Espace discret - Discrete space

En topologie , un espace discret est un exemple particulièrement simple d' espace topologique ou de structure similaire, dans lequel les points forment une séquence discontinue , ce qui signifie qu'ils sont isolés les uns des autres dans un certain sens. La topologie discrète est la topologie la plus fine qui puisse être donnée sur un ensemble. Chaque sous-ensemble est ouvert dans la topologie discrète de sorte qu'en particulier, chaque sous - ensemble singleton est un ensemble ouvert dans la topologie discrète.

Définitions

Étant donné un ensemble :

  • la topologie discrète sur est définie en laissant chaque sous - ensemble de être ouvert (et donc également fermé ), et est un espace topologique discret s'il est équipé de sa topologie discrète ;
  • l' uniformité discrète sur est définie en laissant chaque sur - ensemble de la diagonale dans être un entourage , et est un espace uniforme discret s'il est doté de son uniformité discrète.
  • la métrique discrète sur est définie par
    pour tout . Dans ce cas s'appelle un espace métrique discret ou un espace de points isolés .
  • un ensemble est discret dans un espace métrique , car , si pour tout , il en existe (en fonction de ) tel que pour tout ; un tel ensemble est constitué de points isolés . Un ensemble est uniformément discret dans l' espace métrique , car , s'il existe tel que pour deux quelconques distincts , .

Un espace métrique est dit uniformément discret s'il existe un rayon d'emballage tel que, pour tout , on a soit ou . La topologie sous-jacente à un espace métrique peut être discrète, sans que la métrique soit uniformément discrète : par exemple la métrique habituelle sur l'ensemble .

Preuve qu'un espace discret n'est pas nécessairement uniformément discret

Considérons cet ensemble en utilisant la métrique habituelle sur les nombres réels. Alors, est un espace discret, puisque pour chaque point , on peut l'entourer de l'intervalle , où . L'intersection est donc trivialement le singleton . Puisque l'intersection de deux ensembles ouverts est ouverte et que les singletons sont ouverts, il s'ensuit que c'est un espace discret.

Cependant, ne peut pas être uniformément discret. Pour voir pourquoi, supposons qu'il existe un tel que chaque fois . Il suffit de montrer qu'il y a au moins deux points et en qui sont plus proches l'un de l'autre que . Puisque la distance entre les points adjacents et est , nous devons trouver un qui satisfasse cette inégalité :

Puisqu'il y a toujours un plus grand que n'importe quel nombre réel donné, il s'ensuit qu'il y aura toujours au moins deux points dans qui sont plus proches l'un de l'autre que tout positif , donc n'est pas uniformément discret.

Propriétés

L'uniformité sous-jacente sur un espace métrique discret est l'uniformité discrète, et la topologie sous-jacente sur un espace uniforme discret est la topologie discrète. Ainsi, les différentes notions d'espace discret sont compatibles entre elles. D'autre part, la topologie sous-jacente d'un espace uniforme ou métrique non discret peut être discrète ; un exemple est l'espace métrique (avec métrique héritée de la ligne réelle et donnée par ). Ce n'est pas la métrique discrète ; aussi, cet espace n'est pas complet et donc pas discret en tant qu'espace uniforme. Néanmoins, il est discret en tant qu'espace topologique. On dit que c'est topologiquement discret mais pas uniformément discret ou métriquement discret .

En outre:

  • La dimension topologique d'un espace discret est égale à 0.
  • Un espace topologique est discret si et seulement si ses singletons sont ouverts, ce qui est le cas si et seulement s'il ne contient pas de points d'accumulation .
  • Les singletons forment une base pour la topologie discrète.
  • Un espace uniforme est discret si et seulement si la diagonale est un entourage .
  • Tout espace topologique discret satisfait chacun des axiomes de séparation ; en particulier, tout espace discret est Hausdorff , c'est-à-dire séparé.
  • Un espace discret est compact si et seulement s'il est fini .
  • Tout espace discret uniforme ou métrique est complet .
  • En combinant les deux faits ci-dessus, tout espace discret uniforme ou métrique est totalement borné si et seulement s'il est fini.
  • Tout espace métrique discret est borné .
  • Tout espace discret est d' abord dénombrable ; il est d'ailleurs dénombrable en second si et seulement s'il est dénombrable .
  • Chaque espace discret est totalement déconnecté .
  • Tout espace discret non vide est de deuxième catégorie .
  • Deux espaces discrets de même cardinalité sont homéomorphes .
  • Tout espace discret est métrisable (par la métrique discrète).
  • Un espace fini n'est métrisable que s'il est discret.
  • Si est un espace topologique et est un ensemble portant la topologie discrète, alors est uniformément couvert par (la carte de projection est le revêtement désiré)
  • La topologie du sous-espace sur les entiers en tant que sous-espace de la ligne réelle est la topologie discrète.
  • Un espace discret est séparable si et seulement s'il est dénombrable.
  • Tout sous-espace topologique de (avec sa topologie euclidienne habituelle ) qui est discret est nécessairement dénombrable .

Toute fonction d'un espace topologique discret à un autre espace topologique est continue , et toute fonction d'un espace uniforme discret à un autre espace uniforme est uniformément continue . C'est-à-dire que l'espace discret est libre sur l'ensemble dans la catégorie des espaces topologiques et des applications continues ou dans la catégorie des espaces uniformes et des applications uniformément continues. Ces faits sont des exemples d'un phénomène beaucoup plus large, dans lequel les structures discrètes sont généralement libres sur les ensembles.

Avec les espaces métriques, les choses sont plus compliquées, car il existe plusieurs catégories d'espaces métriques, selon ce qui est choisi pour les morphismes . Certes l'espace métrique discret est libre lorsque les morphismes sont tous des applications uniformément continues ou toutes des applications continues, mais cela ne dit rien d'intéressant sur la structure métrique , seulement la structure uniforme ou topologique. Des catégories plus pertinentes pour la structure métrique peuvent être trouvées en limitant les morphismes aux applications continues de Lipschitz ou aux applications courtes ; cependant, ces catégories n'ont pas d'objets libres (sur plusieurs éléments). Cependant, l'espace métrique discret est libre dans la catégorie des espaces métriques bornés et des applications continues de Lipschitz, et il est libre dans la catégorie des espaces métriques bornés par 1 et des applications courtes. C'est-à-dire que toute fonction d'un espace métrique discret à un autre espace métrique borné est Lipschitz continue, et toute fonction d'un espace métrique discret à un autre espace métrique borné par 1 est courte.

Dans l'autre sens, une fonction d'un espace topologique vers un espace discret est continue si et seulement si elle est localement constante au sens où chaque point a un voisinage sur lequel est constant.

Chaque ultrafiltre sur un ensemble non vide peut être associée à une topologie sur la propriété que chaque sous - ensemble non vide de est soit un sous - ensemble ouvert ou bien un sous - ensemble fermé , mais jamais les deux. Autrement dit, chaque sous-ensemble est ouvert ou fermé mais (contrairement à la topologie discrète) les seuls sous-ensembles qui sont à la fois ouverts et fermés (c'est-à-dire clopen ) sont et . En comparaison, chaque sous-ensemble de est ouvert et fermé dans la topologie discrète.

Les usages

Une structure discrète est souvent utilisée comme « structure par défaut » sur un ensemble qui ne comporte aucune autre topologie, uniformité ou métrique naturelle ; les structures discrètes peuvent souvent être utilisées comme exemples « extrêmes » pour tester des suppositions particulières. Par exemple, tout groupe peut être considéré comme un groupe topologique en lui donnant la topologie discrète, ce qui implique que les théorèmes sur les groupes topologiques s'appliquent à tous les groupes. En effet, les analystes peuvent désigner les groupes non topologiques ordinaires étudiés par les algébristes comme des « groupes discrets ». Dans certains cas, cela peut être utilement appliqué, par exemple en combinaison avec la dualité de Pontryagin . Une variété de dimension 0 (ou variété différentiable ou analytique) n'est rien d'autre qu'un espace topologique discret. Nous pouvons donc voir n'importe quel groupe discret comme un groupe de Lie à 0 dimension .

Un produit de copies dénombrables infinies de l'espace discret des nombres naturels est homéomorphe à l'espace des nombres irrationnels , avec l'homéomorphisme donné par l' expansion de fraction continue . Un produit de copies dénombrables infinies de l'espace discret {0,1} est homéomorphe à l' ensemble de Cantor ; et en fait uniformément homéomorphe à l'ensemble de Cantor si l'on utilise l' uniformité du produit sur le produit. Un tel homéomorphisme est donné en utilisant la notation ternaire des nombres. (Voir espace Cantor .)

Dans les fondements des mathématiques , l'étude des propriétés de compacité des produits de {0,1} est au cœur de l'approche topologique du principe de l' ultrafiltre , qui est une forme de choix faible .

Espaces indiscrets

À certains égards, l'opposé de la topologie discrète est la topologie triviale (également appelée topologie indiscrète ), qui a le moins d'ensembles ouverts possible (juste l' ensemble vide et l'espace lui-même). Là où la topologie discrète est initiale ou libre, la topologie indiscrète est finale ou colibre : toute fonction d' un espace topologique à un espace indiscret est continue, etc.

Voir également

Les références