a des sommets alternant entre deux plans parallèles.
Un décagone oblique régulier est un sommet-transitif avec des longueurs d'arête égales. En 3-dimensions , il sera un zig-zag décagone obliquité et peut être vu dans les sommets et les arêtes latérales d'une antiprisme pentagonal , antiprisme pentagrammique et pentagrammic barré antiprisme avec le même D 5d , [2 + symétrie, 10], ordre 20.
Ceux-ci peuvent également être vus dans ces 4 polyèdres convexes à symétrie icosaédrique . Les polygones sur le périmètre de ces projections sont des décagones asymétriques réguliers.
Dodécaèdre |
Icosaèdre |
Icosidodécaèdre |
Triacontaèdre rhombique |
Polygones de Petrie
Le décagone oblique régulier est le polygone de Petrie pour de nombreux polytopes de plus grande dimension, montré dans ces projections orthogonales dans divers plans de Coxeter : Le nombre de côtés dans le polygone de Petrie est égal au nombre de Coxeter , h , pour chaque famille de symétrie.
A 9 | D 6 | B 5 | ||
---|---|---|---|---|
9-simplex |
4 11 |
1 31 |
5-orthoplex |
5 cubes |
Voir également
- Nombre Décagonal et centré nombre décagonal , nombres figurés sur le modèle du décagone
- Décagramme , un polygone en étoile avec les mêmes positions de sommet que le décagone régulier
Les références
Liens externes
- Weisstein, Eric W. "Decagon" . MathWorld .
- Définition et propriétés d'un décagone avec animation interactive