Fonction delta de Dirac - Dirac delta function

Équations différentielles
Équations différentielles de Navier-Stokes utilisées pour simuler le flux d'air autour d'une obstruction
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Classification
Les types Ordinaire Partiel Différentielle-algébrique Intégro-différentiel Fractionnaire Linéaire Non-linéaire Par type de variable Variables dépendantes et indépendantes Autonome Complexe Couplé / Découplé Exact Homogène  / Non homogène Caractéristiques Commander Opérateur Notation
Relation avec les processus Différence (analogique discret) Stochastique partiel stochastique Retard
Solution
Existence et unicité Théorème de Picard–Lindelöf Théorème d'existence de Peano Théorème d'existence de Carathéodory Théorème de Cauchy-Kowalevski
Thèmes généraux Wronskian Portrait de phase Espace des phases Lyapunov  / Asymptotique  / Stabilité exponentielle Taux de convergence Série  / Solutions intégrales Intégration numérique Fonction delta de Dirac
Méthodes de résolution Inspection Méthode des caractéristiques Euler Formule de réponse exponentielle Différence finie  ( Crank-Nicolson ) Élément fini Élément infini Volume fini Galerkin Petrov-Galerkine Facteur d'intégration Transformations intégrales Théorie des perturbations Runge–Kutta Séparation des variables Coefficients indéterminés Variation des paramètres
Personnes Isaac Newton Gottfried Leibniz Léonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Manivelle Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

En mathématiques , la fonction delta de Dirac ( δ de la fonction ), également connu sous le nom d' impulsion unitaire symbole, est une fonction généralisée ou la distribution sur les nombres réels , dont la valeur est nulle partout sauf à zéro, et dont l' intégrale sur la ligne réelle entière est égale à une. Il peut également être interprété comme une fonctionnelle linéaire qui mappe chaque fonction à sa valeur à zéro, ou comme la limite faible d'une séquence de fonctions de bosse , qui sont nulles sur la majeure partie de la ligne réelle, avec un grand pic à l'origine. Les fonctions de relief sont ainsi parfois appelées fonctions delta « approchées » ou « naissantes ».

La fonction delta a été introduite par le physicien Paul Dirac comme outil de normalisation des vecteurs d'état. Il a également des utilisations dans la théorie des probabilités et le traitement du signal . Comme il ne s'agit pas d'une véritable fonction mathématique , certains mathématiciens y ont objecté comme un non-sens jusqu'à ce que Laurent Schwartz développe la théorie des distributions.

La fonction delta de Kronecker , qui est généralement définie sur un domaine discret et prend les valeurs 0 et 1, est l'analogue discret de la fonction delta de Dirac.

Motivation et aperçu

Le graphique de la fonction delta est généralement considéré comme suivant l'ensemble de l' axe x et l' axe y positif. Le delta de Dirac est utilisé pour modéliser une fonction de pointe étroite de hauteur (une impulsion ), et d' autres semblables abstractions comme une charge ponctuelle , masse ponctuelle ou électrons points. Par exemple, pour calculer la dynamique d'une boule de billard frappée, on peut approximer la force de l'impact par une fonction delta. Ce faisant, non seulement on simplifie les équations, mais on est également capable de calculer le mouvement de la balle en ne considérant que l'impulsion totale de la collision sans un modèle détaillé de tout le transfert d'énergie élastique aux niveaux subatomiques (par exemple) .

Pour être précis, supposons qu'une boule de billard soit au repos. A un moment il est frappé par une autre balle, lui conférant un élan P , en . L'échange de quantité de mouvement n'est pas réellement instantané, étant médié par des processus élastiques au niveau moléculaire et subatomique, mais à des fins pratiques, il est commode de considérer que le transfert d'énergie est effectivement instantané. La force est donc . (Les unités de sont .) ${\style d'affichage t=0}$ ${\displaystyle {\text{kg m}}/{\text{s}}}$${\style d'affichage P\delta (t)}$${\style d'affichage \delta (t)}$${\displaystyle \mathrm {s} ^{-1}}$

Pour modéliser cette situation de manière plus rigoureuse, supposons que la force soit plutôt uniformément répartie sur un petit intervalle de temps . C'est-à-dire, ${\style d'affichage \Delta t}$

${\displaystyle F_{\Delta t}(t)={\begin{cases}P/\Delta t&0<t\leq \Delta t,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Alors la quantité de mouvement à tout instant t est trouvée par intégration :

${\displaystyle p(t)=\int _{0}^{t}F_{\Delta t}(\tau )\,d\tau ={\begin{cases}P&t>\Delta t\\Pt/\ Delta t&0<t\leq \Delta t\\0&{\text{autrement.}}\end{cases}}}$

Maintenant, la situation modèle d'un transfert instantané de quantité de mouvement nécessite de prendre la limite comme , donnant ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

${\displaystyle p(t)={\begin{cases}P&t>0\\0&t\leq 0.\end{cases}}}$

Ici, les fonctions sont considérées comme des approximations utiles de l'idée de transfert instantané de quantité de mouvement. ${\displaystyle F_{\Delta t}}$

La fonction delta permet de construire une limite idéalisée de ces approximations. Malheureusement, la limite réelle des fonctions (au sens de la convergence ponctuelle ) est nulle partout sauf en un seul point, où elle est infinie. Pour donner un sens correct à la fonction delta, nous devrions plutôt insister sur le fait que la propriété ${\textstyle \lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{\Delta t}(t)\,dt=P,}$

qui vaut pour tous , devrait continuer à tenir dans la limite. Ainsi, dans l'équation , on comprend que la limite est toujours prise en dehors de l'intégrale . ${\displaystyle \Delta t>0}$${\textstyle F(t)=P\delta (t)=\lim _{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)}$

En mathématiques appliquées, comme nous l'avons fait ici, la fonction delta est souvent manipulée comme une sorte de limite (une limite faible ) d'une séquence de fonctions, dont chaque membre a un grand pic à l'origine : par exemple, une séquence de Distributions gaussiennes centrées à l'origine avec une variance tendant vers zéro.

Malgré son nom, la fonction delta n'est pas vraiment une fonction, du moins pas une fonction habituelle avec domaine et plage en nombres réels . Par exemple, les objets f ( x ) = δ ( x ) et g ( x ) = 0 sont égaux partout sauf en x = 0 mais ont des intégrales différentes. D'après la théorie de l'intégration de Lebesgue , si f et g sont des fonctions telles que f = g presque partout , alors f est intégrable si et seulement si g est intégrable et les intégrales de f et g sont identiques. Une approche rigoureuse pour considérer la fonction delta de Dirac comme un objet mathématique à part entière nécessite la théorie de la mesure ou la théorie des distributions .

Histoire

Joseph Fourier a présenté ce qu'on appelle maintenant le théorème intégral de Fourier dans son traité Théorie analytique de la chaleur sous la forme :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ \ d\alpha \,f(\alpha )\ \int _{ -\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ ,}$

ce qui revient à l'introduction de la δ -fonction sous la forme:

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }dp\ \cos(px-p\alpha )\ . }$

Plus tard, Augustin Cauchy a exprimé le théorème en utilisant des exponentielles :

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\ e^{ipx}\left(\int _{-\infty } ^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp.}$

Cauchy a souligné que dans certaines circonstances, l' ordre d'intégration dans ce résultat est significatif (contrairement au théorème de Fubini ).

Comme justifié en utilisant la théorie des distributions , l'équation de Cauchy peut être réarrangé pour ressembler à la formulation originale de Fourier et exposer le δ -fonction comme

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-ip\alpha }f(\alpha )\,d\alpha \right)\,dp\\[4pt]&={\frac {1}{2 \pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{ipx}e^{-ip\alpha }\,dp\ droite)f(\alpha )\,d\alpha =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-\alpha )f(\alpha )\,d\alpha ,\end{aligned} }}$

où le δ est exprimé comme -fonction

${\displaystyle \delta (x-\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }e^{ip(x-\alpha )}\, dp\ .}$

Une interprétation rigoureuse de la forme exponentielle et des diverses limitations de la fonction f nécessaires à son application s'est étendue sur plusieurs siècles. Les problèmes avec une interprétation classique sont expliqués comme suit :

Le plus grand inconvénient de la transformation de Fourier classique est une classe plutôt étroite de fonctions (originales) pour lesquelles elle peut être calculée efficacement. A savoir, il est nécessaire que ces fonctions décroissent suffisamment rapidement jusqu'à zéro (au voisinage de l'infini) pour assurer l'existence de l'intégrale de Fourier. Par exemple, la transformée de Fourier de fonctions aussi simples que les polynômes n'existe pas au sens classique. L'extension de la transformation de Fourier classique aux distributions a considérablement élargi la classe des fonctions pouvant être transformées et cela a levé de nombreux obstacles.

D'autres développements comprenaient la généralisation de l'intégrale de Fourier, « en commençant par la théorie révolutionnaire L ^{2 de} Plancherel (1910), en continuant avec les travaux de Wiener et Bochner (vers 1930) et en culminant avec la fusion dans la théorie des distributions de L. Schwartz (1945) ... ", et conduisant au développement formel de la fonction delta de Dirac.

Une formule infinitésimale pour une fonction delta d'impulsion unitaire infiniment grande (version infinitésimale de la distribution de Cauchy ) apparaît explicitement dans un texte de 1827 d' Augustin Louis Cauchy . Siméon Denis Poisson s'est penché sur la question à propos de l'étude de la propagation des ondes comme Gustav Kirchhoff un peu plus tard. Kirchhoff et Hermann von Helmholtz ont également introduit l'impulsion unitaire comme limite des gaussiennes , qui correspondait également à la notion de Lord Kelvin d'une source de chaleur ponctuelle. À la fin du 19e siècle, Oliver Heaviside utilise des séries de Fourier formelles pour manipuler l'impulsion unitaire. La fonction delta de Dirac en tant que telle a été présentée comme une « notation pratique » par Paul Dirac dans son livre influent de 1930 The Principles of Quantum Mechanics . Il l'a appelé la "fonction delta" car il l'a utilisé comme un analogue continu du delta discret de Kronecker .

Définitions

Le delta de Dirac peut être vaguement pensé comme une fonction sur la droite réelle qui est nulle partout sauf à l'origine, où elle est infinie,

${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}+\infty ,&x=0\\0,&x\neq 0\end{cases}}}$

et qui est également contraint de satisfaire l'identité

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx=1.}$

Il s'agit simplement d'une caractérisation heuristique . Le delta de Dirac n'est pas une fonction au sens traditionnel du terme car aucune fonction définie sur les nombres réels n'a ces propriétés. La fonction delta de Dirac peut être rigoureusement définie soit comme une distribution, soit comme une mesure .

Comme mesure

Une façon de capturer rigoureusement la notion de la fonction delta de Dirac est de définir une mesure , appelée mesure de Dirac , qui accepte un sous-ensemble A de la ligne réelle R comme argument, et renvoie δ ( A ) = 1 si 0 A , et δ ( A ) = 0 autrement. Si la fonction delta est conceptualisée comme modélisant une masse ponctuelle idéalisée à 0, alors δ ( A ) représente la masse contenue dans l'ensemble A . On peut alors définir l'intégrale contre δ comme l'intégrale d'une fonction contre cette distribution de masse. Formellement, l' intégrale de Lebesgue fournit le dispositif analytique nécessaire. L'intégrale de Lebesgue par rapport à la mesure de les satisfait

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta \{dx\}=f(0)}$

pour toutes les fonctions continues supportées de manière compacte f . La mesure δ n'est pas absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue - en fait, il est une mesure singulière . Par conséquent, la mesure delta n'a pas de dérivée de Radon-Nikodym (par rapport à la mesure de Lebesgue) - pas de vraie fonction pour laquelle la propriété

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x)\,dx=f(0)}$

tient. En conséquence, cette dernière notation est un abus de notation commode , et non une intégrale standard ( Riemann ou Lebesgue ).

En tant que mesure de probabilité sur R , la mesure delta est caractérisée par sa fonction de distribution cumulative , qui est la fonction échelon unitaire .

${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$

Cela signifie que H ( x ) est l'intégrale de la fonction indicatrice cumulée 1 _{(−∞, x ]} par rapport à la mesure δ ; à savoir,

${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta \{dt\}=\delta (- \infty ,x],}$

ce dernier étant la mesure de cet intervalle ; plus formellement, δ ((−∞, x ]) . Ainsi en particulier l'intégration de la fonction delta contre une fonction continue peut être correctement comprise comme une intégrale de Riemann–Stieltjes :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta \{dx\}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x ).}$

Tous les plus élevés moments de δ sont nuls. En particulier, la fonction caractéristique et la fonction génératrice de moment sont toutes deux égales à un.

En tant que répartition

Dans la théorie des distributions , une fonction généralisée n'est pas considérée comme une fonction en soi, mais seulement sur la façon dont elle affecte d'autres fonctions lorsqu'elle est « intégrée » contre elles. En accord avec cette philosophie, pour définir correctement la fonction delta, il suffit de dire quelle est "l'intégrale" de la fonction delta par rapport à une fonction test  suffisamment "bonne" φ . Les fonctions de test sont également appelées fonctions bump . Si la fonction delta est déjà comprise comme une mesure, alors l'intégrale de Lebesgue d'une fonction de test par rapport à cette mesure fournit l'intégrale nécessaire.

Un espace typique de fonctions de test se compose de toutes les fonctions lisses sur R avec un support compact qui ont autant de dérivées que nécessaire. En tant que distribution, le delta de Dirac est une fonctionnelle linéaire sur l'espace des fonctions de test et est défini par

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

( 1 )

pour chaque fonction de test . ${\style d'affichage \varphi }$

Pour δ pour être correctement une distribution, elle doit être continue dans une topologie appropriée sur l'espace des fonctions de test. En général, pour qu'une fonctionnelle linéaire S sur l'espace des fonctions test définisse une distribution, il est nécessaire et suffisant que, pour tout entier positif N il y ait un entier M _N et une constante C _N tels que pour toute fonction test φ , on a l'inégalité

${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\ gauche|\varphi ^{(k)}(x)\droit|.}$

Avec la distribution δ , on a une telle inégalité (avec C _N = 1) avec M _N = 0 pour tout N . Ainsi δ est une distribution d'ordre zéro. C'est, de plus, une distribution à support compact (le support étant {0}).

La distribution delta peut également être définie de plusieurs manières équivalentes. Par exemple, c'est la dérivée distributionnelle de la fonction échelon de Heaviside . Cela signifie que pour chaque fonction test φ , on a

${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx.}$

Intuitivement, si l' intégration par parties était autorisée, alors cette dernière intégrale devrait se simplifier en

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\delta (x)\,dx,}$

et en effet, une forme d'intégration par parties est autorisée pour l'intégrale de Stieltjes, et dans ce cas, on a

${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\ ,dH(x).}$

Dans le cadre de la théorie de la mesure, la mesure de Dirac donne lieu à une distribution par intégration. A l' inverse, l' équation ( 1 ) définit une intégrale Daniell sur l'espace des fonctions continues à support compact & phiv qui, par le théorème de représentation de Riesz , peut être représentée comme l'intégrale de Lebesgue de φ concernant une certaine mesure de Radon .

Généralement, lorsque le terme « fonction delta de Dirac » est utilisé, c'est dans le sens de distributions plutôt que de mesures, la mesure de Dirac étant parmi plusieurs termes pour la notion correspondante en théorie de la mesure. Certaines sources peuvent également utiliser le terme distribution delta de Dirac .

Généralisations

La fonction delta peut être définie dans l' espace euclidien à n dimensions R ⁿ comme la mesure telle que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\delta \{d\mathbf {x} \}=f(\mathbf {0} )}$

pour chaque fonction continue à support compact f . En tant que mesure, la fonction delta à n dimensions est la mesure du produit des fonctions delta à une dimension dans chaque variable séparément. Ainsi, formellement, avec x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) , on a

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

( 2 )

La fonction delta peut également être définie au sens des distributions exactement comme ci-dessus dans le cas unidimensionnel. Cependant, malgré une utilisation répandue dans les contextes d'ingénierie, ( 2 ) doit être manipulé avec précaution, car le produit des distributions ne peut être défini que dans des circonstances assez étroites.

La notion de mesure de Dirac a un sens sur n'importe quel ensemble. Ainsi , si X est un ensemble, x ₀ ∈ X est un point marqué, et Σ est tout algèbre de sigma de sous - ensembles de X , puis la mesure définie sur des ensembles A ∈ Σ par

${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0 }\notin A\end{cas}}}$

est la mesure delta ou l'unité de masse concentrée à x ₀ .

Une autre généralisation courante de la fonction delta est une variété différentiable où la plupart de ses propriétés en tant que distribution peuvent également être exploitées en raison de la structure différentiable . La fonction delta sur une variété M centrée au point x ₀ ∈ M est défini comme la distribution suivante:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

( 3 )

pour toutes les fonctions à valeur de réelles lisses support compact & phiv sur M . Un cas particulier courant de cette construction est celui dans lequel M est un ouvert dans l'espace euclidien R ⁿ .

Sur un espace de Hausdorff localement compact X , la mesure delta de Dirac concentrée en un point x est la mesure de Radon associée à l' intégrale de Daniell ( 3 ) sur les fonctions continues à support compact φ . A ce niveau de généralité, le calcul en tant que tel n'est plus possible, cependant une variété de techniques issues de l'analyse abstraite sont disponibles. Par exemple, le mapping est un plongement continu de X dans l'espace des mesures de Radon finies sur X , muni de sa topologie vague . De plus, l' enveloppe convexe de l'image de X sous ce plongement est dense dans l'espace des mesures de probabilité sur X . ${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$

Propriétés

Échelle et symétrie

La fonction delta satisfait la propriété de mise à l'échelle suivante pour un scalaire non nul α :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}$

et donc

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

( 4 )

Preuve:

En particulier, la fonction delta est une distribution paire , en ce sens que

${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$

qui est homogène de degré -1.

Propriétés algébriques

Le produit de la répartition de δ avec x est égal à zéro:

${\style d'affichage x\delta (x)=0.}$

Inversement, si xf ( x ) = xg ( x ) , où f et g sont des distributions, alors

${\style d'affichage f(x)=g(x)+c\delta (x)}$

pour une constante c .

Traduction

L'intégrale du delta de Dirac temporisé est

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\delta (tT)\,dt=f(T).}$

C'est ce qu'on appelle parfois la propriété de tamisage ou la propriété d'échantillonnage . On dit que la fonction delta "passe au crible" la valeur à t = T .

Il s'ensuit que l'effet de la convolution d' une fonction f ( t ) avec le delta de Dirac retardé est de retarder f ( t ) du même montant : ${\displaystyle \delta _{T}(t)=\delta (tT)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\ infty }f(\tau )\delta (tT-\tau )\,d\tau \\&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\delta (\tau - (tT))\,d\tau \qquad {\text{depuis}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(tT ).\end{aligné}}}$

Ceci est vrai à la condition précise que f soit une distribution tempérée (voir la discussion de la transformée de Fourier ci-dessous ). Comme cas particulier, par exemple, nous avons l'identité (comprise au sens de la distribution)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$

Composition avec une fonction

Plus généralement, la distribution delta peut être composée d'une fonction lisse g ( x ) de telle sorte que la formule familière de changement de variables soit vérifiée, que

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'( x)\right|dx=\int _{g(\mathbf {R} )}\delta (u)f(u)\,du}$

à condition que g soit une fonction continûment dérivable avec g ′ nulle part zéro. C'est-à-dire qu'il existe un moyen unique d'attribuer une signification à la distribution de sorte que cette identité soit valable pour toutes les fonctions de test f supportées de manière compacte . Par conséquent, le domaine doit être décomposé pour exclure le point g ′ = 0. Cette distribution satisfait δ ( g ( x )) = 0 si g n'est nulle part nul, et sinon si g a une racine réelle en x ₀ , alors ${\displaystyle \delta \circ g}$

${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$

Il est donc naturel de définir la composition δ ( g ( x )) pour les fonctions continûment différentiable g par

${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$

où la somme s'étend sur toutes les racines (c'est-à-dire toutes les différentes) de g ( x ), qui sont supposées simples . Ainsi, par exemple

${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\ alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$

Sous la forme intégrale, la propriété d'échelle généralisée peut être écrite sous la forme

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i} )}{|g'(x_{i})|}}.}$

Propriétés en n dimensions

La distribution delta dans un espace à n dimensions satisfait à la place la propriété de mise à l'échelle suivante,

${\displaystyle \delta (\alpha \mathbf {x} )=|\alpha |^{-n}\delta (\mathbf {x} )~,}$

de sorte que δ est une homogénéité de distribution de degré - n .

Sous toute réflexion ou rotation , la fonction delta est invariante,

${\displaystyle \delta (\rho \mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} )~.}$

Comme dans le cas à une variable, il est possible de définir la composition de δ avec une fonction bi-lipschitzienne g : R ⁿ → R ⁿ uniquement de sorte que l'identité

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\delta (g(\mathbf {x} ))\,f(g(\mathbf {x} ))\left|\det g'( \mathbf {x} )\right|\,d\mathbf {x} =\int _{g(\mathbf {R} ^{n})}\delta (\mathbf {u} )f(\mathbf {u } )\,d\mathbf {u} }$

pour toutes les fonctions supportées de manière compacte f .

En utilisant la formule de coarea de la théorie de la mesure géométrique , on peut également définir la composition de la fonction delta avec une submersion d'un espace euclidien à un autre de dimension différente; le résultat est un type de courant . Dans le cas particulier d'une fonction g continûment dérivable : R ⁿ → R telle que le gradient de g n'est nulle part nul, l'identité suivante est vérifiée

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (g(\mathbf {x} ))\,d\mathbf {x} =\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f(\mathbf {x} )}{|\mathbf {\nabla } g|}}\,d\sigma (\mathbf {x} )}$

où l'intégrale de droite est sur g ⁻¹ (0), la surface ( n − 1) -dimensionnelle définie par g ( x ) = 0 par rapport à la mesure du contenu de Minkowski . Ceci est connu comme une simple intégrale de couche .

Plus généralement, si S est une hypersurface lisse de R ⁿ , alors on peut associer à S la distribution qui intègre toute fonction lisse g à support compact sur S :

${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} )}$

où σ est la mesure d'hypersurface associée à S . Cette généralisation est associée à la théorie du potentiel des potentiels de couches simples sur S . Si D est un domaine dans R ⁿ avec une frontière lisse S , alors δ _S est égal à la dérivée normale de la fonction indicatrice de D au sens de la distribution,

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}g(\mathbf {x} )\,{\frac {\partial 1_{D}(\mathbf {x} )}{\partial n }}\,d\mathbf {x} =\int _{S}\,g(\mathbf {s} )\,d\sigma (\mathbf {s} ),}$

où n est la normale extérieure. Pour une preuve, voir par exemple l'article sur la fonction delta de surface .

transformée de Fourier

La fonction delta est une distribution tempérée et a donc une transformée de Fourier bien définie . Formellement, on trouve

${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\delta (x)\,dx=1 .}$

À proprement parler, la transformée de Fourier d'une distribution est définie en imposant l' auto-adjointité de la transformée de Fourier sous l'appariement de dualité des distributions tempérées avec des fonctions de Schwartz . Ainsi est définie comme la distribution tempérée unique satisfaisant ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$

${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$

pour toutes les fonctions de Schwartz . Et en effet il s'ensuit que${\style d'affichage \varphi }$${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

En raison de cette identité, la convolution de la fonction delta avec toute autre distribution tempérée S est simplement S :

${\displaystyle S*\delta =S.}$

C'est - à - dire que δ est un élément d'identité pour la convolution des distributions tempérées, et en fait, l'espace des distributions supportées sous convolution est compacte une algèbre associative avec l' identité de la fonction delta. Cette propriété est fondamentale dans le traitement du signal , car la convolution avec une distribution tempérée est un système linéaire invariant dans le temps , et l'application du système linéaire invariant dans le temps mesure sa réponse impulsionnelle . La réponse impulsionnelle peut être calculée à un degré souhaité de précision en choisissant une approximation convenable pour δ , et une fois qu'il est connu, il caractérise complètement le système. Voir théorie du système LTI § Réponse impulsionnelle et convolution .

La transformée de Fourier inverse de la distribution tempérée f ( ξ ) = 1 est la fonction delta. Formellement, cela s'exprime

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{-2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$

et plus rigoureusement, il s'ensuit puisque

${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$

pour toutes les fonctions de Schwartz f .

En ces termes, la fonction delta fournit un énoncé suggestif de la propriété d'orthogonalité du noyau de Fourier sur R . Formellement, on a

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right] ^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi (\xi _{2}-\xi _{1})t}\,dt=\ delta (\xi _{2}-\xi _{1}).}$

Ceci est, bien sûr, un raccourci pour l'affirmation que la transformée de Fourier de la distribution tempérée

${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$

est

${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$

qui s'ensuit à nouveau en imposant l'auto-adjointité de la transformée de Fourier.

Par suite analytique de la transformée de Fourier, la transformée de Laplace de la fonction delta se trouve être

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (ta)e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$

Dérivés distributionnels

La dérivée distributionnelle de la distribution delta de Dirac est la distribution δ ′ définie sur des fonctions de test lisses à support compact φ par

${\displaystyle \delta '[\varphi ]=-\delta [\varphi ']=-\varphi '(0).}$

La première égalité est ici une sorte d'intégration par parties, car si δ était une véritable fonction alors

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta '(x)\varphi (x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x) \varphi '(x)\,dx.}$

Le k -la dérivé de δ est défini de manière similaire à la distribution donnée sur les fonctions de test par

${\displaystyle \delta ^{(k)}[\varphi ]=(-1)^{k}\varphi ^{(k)}(0).}$

En particulier, δ est une distribution infiniment différentiables.

La dérivée première de la fonction delta est la limite de distribution des quotients de différence :

${\displaystyle \delta '(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\delta (x+h)-\delta (x)}{h}}.}$

Plus correctement, on a

${\displaystyle \delta '=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}(\tau _{h}\delta -\delta )}$

où τ _h est l'opérateur de translation, défini sur les fonctions par τ _h φ ( x ) = φ ( x + h ) , et sur une distribution S par

${\displaystyle (\tau _{h}S)[\varphi ]=S[\tau _{-h}\varphi ].}$

Dans la théorie de l' électromagnétisme , la dérivée première de la fonction delta représente un dipôle magnétique ponctuel situé à l'origine. En conséquence, on l'appelle un dipôle ou la fonction doublet .

La dérivée de la fonction delta satisfait un certain nombre de propriétés de base, notamment :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d}{dx}}\delta (-x)={\frac {d}{dx}}\delta (x)\\[8pt]&\delta '(-x)=-\delta '(x)\\[8pt]&x\delta '(x)=-\delta (x).\end{aligned}}}$

La dernière de ces propriétés peut être facilement démontrée en appliquant la définition de la dérivée distributionnelle, le théorème de Liebnitz et la linéarité du produit interne :

De plus, la convolution de δ ′ avec une fonction lisse à support compact f est

${\displaystyle \delta '*f=\delta *f'=f',}$

qui découle des propriétés de la dérivée distributionnelle d'une convolution.

Dimensions supérieures

Plus généralement, sur un ouvert U dans l' espace euclidien de dimension n R ⁿ , la distribution delta de Dirac centrée en un point a ∈ U est définie par

${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$

pour tout φ ∈ S ( U ) , l' espace de toutes les fonctions lisses à support compact sur U . Si α = ( α ₁ , ..., α _n ) est l'un quelconque de plusieurs index et les touches ∂ ^α désigne le mélange associé dérivée partielle opérateur, alors la α ième dérivée les touches ∂ ^α δ _a de δ _a est donnée par

${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a}, \partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}{\ text{ pour tout }}\varphi \in S(U).}$

Autrement dit, la α ième dérivée de δ _a est la distribution dont la valeur sur toute fonction test φ est la α ième dérivée de φ à une (avec le signe positif ou négatif approprié).

Les premières dérivées partielles de la fonction delta sont considérées comme des doubles couches le long des plans de coordonnées. Plus généralement, la dérivée normale d'une couche simple supportée sur une surface est une double couche supportée sur cette surface et représente un monopôle magnétique laminaire. Les dérivées supérieures de la fonction delta sont connues en physique sous le nom de multipôles .

Les dérivées supérieures entrent naturellement dans les mathématiques en tant que blocs de construction pour la structure complète des distributions avec support ponctuel. Si S est une distribution de U supporté sur l'ensemble { a } consistant en un seul point, puis il y est un nombre entier m et les coefficients C _a de telle sorte que

${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$

Représentations de la fonction delta

La fonction delta peut être considérée comme la limite d'une séquence de fonctions

${\displaystyle \delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x),}$

où η _ε ( x ) est parfois appelé une fonction delta naissante. Cette limite est entendue dans un sens faible : soit que

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f( 0)}$

( 5 )

pour toutes continues fonctions f comportant un support compact , ou que cette limite est valable pour toutes les lisses fonctions f à support compact. La différence entre ces deux modes légèrement différents de convergence faible est souvent subtile : le premier est la convergence dans la topologie vague des mesures, et le second est la convergence au sens des distributions .

Approximations de l'identité

Typiquement , une fonction delta naissant r | _e peut être construit de la manière suivante. Soit η une fonction absolument intégrable sur R d'intégrale totale 1, et définissons

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

En n dimensions, on utilise à la place la mise à l'échelle

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$

Alors un simple changement de variables montre que η _{ε a} aussi l'intégrale 1. On peut montrer que ( 5 ) est vraie pour toutes les fonctions continues à support compact f , et donc η _ε converge faiblement vers δ au sens des mesures.

Le r | _e construit de cette manière sont connus comme une approximation de l'identité . Cette terminologie est parce que l'espace L ¹ ( R ) des fonctions tout à fait intégrables est fermé sous l'opération de convolution de fonctions: f * g ∈ L ¹ ( R ) chaque fois que f et g sont dans L ¹ ( R ). Cependant, il n'y a pas identité dans L ¹ ( R ) pour le produit de convolution: aucun élément h de telle sorte que f * h = f pour tout f . Néanmoins, la séquence η _{ε se} rapproche d'une telle identité dans le sens où

${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$

Cette limite tient au sens de la convergence moyenne (convergence en L ¹ ). D'autres conditions sur le η _ε , par exemple qu'il s'agisse d'un mollifier associé à une fonction à support compact, sont nécessaires pour assurer une convergence ponctuelle presque partout .

Si la première η = η ₁ lisse et compacte est supportée elle-même, la séquence est appelée une suite régularisante . La suite régularisante standard est obtenue en choisissant η être un convenablement normalisé fonction à bosse , par exemple

${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|< 1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cas}}}$

Dans certaines situations telles que l'analyse numérique , une approximation linéaire par morceaux de l'identité est souhaitable. Ceci peut être obtenu en prenant η ₁ être une fonction chapeau . Avec ce choix de η ₁ , on a

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right) }$

qui sont tous continus et supportés de manière compacte, bien que non lisses et donc pas un adoucisseur.

Considérations probabilistes

Dans le cadre de la théorie des probabilités , il est naturel d'imposer la condition supplémentaire que la première η ₁ dans une approximation à l'identité doit être positive, car une telle fonction représente alors une distribution de probabilité . La convolution avec une distribution de probabilité est parfois favorable car elle n'entraîne pas de dépassement ou de sous-dépassement, car la sortie est une combinaison convexe des valeurs d'entrée et se situe donc entre le maximum et le minimum de la fonction d'entrée. Prenant η ₁ soit une distribution de probabilité du tout, et en laissant η _ε ( x ) = η ₁ ( x / ε ) / ε comme ci - dessus donnent lieu à une approximation de l'identité. En général, cela converge plus rapidement vers une fonction delta si, en plus, η a une moyenne 0 et a de petits moments plus élevés. Par exemple, si η ₁ est la distribution uniforme sur [−1/2, 1/2] , également connue sous le nom de fonction rectangulaire , alors :

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\ begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\ text{sinon}}.\end{cases}}}$

Un autre exemple est avec la distribution en demi-cercle de Wigner

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^ {2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{autrement}}\end{cases}}}$

Ceci est continu et supporté de manière compacte, mais pas un adoucisseur car il n'est pas lisse.

Semi-groupes

Les fonctions delta naissantes apparaissent souvent sous forme de semi-groupes de convolution . Cela revient à la contrainte supplémentaire que la convolution de η _ε avec η _δ doit satisfaire

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$

pour tout ε , δ > 0 . Les semi-groupes de convolution dans L ¹ qui forment une fonction delta naissante sont toujours une approximation de l'identité dans le sens ci-dessus, cependant la condition de semi-groupe est une restriction assez forte.

En pratique, les semi-groupes se rapprochant de la fonction delta apparaissent comme des solutions fondamentales ou des fonctions de Green à des équations aux dérivées partielles elliptiques ou paraboliques motivées physiquement . Dans le contexte des mathématiques appliquées , les semi-groupes apparaissent comme la sortie d'un système linéaire invariant dans le temps . De manière abstraite, si A est un opérateur linéaire agissant sur les fonctions de x , alors un semi-groupe de convolution apparaît en résolvant le problème de la valeur initiale

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\ displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$

dans laquelle la limite est comme d'habitude comprise au sens faible. Le réglage η _ε ( x ) = η ( ε , x ) donne la fonction delta naissante associée.

Voici quelques exemples de semi-groupes de convolution physiquement importants résultant d'une telle solution fondamentale.

Le noyau de chaleur

Le noyau de chaleur , défini par

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}} {2\varepsilon }}}}$

représente la température dans un fil infini à l'instant t > 0, si une unité d'énergie thermique est stockée à l'origine du fil à l'instant t = 0. Ce demi-groupe évolue selon l' équation de la chaleur à une dimension :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}} .}$

Dans la théorie des probabilités , r | _ε ( x ) est une distribution normale de variance ε et moyenne 0. Il représente la densité de probabilité à l' instant t = ε de la position d'une particule à partir de l'origine à la suite d' une norme mouvement brownien . Dans ce contexte, la condition de semi-groupe est alors une expression de la propriété de Markov du mouvement brownien.

Dans l'espace euclidien de dimension supérieure R ⁿ , le noyau de chaleur est

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x} {2\varepsilon }}},}$

et a la même interprétation physique, mutatis mutandis . Il représente également une fonction delta naissante dans le sens où η _ε → δ dans le sens de la distribution comme ε → 0 .

Le noyau de Poisson

Le noyau de Poisson

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi }}\mathrm {Im} \left\{{\frac {1}{x-\mathrm {i} \varepsilon }}\right\}={\frac {1}{\pi }}{\frac {\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2\ pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \xi x-|\varepsilon \xi |}\,d\xi }$

est la solution fondamentale de l' équation de Laplace dans le demi-plan supérieur. Il représente le potentiel électrostatique dans une plaque semi-infinie dont le potentiel le long du bord est maintenu fixe à la fonction delta. Le noyau de Poisson est également étroitement lié à la distribution de Cauchy et aux fonctions à noyau d'Epanechnikov et de Gauss . Ce semi-groupe évolue selon l'équation

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\ frac {1}{2}}u(t,x)}$

où l'opérateur est rigoureusement défini comme le multiplicateur de Fourier

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[\left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)^{\frac {1}{2 }}f\right](\xi )=|2\pi \xi |{\mathcal {F}}f(\xi ).}$

Intégrales oscillatoires

Dans les domaines de la physique tels que la propagation des ondes et la mécanique des ondes , les équations impliquées sont hyperboliques et peuvent donc avoir des solutions plus singulières. En conséquence, les fonctions delta naissantes qui apparaissent comme solutions fondamentales des problèmes de Cauchy associés sont généralement des intégrales oscillatoires . Un exemple, qui vient d'une solution de l' équation d'Euler-Tricomi de la dynamique des gaz transsonique , est la fonction d'Airy rééchelonnée

${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$

Bien qu'en utilisant la transformée de Fourier, il est facile de voir que cela génère un semi-groupe dans un certain sens - il n'est pas absolument intégrable et ne peut donc pas définir un semi-groupe dans le sens fort ci-dessus. De nombreuses fonctions delta naissantes construites comme des intégrales oscillatoires ne convergent que dans le sens des distributions (un exemple est le noyau de Dirichlet ci-dessous), plutôt que dans le sens des mesures.

Un autre exemple est le problème de Cauchy pour l' équation des ondes dans R ¹⁺¹ :

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\ quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$

La solution u représente le déplacement d'équilibre d'une corde élastique infinie, avec une perturbation initiale à l'origine.

D'autres approximations de l'identité de ce type incluent la fonction sinc (largement utilisée dans l'électronique et les télécommunications)

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac { 1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$

et la fonction de Bessel

${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\ varepsilon }}\droit).}$

Décomposition en onde plane

Une approche pour l'étude d'une équation différentielle partielle linéaire

${\style d'affichage L[u]=f,}$

où L est un opérateur différentiel sur R ⁿ , consiste à chercher d'abord une solution fondamentale, qui est une solution de l'équation

${\displaystyle L[u]=\delta .}$

Lorsque L est particulièrement simple, ce problème peut souvent être résolu en utilisant directement la transformée de Fourier (comme dans le cas du noyau de Poisson et du noyau thermique déjà évoqués). Pour des opérateurs plus compliqués, il est parfois plus facile de considérer d'abord une équation de la forme

${\displaystyle L[u]=h}$

où h est une fonction d' onde plane , ce qui signifie qu'elle a la forme

${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$

pour un vecteur ξ. Une telle équation peut être résolue (si les coefficients de L sont des fonctions analytiques ) par le théorème de Cauchy-Kovalevskaya ou (si les coefficients de L sont constants) par quadrature. Ainsi, si la fonction delta peut être décomposée en ondes planes, alors on peut en principe résoudre des équations aux dérivées partielles linéaires.

Une telle décomposition de la fonction delta en ondes planes faisait partie d'une technique générale d'abord introduite essentiellement par Johann Radon , puis développée sous cette forme par Fritz John ( 1955 ). Choisissez k pour que n + k soit un entier pair, et pour un nombre réel s , mettez

${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right ]={\begin{cas}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ impair}}\\[5pt] -{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$

Alors δ est obtenu en appliquant une puissance du Laplacien à l'intégrale par rapport à la sphère unité de mesure dω de g ( x · ξ ) pour ξ dans la sphère unité S ^{n −1} :

${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

Le laplacien est ici interprété comme une dérivée faible, de sorte que cette équation signifie que, pour toute fonction test  φ ,

${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2 }}\int _{S^{n-1}}g((xy)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$

Le résultat découle de la formule du potentiel newtonien (la solution fondamentale de l'équation de Poisson). Ceci est essentiellement une forme de la formule d'inversion de la transformée de Radon , car il récupère la valeur de φ ( x ) à partir de ses intégrales sur hyperplans. Par exemple, si n est impair et k = 1 , alors l'intégrale du membre de droite est

${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)| (yx)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]={}&c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\ int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \ xi )\,dp\end{aligné}}}$

où Rφ ( ξ , p ) est la transformée de Radon de φ :

${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$

Une autre expression équivalente de la décomposition en ondes planes, de Gelfand & Shilov (1966-1968 , I, §3.10), est

${\displaystyle \delta (x)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{S^{n-1}}(x\cdot \ xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }}$

pour n pair, et

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\int _{S^{n-1}}\delta ^{(n- 1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }}$

pour n impair.

Noyaux de Fourier

Dans l'étude des séries de Fourier , une question majeure consiste à déterminer si et dans quel sens la série de Fourier associée à une fonction périodique converge vers la fonction. Le n ième somme partielle de la série de Fourier d'une fonction f de la période 2 π est définie par convolution (sur l'intervalle [-π, π] ) avec le noyau de Dirichlet :

${\displaystyle D_{N}(x)=\sum _{n=-N}^{N}e^{inx}={\frac {\sin \left(\left(N+{\frac {1}{ 2}}\droit)x\droit)}{\sin(x/2)}}.}$

Ainsi,

${\displaystyle s_{N}(f)(x)=D_{N}*f(x)=\sum _{n=-N}^{N}a_{n}e^{inx}}$

où

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(y)e^{-iny}\,dy.}$

Un résultat fondamental des séries de Fourier élémentaires indique que le noyau de Dirichlet tend vers le multiple a de la fonction delta lorsque N → ∞ . Ceci est interprété dans le sens de la distribution, que

${\displaystyle s_{N}(f)(0)=\int _{\mathbf {R} }D_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

pour chaque fonction lisse supportée de manière compacte f . Ainsi, formellement on a

${\displaystyle \delta (x)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{inx}}$

sur l'intervalle  [−π,π] .

Malgré cela, le résultat ne tient pas pour toutes les fonctions continues à support compact : c'est-à-dire que D _N ne converge pas faiblement au sens des mesures. Le manque de convergence de la série de Fourier a conduit à l'introduction d'une variété de méthodes de sommabilité pour produire la convergence. La méthode de sommation de Cesàro conduit au noyau de Fejér

${\displaystyle F_{N}(x)={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}D_{n}(x)={\frac {1}{ N}}\left({\frac {\sin {\frac {Nx}{2}}}{\sin {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}.}$

Les noyaux de Fejér tendent à la fonction delta dans un sens plus fort qui

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }F_{N}(x)f(x)\,dx\to 2\pi f(0)}$

pour chaque fonction continue à support compact f . L'implication est que la série de Fourier de toute fonction continue est Cesàro sommable à la valeur de la fonction en chaque point.

Théorie de l'espace de Hilbert

La distribution delta de Dirac est une fonctionnelle linéaire non bornée densément définie sur l' espace de Hilbert L ² des fonctions carrées intégrables . En effet, les fonctions lisses supportées de manière compacte sont denses dans L ² , et l'action de la distribution delta sur de telles fonctions est bien définie. Dans de nombreuses applications, il est possible d'identifier des sous-espaces de L ² et de donner une topologie plus forte sur laquelle la fonction delta définit une fonctionnelle linéaire bornée .

Espaces de Sobolev

Le théorème de plongement de Sobolev pour les espaces de Sobolev sur la droite réelle R implique que toute fonction carrée intégrable f telle que

${\displaystyle \|f\|_{H^{1}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2 }(1+|\xi |^{2})\,d\xi <\infty }$

est automatiquement continue, et satisfait en particulier

${\displaystyle \delta [f]=|f(0)|<C\|f\|_{H^{1}}.}$

Ainsi δ est une fonctionnelle linéaire bornée sur l'espace de Sobolev H ¹ . De manière équivalente δ est un élément de l' espace dual continu H ^-1 de H ¹ . Plus généralement, en n dimensions, on a δ ∈ H ^{− s} ( R ⁿ ) pourvu que  s > n  / 2 .

Espaces de fonctions holomorphes

Dans l' analyse complexe , la fonction delta entre via la formule intégrale de Cauchy , qui affirme que si D est un domaine dans le plan complexe avec une frontière lisse, alors

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\,d\zeta }{\zeta -z} },\quad z\in D}$

pour toutes les fonctions holomorphes f dans D qui sont continues à la fermeture de D . En conséquence, la fonction delta δ _z est représentée dans cette classe de fonctions holomorphes par l'intégrale de Cauchy :

${\displaystyle \delta _{z}[f]=f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\, d\zeta }{\zeta -z}}.}$

De plus, soit H ² (∂ D ) l' espace de Hardy constitué par la fermeture dans L ² (∂ D ) de toutes les fonctions holomorphes dans D continues jusqu'au bord de D . Alors les fonctions dans H ² (∂ D ) s'étendent de manière unique aux fonctions holomorphes dans D , et la formule intégrale de Cauchy reste valable. En particulier , pour z ∈ D , la fonction delta de _z est une fonction linéaire continue sur H ² (∂ D ). Il s'agit d'un cas particulier de la situation à plusieurs variables complexes dans laquelle, pour les domaines lisses D , le noyau de Szegő joue le rôle de l'intégrale de Cauchy.

Résolutions de l'identité

Étant donné un ensemble complet de fonctions de base orthonormée { φ _n } dans un espace de Hilbert séparable, par exemple, les vecteurs propres normalisés d'un opérateur auto-adjoint compact , tout vecteur f peut être exprimé comme

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}\varphi _{n}.}$

Les coefficients {α _n } sont trouvés comme

${\displaystyle \alpha _{n}=\langle \varphi _{n},f\rangle ,}$

qui peut être représenté par la notation :

${\displaystyle \alpha _{n}=\varphi _{n}^{\dagger }f,}$

une forme de la notation bra-ket de Dirac. En adoptant cette notation, le développement de f prend la forme dyadique :

${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\left(\varphi _{n}^{\dagger }f\right).}$

En notant I l' opérateur identité sur l'espace de Hilbert, l'expression

${\displaystyle I=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

s'appelle une résolution de l'identité . Lorsque l'espace de Hilbert est l'espace L ² ( D ) des fonctions carrées intégrables sur un domaine D , la quantité :

${\displaystyle \varphi _{n}\varphi _{n}^{\dagger },}$

est un opérateur intégral, et l'expression pour f peut être réécrite

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{D}\,\left(\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{* }(\xi )\right)f(\xi )\,d\xi .}$

Le membre de droite converge vers f au sens L ² . Il n'est pas nécessaire que cela se vérifie dans un sens ponctuel, même lorsque f est une fonction continue. Néanmoins, il est courant d'abuser de la notation et d'écrire

${\displaystyle f(x)=\int \,\delta (x-\xi )f(\xi )\,d\xi ,}$

résultant en la représentation de la fonction delta :

${\displaystyle \delta (x-\xi )=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi _{n}(x)\varphi _{n}^{*}(\xi ).}$

Avec un espace de Hilbert gréé convenable (Φ, L ² ( D ), *) où Φ ⊂ L ² ( D ) contient toutes les fonctions lisses à support compact, cette sommation peut converger dans Φ*, selon les propriétés de la base φ _n . Dans la plupart des cas d'intérêt pratique, la base orthonormée provient d'un opérateur intégral ou différentiel, auquel cas la série converge dans le sens de la distribution .

Fonctions delta infinitésimales

Cauchy a utilisé un infinitésimal pour écrire une impulsion unitaire, fonction delta de type Dirac infiniment haute et étroite δ _α satisfaisant dans un certain nombre d'articles en 1827. Cauchy a défini un infinitésimal dans le Cours d'Analyse (1827) en termes d'une séquence tendant à zéro. A savoir, une telle séquence nulle devient un infinitésimal dans la terminologie de Cauchy et Lazare Carnot . ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

L'analyse non standard permet de traiter rigoureusement les infinitésimaux. L'article de Yamashita (2007) contient une bibliographie sur les fonctions delta de Dirac modernes dans le contexte d'un continuum infinitésimal enrichi fourni par les hyperréels . Ici le delta de Dirac peut être donné par une fonction réelle, ayant la propriété que pour toute fonction réelle F on a comme anticipé par Fourier et Cauchy. ${\textstyle \int F(x)\delta _{\alpha }(x)=F(0)}$

Peigne Dirac

Un soi-disant « train d'impulsions » uniforme de mesures delta de Dirac, connu sous le nom de peigne de Dirac ou de distribution de Shah, crée une fonction d' échantillonnage , souvent utilisée dans le traitement du signal numérique (DSP) et l'analyse du signal temporel discret. Le peigne de Dirac est donné comme la somme infinie , dont la limite s'entend au sens de la distribution,

${\displaystyle \operatorname {III} (x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (xn),}$

qui est une séquence de masses ponctuelles à chacun des nombres entiers.

Jusqu'à une constante de normalisation globale, le peigne de Dirac est égal à sa propre transformée de Fourier. Ceci est significatif car si est une fonction de Schwartz , alors la périodisation de est donnée par la convolution ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage f}$

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(xn).}$

En particulier,

${\displaystyle (f*\operatorname {III} )^{\wedge }={\widehat {f}}{\widehat {\operatorname {III} }}={\widehat {f}}\operatorname {III} }$

est précisément la formule de sommation de Poisson . Plus généralement, cette formule reste vraie si est une distribution tempérée de descente rapide ou, de manière équivalente, si est une fonction ordinaire à croissance lente dans l'espace des distributions tempérées. ${\style d'affichage f}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$

Théorème de Sokhotski-Plemelj

Le théorème de Sokhotski-Plemelj , important en mécanique quantique, relie la fonction delta à la distribution pv 1/ x , la valeur principale de Cauchy de la fonction 1/ x , définie par

${\displaystyle \left\langle \operatorname {pv} {\frac {1}{x}},\varphi \right\rangle =\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x |>\varepsilon }{\frac {\varphi (x)}{x}}\,dx.}$

La formule de Sokhotsky dit que

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm i\varepsilon }}=\operatorname {pv} {\frac {1}{x}}\mp i\pi \delta (x),}$

Ici, la limite est comprise dans le sens de la distribution, que pour toutes les fonctions lisses à support compact f ,

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)}{x\pm i\varepsilon }}\, dx=\mp i\pi f(0)+\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\varepsilon }{\frac {f(x)}{x}} \,dx.}$

Relation avec le delta de Kronecker

Le delta de Kronecker δ _ij est la quantité définie par

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\not =j\end{cases}}}$

pour tous les entiers i , j . Cette fonction satisfait alors l'analogue suivant de la propriété de tamisage : si est une séquence doublement infinie , alors ${\displaystyle (a_{i})_{i\in \mathbf {Z} }}$

${\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }a_{i}\delta _{ik}=a_{k}.}$

De même, pour toute fonction continue à valeurs réelles ou complexes f sur R , le delta de Dirac satisfait la propriété de tamisage

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_{0})\,dx=f(x_{0}).}$

Cela présente la fonction delta de Kronecker comme un analogue discret de la fonction delta de Dirac.

Applications

Théorie des probabilités

En théorie des probabilités et en statistiques , la fonction delta de Dirac est souvent utilisée pour représenter une distribution discrète ou une distribution partiellement discrète et partiellement continue , à l'aide d'une fonction de densité de probabilité (qui est normalement utilisée pour représenter des distributions absolument continues). Par exemple, la fonction de densité de probabilité f ( x ) d'une distribution discrète constituée de points x = { x ₁ , ..., x _n }, avec les probabilités correspondantes p ₁ , ..., p _n , peut être écrite sous la forme

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\delta (x-x_{i}).}$

Comme autre exemple, considérons une distribution dans laquelle 6/10 du temps renvoie une distribution normale standard et 4/10 du temps renvoie exactement la valeur 3,5 (c'est-à-dire une distribution de mélange en partie continue, en partie discrète ). La fonction de densité de cette distribution peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle f(x)=0.6\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}+0.4\, \delta (x-3,5).}$

La fonction delta est également utilisée pour représenter la fonction de densité de probabilité résultante d'une variable aléatoire qui est transformée par une fonction différentiable en continu. Si Y = g( X ) est une fonction continue dérivable, alors la densité de Y peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\delta (yg(x))dx.}$

La fonction delta est également utilisée d'une manière complètement différente pour représenter l' heure locale d'un processus de diffusion (comme le mouvement brownien ). L' heure locale d' un processus stochastique B ( t ) est donnée par

${\displaystyle \ell (x,t)=\int _{0}^{t}\delta (xB(s))\,ds}$

et représente le temps que le processus passe au point x dans la plage du processus. Plus précisément, en une dimension cette intégrale peut s'écrire

${\displaystyle \ell (x,t)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}\mathbf { 1} _{[x-\varepsilon ,x+\varepsilon ]}(B(s))\,ds}$

où 1 _{[ x - ε , x + ε ]} est la fonction indicatrice de l'intervalle [ x - ε , x + ε ] .

Mécanique quantique

La fonction delta est utile en mécanique quantique . La fonction d'onde d'une particule donne l'amplitude de probabilité de trouver une particule dans une région donnée de l'espace. Les fonctions d'onde sont supposées être des éléments de l'espace de Hilbert L ² des fonctions carrées intégrables , et la probabilité totale de trouver une particule dans un intervalle donné est l'intégrale de l'amplitude de la fonction d'onde au carré sur l'intervalle. Un ensemble { } de fonctions d'onde est orthonormé si elles sont normalisées par ${\displaystyle |\varphi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \langle \varphi _{n}\mid \varphi _{m}\rangle =\delta _{nm}}$

où est le delta de Kronecker. Un ensemble de fonctions d'onde orthonormées est complet dans l'espace des fonctions carrées intégrables si une fonction d'onde quelconque peut être exprimée comme une combinaison linéaire de { } avec des coefficients complexes : ${\style d'affichage \delta }$${\style d'affichage |\psi \rangle }$${\displaystyle |\varphi _{n}\rangle }$

${\displaystyle \psi =\sum c_{n}\varphi _{n},}$

avec . Les systèmes orthonormés complets de fonctions d'onde apparaissent naturellement comme les fonctions propres de l' hamiltonien (d'un système lié ) en mécanique quantique qui mesure les niveaux d'énergie, appelés valeurs propres. L'ensemble des valeurs propres, dans ce cas, est connu sous le nom de spectre de l'hamiltonien. En notation bra-ket , comme ci - dessus , cette égalité implique la résolution de l'identité : ${\displaystyle c_{n}=\langle \varphi _{n}|\psi \rangle }$

${\displaystyle I=\sum |\varphi _{n}\rangle \langle \varphi _{n}|.}$

Ici, les valeurs propres sont supposées être discrètes, mais l'ensemble des valeurs propres d'un observable peut être continu plutôt que discret. Un exemple est la position observable , Qψ ( x ) = x ψ( x ) . Le spectre de la position (dans une dimension) est la ligne réelle entière et est appelé un spectre continu . Cependant, contrairement à l'hamiltonien, l'opérateur de position manque de fonctions propres appropriées. La manière conventionnelle de surmonter cette lacune est d'élargir la classe des fonctions disponibles en autorisant également les distributions : c'est-à-dire de remplacer l'espace de Hilbert de la mécanique quantique par un espace de Hilbert gréé approprié . Dans ce contexte, l'opérateur de position dispose d'un ensemble complet de distributions propres, étiquetées par les points y de la droite réelle, donnés par

${\displaystyle \varphi _{y}(x)=\delta (xy).}$

Les fonctions propres de position sont notées en notation de Dirac et sont appelées états propres de position. ${\displaystyle \varphi _{y}=|y\rangle }$

Des considérations similaires s'appliquent aux états propres de l' opérateur impulsion , ou en fait de tout autre opérateur non borné auto-adjoint P sur l'espace de Hilbert, à condition que le spectre de P soit continu et qu'il n'y ait pas de valeurs propres dégénérées. Dans ce cas, il existe un ensemble Ω de nombres réels (le spectre), et une collection φ _y de distributions indexées par les éléments de , tels que

${\displaystyle P\varphi _{y}=y\varphi _{y}.}$

Autrement dit, φ _y sont les vecteurs propres de P . Si les vecteurs propres sont normalisés pour que

${\displaystyle \langle \varphi _{y},\varphi _{y'}\rangle =\delta (y-y')}$

au sens de la distribution, alors pour toute fonction test ,

${\displaystyle \psi (x)=\int _{\Omega }c(y)\varphi _{y}(x)\,dy}$

où

${\displaystyle c(y)=\langle \psi ,\varphi _{y}\rangle .}$

C'est-à-dire que, comme dans le cas discret, il y a une résolution de l'identité

${\displaystyle I=\int _{\Omega }|\varphi _{y}\rangle \,\langle \varphi _{y}|\,dy}$

où l'intégrale à valeur d'opérateur est à nouveau comprise au sens faible. Si le spectre de P a à la fois des parties continues et discrètes, alors la résolution de l'identité implique une sommation sur le spectre discret et une intégrale sur le spectre continu.

La fonction delta a également de nombreuses applications plus spécialisées en mécanique quantique, telles que les modèles de potentiel delta pour un puits à potentiel simple et double.

Mécanique des structures

La fonction delta peut être utilisée en mécanique des structures pour décrire des charges transitoires ou des charges ponctuelles agissant sur les structures. L'équation gouvernante d'un système masse-ressort simple excité par une impulsion de force soudaine I au temps t = 0 peut être écrite

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi }{\mathrm {d} t^{2}}}+k\xi =I\delta (t),}$

où m est la masse, la flèche et k la constante d'élasticité .

Comme autre exemple, l'équation régissant la déflexion statique d'une poutre mince est, selon la théorie d'Euler-Bernoulli ,

${\displaystyle EI{\frac {\mathrm {d} ^{4}w}{\mathrm {d} x^{4}}}=q(x),}$

où EI est la rigidité en flexion de la poutre, w la flèche , x la coordonnée spatiale et q ( x ) la répartition des charges. Si une poutre est chargée par une force ponctuelle F à x = x ₀ , la distribution de charge s'écrit

${\displaystyle q(x)=F\delta (x-x_{0}).}$

Comme l'intégration de la fonction delta aboutit à la fonction échelon Heaviside , il s'ensuit que la déflexion statique d'une poutre mince soumise à des charges ponctuelles multiples est décrite par un ensemble de polynômes par morceaux .

De plus, un moment ponctuel agissant sur une poutre peut être décrit par des fonctions delta. Considérons deux forces ponctuelles opposées F à une distance d l'une de l' autre. Ils produisent alors un moment M = Fd agissant sur la poutre. Maintenant, laissez la distance d approcher de la limite zéro, tandis que M est maintenu constant. La distribution de la charge, en supposant un moment dans le sens des aiguilles d'une montre agissant à x = 0, s'écrit

${\displaystyle {\begin{aligned}q(x)&=\lim _{d\to 0}{\Big (}F\delta (x)-F\delta (xd){\Big )}\\[ 4pt]&=\lim _{d\to 0}\left({\frac {M}{d}}\delta (x)-{\frac {M}{d}}\delta (xd)\right) \\[4pt]&=M\lim _{d\to 0}{\frac {\delta (x)-\delta (xd)}{d}}\\[4pt]&=M\delta '(x ).\end{aligné}}}$

Les moments ponctuels peuvent ainsi être représentés par la dérivée de la fonction delta. L'intégration de l'équation du faisceau entraîne à nouveau une déviation polynomiale par morceaux .

Voir également

• Atome (théorie de la mesure)
• Potentiel delta
• Mesure de Dirac
• Solution fondamentale
• La fonction de Green
• Laplacien de l'indicateur

Remarques

Les références

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Liens externes

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• Leçon vidéo KhanAcademy.org
• La fonction Dirac Delta , un tutoriel sur la fonction Dirac delta.
• Conférences vidéo – Conférence 23 , une conférence d' Arthur Mattuck .
• La mesure delta de Dirac est une hyperfonction
• Nous montrons l'existence d'une solution unique et analysons une approximation par éléments finis lorsque le terme source est une mesure delta de Dirac
• Mesures non-Lebesgue sur mesure R. Lebesgue-Stieltjes, mesure delta de Dirac.