Théorème d'Easton - Easton's theorem

En théorie des ensembles , le théorème d'Easton est un résultat sur les nombres cardinaux possibles des ensembles de puissances . Easton (1970) (prolongeant un résultat de Robert M. Solovay ) a montré par forçage que les seules contraintes sur les valeurs permises pour 2 ^κ lorsque κ est un cardinal régulier sont

${\ displaystyle \ kappa <\ operatorname {cf} (2 ^ {\ kappa})}$

(où cf ( α ) est la cofinalité de  α ) et

${\ displaystyle {\ text {if}} \ kappa <\ lambda {\ text {then}} 2 ^ {\ kappa} \ leq 2 ^ {\ lambda}.}$

Déclaration

Si G est une fonction de classe dont le domaine est constitué d' ordinaux et dont la plage se compose d'ordinaux tels que

1. G est non décroissant,
2. la cofinalité de est plus grande que pour chaque α dans le domaine de G , et${\ displaystyle \ aleph _ {G (\ alpha)}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$
3. ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$est régulière pour chaque α dans le domaine de G ,

alors il y a un modèle de ZFC tel que

${\ displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {G (\ alpha)}}$

pour chacun dans le domaine de G . ${\ displaystyle \ alpha}$

La preuve du théorème d'Easton utilise le forçage avec une classe appropriée de conditions de forçage sur un modèle satisfaisant l'hypothèse du continuum généralisé.

Les deux premières conditions du théorème sont nécessaires. La condition 1 est une propriété bien connue de la cardinalité, tandis que la condition 2 découle du théorème de König .

Dans le modèle d'Easton, les ensembles de puissance des cardinaux singuliers ont la plus petite cardinalité possible compatible avec les conditions que 2 ^κ a une cofinalité supérieure à κ et est une fonction non décroissante de κ.

Pas d'extension aux cardinaux singuliers

Silver (1975) a prouvé qu'un cardinal singulier de cofinalité indénombrable ne peut pas être le plus petit cardinal pour lequel l' hypothèse du continuum généralisé échoue. Cela montre que le théorème d'Easton ne peut pas être étendu à la classe de tous les cardinaux. Le programme de la théorie PCF donne des résultats sur les valeurs possibles de pour les cardinaux singuliers . La théorie PCF montre que les valeurs de la fonction continuum sur les cardinaux singuliers sont fortement influencées par les valeurs sur les cardinaux plus petits, tandis que le théorème d'Easton montre que les valeurs de la fonction continuum sur les cardinaux réguliers ne sont que faiblement influencées par les valeurs sur les cardinaux plus petits. ${\ displaystyle 2 ^ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ lambda}$

Voir également

• Hypothèse cardinale singulière
• Numéro Aleph
• Numéro Beth

Les références

• Easton, W. (1970), «Pouvoirs des cardinaux réguliers», Ann. Math. Logic , 1 (2): 139-178, doi : 10.1016 / 0003-4843 (70) 90012-4
• Silver, Jack (1975), «Sur le problème des cardinaux singuliers», Actes du Congrès international des mathématiciens (Vancouver, C.-B., 1974) , 1 , Montréal, Québec: Canad. Math. Congrès, pp. 265-268, MR  0429564