Quantité sans dimension - Dimensionless quantity

Dans l'analyse dimensionnelle , une quantité sans dimension est une quantité à laquelle aucune dimension physique n'est attribuée, également connue sous le nom de quantité nue, pure ou scalaire ou une quantité de dimension un, avec une unité de mesure correspondante dans le SI de l'unité un ( ou 1 ), qui n'est pas explicitement affiché. Les quantités sans dimension sont largement utilisées dans de nombreux domaines, tels que les mathématiques , la physique , la chimie , l' ingénierie et l' économie . Les quantités sans dimension sont distinctes des quantités qui ont des dimensions associées, telles que le temps (mesuré en secondes ). Cependant, les symboles rad et sr sont écrits explicitement le cas échéant, afin de souligner que, pour les radians ou les stéradians, la grandeur considérée est, ou fait intervenir respectivement l'angle plan ou l'angle solide. Par exemple, etendue est défini comme ayant des unités de mètres fois des stéradians.

Histoire

Les quantités ayant une dimension, les quantités sans dimension , se produisent régulièrement dans les sciences, et sont formellement traitées dans le domaine de l'analyse dimensionnelle . Au XIXe siècle, le mathématicien français Joseph Fourier et le physicien écossais James Clerk Maxwell ont mené des développements importants dans les concepts modernes de dimension et d' unité . Les travaux ultérieurs des physiciens britanniques Osborne Reynolds et Lord Rayleigh ont contribué à la compréhension des nombres sans dimension en physique. S'appuyant sur la méthode d'analyse dimensionnelle de Rayleigh, Edgar Buckingham a prouvé le théorème π (indépendamment des travaux antérieurs du mathématicien français Joseph Bertrand ) pour formaliser la nature de ces quantités.

De nombreux nombres sans dimension, principalement des rapports, ont été inventés au début des années 1900, en particulier dans les domaines de la mécanique des fluides et du transfert de chaleur . Les rapports de mesure dans l'unité (dérivée) dB ( décibel ) sont largement utilisés de nos jours.

Au début des années 2000, le Comité international des poids et mesures a discuté de l'appellation de l'unité de 1 en tant que « uno », mais l'idée d'introduire simplement un nouveau nom SI pour 1 a été abandonnée.

Rapports, proportions et angles

Les quantités sans dimension sont souvent obtenues sous forme de rapports de quantités qui ne sont pas sans dimension, mais dont les dimensions s'annulent dans l'opération mathématique. Les exemples incluent le calcul de pentes ou de facteurs de conversion d'unités . Un exemple plus complexe d'un tel rapport est la contrainte d'ingénierie , une mesure de la déformation physique définie comme un changement de longueur divisé par la longueur initiale. Étant donné que les deux quantités ont la dimension longueur , leur rapport est sans dimension. Un autre ensemble d'exemples est les fractions massiques ou les fractions molaires souvent écrites en utilisant la notation parties par partie telles que ppm (= 10 −6 ), ppb (= 10 −9 ) et ppt (= 10 −12 ), ou peut-être de manière confuse en tant que rapports de deux unités identiques ( kg /kg ou mol /mol). Par exemple, l' alcool en volume , qui caractérise la concentration d' éthanol dans une boisson alcoolisée , pourrait s'écrire ml / 100 ml .

D' autres proportions sont des pourcentages ordinaires %  (= 0,01),    (= 0,001) et les unités d'angle tels que le radian , le degré (° = ??/180) et diplômé (= ??/200). En statistique, le coefficient de variation est le rapport de l' écart-type à la moyenne et sert à mesurer la dispersion des données .

Il a été soutenu que les quantités définies comme les rapports Q = A / B ayant des dimensions égales au numérateur et au dénominateur ne sont en fait que des quantités sans unité et ont toujours une dimension physique définie comme dim Q = dim A × dim B −1 . Par exemple, la teneur en humidité peut être définie comme un rapport de volumes (humidité volumétrique, m 3 ⋅m -3 , dimension L 3 ⋅L -3 ) ou comme un rapport de masses (humidité gravimétrique, des unités kg⋅kg -1 , dimension M⋅M -1 ); les deux seraient des quantités sans unité, mais de dimension différente.

Buckingham du théorème

Le théorème de Buckingham π indique que la validité des lois de la physique ne dépend pas d'un système d'unités spécifique. Une déclaration de ce théorème est que toute loi physique peut être exprimée comme une identité impliquant uniquement des combinaisons sans dimension (rapports ou produits) des variables liées par la loi (par exemple, la pression et le volume sont liés par la loi de Boyle - ils sont inversement proportionnels). Si les valeurs des combinaisons sans dimension changeaient avec les systèmes d'unités, alors l'équation ne serait pas une identité, et le théorème de Buckingham ne tiendrait pas.

Une autre conséquence du théorème est que la dépendance fonctionnelle entre un certain nombre (disons, n ) de variables peut être réduite par le nombre (disons, k ) de dimensions indépendantes apparaissant dans ces variables pour donner un ensemble de p = nk indépendant , quantités sans dimension . Pour les besoins de l'expérimentateur, différents systèmes qui partagent la même description par quantité sans dimension sont équivalents.

Exemple

Pour démontrer l'application du théorème π , considérons la consommation électrique d'un agitateur de forme donnée. La puissance, P , dans les dimensions [M · L 2 / T 3 ], est une fonction de la densité , ρ [M / L 3 ], et la viscosité du fluide à agiter, μ [M / (L · T )], ainsi que la taille de l'agitateur donnée par son diamètre , D [L], et la vitesse angulaire de l'agitateur, n [1/T]. Par conséquent, nous avons un total de n = 5 variables représentant notre exemple. Ces n = 5 variables sont construites à partir de k = 3 dimensions fondamentales, la longueur : L ( unités SI : m ), le temps : T ( s ) et la masse : M ( kg ).

Selon le π -theorem, le n = 5 variables peuvent être réduits par les k = 3 dimensions à la forme p = n - k = 5 - 3 = 2 nombres adimensionnels indépendants. Habituellement, ces quantités sont choisies comme , communément appelée le nombre de Reynolds qui décrit le régime d'écoulement du fluide, et , le nombre de puissance , qui est la description sans dimension de l'agitateur.

Notez que les deux quantités sans dimension ne sont pas uniques et dépendent de laquelle des n = 5 variables est choisie comme k = 3 variables de base indépendantes, qui apparaissent dans les deux quantités sans dimension. Le nombre de Reynolds et le nombre de puissance découlent de l'analyse ci-dessus si , n et D sont choisis comme variables de base. Si à la place, , n et D sont sélectionnés, le nombre de Reynolds est récupéré tandis que la deuxième quantité sans dimension devient . Notons que c'est le produit du nombre de Reynolds et du nombre de puissance.

Constantes physiques sans dimension

Certaines constantes physiques universelles de dimensions, telles que la vitesse de la lumière dans le vide, la constante de gravitation universelle , la constante de Planck , la constante de Coulomb , et la constante de Boltzmann peuvent être normalisées à 1 si les unités appropriées pour le temps , la longueur , la masse , la charge et la température sont choisi. Le système d'unités résultant est connu sous le nom d'unités naturelles , en particulier en ce qui concerne ces cinq constantes, les unités de Planck . Cependant, toutes les constantes physiques ne peuvent pas être normalisées de cette manière. Par exemple, les valeurs des constantes suivantes sont indépendantes du système d'unités, ne peuvent être définies et ne peuvent être déterminées qu'expérimentalement :

Autres grandeurs produites par la non-dimensionnalité

La physique utilise souvent des quantités sans dimension pour simplifier la caractérisation des systèmes avec de multiples phénomènes physiques en interaction. Ceux-ci peuvent être trouvés en appliquant le théorème de Buckingham π ou peuvent émerger autrement en rendant les équations aux dérivées partielles sans unité par le processus de non - dimensionnalité . L'ingénierie, l'économie et d'autres domaines étendent souvent ces idées dans la conception et l'analyse des systèmes pertinents.

Physique et ingénierie

  • Bêta (physique des plasmas) - rapport de la pression du plasma à la pression magnétique, utilisé en physique magnétosphérique ainsi qu'en physique des plasmas de fusion.
  • Nombres de Damköhler (Da) - utilisés en génie chimique pour relier l'échelle de temps de la réaction chimique (vitesse de réaction) à la vitesse des phénomènes de transport se produisant dans un système.
  • Module de Thiele - décrit la relation entre la diffusion et la vitesse de réaction dans des pastilles de catalyseur poreux sans limitation de transfert de masse.
  • Ouverture numérique - caractérise la plage d'angles sur laquelle le système peut accepter ou émettre de la lumière.
  • Le nombre de Sherwood – (également appelé nombre de Nusselt de transfert de masse ) est un nombre sans dimension utilisé dans les opérations de transfert de masse. Il représente le rapport entre le transfert de masse convectif et le taux de transport de masse diffusif.
  • Nombre de Schmidt - défini comme le rapport de la diffusivité de la quantité de mouvement (viscosité cinématique) et de la diffusivité de masse, et est utilisé pour caractériser les écoulements de fluide dans lesquels il existe des processus simultanés de convection de quantité de mouvement et de diffusion de masse.
  • Le nombre de Reynolds est couramment utilisé en mécanique des fluides pour caractériser l'écoulement, incorporant à la fois les propriétés du fluide et de l'écoulement. Il est interprété comme le rapport des forces d'inertie aux forces visqueuses et peut indiquer le régime d'écoulement ainsi qu'être corrélé à l'échauffement par friction appliqué à l'écoulement dans les tuyaux.

Chimie

Autres domaines

Voir également

Les références

Liens externes