Analyse dimensionnelle - Dimensional analysis

En ingénierie et en science , l'analyse dimensionnelle est l'analyse des relations entre différentes quantités physiques en identifiant leurs quantités de base (telles que la longueur , la masse , le temps et le courant électrique ) et les unités de mesure (telles que les miles contre les kilomètres, ou les livres contre . kilogrammes) et le suivi de ces dimensions au fur et à mesure des calculs ou des comparaisons. La conversion d'unités d'une unité dimensionnelle à une autre est souvent plus facile dans le système métrique ou SI que dans d'autres, en raison de la base 10 régulière dans toutes les unités. L'analyse dimensionnelle, ou plus précisément la méthode facteur-étiquette , également connue sous le nom de méthode unité-facteur , est une technique largement utilisée pour de telles conversions utilisant les règles de l' algèbre .

Les grandeurs physiques commensurables sont du même type et ont la même dimension, et peuvent être directement comparées les unes aux autres, même si elles sont à l'origine exprimées dans des unités de mesure différentes, par exemple les yards et les mètres, les livres (masse) et les kilogrammes, les secondes et les années . Les grandeurs physiques incommensurables sont de différentes sortes et ont des dimensions différentes, et ne peuvent être directement comparées les unes aux autres, quelles que soient les unités dans lesquelles elles sont exprimées à l'origine, par exemple mètres et kilogrammes, secondes et kilogrammes, mètres et secondes. Par exemple, demander si un kilogramme dépasse une heure n'a pas de sens.

Toute équation physiquement significative , ou inégalité , doit avoir les mêmes dimensions sur ses côtés gauche et droit, une propriété connue sous le nom d' homogénéité dimensionnelle . La vérification de l'homogénéité dimensionnelle est une application courante de l'analyse dimensionnelle, servant de contrôle de plausibilité sur les équations et les calculs dérivés . Il sert également de guide et de contrainte pour dériver des équations qui peuvent décrire un système physique en l'absence d'une dérivation plus rigoureuse.

Le concept de dimension physique , et d'analyse dimensionnelle, a été introduit par Joseph Fourier en 1822.

Nombres concrets et unités de base

De nombreux paramètres et mesures dans les sciences physiques et l'ingénierie sont exprimés sous la forme d'un nombre concret — une quantité numérique et une unité dimensionnelle correspondante. Souvent, une quantité est exprimée en termes de plusieurs autres quantités ; par exemple, la vitesse est une combinaison de longueur et de temps, par exemple 60 kilomètres par heure ou 1,4 kilomètre par seconde. Les relations composées avec "per" sont exprimées avec la division , par exemple 60 km/1 h. D'autres relations peuvent impliquer une multiplication (souvent représentée par un point centré ou une juxtaposition ), des puissances (comme m 2 pour les mètres carrés) ou des combinaisons de celles-ci.

Un ensemble d' unités de base pour un système de mesure est un ensemble d'unités choisi de manière conventionnelle, dont aucune ne peut être exprimée comme une combinaison des autres et en fonction desquels toutes les unités restantes du système peuvent être exprimées. Par exemple, les unités de longueur et de temps sont normalement choisies comme unités de base. Les unités de volume , cependant, peuvent être prises en compte dans les unités de base de longueur (m 3 ), elles sont donc considérées comme des unités dérivées ou composées.

Parfois, les noms des unités masquent le fait qu'il s'agit d'unités dérivées. Par exemple, un newton (N) est une unité de force , qui a des unités de masse (kg) multipliées par des unités d'accélération (m⋅s −2 ). Le newton est défini comme 1 N = 1 kg⋅m⋅s −2 .

Pourcentages, dérivées et intégrales

Les pourcentages sont des quantités sans dimension, car ce sont des rapports de deux quantités ayant les mêmes dimensions. En d'autres termes, le signe % peut être lu comme des "centièmes", puisque 1% = 1/100 .

Prendre une dérivée par rapport à une quantité ajoute la dimension de la variable par rapport à laquelle on se différencie, au dénominateur. Ainsi:

  • la position ( x ) a la dimension L (longueur);
  • la dérivée de la position par rapport au temps ( dx / dt , vitesse ) a pour dimension T -1 L - longueur à partir de la position, temps dû au gradient ;
  • la dérivée seconde ( d 2 x / dt 2 = d ( dx / dt ) / dt , accélération ) a pour dimension T -2 L.

De même, prendre une intégrale ajoute la dimension de la variable que l'on intègre par rapport à, mais dans le numérateur.

  • la force a la dimension T −2 L M (masse multipliée par l'accélération) ;
  • l'intégrale de la force par rapport à la ( s ) distance ( s ) parcourue par l' objet ( , travail ) a pour dimension T -2 L 2 M .

En économie, on fait la distinction entre les stocks et les flux : un stock a des unités d'"unités" (disons, des widgets ou des dollars), tandis qu'un flux est un dérivé d'un stock, et a des unités d'"unités/temps" (disons, dollars/ année).

Dans certains contextes, les quantités dimensionnelles sont exprimées sous forme de quantités sans dimension ou de pourcentages en omettant certaines dimensions. Par exemple, les ratios dette/PIB sont généralement exprimés en pourcentage : l'encours total de la dette (dimension de la monnaie) divisé par le PIB annuel (dimension de la monnaie) — mais on peut soutenir que, en comparant un stock à un flux, le PIB annuel devrait ont des dimensions de devise/temps (dollars/an, par exemple) et donc le ratio dette/PIB devrait avoir des unités d'années, ce qui indique que le ratio dette/PIB est le nombre d'années nécessaires pour qu'un PIB constant paie la dette, si tout le PIB est dépensé pour la dette et que la dette est par ailleurs inchangée.

Facteur de conversion

En analyse dimensionnelle, un rapport qui convertit une unité de mesure en une autre sans changer la quantité est appelé facteur de conversion . Par exemple, kPa et bar sont tous deux des unités de pression et 100 kPa = 1 bar . Les règles de l'algèbre permettent de diviser les deux membres d'une équation par la même expression, ce qui équivaut à 100 kPa / 1 bar = 1 . Comme toute quantité peut être multipliée par 1 sans la changer, l'expression " 100 kPa / 1 bar " peut être utilisée pour convertir des bars en kPa en la multipliant par la quantité à convertir, y compris les unités. Par exemple, 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa car 5 × 100 / 1 = 500 , et bar/bar s'annule, donc 5 bar = 500 kPa .

Homogénéité dimensionnelle

La règle la plus fondamentale de l'analyse dimensionnelle est celle de l'homogénéité dimensionnelle.

Seules les quantités commensurables (quantités physiques ayant la même dimension) peuvent être comparées , assimilées , ajoutées ou soustraites .

Cependant, les dimensions forment un groupe abélien par multiplication, donc :

On peut prendre des rapports de quantités incommensurables (quantités de dimensions différentes), et les multiplier ou les diviser .

Par exemple, cela n'a pas de sens de demander si 1 heure c'est plus, la même chose ou moins d'1 kilomètre, car ceux-ci ont des dimensions différentes, ni d'ajouter 1 heure à 1 kilomètre. Cependant, il est parfaitement logique de demander si 1 mile est plus, le même ou moins de 1 kilomètre étant la même dimension de quantité physique même si les unités sont différentes. D'un autre côté, si un objet parcourt 100 km en 2 heures, on peut les diviser et conclure que la vitesse moyenne de l'objet était de 50 km/h.

La règle implique que dans une expression physiquement significative , seules des quantités de même dimension peuvent être ajoutées, soustraites ou comparées. Par exemple, si m homme , m rat et L homme désignent respectivement la masse d'un homme, la masse d'un rat et la longueur de cet homme, l'expression dimensionnellement homogène m homme + m rat est significative, mais l'expression hétérogène m man + L man n'a pas de sens. Cependant, m homme / L 2 homme est bien. Ainsi, l'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un contrôle d'intégrité des équations physiques : les deux côtés de toute équation doivent être commensurables ou avoir les mêmes dimensions.

Cela implique que la plupart des fonctions mathématiques, en particulier les fonctions transcendantales , doivent avoir une quantité sans dimension, un nombre pur, comme argument et doivent renvoyer un nombre sans dimension en conséquence. Ceci est clair parce que de nombreuses fonctions transcendantales peuvent être exprimées comme une série infinie de puissances avec des coefficients sans dimension .

Toutes les puissances de x doivent avoir la même dimension pour que les termes soient commensurables. Mais si x n'est pas sans dimension, alors les différentes puissances de x auront des dimensions différentes et incommensurables. Cependant, les fonctions de puissance, y compris les fonctions racine, peuvent avoir un argument dimensionnel et renverront un résultat dont la dimension est la même puissance appliquée à la dimension de l'argument. C'est parce que les fonctions de puissance et les fonctions racines ne sont, grosso modo, qu'une expression de la multiplication de quantités.

Même lorsque deux grandeurs physiques ont des dimensions identiques, il peut néanmoins être inutile de les comparer ou de les additionner. Par exemple, bien que le couple et l'énergie partagent la dimension T -2 L 2 M , ce sont des grandeurs physiques fondamentalement différentes.

Pour comparer, additionner ou soustraire des quantités ayant les mêmes dimensions mais exprimées dans des unités différentes, la procédure standard consiste d'abord à les convertir toutes dans les mêmes unités. Par exemple, pour comparer 32 mètres avec 35 yards, utilisez 1 yard = 0,9144 m pour convertir 35 yards en 32,004 m.

Un principe connexe est que toute loi physique qui décrit avec précision le monde réel doit être indépendante des unités utilisées pour mesurer les variables physiques. Par exemple, les lois du mouvement de Newton doivent être vraies, que la distance soit mesurée en miles ou en kilomètres. Ce principe donne lieu à la forme que doivent prendre les facteurs de conversion entre unités mesurant la même dimension : la multiplication par une simple constante. Il assure également l'équivalence ; par exemple, si deux bâtiments ont la même hauteur en pieds, alors ils doivent avoir la même hauteur en mètres.

La méthode de l'étiquette de facteur pour convertir les unités

La méthode d'étiquette de facteur est l'application séquentielle de facteurs de conversion exprimés sous forme de fractions et disposés de manière à ce que toute unité dimensionnelle apparaissant à la fois dans le numérateur et le dénominateur de l'une des fractions puisse être annulée jusqu'à ce que seul l'ensemble souhaité d'unités dimensionnelles soit obtenu. Par exemple, 10 miles par heure peuvent être convertis en mètres par seconde en utilisant une séquence de facteurs de conversion comme indiqué ci-dessous :

Chaque facteur de conversion est choisi en fonction de la relation entre l'une des unités d'origine et l'une des unités souhaitées (ou une unité intermédiaire), avant d'être réorganisé pour créer un facteur qui annule l'unité d'origine. Par exemple, comme "mile" est le numérateur dans la fraction d'origine et , "mile" devra être le dénominateur dans le facteur de conversion. En divisant les deux côtés de l'équation par 1 mile, on obtient ce qui, une fois simplifié, donne l'indimensionnel . Multiplier n'importe quelle quantité (quantité physique ou non) par le 1 sans dimension ne change pas cette quantité. Une fois que cela et le facteur de conversion des secondes par heure ont été multipliés par la fraction d'origine pour annuler les unités mile et hour , 10 miles par heure sont convertis en 4,4704 mètres par seconde.

A titre d'exemple plus complexe, la concentration des oxydes d'azote ( par exemple, ) dans le gaz de combustion à partir d' un industriel four peut être converti en un taux d'écoulement de masse exprimée en grammes par heure ( par exemple, g / h) de l'aide de l'information suivante indiqué ci-dessous:

NO x concentration
= 10 parties par million en volume = 10 ppmv = 10 volumes/10 6 volumes
NO x masse molaire
= 46 kg/kmol = 46 g/mol
Débit des fumées
= 20 mètres cubes par minute = 20 m 3 /min
Les fumées sortent du four à une température de 0 °C et une pression absolue de 101,325 kPa.
Le volume molaire d'un gaz à une température de 0 °C et 101,325 kPa est de 22,414 m3 / kmol .

Après avoir annulé toutes les unités dimensionnelles qui apparaissent à la fois dans les numérateurs et les dénominateurs des fractions dans l'équation ci-dessus, la concentration de NO x de 10 ppm v se convertit en un débit massique de 24,63 grammes par heure.

Vérification des équations qui impliquent des dimensions

La méthode d'étiquette de facteur peut également être utilisée sur n'importe quelle équation mathématique pour vérifier si les unités dimensionnelles du côté gauche de l'équation sont les mêmes que les unités dimensionnelles du côté droit de l'équation. Avoir les mêmes unités des deux côtés d'une équation ne garantit pas que l'équation est correcte, mais avoir des unités différentes des deux côtés (exprimées en termes d'unités de base) d'une équation implique que l'équation est fausse.

Par exemple, vérifiez l' équation de la loi universelle des gaz de PV = nRT , lorsque :

  • la pression P est en pascals (Pa)
  • le volume V est en mètres cubes (m 3 )
  • la quantité de substance n est en moles (mol)
  • la constante de loi universelle des gaz R est de 8,3145 Pa⋅m 3 /(mol⋅K)
  • la température T est en kelvins (K)

Comme on peut le voir, lorsque les unités dimensionnelles apparaissant dans le numérateur et le dénominateur du côté droit de l'équation sont annulées, les deux côtés de l'équation ont les mêmes unités dimensionnelles. L'analyse dimensionnelle peut être utilisée comme un outil pour construire des équations qui relient des propriétés physico-chimiques non associées. Les équations peuvent révéler des propriétés de la matière jusque-là inconnues ou négligées, sous la forme de dimensions restantes – des ajusteurs dimensionnels – qui peuvent ensuite se voir attribuer une signification physique. Il est important de souligner qu'une telle « manipulation mathématique » n'est ni sans précédent ni sans signification scientifique considérable. En effet, la constante de Planck , une constante fondamentale de l'univers, a été « découverte » en tant qu'abstraction ou représentation purement mathématique qui s'appuyait sur la loi de Rayleigh-Jeans pour empêcher la catastrophe ultraviolette. Il a été assigné et atteint sa signification physique quantique soit en tandem, soit après un ajustement dimensionnel mathématique – pas plus tôt.

Limites

La méthode facteur-étiquette ne peut convertir que les quantités unitaires pour lesquelles les unités sont dans une relation linéaire se coupant à 0. ( Échelle de rapport dans la typologie de Stevens) La plupart des unités correspondent à ce paradigme. Un exemple pour lequel il ne peut pas être utilisé est la conversion entre degrés Celsius et kelvins (ou degrés Fahrenheit ). Entre les degrés Celsius et les kelvins, il y a une différence constante plutôt qu'un rapport constant, tandis qu'entre les degrés Celsius et les degrés Fahrenheit, il n'y a ni différence constante ni rapport constant. Il existe cependant une transformation affine ( , plutôt qu'une transformation linéaire ) entre eux.

Par exemple, le point de congélation de l'eau est de 0 °C et 32 ​​°F (0 °C), et un changement de 5 °C équivaut à un changement de 9 °F (-13 °C). Ainsi, pour convertir des unités de Fahrenheit en unités de Celsius, on soustrait 32 °F (le décalage du point de référence), on divise par 9 °F (-13 °C) et on multiplie par 5 °C (échelle par le rapport d'unités) et ajoute 0 °C (le décalage par rapport au point de référence). Inverser cela donne la formule pour obtenir une quantité en unités de Celsius à partir d'unités de Fahrenheit; on aurait pu commencer avec l'équivalence entre 100 °C et 212 °F (100 °C), bien que cela donnerait la même formule à la fin.

Par conséquent, pour convertir la valeur numérique d'une température T [F] en degrés Fahrenheit en une valeur numérique T [C] en degrés Celsius, cette formule peut être utilisée :

T [C] = ( T [F] − 32) × 5/9.

Pour convertir T [C] en degrés Celsius en T [F] en degrés Fahrenheit, cette formule peut être utilisée :

T [F] = ( T [C] × 9/5) + 32.

Applications

L'analyse dimensionnelle est le plus souvent utilisée en physique et en chimie - et dans leurs mathématiques - mais trouve également des applications en dehors de ces domaines.

Mathématiques

Une application simple de l' analyse dimensionnelle aux mathématiques est dans le calcul de la forme du volume d'un n -Ball (la boule solide en n dimensions), ou la zone de sa surface, le n -sphere : étant un n chiffre de dimension, la le volume s'échelonne comme tandis que la surface, étant -dimensionnelle, s'échelonne comme Ainsi, le volume de la n -boule en termes de rayon est pour certains constant La détermination de la constante prend des mathématiques plus complexes, mais la forme peut être déduite et vérifiée par analyse dimensionnelle seul.

Finance, économie et comptabilité

En finance, en économie et en comptabilité, l'analyse dimensionnelle est le plus souvent appelée en termes de distinction entre les stocks et les flux . Plus généralement, l'analyse dimensionnelle est utilisée pour interpréter divers ratios financiers, ratios économiques et ratios comptables.

  • Par exemple, le ratio P/E a des dimensions temporelles (unités d'années) et peut être interprété comme « années de gains pour gagner le prix payé ».
  • En économie, le ratio de la dette au PIB a également des unités d'années (la dette a des unités de devise, le PIB a des unités de devise/an).
  • Dans l'analyse financière, certains types de durée d'obligation ont également une dimension temporelle (unité d'années) et peuvent être interprétés comme « années jusqu'au point d'équilibre entre les paiements d'intérêts et le remboursement nominal ».
  • La vitesse de l'argent a des unités de 1/an (le PIB/la masse monétaire a des unités de devise/an sur la devise) : à quelle fréquence une unité de devise circule par an.
  • Les taux d'intérêt sont souvent exprimés en pourcentage, mais plus précisément en pourcentage par an, qui a des dimensions de 1/an.

Mécanique des fluides

En mécanique des fluides , l'analyse dimensionnelle est effectuée pour obtenir des termes ou des groupes pi sans dimension . Selon les principes de l'analyse dimensionnelle, tout prototype peut être décrit par une série de ces termes ou groupes qui décrivent le comportement du système. En utilisant des termes ou des groupes pi appropriés, il est possible de développer un ensemble similaire de termes pi pour un modèle qui a les mêmes relations dimensionnelles. En d'autres termes, les termes pi fournissent un raccourci pour développer un modèle représentant un certain prototype. Les groupes adimensionnels courants en mécanique des fluides comprennent :

  • Nombre de Reynolds (Re), généralement important dans tous les types de problèmes de fluide :
    .
  • Nombre de Froude (Fr), flux de modélisation avec une surface libre :
  • Nombre d'Euler (Eu), utilisé dans les problèmes dans lesquels la pression est d'intérêt :
  • Nombre de Mach (Ma), important dans les écoulements à grande vitesse où la vitesse approche ou dépasse la vitesse locale du son :
    où : c est la vitesse locale du son.

Histoire

Les origines de l'analyse dimensionnelle ont été contestées par les historiens.

La première application écrite de l'analyse dimensionnelle a été créditée à un article de François Daviet à l' Académie des sciences de Turin . Daviet avait pour maître le maître Lagrange . Ses œuvres fondamentales sont contenues dans des acta de l'Académie datées de 1799.

Cela a conduit à la conclusion que les lois significatives doivent être des équations homogènes dans leurs diverses unités de mesure, un résultat qui a finalement été formalisé plus tard dans le théorème de Buckingham π . Siméon Poisson a traité aussi le même problème de la loi du parallélogramme par Daviet, dans son traité de 1811 et 1833 (vol I, p. 39). Dans la deuxième édition de 1833, Poisson introduit explicitement le terme de dimension au lieu d' homogénéité de Daviet .

En 1822, l'important scientifique napoléonien Joseph Fourier a fait les premières contributions importantes créditées basées sur l'idée que les lois physiques comme F = ma devraient être indépendantes des unités utilisées pour mesurer les variables physiques.

James Clerk Maxwell a joué un rôle majeur dans l'établissement de l'utilisation moderne de l'analyse dimensionnelle en distinguant la masse, la longueur et le temps comme unités fondamentales, tout en se référant à d'autres unités comme dérivées. Bien que Maxwell ait défini la longueur, le temps et la masse comme étant « les trois unités fondamentales », il a également noté que la masse gravitationnelle peut être dérivée de la longueur et du temps en supposant une forme de la loi de la gravitation universelle de Newton dans laquelle la constante gravitationnelle G est prise comme unité , définissant ainsi M = T -2 L 3 . En supposant une forme de loi de Coulomb dans laquelle la constante de Coulomb k e est prise comme unité, Maxwell a alors déterminé que les dimensions d'une unité de charge électrostatique étaient Q = T −1 L 3/2 M 1/2 , qui, après avoir substitué sa M = T -2 L 3 équation pour la masse, les résultats en charge ayant les mêmes dimensions que la masse, à savoir. Q = T -2 L 3 .

L'analyse dimensionnelle est également utilisée pour dériver des relations entre les quantités physiques impliquées dans un phénomène particulier que l'on souhaite comprendre et caractériser. Il a été utilisé pour la première fois ( Pesic 2005 ) de cette manière en 1872 par Lord Rayleigh , qui essayait de comprendre pourquoi le ciel est bleu. Rayleigh a d'abord publié la technique dans son livre de 1877 The Theory of Sound .

Le sens originel du mot dimension , dans la Théorie de la Chaleur de Fourier , était la valeur numérique des exposants des unités de base. Par exemple, l'accélération a été considérée comme ayant la dimension 1 par rapport à l'unité de longueur, et la dimension -2 par rapport à l'unité de temps. Cela a été légèrement modifié par Maxwell, qui a déclaré que les dimensions de l'accélération sont T -2 L, au lieu de simplement les exposants.

Formulation mathématique

Le théorème de Buckingham π décrit comment chaque équation physiquement significative impliquant n variables peut être réécrite de manière équivalente comme une équation de nm paramètres sans dimension, où m est le rang de la matrice dimensionnelle . De plus, et surtout, il fournit une méthode pour calculer ces paramètres sans dimension à partir des variables données.

Une équation dimensionnelle peut avoir les dimensions réduites ou éliminées par la non - dimensionnalité , qui commence par l'analyse dimensionnelle et implique la mise à l'échelle des quantités par des unités caractéristiques d'un système ou des unités naturelles de la nature. Cela donne un aperçu des propriétés fondamentales du système, comme illustré dans les exemples ci-dessous.

Définition

La dimension d'une quantité physique peut être exprimée comme un produit des dimensions physiques de base telles que la longueur, la masse et le temps, chacune élevée à une puissance rationnelle . La dimension d'une quantité physique est plus fondamentale qu'une unité d' échelle utilisée pour exprimer la quantité de cette quantité physique. Par exemple, la masse est une dimension, tandis que le kilogramme est une unité d'échelle particulière choisie pour exprimer une quantité de masse. A l'exception des unités naturelles , le choix de l'échelle est culturel et arbitraire.

Il existe de nombreux choix possibles de dimensions physiques de base. La norme SI recommande l'utilisation des dimensions suivantes et des symboles correspondants : temps (T), longueur (L), masse (M), courant électrique (I), température absolue (Θ), quantité de substance (N) et intensité lumineuse (J). Les symboles sont par convention généralement écrits en caractères romains sans empattement . Mathématiquement, la dimension de la quantité Q est donnée par

a , b , c , d , e , f , g sont les exposants dimensionnels. D'autres quantités physiques pourraient être définies comme les quantités de base, tant qu'elles forment une base linéairement indépendante - par exemple, on pourrait remplacer la dimension (I) du courant électrique de la base SI par une dimension (Q) de la charge électrique , puisque Q = TI.

A titre d'exemple, la dimension de la grandeur physique vitesse v est

et la dimension de la force de quantité physique F est

L'unité choisie pour exprimer une grandeur physique et sa dimension sont des concepts liés, mais pas identiques. Les unités d'une grandeur physique sont définies par convention et liées à une norme ; par exemple, la longueur peut avoir des unités de mètres, pieds, pouces, milles ou micromètres; mais toute longueur a toujours une dimension de L, quelles que soient les unités de longueur choisies pour l'exprimer. Deux unités différentes de la même quantité physique ont des facteurs de conversion qui les relient. Par exemple, 1 pouce = 2,54 cm ; dans ce cas 2,54 cm/in est le facteur de conversion, qui est lui-même sans dimension. Par conséquent, multiplier par ce facteur de conversion ne change pas les dimensions d'une quantité physique.

Il y a aussi des physiciens qui ont mis en doute l'existence même de dimensions fondamentales incompatibles de la quantité physique, bien que cela n'invalide pas l'utilité de l'analyse dimensionnelle.

Propriétés mathématiques

Les dimensions qui peuvent être formées à partir d'une collection donnée de dimensions physiques de base, telles que T, L et M, forment un groupe abélien : L' identité s'écrit 1 ; L 0 = 1 , et l'inverse de L est 1/L ou L -1 . L élevé à n'importe quelle puissance rationnelle p est un membre du groupe, ayant un inverse de L p ou 1/L p . L'opération du groupe est la multiplication, ayant les règles habituelles de manipulation des exposants ( L n × L m = L n + m ).

Ce groupe peut être décrit comme un espace vectoriel sur les nombres rationnels, avec le symbole dimensionnel T i L j M k correspondant au vecteur ( i , j , k ) . Lorsque des grandeurs physiques mesurées (qu'elles soient de même dimension ou de dimension différente) sont multipliées ou divisées par une autre, leurs unités dimensionnelles sont également multipliées ou divisées ; cela correspond à l'addition ou à la soustraction dans l'espace vectoriel. Lorsque des quantités mesurables sont élevées à une puissance rationnelle, il en est de même pour les symboles dimensionnels attachés à ces quantités ; cela correspond à la multiplication scalaire dans l'espace vectoriel.

Une base pour un tel espace vectoriel de symboles dimensionnels est appelée un ensemble de quantités de base , et tous les autres vecteurs sont appelés unités dérivées. Comme dans tout espace vectoriel, on peut choisir différentes bases , ce qui donne différents systèmes d'unités (par exemple, choisir si l'unité de charge est dérivée de l'unité de courant, ou vice versa).

L'identité de groupe, la dimension des quantités sans dimension, correspond à l'origine dans cet espace vectoriel.

L'ensemble des unités des grandeurs physiques impliquées dans un problème correspond à un ensemble de vecteurs (ou une matrice). La nullité décrit un certain nombre (par exemple, m ) de façons dont ces vecteurs peuvent être combinés pour produire un vecteur nul. Celles-ci correspondent à produire (à partir des mesures) un certain nombre de quantités sans dimension, {π 1 , ..., m }. (En fait, ces manières couvrent complètement le sous-espace nul d'un autre espace différent, des puissances des mesures.) Toutes les manières possibles de multiplier (et d' exposer ) ensemble les quantités mesurées pour produire quelque chose avec les mêmes unités qu'une quantité dérivée X peut être exprimée sous la forme générale

Par conséquent, toutes les équations proportionnelles possibles à la physique du système peuvent être réécrites sous la forme

Connaître cette restriction peut être un outil puissant pour obtenir de nouvelles informations sur le système.

Mécanique

La dimension des quantités physiques d'intérêt en mécanique peut être exprimée en termes de dimensions de base T, L et M - celles-ci forment un espace vectoriel à 3 dimensions. Ce n'est pas le seul choix valable de dimensions de base, mais c'est le plus couramment utilisé. Par exemple, on pourrait choisir la force, la longueur et la masse comme dimensions de base (comme certains l'ont fait), avec les dimensions associées F, L, M ; cela correspond à une base différente, et on peut convertir entre ces représentations par un changement de base . Le choix de l'ensemble de dimensions de base est donc une convention, avec l'avantage d'une utilité et d'une familiarité accrues. Le choix des dimensions de base n'est pas entièrement arbitraire, car elles doivent constituer une base : elles doivent s'étendre sur l'espace, et être linéairement indépendantes .

Par exemple, F, L, M forment un ensemble de dimensions fondamentales car elles forment une base équivalente à T, L, M : la première peut s'exprimer par [F = LM/T 2 ], L, M, tandis que la ce dernier peut être exprimé par [T = (LM/F) 1/2 ], L, M.

D'autre part, la longueur, la vitesse et le temps (T, L, V) ne forment pas un ensemble de dimensions de base pour la mécanique, pour deux raisons :

  • Il n'y a aucun moyen d'obtenir la masse - ou quoi que ce soit qui en dérive, comme la force - sans introduire une autre dimension de base (ainsi, ils ne couvrent pas l'espace ).
  • La vitesse, étant exprimable en termes de longueur et de temps (V = L/T), est redondante (l'ensemble n'est pas linéairement indépendant ).

Autres domaines de la physique et de la chimie

Selon le domaine de la physique, il peut être avantageux de choisir l'un ou l'autre ensemble étendu de symboles dimensionnels. En électromagnétisme, par exemple, il peut être utile d'utiliser les dimensions de T, L, M et Q, où Q représente la dimension de la charge électrique . En thermodynamique , l'ensemble de dimensions de base est souvent étendu pour inclure une dimension pour la température, . En chimie, la quantité de substance (le nombre de molécules divisé par la constante d'Avogadro ,6,02 × 10 23  mol −1 ) est également défini comme une dimension de base, N. Dans l'interaction d'un plasma relativiste avec de fortes impulsions laser, un paramètre de similarité relativiste sans dimension , lié aux propriétés de symétrie de l' équation de Vlasov sans collision , est construit à partir de la densités de plasma, d'électrons et critiques en plus du potentiel vecteur électromagnétique. Le choix des dimensions ou même du nombre de dimensions à utiliser dans différents domaines de la physique est dans une certaine mesure arbitraire, mais la cohérence d'utilisation et la facilité de communication sont des caractéristiques communes et nécessaires.

Polynômes et fonctions transcendantales

Les arguments scalaires des fonctions transcendantales telles que les fonctions exponentielles , trigonométriques et logarithmiques , ou des polynômes inhomogènes , doivent être des quantités sans dimension . (Remarque : cette exigence est quelque peu assouplie dans l'analyse orientationnelle de Siano décrite ci-dessous, dans laquelle le carré de certaines quantités dimensionnées est sans dimension.)

Alors que la plupart des identités mathématiques sur les nombres sans dimension se traduisent de manière directe en quantités dimensionnelles, il faut faire attention aux logarithmes des rapports : l'identité log( a / b ) = log  a − log  b , où le logarithme est pris dans n'importe quelle base, tient pour les nombres sans dimension a et b , mais cela ne tient pas si a et b sont dimensionnels, car dans ce cas le côté gauche est bien défini mais le côté droit ne l'est pas.

De même, alors que l'on peut évaluer des monômes ( x n ) de quantités dimensionnelles, on ne peut pas évaluer des polynômes de degré mixte avec des coefficients sans dimension sur des quantités dimensionnelles : pour x 2 , l'expression (3 m) 2  = 9 m 2 a un sens (en tant qu'aire ), alors que pour x 2  +  x , l'expression (3 m) 2  + 3 m = 9 m 2  + 3 m n'a pas de sens.

Cependant, les polynômes de degré mixte peuvent avoir un sens si les coefficients sont des quantités physiques convenablement choisies qui ne sont pas sans dimension. Par exemple,

Il s'agit de la hauteur à laquelle un objet s'élève au temps  t si l'accélération de la gravité est de 9,8 mètres par seconde par seconde et la vitesse initiale de montée est de 500 mètres par seconde . Il n'est pas nécessaire que t soit en secondes . Par exemple, supposons que t  = 0,01 minute. Alors le premier terme serait

Incorporer des unités

La valeur d'une quantité physique dimensionnelle Z est écrite comme le produit d'une unité [ Z ] dans la dimension et d'un facteur numérique sans dimension, n .

Lorsque des quantités de même dimension sont ajoutées, soustraites ou comparées, il est commode de les exprimer en unités cohérentes afin que les valeurs numériques de ces quantités puissent être directement ajoutées ou soustraites. Mais, dans le concept, il n'y a aucun problème à additionner des quantités de même dimension exprimées dans des unités différentes. Par exemple, 1 mètre ajouté à 1 pied est une longueur, mais on ne peut pas dériver cette longueur en ajoutant simplement 1 et 1. Un facteur de conversion , qui est un rapport de quantités de même dimension et est égal à l'unité sans dimension, est nécessaire :

est identique à

Le facteur est identique au 1 sans dimension, donc multiplier par ce facteur de conversion ne change rien. Ensuite, lors de l'ajout de deux quantités de dimension similaire, mais exprimées dans des unités différentes, le facteur de conversion approprié, qui est essentiellement le sans dimension 1, est utilisé pour convertir les quantités en unités identiques afin que leurs valeurs numériques puissent être ajoutées ou soustraites.

Ce n'est que de cette manière qu'il est significatif de parler d'addition de quantités de même dimension d'unités différentes.

Position vs déplacement

Certaines discussions sur l'analyse dimensionnelle décrivent implicitement toutes les quantités comme des vecteurs mathématiques. (En mathématiques, les scalaires sont considérés comme un cas particulier de vecteurs ; les vecteurs peuvent être ajoutés ou soustraits d'autres vecteurs, et, entre autres, multipliés ou divisés par des scalaires. Si un vecteur est utilisé pour définir une position, cela suppose un point implicite de référence : une origine . Bien que cela soit utile et souvent parfaitement adéquat, permettant de détecter de nombreuses erreurs importantes, il peut échouer à modéliser certains aspects de la physique. Une approche plus rigoureuse nécessite de distinguer position et déplacement (ou moment dans le temps versus durée, ou température absolue par rapport au changement de température).

Considérez des points sur une ligne, chacun avec une position par rapport à une origine donnée, et des distances entre eux. Les positions et les déplacements ont tous des unités de longueur, mais leur signification n'est pas interchangeable :

  • l'ajout de deux déplacements devrait donner un nouveau déplacement (marcher dix pas puis vingt pas vous fait avancer de trente pas),
  • l'ajout d'un déplacement à une position devrait donner une nouvelle position (en marchant un pâté de maisons dans la rue à partir d'une intersection vous amène à la prochaine intersection),
  • la soustraction de deux positions devrait donner un déplacement,
  • mais on ne peut pas ajouter deux positions.

Cela illustre la distinction subtile entre les quantités affines (celles modélisées par un espace affine , comme la position) et les quantités vectorielles (celles modélisées par un espace vectoriel , comme le déplacement).

  • Des quantités vectorielles peuvent être ajoutées les unes aux autres, produisant une nouvelle quantité vectorielle, et une quantité vectorielle peut être ajoutée à une quantité affine appropriée (un espace vectoriel agit sur un espace affine), produisant une nouvelle quantité affine.
  • Les quantités affines ne peuvent pas être ajoutées, mais peuvent être soustraites, donnant des quantités relatives qui sont des vecteurs, et ces différences relatives peuvent ensuite être ajoutées les unes aux autres ou à une quantité affine.

Correctement alors, les positions ont une dimension de longueur affine , tandis que les déplacements ont une dimension de longueur vectorielle . Pour attribuer un nombre à une unité affine , il faut non seulement choisir une unité de mesure, mais aussi un point de référence , alors que pour attribuer un nombre à une unité vectorielle ne nécessite qu'une unité de mesure.

Ainsi, certaines quantités physiques sont mieux modélisées par des quantités vectorielles tandis que d'autres ont tendance à nécessiter une représentation affine, et la distinction se reflète dans leur analyse dimensionnelle.

Cette distinction est particulièrement importante dans le cas de la température, pour laquelle la valeur numérique du zéro absolu n'est pas l'origine 0 dans certaines échelles. Pour le zéro absolu,

−273,15 °C 0 K = 0 °R ≘ -459,67 °F,

où le symbole ≘ signifie correspond à , car bien que ces valeurs sur les échelles de température respectives correspondent, elles représentent des quantités distinctes de la même manière que les distances de points de départ distincts au même point final sont des quantités distinctes et ne peuvent en général pas être assimilées.

Pour les différences de température,

1 K = 1 °C 1 °F (−17 °C) = 1 °R.

(Ici, °R fait référence à l' échelle de Rankine et non à l' échelle de Réaumur ). La conversion d'unités pour les différences de température est simplement une question de multiplication par, par exemple, 1 °F / 1 K (bien que le rapport ne soit pas une valeur constante). Mais parce que certaines de ces échelles ont des origines qui ne correspondent pas au zéro absolu, la conversion d'une échelle de température à une autre nécessite d'en tenir compte. En conséquence, une simple analyse dimensionnelle peut conduire à des erreurs s'il est ambigu si 1 K signifie la température absolue égale à -272,15 °C, ou la différence de température égale à 1 °C.

Orientation et cadre de référence

Similaire à la question d'un point de référence est la question de l'orientation : un déplacement en 2 ou 3 dimensions n'est pas seulement une longueur, mais est une longueur avec une direction . (Ce problème ne se pose pas en 1 dimension, ou plutôt équivaut à la distinction entre positif et négatif.) Ainsi, pour comparer ou combiner des quantités à deux dimensions dans un espace multidimensionnel, il faut aussi une orientation : il faut les comparer à un référentiel .

Cela conduit aux extensions discutées ci-dessous, à savoir les dimensions dirigées de Huntley et l'analyse orientationnelle de Siano.

Exemples

Un exemple simple : période d'un oscillateur harmonique

Quelle est la période d' oscillation T d'une masse m attachée à un ressort linéaire idéal avec une constante de ressort k suspendu en gravité de force g ? Cette période est la solution pour T d'une équation sans dimension dans les variables T , m , k et g . Les quatre grandeurs ont les dimensions suivantes : T [T] ; m [M] ; k [M/T 2 ] ; et g [L/T 2 ]. A partir de ceux-ci, nous pouvons former un seul produit sans dimension des puissances de nos variables choisies, = [T 2 · M/T 2 / M = 1] , et mettre pour une constante sans dimension C donne l'équation sans dimension recherchée. Le produit sans dimension des puissances des variables est parfois appelé groupe de variables sans dimension ; ici le terme "groupe" signifie "collection" plutôt que groupe mathématique . Ils sont aussi souvent appelés nombres sans dimension .

Notez que la variable g n'apparaît pas dans le groupe. Il est facile de voir qu'il est impossible de former un produit sans dimension des puissances qui combine g avec k , m , et T , car g est la seule quantité qui implique la dimension L. Cela implique que dans ce problème le g n'est pas pertinent. L'analyse dimensionnelle peut parfois produire des déclarations fortes sur la non - pertinence de certaines quantités dans un problème, ou le besoin de paramètres supplémentaires. Si nous avons choisi suffisamment de variables pour décrire correctement le problème, alors à partir de cet argument nous pouvons conclure que la période de la masse sur le ressort est indépendante de g : elle est la même sur la terre ou la lune. L'équation qui démontre l'existence d'un produit de pouvoirs pour notre problème peut être écrit de manière tout à fait équivalente: , pour une constante adimensionnelle κ (égale à partir de l'équation de dimension d' origine).

Face à un cas où l'analyse dimensionnelle rejette une variable ( g , ici) à laquelle on s'attend intuitivement à appartenir dans une description physique de la situation, une autre possibilité est que la variable rejetée soit en fait pertinente, mais qu'une autre variable pertinente ait été omis, qui pourrait se combiner avec la variable rejetée pour former une quantité sans dimension. Ce n'est cependant pas le cas ici.

Lorsque l'analyse dimensionnelle ne donne qu'un seul groupe sans dimension, comme ici, il n'y a pas de fonctions inconnues et la solution est dite "complète" - bien qu'elle puisse encore impliquer des constantes sans dimension inconnues, telles que κ .

Un exemple plus complexe : l'énergie d'une corde vibrante

Considérons le cas d'une corde vibrante de longueur (L) vibrant avec une amplitude A (L). Le fil a une densité linéaire ρ (M/L) et est sous tension s (LM/T 2 ), et on veut connaître l'énergie E (L 2 M/T 2 ) dans le fil. Soient π 1 et π 2 deux produits sans dimension des puissances des variables choisies, donnés par

La densité linéaire du fil n'intervient pas. Les deux groupes trouvés peuvent être combinés en une forme équivalente sous la forme d'une équation

F est une fonction inconnue, ou, de manière équivalente comme

f est une autre fonction inconnue. Ici, la fonction inconnue implique que notre solution est maintenant incomplète, mais l'analyse dimensionnelle nous a donné quelque chose qui n'était peut-être pas évident : l'énergie est proportionnelle à la première puissance de la tension. À moins d'une analyse analytique plus poussée, nous pourrions procéder à des expériences pour découvrir la forme de la fonction inconnue f . Mais nos expériences sont plus simples qu'en l'absence d'analyse dimensionnelle. Nous n'en ferions aucun pour vérifier que l'énergie est proportionnelle à la tension. Ou peut-être pourrions-nous deviner que l'énergie est proportionnelle à , et donc en déduire que E = s . La puissance de l'analyse dimensionnelle comme aide à l'expérimentation et à la formation d'hypothèses devient évidente.

La puissance de l'analyse dimensionnelle devient vraiment apparente lorsqu'elle est appliquée à des situations, contrairement à celles indiquées ci-dessus, qui sont plus compliquées, l'ensemble des variables impliquées n'est pas apparent et les équations sous-jacentes désespérément complexes. Considérons, par exemple, un petit caillou posé sur le lit d'une rivière. Si la rivière coule assez vite, elle soulèvera en fait le caillou et le fera couler avec l'eau. A quelle vitesse critique cela se produira-t-il ? Trier les variables devinées n'est pas aussi facile qu'avant. Mais l'analyse dimensionnelle peut être une aide puissante pour comprendre des problèmes comme celui-ci, et est généralement le tout premier outil à être appliqué à des problèmes complexes où les équations et les contraintes sous-jacentes sont mal comprises. Dans de tels cas, la réponse peut dépendre d'un nombre sans dimension tel que le nombre de Reynolds , qui peut être interprété par une analyse dimensionnelle.

Un troisième exemple : demande versus capacité pour un disque rotatif

Analyse dimensionnelle et expériences numériques pour un disque en rotation

Considérons le cas d'un disque rotatif mince, solide, à côtés parallèles d'épaisseur axiale t (L) et de rayon R (L). Le disque a une densité ρ (M / L 3 ), tourne à une vitesse angulaire ω (T -1 ) ce qui conduit à une contrainte S (T -2 L -1 M) dans le matériau. Il existe une solution élastique linéaire théorique, donnée par Lame, à ce problème lorsque le disque est mince par rapport à son rayon, les faces du disque sont libres de se déplacer axialement et les relations constitutives des contraintes planes peuvent être supposées valides. Au fur et à mesure que le disque devient plus épais par rapport au rayon, la solution de contrainte plane se décompose. Si le disque est retenu axialement sur ses faces libres, alors un état de déformation plane se produira. Cependant, si ce n'est pas le cas, l'état de contrainte ne peut être déterminé qu'en tenant compte de l'élasticité tridimensionnelle et il n'y a pas de solution théorique connue pour ce cas. Un ingénieur pourrait donc être intéressé à établir une relation entre les cinq variables. L'analyse dimensionnelle pour ce cas conduit aux groupes non dimensionnels suivants (5 − 3 = 2) :

demande/capacité = ρR 2 ω 2 / S
épaisseur/rayon ou rapport hauteur / largeur = t / R

Grâce à l'utilisation d'expériences numériques utilisant, par exemple, la méthode des éléments finis , la nature de la relation entre les deux groupes non dimensionnels peut être obtenue comme le montre la figure. Comme ce problème ne concerne que deux groupes non dimensionnels, l'image complète est fournie dans un seul tracé et cela peut être utilisé comme un tableau de conception/d'évaluation pour les disques rotatifs

Rallonges

Extension de Huntley : dimensions dirigées et quantité de matière

Huntley ( Huntley 1967 ) a souligné qu'une analyse dimensionnelle peut devenir plus puissante en découvrant de nouvelles dimensions indépendantes dans les quantités considérées, augmentant ainsi le rang de la matrice dimensionnelle. Il a introduit deux approches pour ce faire :

  • Les grandeurs des composantes d'un vecteur doivent être considérées comme indépendantes de la dimension. Par exemple, plutôt qu'une dimension de longueur indifférenciée L, nous pouvons avoir L x représentant la dimension dans la direction x, et ainsi de suite. Cette exigence découle en fin de compte de l'exigence que chaque composant d'une équation physiquement significative (scalaire, vecteur ou tenseur) doit être dimensionnellement cohérent.
  • La masse en tant que mesure de la quantité de matière doit être considérée dimensionnellement indépendante de la masse en tant que mesure de l'inertie.

À titre d'exemple de l'utilité de la première approche, supposons que nous souhaitions calculer la distance parcourue par un boulet de canon lorsqu'il est tiré avec une composante de vitesse verticale et une composante de vitesse horizontale , en supposant qu'il est tiré sur une surface plane. En supposant aucune utilisation de longueurs dirigées, les quantités d'intérêt sont alors , , toutes deux dimensionnées comme T -1 L, R , la distance parcourue, ayant la dimension L, et g l'accélération descendante de la gravité, avec la dimension T -2 L.

Avec ces quatre quantités, nous pouvons conclure que l'équation pour l'intervalle R peut s'écrire :

Ou dimensionnellement

d'où l'on peut déduire que et , ce qui laisse un exposant indéterminé. C'est normal puisque nous avons deux dimensions fondamentales T et L, et quatre paramètres, avec une équation.

Si, cependant, nous utilisons des dimensions de longueur dirigées, alors sera dimensionné comme T -1 L x , comme T -1 L y , R comme L x et g comme T -2 L y . L'équation dimensionnelle devient :

et nous pouvons résoudre complètement comme , et . L'augmentation de la puissance de déduction obtenue par l'utilisation de dimensions de longueur dirigées est apparente.

Dans sa deuxième approche, Huntley soutient qu'il est parfois utile (par exemple, en mécanique des fluides et en thermodynamique) de faire la distinction entre la masse en tant que mesure de l'inertie (masse inertielle) et la masse en tant que mesure de la quantité de matière. La quantité de matière est définie par Huntley comme une quantité (a) proportionnelle à la masse inertielle, mais (b) n'impliquant pas de propriétés inertielles. Aucune autre restriction n'est ajoutée à sa définition.

Par exemple, considérons la dérivation de la loi de Poiseuille . Nous souhaitons trouver le débit massique d'un fluide visqueux à travers un tuyau circulaire. Sans faire de distinction entre masse inertielle et masse substantielle, nous pouvons choisir comme variables pertinentes

  • le débit massique de dimension T −1 M
  • le gradient de pression le long de la conduite de dimension T −2 L −2 M
  • p la densité de dimension L -3 M
  • η la viscosité dynamique du fluide de dimension T −1 L −1 M
  • r le rayon du tuyau de dimension L

Il y a trois variables fondamentales, donc les cinq équations ci-dessus donneront deux variables sans dimension que nous pouvons considérer comme et et nous pouvons exprimer l'équation dimensionnelle comme

C et a sont des constantes indéterminées. Si nous distinguons la masse inertielle de dimension et la quantité de matière de dimension , alors le débit massique et la densité utiliseront la quantité de matière comme paramètre de masse, tandis que le gradient de pression et le coefficient de viscosité utiliseront la masse inertielle. Nous avons maintenant quatre paramètres fondamentaux et une constante sans dimension, de sorte que l'équation dimensionnelle peut s'écrire :

où maintenant seul C est une constante indéterminée (trouvée égale à par des méthodes en dehors de l'analyse dimensionnelle). Cette équation peut être résolue pour que le débit massique donne la loi de Poiseuille .

La reconnaissance par Huntley de la quantité de matière en tant que dimension quantitative indépendante réussit manifestement dans les problèmes où elle est applicable, mais sa définition de la quantité de matière est sujette à interprétation, car elle manque de spécificité au-delà des deux exigences (a) et (b) il postulé pour cela. Pour une substance donnée, la quantité de substance de dimension SI , avec l'unité mole , satisfait les deux exigences de Huntley en tant que mesure de quantité de matière, et pourrait être utilisée comme quantité de matière dans tout problème d'analyse dimensionnelle où le concept de Huntley est applicable.

Le concept de Huntley des dimensions de longueur dirigée a cependant quelques limitations sérieuses :

  • Il ne traite pas bien les équations vectorielles impliquant le produit vectoriel ,
  • il ne gère pas non plus bien l'utilisation des angles comme variables physiques.

Il est également souvent assez difficile d'attribuer les symboles L, L x , L y , L z aux variables physiques impliquées dans le problème d'intérêt. Il invoque une procédure qui implique la « symétrie » du problème physique. C'est souvent très difficile à appliquer de manière fiable : il n'est pas clair sur quelles parties du problème la notion de « symétrie » est invoquée. Est-ce la symétrie du corps physique sur laquelle les forces agissent, ou les points, lignes ou zones sur lesquels les forces sont appliquées ? Et si plus d'un corps est impliqué avec différentes symétries ?

Considérons la bulle sphérique attachée à un tube cylindrique, où l'on veut le débit d'air en fonction de la différence de pression dans les deux parties. Quelles sont les dimensions étendues Huntley de la viscosité de l'air contenu dans les pièces connectées ? Quelles sont les dimensions étendues de la pression des deux parties ? Sont-ils identiques ou différents? Ces difficultés sont responsables de l'application limitée des dimensions de longueur dirigée de Huntley à des problèmes réels.

L'extension de Siano : analyse orientationnelle

Les angles sont, par convention, considérés comme des grandeurs sans dimension. A titre d'exemple, considérons à nouveau le problème de projectile dans lequel on a lancé une masse ponctuelle à partir de l'origine ( x , y ) = (0, 0) à une vitesse v et l' angle θ au- dessus du x selon l' axe a , avec la force de pesanteur dirigée le long l' axe y négatif. On souhaite trouver la plage R , à laquelle la masse revient sur l' axe des x . Une analyse classique donnera la variable adimensionnelle π = R g / v 2 , mais ne donne aucun aperçu de la relation entre R et θ .

Siano ( 1985-I , 1985-II ) a suggéré que les dimensions dirigées de Huntley soient remplacées en utilisant des symboles d'orientation 1 x  1 y  1 z pour désigner les directions vectorielles, et un symbole sans orientation 1 0 . Ainsi, L x de Huntley devient L1 x avec L spécifiant la dimension de la longueur et 1 x spécifiant l'orientation. Siano montre en outre que les symboles d'orientation ont leur propre algèbre. Avec l'exigence que 1 i −1 = 1 i , la table de multiplication suivante pour les symboles d'orientation résulte :

Notez que les symboles d'orientation forment un groupe (le groupe des quatre Klein ou "Viergruppe"). Dans ce système, les scalaires ont toujours la même orientation que l'élément identité, indépendamment de la « symétrie du problème ». Les grandeurs physiques qui sont des vecteurs ont l'orientation attendue : une force ou une vitesse dans la direction z a l'orientation 1 z . Pour des angles, envisager un angle θ qui se trouve dans le plan z. Former un triangle dans le plan z avec θ étant l' un des angles aigus. Le côté du triangle rectangle adjacent à l'angle a alors une orientation 1 x et le côté opposé a une orientation 1 y . Puisque (en utilisant ~ pour indiquer l'équivalence d'orientation) tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 y /1 x nous concluons qu'un angle dans le plan xy doit avoir une orientation 1 y /1 x = 1 z , ce qui est pas déraisonnable. Un raisonnement analogue force la conclusion que sin( θ ) a l'orientation 1 z tandis que cos( θ ) a l'orientation 1 0 . Celles-ci sont différentes, donc on conclut (correctement), par exemple, qu'il n'y a pas de solutions d'équations physiques de la forme a cos( θ ) + b sin( θ ) , où a et b sont des scalaires réels. Notez qu'une expression telle que n'est pas dimensionnellement incohérente puisqu'il s'agit d'un cas particulier de la formule de la somme des angles et doit être correctement écrite :

qui pour et les rendements . Siano distingue les angles géométriques, qui ont une orientation dans l'espace tridimensionnel, et les angles de phase associés aux oscillations temporelles, qui n'ont pas d'orientation spatiale, c'est-à-dire que l'orientation d'un angle de phase est .

L'affectation de symboles d'orientation à des quantités physiques et l'exigence que les équations physiques soient homogènes du point de vue de l'orientation peuvent en fait être utilisées d'une manière similaire à l'analyse dimensionnelle pour obtenir un peu plus d'informations sur les solutions acceptables des problèmes physiques. Dans cette approche, on établit l'équation dimensionnelle et on la résout aussi loin que l'on peut. Si la puissance la plus faible d'une variable physique est fractionnaire, les deux côtés de la solution sont élevés à une puissance telle que toutes les puissances sont intégrales. Cela le met en "forme normale". L'équation d'orientation est ensuite résolue pour donner une condition plus restrictive sur les puissances inconnues des symboles d'orientation, aboutissant à une solution plus complète que celle que donne l'analyse dimensionnelle seule. Souvent, l'information ajoutée est que l'une des puissances d'une certaine variable est paire ou impaire.

A titre d'exemple, pour le problème de projectile, en utilisant des symboles orientationnels, θ , étant dans le plan xy aura ainsi dimension 1 z et la portée du projectile R sera de la forme:

L'homogénéité dimensionnelle donnera désormais correctement a = −1 et b = 2 , et l'homogénéité d'orientation l'exige . En d'autres termes, ce c doit être un entier impair. En fait , la fonction requise de thêta sera sin ( θ ) cos ( θ ) qui est une série comprenant des puissances impaires de θ .

On voit que la série de Taylor sin ( θ ) et cos ( θ ) sont orientationnellement homogènes en utilisant la table de multiplication ci - dessus, alors que les expressions comme cos ( θ ) + sin ( θ ) et exp ( θ ) ne sont pas, et sont (correctement ) réputé non physique.

L'analyse orientationnelle de Siano est compatible avec la conception conventionnelle des quantités angulaires comme étant sans dimension, et dans l'analyse orientationnelle, le radian peut toujours être considéré comme une unité sans dimension. L'analyse orientationnelle d'une équation quantitative est effectuée séparément de l'analyse dimensionnelle ordinaire, fournissant des informations qui complètent l'analyse dimensionnelle.

Concepts sans dimension

Constantes

Les constantes sans dimension qui apparaissent dans les résultats obtenus, telles que le C dans le problème de la loi de Poiseuille et les problèmes du ressort discutés ci-dessus, proviennent d'une analyse plus détaillée de la physique sous-jacente et proviennent souvent de l'intégration d'une équation différentielle. L'analyse dimensionnelle elle-même n'a pas grand-chose à dire sur ces constantes, mais il est utile de savoir qu'elles ont très souvent une grandeur d'ordre unité. Cette observation peut permettre de faire parfois des calculs « au fond de l'enveloppe » sur le phénomène d'intérêt, et donc de pouvoir concevoir plus efficacement des expériences pour le mesurer, ou juger s'il est important, etc.

Formalismes

Paradoxalement, l'analyse dimensionnelle peut être un outil utile même si tous les paramètres de la théorie sous-jacente sont sans dimension, par exemple, des modèles en réseau tels que le modèle d'Ising peuvent être utilisés pour étudier les transitions de phase et les phénomènes critiques. De tels modèles peuvent être formulés de manière purement adimensionnelle. Au fur et à mesure que nous nous rapprochons du point critique, la distance sur laquelle les variables du modèle en réseau sont corrélées (la longueur dite de corrélation, ) devient de plus en plus grande. Maintenant, la longueur de corrélation est l'échelle de longueur pertinente liée aux phénomènes critiques, donc on peut, par exemple, conjecturer sur des « raisons dimensionnelles » que la partie non analytique de l'énergie libre par site de réseau devrait se situer là où se trouve la dimension du réseau.

Il a été soutenu par certains physiciens, par exemple MJ Duff , que les lois de la physique sont intrinsèquement sans dimension. Le fait que nous ayons attribué des dimensions incompatibles à la longueur, au temps et à la masse n'est, selon ce point de vue, qu'une question de convention, du fait qu'avant l'avènement de la physique moderne, il n'y avait aucun moyen de relier la masse, la longueur et le temps les uns par rapport aux autres. Les trois constantes dimensionful indépendantes: c , ħ et G , dans les équations fondamentales de la physique doivent alors être considérés comme des facteurs de conversion simples pour convertir masse, temps et la longueur dans l'autre.

Tout comme dans le cas des propriétés critiques des modèles de réseau, on peut récupérer les résultats de l'analyse dimensionnelle dans la limite d'échelle appropriée ; par exemple, l' analyse dimensionnelle en mécanique peut être obtenue en réinsérant les constantes de , c et G (mais nous pouvons maintenant les considèrent comme adimensionnel) et exigeant une relation entre les quantités inversible existe dans la limite , et . Dans les problèmes impliquant un champ gravitationnel, cette dernière limite doit être prise de telle sorte que le champ reste fini.

Équivalences dimensionnelles

Vous trouverez ci-dessous des tableaux d'expressions courantes en physique, liées aux dimensions de l'énergie, de la quantité de mouvement et de la force.

Les unités SI

Énergie, E

T -2 L 2 M

Expression Nomenclature
Mécanique F = force , d = distance
S = action , t = temps, P = puissance
m = masse , v = vitesse , p = quantité de mouvement
L = quantité de mouvement angulaire , I = moment d'inertie , ω = vitesse angulaire
Gaz parfaits p = pression, Volume , T = température N = quantité de substance
Vagues I = intensité des vagues , S = vecteur de Poynting
Électromagnétique q = charge électrique , ϕ = potentiel électrique (pour les changements c'est la tension )
E = champ électrique , B = champ magnétique ,
ε = permittivité , μ = perméabilité ,
V = 3d volume de
p = moment dipolaire électrique , m = moment magnétique,
A = aire (délimitée par une boucle de courant), I = courant électrique en boucle
élan, p

T -1 LM

Expression Nomenclature
Mécanique m = masse, v = vitesse, F = force, t = temps
S = action, L = moment cinétique, r = déplacement
Thermique = vitesse quadratique moyenne , m = masse (d'une molécule)
Vagues ρ = densité , V = volume , v = vitesse de phase
Électromagnétique A = potentiel vecteur magnétique
Forcer, F

T -2 LM

Expression Nomenclature
Mécanique m = masse, a = accélération
Thermique S = entropie, T = température, r = déplacement (voir force entropique )
Électromagnétique E = champ électrique, B = champ magnétique, v = vitesse, q = charge

Unités naturelles

Si c = ħ = 1 , où c est la vitesse de la lumière et ħ est la diminution constante de Planck , et une unité fixe d'énergie appropriée est choisie, toutes les quantités de temps T , la longueur L et de masse M peuvent être exprimés (dimensions) comme une puissance d'énergie E , car la longueur, la masse et le temps peuvent être exprimés en utilisant la vitesse v , l'action S , et l'énergie E :

bien que la vitesse et l'action soient sans dimension ( v = c = 1 et S = ħ = 1 ) - donc la seule quantité restante avec dimension est l'énergie. En termes de puissances de dimensions :

Ceci est particulièrement utile en physique des particules et en physique des hautes énergies, auquel cas l'unité d'énergie est l'électron-volt (eV). Les contrôles dimensionnels et les estimations deviennent très simples dans ce système.

Cependant, si des charges électriques et des courants sont impliqués, une autre unité à fixer est celle de la charge électrique, normalement la charge électronique e bien que d'autres choix soient possibles.

Quantité puissances d'énergie p , q , r n
puissance d'énergie
p q r m
Action, S -1 2 1 0
Vitesse, v -1 1 0 0
Messe, M 0 0 1 1
Longueur, L 0 1 0 -1
Temps, t 1 0 0 -1
élan, p -1 1 1 1
Énergie, E -2 2 1 1

Voir également

Domaines connexes des mathématiques

Langages de programmation

L'exactitude dimensionnelle dans le cadre de la vérification de type a été étudiée depuis 1977. Des implémentations pour Ada et C++ ont été décrites en 1985 et 1988. La thèse de Kennedy en 1996 décrit une implémentation en Standard ML , et plus tard en F# . Il existe des implémentations pour Haskell , OCaml et Rust , Python et un vérificateur de code pour Fortran .
La thèse de Griffioen en 2019 a étendu le système de type Hindley-Milner de Kennedy pour prendre en charge les matrices de Hart.

Remarques

Les références

Liens externes

Conversion d'unités