Distribution dégénérée - Degenerate distribution

univarié dégénéré

Fonction de distribution cumulative CDF pour k 0 =0. L'axe horizontal est x .
Paramètres	${\displaystyle k_{0}\in (-\infty ,\infty )\,}$
Support	${\style d'affichage x=k_{0}\,}$
CMP	${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\mbox{for }}x=k_{0}\\0&{\mbox{ailleurs}}\end{matrix}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<k_{0}\\1&{\mbox{for }}x\geq k_{0}\end{matrix}}}$
Signifier	${\displaystyle k_{0}\,}$
Médian	${\displaystyle k_{0}\,}$
Mode	${\displaystyle k_{0}\,}$
Variance	${\style d'affichage 0\,}$
Asymétrie	indéfini
Ex. aplatissement	indéfini
Entropie	${\style d'affichage 0\,}$
MGF	${\displaystyle e^{k_{0}t}\,}$
FC	${\displaystyle e^{ik_{0}t}\,}$

En mathématiques , une distribution dégénérée est, selon certains, une distribution de probabilité dans un espace à support uniquement sur une variété de dimension inférieure , et selon d'autres une distribution à support uniquement en un seul point. Par cette dernière définition, il s'agit d'une distribution déterministe et ne prend qu'une seule valeur. Les exemples incluent une pièce de monnaie à deux têtes et le lancer d'un dé dont les côtés montrent tous le même nombre. Cette distribution satisfait à la définition de « variable aléatoire » même si elle n'apparaît pas aléatoire au sens courant du terme ; par conséquent, il est considéré comme dégénéré .

Dans le cas d'une variable aléatoire à valeur réelle, la distribution dégénérée est une distribution à un point , localisée en un point k ₀ sur la droite réelle . La fonction de masse de probabilité est égale à 1 à ce stade et à 0 ailleurs.

La distribution univariée dégénérée peut être considérée comme le cas limite d'une distribution continue dont la variance passe à 0, ce qui fait que la fonction de densité de probabilité est une fonction delta à k ₀ , avec une hauteur infinie mais une aire égale à 1.

La fonction de distribution cumulée de la distribution dégénérée univariée est :

${\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{ if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.}$

Variable aléatoire constante

En théorie des probabilités , une variable aléatoire constante est une variable aléatoire discrète qui prend une valeur constante , quel que soit l' événement qui se produit. Ceci est techniquement différent d'une variable aléatoire presque sûrement constante , qui peut prendre d'autres valeurs, mais uniquement sur des événements avec une probabilité zéro. Les variables aléatoires constantes et presque sûrement constantes, qui ont une distribution dégénérée, fournissent un moyen de traiter les valeurs constantes dans un cadre probabiliste.

Soit   X : Ω → R   une variable aléatoire définie sur un espace de probabilité (Ω, P ). Alors   X   est une variable aléatoire presque sûrement constante s'il existe tel que ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {R} }$

${\style d'affichage \Pr(X=k_{0})=1,}$

et est en outre une variable aléatoire constante si

${\displaystyle X(\omega )=k_{0},\quad \forall \omega \in \Omega .}$

Notez qu'une variable aléatoire constante est presque sûrement constante, mais pas nécessairement l' inverse , puisque si   X   est presque sûrement constant alors il peut exister γ ∈ Ω tel que   X (γ) k ₀   (mais alors nécessairement Pr({γ}) = 0, en fait Pr(X k ₀ ) = 0).

Pour des raisons pratiques, la distinction entre   X   étant constant ou presque sûrement constant est sans importance, puisque la fonction de distribution cumulative  F ( x ) de   X   ne dépend pas du fait que   X   est constant ou « simplement » presque sûrement constant. Dans tous les cas,

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1,&x\geq k_{0},\\0,&x<k_{0}.\end{cases}}}$

La fonction   F ( x ) est une fonction échelonnée ; en particulier, il s'agit d'une traduction de la fonction pas de Heaviside .

Dimensions supérieures

La dégénérescence d'une distribution multivariée en n variables aléatoires survient lorsque le support se situe dans un espace de dimension inférieure à n . Cela se produit lorsqu'au moins une des variables est une fonction déterministe des autres. Par exemple, dans le cas à 2 variables supposons que Y = aX + b pour les variables aléatoires scalaires X et Y et les constantes scalaires a 0 et b ; ici, connaître la valeur de l'un de X ou Y donne une connaissance exacte de la valeur de l'autre. Tous les points possibles ( x , y ) tombent sur la ligne unidimensionnelle y = ax + b .

En général, lorsqu'une ou plusieurs des n variables aléatoires sont déterminées exactement linéairement par les autres, si la matrice de covariance existe, son rang est inférieur à n et son déterminant est 0, il est donc semi-défini positif mais pas défini positif, et l' articulation la distribution de probabilité est dégénérée.

La dégénérescence peut également se produire même avec une covariance non nulle. Par exemple, lorsque le scalaire X est distribué symétriquement autour de 0 et que Y est exactement donné par Y = X ² , tous les points possibles ( x , y ) tombent sur la parabole y = x ² , qui est un sous-ensemble unidimensionnel des deux espace dimensionnel.

Les références