Mathématiques égyptiennes antiques - Ancient Egyptian mathematics

Les mathématiques de l'Égypte ancienne sont les mathématiques qui ont été développées et utilisées dans l'Égypte ancienne c. 3000 à c. 300  avant notre ère , de l' Ancien Empire d'Égypte jusqu'à peu près au début de l'Égypte hellénistique . Les anciens Égyptiens utilisaient un système de numération pour compter et résoudre des problèmes mathématiques écrits, impliquant souvent des multiplications et des fractions . Les preuves des mathématiques égyptiennes sont limitées à une quantité rare de sources survivantes écrites sur papyrus . À partir de ces textes, on sait que les anciens Égyptiens comprenaient des concepts de géométrie , tels que la détermination de la surface et du volume de formes tridimensionnelles utiles pour l' ingénierie architecturale , et l' algèbre , comme la méthode des fausses positions et les équations quadratiques .

Aperçu

Les preuves écrites de l'utilisation des mathématiques remontent à au moins 3200 avant JC avec les étiquettes en ivoire trouvées dans la tombe Uj à Abydos . Ces étiquettes semblent avoir été utilisées comme étiquettes pour les objets funéraires et certaines portent des numéros. D'autres preuves de l'utilisation du système de numérotation de base 10 peuvent être trouvées sur le Narmer Macehead qui représente des offrandes de 400 000 bœufs, 1 422 000 chèvres et 120 000 prisonniers.

La preuve de l'utilisation des mathématiques dans le Ancien Empire (c. 2690-2180 BC) est rare, mais il peut être déduit des inscriptions sur un mur près d' un mastaba en Meïdoum qui donne des lignes directrices pour la pente de la mastaba. Les lignes du diagramme sont espacées d'une coudée et montrent l'utilisation de cette unité de mesure .

Les premiers vrais documents mathématiques datent de la 12e dynastie (vers 1990-1800 av. J.-C.). Le papyrus mathématique de Moscou , le rouleau de cuir mathématique égyptien , le papyrus mathématique de Lahun qui font partie de la collection beaucoup plus importante de papyrus de Kahun et le papyrus de Berlin 6619 datent tous de cette période. Le papyrus mathématique de Rhind qui date de la deuxième période intermédiaire (vers 1650 av. J.-C.) serait basé sur un texte mathématique plus ancien de la 12e dynastie.

Le papyrus mathématique de Moscou et le papyrus mathématique de Rhind sont des textes de problèmes mathématiques. Ils consistent en un ensemble de problèmes avec des solutions. Ces textes peuvent avoir été écrits par un enseignant ou un étudiant engagé dans la résolution de problèmes mathématiques typiques.

Une caractéristique intéressante des mathématiques égyptiennes antiques est l'utilisation de fractions unitaires. Les Égyptiens utilisaient une notation spéciale pour les fractions telles que1/2, 1/3 et 2/3 et dans certains textes pour 3/4, mais les autres fractions étaient toutes écrites comme des fractions unitaires de la forme1/mou des sommes de ces fractions unitaires. Les scribes ont utilisé des tableaux pour les aider à travailler avec ces fractions. Le rouleau de cuir mathématique égyptien, par exemple, est un tableau de fractions d'unités qui sont exprimées sous forme de sommes d'autres fractions d'unités. Le papyrus mathématique de Rhind et certains des autres textes contiennent2/mles tables. Ces tableaux permettaient aux scribes de réécrire n'importe quelle fraction de la forme1/m comme une somme de fractions unitaires.

Pendant le Nouvel Empire (vers 1550-1070 av. J.-C.) des problèmes mathématiques sont mentionnés dans le Papyrus Anastasi I littéraire , et le Papyrus Wilbour de l'époque de Ramsès III enregistre les mesures des terres. Dans le village ouvrier de Deir el-Medina, plusieurs ostraca ont été trouvés qui enregistrent des volumes record de saleté enlevée lors de l'extraction des tombes.

Sources

La compréhension actuelle des mathématiques égyptiennes antiques est entravée par le manque de sources disponibles. Les sources qui existent incluent les textes suivants (qui sont généralement datés de l'Empire du Milieu et de la Deuxième Période Intermédiaire) :

• Le papyrus mathématique de Moscou
• Le rouleau de cuir mathématique égyptien
• Les papyrus mathématiques de Lahun
• Le Papyrus de Berlin 6619 , écrit vers 1800 avant JC
• La tablette en bois d'Akhmim
• Le Papyrus Reisner , daté du début de la XIIe dynastie égyptienne et trouvé à Nag el-Deir, l'ancienne ville de Thinis
• Le Papyrus Mathématique Rhind (PGR), daté de la deuxième période intermédiaire (c. 1650 BC), mais son auteur, Ahmès , identifie comme une copie d'un perdu Empire du Milieu papyrus. Le RMP est le plus grand texte mathématique.

Du Nouvel Empire, il existe une poignée de textes mathématiques et d'inscriptions liées aux calculs :

• Le Papyrus Anastasi I , un texte littéraire écrit comme une lettre (fictive) écrite par un scribe nommé Hori et adressée à un scribe nommé Amenemope. Un segment de la lettre décrit plusieurs problèmes mathématiques.
• Ostracon Senmut 153, un texte écrit en hiératique
• Ostracon Turin 57170, un texte écrit en hiératique
• Ostraca de Deir el-Medina contient des calculs. Ostracon IFAO 1206 par exemple montre le calcul de volumes, vraisemblablement liés à l'extraction d'une tombe.

Chiffres

Les textes égyptiens antiques pouvaient être écrits en hiéroglyphes ou en hiératiques . Dans les deux représentations, le système de nombres était toujours donné en base 10. Le nombre 1 était représenté par un simple trait, le nombre 2 était représenté par deux traits, etc. Les nombres 10, 100, 1000, 10 000 et 100 000 avaient leurs propres hiéroglyphes. Le numéro 10 est une entrave pour le bétail, le numéro 100 est représenté par une corde enroulée, le numéro 1000 est représenté par une fleur de lotus, le numéro 10 000 est représenté par un doigt, le numéro 100 000 est représenté par une grenouille, et un million était représenté par un dieu les mains levées en adoration.

Hiéroglyphes pour les chiffres égyptiens

1	dix	100	1000	10 000	100 000	1 000 000

Stèle de dalle de la princesse Neferetiabet de l' Ancien Empire (datée de 2590 à 2565 av. J.-C.) de sa tombe à Gizeh, peinture sur calcaire, aujourd'hui au Louvre

Les chiffres égyptiens remontent à la période prédynastique . Des étiquettes en ivoire d' Abydos enregistrent l'utilisation de ce système de numérotation. Il est également courant de voir les chiffres dans les scènes d'offres pour indiquer le nombre d'articles proposés. La fille du roi Neferetiabet est représentée avec une offrande de 1000 bœufs, du pain, de la bière, etc.

Le système de numérotation égyptien était additif. Les grands nombres étaient représentés par des collections de glyphes et la valeur était obtenue en additionnant simplement les nombres individuels.

Cette scène représente un décompte du bétail (copié par l'égyptologue Lepsius ). Dans le registre du milieu, on voit à gauche 835 bêtes à cornes, juste derrière elles quelque 220 bêtes (vaches ?) et à droite 2235 chèvres. Dans le registre du bas on voit 760 ânes à gauche et 974 chèvres à droite.

Les Égyptiens utilisaient presque exclusivement des fractions de la forme 1/m. Une exception notable est la fraction2/3, que l'on retrouve fréquemment dans les textes mathématiques. Très rarement, un glyphe spécial a été utilisé pour désigner3/4. La fraction1/2était représenté par un glyphe qui peut avoir représenté un morceau de lin plié en deux. La fraction2/3était représenté par le glyphe d'une bouche avec 2 traits (de tailles différentes). Le reste des fractions était toujours représenté par une bouche superposée à un nombre.

Hiéroglyphes pour certaines fractions

1/2	1/3	2/3	1/4	1/5

Multiplication et division

La multiplication égyptienne se faisait en doublant à plusieurs reprises le nombre à multiplier (le multiplicande) et en choisissant lequel des doublages additionner (essentiellement une forme d' arithmétique binaire ), une méthode qui renvoie à l'Ancien Empire. Le multiplicande était écrit à côté du chiffre 1 ; le multiplicande a ensuite été ajouté à lui-même, et le résultat écrit à côté du nombre 2. Le processus a été poursuivi jusqu'à ce que les doublements donnent un nombre supérieur à la moitié du multiplicateur . Ensuite, les nombres doublés (1, 2, etc.) seraient à plusieurs reprises soustraits du multiplicateur pour sélectionner lequel des résultats des calculs existants doit être additionné pour créer la réponse.

Comme raccourci pour les grands nombres, le multiplicande peut également être immédiatement multiplié par 10, 100, 1000, 10000, etc.

Par exemple, le problème 69 sur le Rhind Papyrus (RMP) fournit l'illustration suivante, comme si des symboles hiéroglyphiques étaient utilisés (plutôt que l'écriture hiératique réelle du RMP).

Pour multiplier 80 × 14
calcul égyptien			Calcul moderne
Résultat	Multiplicateur		Résultat	Multiplicateur
			80	1
			800	dix
			160	2
			320	4
			1120	14

Le indique les résultats intermédiaires qui sont additionnés pour produire la réponse finale.

Le tableau ci-dessus peut également être utilisé pour diviser 1120 par 80. Nous résoudrons ce problème en trouvant le quotient (80) comme la somme de ces multiplicateurs de 80 qui totalisent 1120. Dans cet exemple, cela donnerait un quotient de 10 + 4 = 14. Un exemple plus compliqué de l'algorithme de division est fourni par le problème 66. Un total de 3200 ro de graisse doit être réparti uniformément sur 365 jours.

Diviser 3200 par 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
2/3	243+1/3
1/dix	36+1/2
1/2190	1/6

Tout d'abord, le scribe doublera 365 à plusieurs reprises jusqu'à ce que le plus grand multiple possible de 365 soit atteint, ce qui est inférieur à 3200. Dans ce cas, 8 fois 365 équivaut à 2920 et une addition supplémentaire de multiples de 365 donnerait clairement une valeur supérieure à 3200. Ensuite, c'est noté que 2/3 + 1/dix + 1/2190fois 365 nous donne la valeur de 280 dont nous avons besoin. Par conséquent, nous trouvons que 3200 divisé par 365 doit être égal à 8 + 2/3 + 1/dix + 1/2190.

Algèbre

Les problèmes d'algèbre égyptienne apparaissent à la fois dans le papyrus mathématique de Rhind et le papyrus mathématique de Moscou ainsi que dans plusieurs autres sources.

Ahah
Ère : Nouvel Empire (1550-1069 av. J.-C.)
Hiéroglyphes égyptiens

Les problèmes Aha impliquent de trouver des quantités inconnues (appelées Aha) si la somme de la quantité et d'une partie de celle-ci est donnée. Le Rhind Mathematical Papyrus contient également quatre de ces types de problèmes. Les problèmes 1, 19 et 25 du papyrus de Moscou sont des problèmes Aha. Par exemple le problème 19 demande de calculer une quantité prise 1+1/2fois et ajouté à 4 pour faire 10. Autrement dit, en notation mathématique moderne on nous demande de résoudre l' équation linéaire :

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

La résolution de ces problèmes Aha implique une technique appelée méthode de fausse position . La technique est aussi appelée la méthode de la fausse hypothèse. Le scribe substituerait une supposition initiale de la réponse au problème. La solution utilisant la fausse hypothèse serait proportionnelle à la réponse réelle, et le scribe trouverait la réponse en utilisant ce rapport.

Les écrits mathématiques montrent que les scribes utilisaient des multiples (les moins) communs pour transformer des problèmes avec des fractions en problèmes utilisant des nombres entiers. À cet égard, des nombres auxiliaires rouges sont écrits à côté des fractions.

L'utilisation des fractions oculaires d'Horus montre une certaine connaissance (rudimentaire) de la progression géométrique. La connaissance des progressions arithmétiques est également évidente à partir des sources mathématiques.

Équations du second degré

Les anciens Égyptiens ont été la première civilisation à développer et à résoudre des équations du deuxième degré ( quadratiques ). Cette information se trouve dans le fragment de papyrus de Berlin . De plus, les Égyptiens résolvent les équations algébriques du premier degré trouvées dans Rhind Mathematical Papyrus .

Géométrie

Image du problème 14 du papyrus mathématique de Moscou . Le problème comprend un diagramme indiquant les dimensions de la pyramide tronquée.

Il n'y a qu'un nombre limité de problèmes de l'Egypte ancienne qui concernent la géométrie. Des problèmes géométriques apparaissent à la fois dans le papyrus mathématique de Moscou (MMP) et dans le papyrus mathématique de Rhind (RMP). Les exemples démontrent que les Égyptiens de l' Antiquité savaient calculer les aires de plusieurs formes géométriques et les volumes des cylindres et des pyramides.

• Zone:
  • Triangles : Les scribes enregistrent des problèmes pour calculer l'aire d'un triangle (RMP et MMP).
  • Rectangles : Des problèmes concernant la superficie d'un terrain rectangulaire apparaissent dans le RMP et le MMP. Un problème similaire apparaît dans le Lahun Mathematical Papyri à Londres.
  • Cercles : Le problème 48 du RMP compare l'aire d'un cercle (approximée par un octogone) et son carré circonscrit. Le résultat de ce problème est utilisé dans le problème 50, où le scribe trouve l'aire d'un champ rond de diamètre 9 khet.
  • Hémisphère : Le problème 10 dans le MMP trouve l'aire d'un hémisphère.
• Volumes :
  • Greniers cylindriques : Plusieurs problèmes calculent le volume des greniers cylindriques (RMP 41–43), tandis que le problème 60 RMP semble concerner un pilier ou un cône au lieu d'une pyramide. Il est plutôt petit et escarpé, avec un seked (inverse de pente) de quatre palmes (par coudée). Dans la section IV.3 des papyrus mathématiques de Lahun, le volume d'un grenier à base circulaire est trouvé en utilisant la même procédure que la RMP 43.
  • Greniers rectangulaires : Plusieurs problèmes du papyrus mathématique de Moscou (problème 14) et du papyrus mathématique de Rhind (numéros 44, 45, 46) calculent le volume d'un grenier rectangulaire.
  • Pyramide tronquée (frustum) : Le volume d'une pyramide tronquée est calculé dans MMP 14.

Le Seqed

Le problème 56 du RMP indique une compréhension de l'idée de similitude géométrique. Ce problème traite du rapport run/rise, également connu sous le nom de seqed. Une telle formule serait nécessaire pour construire des pyramides. Dans le problème suivant (problème 57), la hauteur d'une pyramide est calculée à partir de la longueur de la base et de la seked (égyptien pour l'inverse de la pente), tandis que le problème 58 donne la longueur de la base et la hauteur et utilise ces mesures pour calculer la séquence. Dans le problème 59, la partie 1 calcule la séquence, tandis que la deuxième partie peut être un calcul pour vérifier la réponse : Si vous construisez une pyramide avec un côté de base 12 [coudées] et avec une séquence de 5 paumes 1 doigt ; quelle est son altitude ?

Voir également

• Numéro auxiliaire rouge
• Histoire des mathématiques
  • Histoire de la géométrie
• Hiéroglyphes égyptiens et translittération de l'égyptien ancien
• Unités de mesure et de technologie de l'Égypte ancienne
• Mathématiques et architecture

Les références

Lectures complémentaires

Liens externes

• Arithmétique égyptienne
• Introduction aux mathématiques précoces