Théorie Morse discrète - Discrete Morse theory

La théorie Morse discrète est une adaptation combinatoire de la théorie Morse développée par Robin Forman . La théorie a diverses applications pratiques dans divers domaines des mathématiques appliquées et de l' informatique , tels que les espaces de configuration , le calcul d' homologie , le débruitage , la compression de maillage et l'analyse de données topologiques .

Notation concernant les complexes CW

Soit un complexe CW et désignons par son ensemble de cellules. Définissez la fonction d'incidence de la manière suivante : étant donné deux cellules et dans , soit le degré de la carte d'attache de la limite de à . L' opérateur frontière est l'endomorphisme du groupe abélien libre généré par défini par ${\style d'affichage X}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \kappa :{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {Z} }$${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \kappa (\sigma ,~\tau )}$${\style d'affichage \sigma }$${\style d'affichage \tau }$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \partial (\sigma )=\sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\tau .}$

C'est une propriété de définition des opérateurs de frontière que . Dans des définitions plus axiomatiques, on peut trouver l'exigence que${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$${\displaystyle \forall \sigma ,\tau ^{\prime }\in {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \sum _{\tau \in {\mathcal {X}}}\kappa (\sigma ,\tau )\kappa (\tau ,\tau ^{\prime })=0}$

qui est une conséquence de la définition ci-dessus de l'opérateur de frontière et de l'exigence que . ${\displaystyle \partial \circ \partial \equiv 0}$

Fonctions Morse discrètes

Une fonction à valeur réelle est une fonction Morse discrète si elle satisfait les deux propriétés suivantes : ${\displaystyle \mu :{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$

1. Pour toute cellule , le nombre de cellules dans la limite desquelles satisfont est au plus un.${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )\leq \mu (\tau )}$
2. Pour toute cellule , le nombre de cellules contenant dans leur frontière qui satisfont est au plus un.${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle \mu (\sigma )\geq \mu (\tau )}$

On peut montrer que les cardinalités dans les deux conditions ne peuvent pas être à la fois une simultanément pour une cellule fixe , à condition est un régulier complexe CW. Dans ce cas, chaque cellule peut être appariée avec au plus une cellule exceptionnelle : soit une cellule frontière de plus grande valeur, soit une cellule co-frontière de plus petite valeur. Les cellules qui n'ont pas de paires, c'est-à-dire dont les valeurs de fonction sont strictement supérieures à leurs cellules limites et strictement inférieures à leurs cellules co-frontières sont appelées cellules critiques . Ainsi, une fonction Morse discrète partitionne le complexe CW en trois collections de cellules distinctes : , où : ${\style d'affichage \sigma }$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \tau \in {\mathcal {X}}}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \mu }$${\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {A}}\sqcup {\mathcal {K}}\sqcup {\mathcal {Q}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$désigne les cellules critiques qui ne sont pas appariées,
2. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ désigne des cellules appariées avec des cellules limites, et
3. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ désigne des cellules appariées avec des cellules co-frontières.

Par construction, il existe une bijection d' ensembles entre les cellules de dimension in et les cellules de dimension in , que l'on peut désigner par pour chaque entier naturel . C'est une exigence technique supplémentaire que pour chacun , le degré de la carte d'attachement de la limite de à sa cellule appariée soit une unité dans l' anneau sous-jacent de . Par exemple, sur les entiers , les seules valeurs autorisées sont . Cette exigence technique est garantie, par exemple, lorsque l'on suppose qu'il s'agit d'un complexe CW régulier sur . ${\style d'affichage k}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\style d'affichage (k-1)}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle p^{k} :{\mathcal {K}}^{k}\to {\mathcal {Q}}^{k-1}}$ ${\style d'affichage k}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}^{k}}$${\style d'affichage K}$${\displaystyle p^{k}(K)\in {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\style d'affichage \pm 1}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Le résultat fondamental de la théorie de Morse discret établit que le complexe CW est isomorphe au niveau de l' homologie avec un nouveau complexe constitué uniquement des cellules critiques. Les cellules appariées dans et décrivent les chemins de gradient entre les cellules critiques adjacentes qui peuvent être utilisées pour obtenir l'opérateur de frontière sur . Certains détails de cette construction sont fournis dans la section suivante. ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Le complexe Morse

Un chemin de gradient est une séquence de cellules appariées

${\displaystyle \rho =(Q_{1},K_{1},Q_{2},K_{2},\ldots ,Q_{M},K_{M})}$

satisfaisant et . L' indice de ce chemin de gradient est défini comme étant l'entier ${\displaystyle Q_{m}=p(K_{m})}$${\displaystyle \kappa (K_{m},~Q_{m+1})\neq 0}$

${\displaystyle \nu (\rho )={\frac {\prod _{m=1}^{M-1}-\kappa (K_{m},Q_{m+1})}{\prod _{ m=1}^{M}\kappa (K_{m},Q_{m})}}.}$

La division ici a du sens car l'incidence entre les cellules appariées doit être . Notez que par construction, les valeurs de la fonction de Morse discrète doivent décroître sur . Le chemin est dit relier deux cellules critiques si . Cette relation peut être exprimée par . La multiplicité de cette connexion est définie comme étant l'entier . Enfin, l' opérateur de frontière Morse sur les cellules critiques est défini par ${\style d'affichage \pm 1}$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \rho }$${\style d'affichage \rho }$${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$${\displaystyle \kappa (A,Q_{1})\neq 0\neq \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}$${\displaystyle m(\rho )=\kappa (A,Q_{1})\cdot \nu (\rho )\cdot \kappa (K_{M},A')}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta (A)=\kappa (A,A')+\sum _{A{\stackrel {\rho }{\to }}A'}m(\rho )A'}$

où la somme est prise sur toutes les connexions de chemin de gradient de à . ${\style d'affichage A}$${\style d'affichage A'}$

Résultats de base

Bon nombre des résultats familiers de la théorie Morse continue s'appliquent dans le cadre discret.

Les inégalités de Morse

Soit un complexe de Morse associé au complexe CW . Le nombre de -cellules est appelé le -ième nombre Morse . Soit le -ième nombre de Betti de . Alors, pour tout , les inégalités suivantes sont ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle m_{q}=|{\mathcal {A}}_{q}|}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle \beta _{q}}$${\style d'affichage q}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\style d'affichage N>0}$

${\displaystyle m_{N}\geq \beta _{N}}$, et

${\displaystyle m_{N}-m_{N-1}+\dots \pm m_{0}\geq \beta _{N}-\beta _{N-1}+\dots \pm \beta _{0 }}$

De plus, la caractéristique d'Euler de satisfait ${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {X}})=m_{0}-m_{1}+\dots \pm m_{\dim {\mathcal {X}}}}$

Homologie Morse discrète et type d'homotopie

Soit un complexe CW régulier avec un opérateur frontière et une fonction de Morse discrète . Soit le complexe de Morse associé avec l'opérateur de frontière Morse . Alors, il existe un isomorphisme de groupes d' homologie${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle \mu :{\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\style d'affichage \Delta }$

${\displaystyle H_{*}({\mathcal {X}},\partial )\simeq H_{*}({\mathcal {A}},\Delta ),}$

et de même pour les groupes d'homotopie.

Voir également

• Théorie numérique Morse
• Théorie Morse stratifiée
• Analyse de forme
• Combinatoire topologique
• Géométrie différentielle discrète

Les références

• Forman, Robin (2002). « Un guide de l'utilisateur de la théorie Morse discrète » (PDF) . Séminaire Lotharingien de Combinatoire . 48 : Art. B48c, 35 p. MR  1939695 .
• Kozlov, Dmitri (2007). Topologie algébrique combinatoire . Algorithmes et calcul en mathématiques. 21 . Berlin : Springer. ISBN 978-3540719618. MR  2361455 .
• Jonsson, Jacob (2007). Complexes simplifiés de graphes . Springer. ISBN 978-3540758587.
• Orlik, Pierre ; Welker, Volkmar (2007). Combinatoire algébrique : Conférences à une école d'été à Nordfjordeid . Universitexte. Springer. doi : 10.1007/978-3-540-68376-6 . ISBN 978-3540683759. MR  2322081 .
• "Théorie Morse discrète" . nLab .