Diamant cubique - Diamond cubic

Modèle rotatif de la structure cristalline cubique du diamant
Modèle 3D en forme de boule et de bâton d'un réseau de diamants
Figure polaire en projection stéréographique du réseau de diamants montrant la symétrie d'ordre 3 le long de la direction [111]

La structure cristalline cubique du diamant est un motif répétitif de 8 atomes que certains matériaux peuvent adopter lorsqu'ils se solidifient. Alors que le premier exemple connu était le diamant , d'autres éléments du groupe 14 adoptent également cette structure, notamment l' α-étain , les semi - conducteurs silicium et germanium , et les alliages silicium-germanium en toute proportion. Il existe également des cristaux, tels que la forme à haute température de la cristobalite , qui ont une structure similaire, avec un type d'atome (comme le silicium dans la cristobalite) aux positions des atomes de carbone dans le diamant mais avec un autre type d'atome (comme le oxygène) à mi-chemin entre ceux-ci (voir Catégorie:Minéraux dans le groupe spatial 227 ).

Bien que souvent appelée le réseau de diamants , cette structure n'est pas un réseau au sens technique de ce mot utilisé en mathématiques.

Structure cristallographique

Visualisation d'une maille unitaire cubique : 1. Composantes d'une maille élémentaire, 2. Une maille élémentaire, 3. Un réseau de 3 × 3 × 3 mailles élémentaires

La structure cubique de Diamond appartient au groupe d'espace Fd 3 m (groupe d'espace 227), qui suit le réseau de Bravais cubique à faces centrées . Le treillis décrit le motif de répétition ; pour les cristaux cubiques de diamant, ce réseau est « décoré » avec un motif de deux atomes liés tétraédriquement dans chaque cellule primitive , séparés par 1/4de la largeur de la maille unitaire dans chaque dimension. Le réseau en diamant peut être considéré comme une paire de réseaux cubiques à faces centrées qui se croisent , chacun étant séparé par1/4de la largeur de la maille unitaire dans chaque dimension. De nombreux semi-conducteurs composés tels que l'arséniure de gallium , le carbure de silicium et l' antimonure d' indium adoptent la structure analogue de zincblende , où chaque atome a les voisins les plus proches d'un élément différent. Le groupe spatial de Zincblende est F 4 3m, mais bon nombre de ses propriétés structurelles sont assez similaires à la structure du diamant.

Le facteur de tassement atomique de la structure cubique du diamant (la proportion d'espace qui serait remplie par des sphères centrées sur les sommets de la structure et aussi grandes que possible sans se chevaucher) esttc 3/16≈ 0,34, significativement plus petit (indiquant une structure moins dense) que les facteurs de tassement pour les réseaux cubiques à faces centrées et à corps centrés . Les structures de zincblende ont des facteurs de tassement supérieurs à 0,34 en fonction des tailles relatives de leurs deux atomes constituants.

Les distances du premier, du deuxième, du troisième, du quatrième et du cinquième plus proche voisin en unités de la constante de réseau cubique sont 3/4, 2/2, 11/4, 1 et 19/4, respectivement.

Structure mathématique

Mathématiquement, les points de la structure cubique en diamant peuvent recevoir des coordonnées en tant que sous-ensemble d'un réseau entier tridimensionnel en utilisant une cellule unitaire cubique de quatre unités de diamètre. Avec ces coordonnées, les points de la structure ont des coordonnées ( xyz ) satisfaisant les équations

x = y = z (mod 2), et
x + y + z = 0 ou 1 (mod 4).

Il y a huit points (modulo 4) qui satisfont à ces conditions :

(0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),
(3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)

Tous les autres points de la structure peuvent être obtenus en ajoutant des multiples de quatre aux coordonnées x , y et z de ces huit points. Les points adjacents dans cette structure sont distants de 3 dans le réseau entier ; les bords de la structure en losange se situent le long des diagonales du corps des cubes de grille entiers. Cette structure peut être adapté à une cellule unitaire cubique qui est un certain nombre de d'unités à travers toutes les coordonnées en multipliant par une/4.

En variante, chaque point de la structure cubique du diamant peut être donné par des coordonnées entières à quatre dimensions dont la somme est soit zéro, soit un. Deux points sont adjacents dans la structure en losange si et seulement si leurs coordonnées quadridimensionnelles diffèrent de un dans une même coordonnée. La différence totale des valeurs de coordonnées entre deux points quelconques (leur distance de Manhattan en quatre dimensions ) donne le nombre d'arêtes sur le chemin le plus court entre eux dans la structure en losange. Les quatre voisins les plus proches de chaque point peuvent être obtenus, dans ce système de coordonnées, en ajoutant un à chacune des quatre coordonnées, ou en soustrayant un à chacune des quatre coordonnées, selon que la somme des coordonnées est nulle ou un. Ces coordonnées quadridimensionnelles peuvent être transformées en coordonnées tridimensionnelles par la formule

( a , b , c , d ) → ( a + bcd , ab + cd , − a + b + cd ).

Étant donné que la structure en diamant forme un sous - ensemble préservant la distance du réseau entier à quatre dimensions, il s'agit d'un cube partiel .

Encore une autre coordination du cube de diamant implique la suppression de certains des bords d'un graphique en grille tridimensionnel. Dans cette coordination, qui a une géométrie déformée par rapport à la structure cubique diamant standard mais a la même structure topologique, les sommets du cube diamant sont représentés par tous les points de grille 3D possibles et les bords du cube diamant sont représentés par un sous-ensemble de la Bords de la grille 3D.

Le diamant cubique est parfois appelé le "diamant treillis" mais ce n'est pas, mathématiquement, un treillis : il n'y a pas de symétrie translationnelle qui fait passer le point (0,0,0) dans le point (3,3,3), par exemple . Cependant, il s'agit toujours d'une structure hautement symétrique : toute paire incidente d'un sommet et d'une arête peut être transformée en n'importe quelle autre paire incidente par une congruence de l' espace euclidien . De plus, le cristal de diamant en tant que réseau dans l'espace a une forte propriété isotrope. À savoir, pour tout deux sommets x et y du réseau cristallin, et pour tout ordre des arêtes adjacentes à x et tout ordre des arêtes adjacentes à y , il existe une congruence préservant le réseau prenant x à y et chaque x -arête au bord y de même ordre . Un autre cristal (hypothétique) avec cette propriété est le graphe de Laves (également appelé cristal K 4 , (10,3)-a, ou le diamant jumeau).

Propriétés mécaniques

La résistance à la compression et la dureté du diamant et de divers autres matériaux, tels que le nitrure de bore (qui a la structure de zincblende étroitement liée ) est attribuée à la structure cubique du diamant.

Exemple d'un système de fermes cubiques en diamant pour résister à la compression

De même, les systèmes de fermes qui suivent la géométrie cubique en diamant ont une grande capacité de résistance à la compression, en minimisant la longueur non contreventée des entretoises individuelles . La géométrie cubique en diamant a également été considérée dans le but de fournir une rigidité structurelle, bien que des structures composées de triangles squelettiques , telles que la poutre en octet , se soient avérées plus efficaces à cette fin.

Voir également

Les références

Liens externes

  • Médias liés à Diamond cube à Wikimedia Commons
  • Logiciel pour construire des marches aléatoires auto-évitantes sur le réseau cubique en diamant